Анализ особенностей вида гладких функций для выбора формы импульса сверхширокополосного сигнала

Размещено на http://www.allbest.ru/

АНАЛИЗ ОСОБЕННОСТЕЙ ВИДА ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ВЫБОРА ФОРМЫ ИМПУЛЬСА СВЕРХШИРОКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА

А.А. Смирнова, С.Ю. Иванов

Воронеж

Аннотация

Произведён анализ видов гладких функций, наиболее часто используемых в качестве формы элемента сверхширокополосного сигнала, осуществлён выбор функции, использование которой в качестве формы импульса, позволяет осуществлять управление положением спектральной плотности мощности без изменения длительности импульса в рабочем диапазоне частот с целью наиболее точного согласования спектральных характеристик сверхширокополосного сигнала, антенной системы и канала связи.

Ключевые слова: сверхширокополосная связь; сверхкороткий импульс; длительность импульса; гладкая функция; спектральная плотность.

The analysis of the types of smooth functions that are most often used as the form of an ultra-wideband signal element was carried out. The function, the use of which as a pulse form, allows you to control the position of the power spectral density without changing the pulse duration in the working frequency range in order to most accurately match the ultra-wideband spectral characteristics signal, antenna system and communication channel.

Keywords: ultra-wideband; ultrashort pulse; pulse duration; smooth function; spectral density.

Содержание

• Введение
• 1. Модели гладких функций
• Заключение
• Литература


Введение

1. Модели гладких функций

Рассмотрим другой вид функций так называемые "гладкие", синусоидальные функции. Классическое определение гладкости функции, или непрерывно дифференцируемой функции подразумевает непрерывность ее производной на бесконечном промежутке времени [5]. Так как практически нет бесконечно протяженных функций, то под гладкостью функции будем понимать отсутствие разрывов производной на заданном конечном промежутке времени.

а. Экспоненциальные модели

Модели гладких функций экспоненциального вида часто используются в качестве формы импульсов СШП сигналов. Простейшая модель экспоненциальной функции описывается формулой [5]:

(5)

где - ступенчатая функция Хэвисайда, - амплитудное значение, - длительность колебания.

Более сложная модель импульса на основе двухэкспоненциальной функции описывается формулой:

(6)

где и - времена, определяющие форму импульса.

На рисунке 1 изображено временное представление экспоненциальной и двухэкспоненциальной функций.

Рис. 1 - функции экспоненциального и двухэкспоненциального вида, где кривая под номером 1 - экспоненциальная функция, кривые 2, 3 и 4 - двухэкспоненцаиальные функции при различных параметрах и при секунд.

Далее в качестве вещественной модели сигнала исследуем функцию, названную сложным двухэкспоненциальным сигналом [6]:

(7)

где не имеющие размерности и T, имеющая размерность времени, являющаяся масштабируемым параметром, характеризуют форму и длительность импульса, аналитическое соотношение спектральной плотности амплитуд которого имеет вид:

(8)

где - гамма-функция, коэффициенты М и n, характеризуют форму и длительность импульса. Для нормировочного множителя величина N рассчитывается следующим образом:

(9)

Временное и частотное представление импульса на основе сложной двухэкспоненциальной функции при различных значениях коэффициентов М и n, изображены на рисунке 2.

а б

Рис. 2 - а) временное представление импульса на основе сложной двухэкспоненциальной функции; б) частотное представление функции.

Для кривых под номером 1 - значение коэффициентов равны M=5 и n=2, 2 - M=2 и n=3, 3 - M=5 и n=3, 4 - М=2 и n=1, 5 - M=3 и n=1.

Анализ рисунка 2 показывает:

1. Бесконечно короткая длительность переднего фронта экспоненциальной модели нереализуема схемотехнически. Анализ соотношений (5) и (6) показывающий, что импульсы на основе экспоненциальной и двухэкспоненциальной функций не удовлетворяют условию (4), а также наличие постоянной составляющей, доказывают нецелесообразность выбора данных видов функций в качестве формы импульса СШП сигнала. Отметим, что сложная двухэкспоненциальная функция удовлетворяет условию (4), что является преимуществом данной модели перед другими сигналами на основе экспоненциальных функций.

2. При изменении масштабирующих параметров М и n у сложной двухэкспоненциальной функции (7) изменяется не только ее форма, но и крутизна фронтов, амплитуда и длительность.

3. Представленные сложные двухэкспоненциальные функции имеют различный спектральный состав. Так, для функции, соответствующей кривой 3, в выбранном масштабе основная доля энергии переносится высокочастотной частью спектра, а для функции, советующей кривой 2, спектр смещается в сторону более низких частот. Ширина полосы частот сложного двухэкспоненциального сигнала удовлетворяет условию (4), но не изменяя длительность импульса нет возможности управлять положением частотных составляющих спектра в необходимых пределах, что не совсем удовлетворяет заданному нами требованию.

б. Гауссовские модели

Начнём рассмотрение с простой колоколообразной функции (Гауссиан). Его временная форма имеет вид [7]:

(10)

где - масштабируемый временной параметр в секундах, определяющий длительность импульса, но не равный ей, а - амплитудный коэффициент. Гауссиан первого, второго и последующих порядков получается путем дифференцирования функции предыдущего порядка соответственно:

(11)

(12)

где и - амплитудные коэффициенты.

Частотное представление функции (10) первого (11) и второго (12) порядков выражается формулами:

(13)

(14)

(15)

Временной и частотный вид функций нулевого, первого и второго порядков представлены на рисунке 3.

Рис. 3 - а) временной вид функций Гаусса; б) частотный вид функции.

Кривым под номером 1 соответствует временное и частотное представление функции нулевого порядка, 2 - первого порядка и 3 - второго порядка.

Из анализа рисунка 3 следует:

1. Функция моноимпульса Гаусса (Гауссиан нулевого порядка) имеет постоянную составляющую, что не удовлетворяет требованию знакопеременности (4), и говорит о нежелательности применения этой функции для формирования или описания радиосигнала. Дифференцирование функции нулевого порядка, являющейся однополярной, позволяет получить семейство двуполярных функций, у которых отсутствует постоянная составляющая на нулевой частоте спектральной функции.

2. С изменением порядка дифференцирования функции Гаусса, изменяется местоположение максимума спектра: так у функции первого порядка максимум энергии в выбранном масштабе находится на частоте спектра около , где , а для функции второго порядка максимум спектральной энергии смещается в сторону частоты около . Таким образом, подбирая порядок дифференцирования, можно получить импульс с положением максимума энергии на требуемой частоте.

3. Достоинство функций Гаусса состоит в простоте генерации и обработки на приёмной стороне, лёгкости формирования опорных импульсов в корреляционном приёмнике [8,9].

4. С увеличением порядка дифференцирования функции не только изменяется положение максимума ее спектра, но и усложняется как математический аппарат вычисления, так и физическая реализация формы импульса на основе данных функций, а управление положением максимума спектра без дифференцирования функции возможно только при изменении его длительности.

в. Функции вида sin(x)

Ранее синусоидальные функции в СШП связи использовались либо в качестве несущих сигналов, либо в качестве элементов, позволяющих формировать в общей рабочей полосе частотные диапазоны, в частности, с целью режекции помех [6,8,10]. Поэтому, представляет интерес использование синусоидальных функций в качестве формы импульсов СШП сигналов для улучшения качества согласования спектральных характеристик сверхширокополосног о сигнала, антенной системы и канала связи.

Математическое соотношение, используемое для описания импульса на основе функции синуса, имеет вид [5]:

(16)

где A -амплитудное значение, - частота колебания.

В некоторых пределах изменим частоту колебания функции:

(17)

где При этом связь периода исходных колебаний с периодами колебаний (16) имеет вид:

(18)

Временной и частотный вид функции представлены на рисунке 4.

Рис. 4 - а) временной вид функций синуса; б) частотный вид.

Кривым под номером 1 cответствует временное и частотное представление функции с частотой , 2 - , 3 - , 4 - , 5 - , 6 - .

Анализ кривых, представленных на рисунках 6 и 7 показывает:

1. Постоянную составляющую имеет только функция под номером кривой 2 для При постоянная составляющая либо мала, либо вовсе отсутствует, что удовлетворяет условию (4).

2. Ширина полосы сигнала постоянна при и сдвиг нижней границы ограничивается нулём в противоположном случае.

3. Максимум энергии в заданной полосе можно получить оперируя значением в пределах величины.

4. Важным достоинством данного вида функций является его форма, которая легко реализуется на практике.

Заключение

сверхширокополосный сигнал импульс мощность

Среди исследованных гладких функций в качестве формы импульсов СШП сигналов целесообразно выбирать функции Гаусса или синусоидальные функции, так как их практическое использование позволяет в той или иной степени управлять положением спектральной плотности мощности СШП сигнала на частотной оси, не меняя длительности импульсов, что значительно облегчает согласование ширины полосы сигнала с частотной характеристикой канала связи и частотной характеристикой антенной системы. Это крайне важно особенно для работы в диапазонах длин волн больше сантиметрового.

При этом большая выгодность использования синусоидальных функций перед функциями Гаусса достаточно очевидна. Она заключается в том, что для управления положением спектральной плотности мощности при использовании синусоидальных функций изменять соотношение , не изменяя длительности импульса, можно очень плавно, что позволит повысить качество частотного согласования, описанного выше, в то время как возрастание порядка функции Гаусса приводит к достаточно большой величине частотного сдвига, а это уменьшает диапазон положений спектральной плотности мощности на частотной оси, которые приводят к необходимому частотному согласованию ширины полосы сигнала с частотной характеристикой канала связи и частотной характеристикой антенной системы.

Литература

1. Шеннон К.Э. Математическая теория связи. // BSTJ, 1948. - 379-423с.

2. Пересмотр 15 части правил комиссии сверхширокополосных систем передачи. Первый отчет и заказ. ФКС 02-48. - Федеральная комиссия связи, 2002.

3. Каппелини В., Константинидис А.Дж., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомиздат, 1983 - 360 с.

4. Лазоренко О.В., Черногор Л.Ф. Сверхширокополосные сигналы и физические процессы. Основные понятия, модели и методы описания. // Радиофизика и радиоастрономия, 2008, Т.3, № 2. - 166-194 с.

5. Виноградов И.М. Математическая энциклопедия. М.: Наука, 1982. - 1052 с.

6. Чумаков В.Н. Импульсные процессы и системы. М.: Военно-морская академия им. П.С. Нахимова, 2012. - 105с.

7. Калинин В.О. Исследование методов повышения помехоустойчивости короткоимпульсных сверхширокополосных систем радиосвязи. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук, 2016. - 171 с.

8. Дмитриев В.А. Технология передачи информации с использованием сверхширокополосных сигналов (UWB). Ч. 1. // Компоненты и технологии, 2003, №9. - 3-7 с.

9. Дмитриев В.А. Технология передачи с использованием сверхширокополосных сигналов (UWB). Ч. 2. // Компоненты и технологии, 2004, №1. - 64-67 с.

10. Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Клевцов А.В., Кузьмин Л.В., Лактюшкин А.М., Юркин В.Ю. Сверхширокополосное беспроводная связь и сенсорные сети. // Радиотехника и электроника, 2008, Т.53, №10. - 1278-1289 с.

Размещено на Allbest.ru