Теория многократного рассеяния электромагнитных волн во фрактальных дискретных случайно-неоднородных средах. Часть II. Уравнение радиолокации для фрактальной цели

Размещено на http://www.allbest.ru/

ТЕОРИЯ МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ВО ФРАКТАЛЬНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

Часть II. УРАВНЕНИЕ РАДИОЛОКАЦИИ ДЛЯ ФРАКТАЛЬНОЙ ЦЕЛИ

А.А. Потапов

Москва, Россия

Аннотация

На основе развитой теории многократного рассеяния волн фрактальными дискретными случайно-неоднородными средами исследованы процессы обратного рассеяния, характерные для радиолокации. Аналитически рассмотрено уравнение радиолокации для сугубо фрактальной среды. Теоретические исследования согласуются с ранее опубликованными результатами зарубежных авторов. Аналогично можно обосновать решение для анизотропных неупорядоченных больших фрактальных систем: каскады фракталов, вложенные друг в друга, графы из цепочек фракталов, перколяционные системы, космический мусор, скопления беспилотников или малоразмерных космических аппаратов (МКА), в том числе мини- и микро- классов, динамические синтезированные космические антенные группировки (кластерные апертуры), малозаметные высотные псевдоспутники (HAPS), пространственно-распределенные космические системы (кластеры) из небольших МКА для решения задач мониторинга чрезвычайных ситуаций и т.д. Настоящее исследование продолжает авторский цикл работ по обоснованию применения теории фракталов, физического скейлинга и дробных операторов в вопросах радиофизики и радиолокации.

Ключевые слова: рассеяние волн; радиолокация; фрактал; скейлинг.

The processes of backward scattering typical for the radiolocation have been investigated basing on the well-developed theory of multiple scattering of waves by fractal discrete random media. The radar equation has been analytically considered for an extremely fractal medium. Theoretical researches are agreed with previously published results of foreign authors. Similarly, one can prove the solution for anisotropic irregular fractal systems: fractal cascades enclosed to each other, graphs of fractal chains, percolation systems, space rubbish, clusters of drones or small-size space vehicles (SSV) including mini- and micro- classes, dynamical synthesized space antenna aggregations (cluster apertures), high-altitude pseudo-satellites? (?HAPS), space-distributed cosmic systems (clusters) from small SSV for solving problems of emergency monitoring and so on. The present research continues the author's cycle of works on substantiation of application of the fractal theory, theory of physical scaling and fractional operators in issues of radio physics and radiolocation.

Keywords: scattering of waves; radio location; fractal; scaling.

Содержание

• Введение
• 1. Уравнение радиолокации в двух идеальных случаях зондирования
• 2. Фракталы как модели иерархии пространственно-временных масштабов
• 3. Рассеяние волн во фрактальной среде: Первое численное моделирование
• 4. Рассеяние волн во фрактальной среде: Результаты численного моделирования
• 5. Рассеяние волн во фрактальной среде и уравнение радиолокации
• Заключение
• Литература

Введение

При радиолокационном зондировании цели в атмосфере зависимость мощности принимаемого сигнала от дальности r хорошо известна, по меньшей мере, в двух идеальных случаях. Мощность сигнала от точечной цели падает как обратная четвертая степень от дальности наблюдения и как обратный квадрат от дальности для однородной среды. Неоднородные природные среды, такие как средняя атмосфера, имеют прерывистые или неоднородные структуры, которые не соответствуют ни одному из этих случаев. Тонкие, вертикально стратифицированные волнистые слои турбулентности часто наблюдаются во всей средней атмосфере. Поэтому справедливость точной зависимости мощности сигнала от r^-4 или r^-2 в радиолокационных экспериментах средней атмосферы остается сомнительной [1]. фрактальный радиолокация скейлинг

Многие природные объекты, имеющие структурные элементы в иерархии пространственно-временных масштабов, бросают вызов плавным функциям. Их структура может убедительно представлена с помощью фракталов [2, 3]. Поэтому при фрактальном моделировании интерес представляют промежуточные случаи неоднородных или случайно-неоднородных сред. Такие реальные фрактальные модели, которые включают и эффекты стратификации, могут быть полезны в радиофизических и радиолокационных исследованиях.

В работе исследована для радиолокационного случая зависимость принимаемой мощности от фрактальной сигнатуры лоцируемого объема или цели. Показано, что фрактальная сигнатура может быть использована для исследования зависимости объемного рассеяния от расстояния. Теоретические исследования согласуются с ранее опубликованными результатами зарубежных авторов.

Необходимо отметить, как и в первом докладе, что данные вопросы находились в сфере интересов автора еще при подготовке монографий [2, 3], но не были включены в общий текст книг из-за превышения заданных объемов. Одновременно эти материалы были включены в некоторые отчеты по НИР, которые проводились автором в 90-е гг. XX в. Время показало актуальность данной тематики для вопросов физики конденсированных сред, радиофизики и радиолокации (см. цикл наших недавних работ [18 - 27] в первом докладе [12]).

1. Уравнение радиолокации в двух идеальных случаях зондирования

Изменение мощности рассеянного сигнала P_s в двух идеальных случаях дается уравнением радиолокации. Рассмотрим моностатический радиолокационный эксперимент на длине волны (частота f₀), размер апертуры антенны d, коэффициент усиления антенны

G = 4A/,

где А - эффективная площадь антенны. Ширина диаграммы направленности антенны

= /d,

коэффициент 1. Считаем, что цель находится в дальней зоне.

Вначале рассмотрим точечную цель с эффективным сечением , расположенную на дальности r. Принятая мощность сигнала определяется уравнением радиолокации

, (1)

где - мощность передатчика, L - коэффициент, учитывающий все потери. Видно, что падает с дальностью r как r^-4.

Далее рассмотрим однородный ансамбль множества случайно распределенных в пространстве точечных целей. Если предположить, что точечные цели являются статистически независимыми, то мощность принятого сигнала получается суммированием энергетических вкладов от всех точечных целей в ансамбле. Эффективность рассеяния ансамблем электромагнитных волн определяется сечением на единицу объема. Область среды, которая вносит вклад в , находится на расстоянии r и определяется шириной луча и радиальным разрешением . Таким образом, эффективный объем, дающий вклад в , равен

,

где

- телесный угол луча. Тогда уравнение радиолокации принимает вид

. (2)

Зависимость как обратный квадрат от дальности r определяется тем, что объем V увеличивается как r², а из уравнения (1) следует, что энергетический вклад каждой точечной цели в объем V убывает как r^-4. Кроме того, не зависит от длины волны радиолокатора, кроме как через .

Еще один случай возникает при зондировании земной поверхности под малыми углами скольжения . В этом случае площадь наземной распределенной цели, освещенной лучом антенны, линейно возрастает с дальностью r. Предполагая статистическую независимость элементарных рассеивателей распределенной цели, получаем, что мощностьс увеличением дальности падает как r^-3.

Предположение о статистической независимости точечных целей в плоской области или объеме обычно требует осторожности. Так в [1, с. 192] есть утверждение, что "… проблемы, связанные с влиянием местных предметов, достаточно сложны и пока полностью не решены. Лишь сравнительно недавно специалисты по метеорологической радиолокации стали уделять внимание этой области исследований". Точная степенная зависимость от дальности r является функцией от того, как эти неоднородности или неровности заполнят область рассеяния. Эта зависимость варьируется от r^-4 для точечной цели до r^-2 для однородной среды, которая полностью заполняет всю область рассеяния V.

Промежуточные случаи очень важны при зондировании реальных случайно-неоднородных сред, но не поддаются анализу. Автору известна лишь одна работа по компьютерному моделированию рассеяния волн средами с частичным заполнением пространства зондирования на основе фрактального приближения [4] (см. также [2, 3]). В разделах 3 и 4 мы представим основные результаты этой работы для проведения дальнейшего исследования.

2. Фракталы как модели иерархии пространственно-временных масштабов

Теория фракталов впервые разработана и представлена Миру великим математиком Б. Мандельбротом (1924 - 2010 гг.). Это произошло в 1975 году. Глобальное внедрение математики и физики фракталов в радиофизику, радиолокацию и в широкий спектр других научных направлений проводится автором данного доклада, начиная с 1979 года [2, 3]. На рисунке 1 показаны избранные примеры фрактальных множеств.



Рис. 1,а. Примеры фракталов: кривая Коха и ее построение (слева), острова Коха (вверху справа), пыль Кантора (внизу справа).

Рис. 1,б. Пыль Кантора (2D).

Рис. 1,в. Фрактал Чезаро представляет собой вариант кривой Коха с углом между 60⁰ и 90⁰ (здесь 85⁰), 1D.

Рис. 1,г. Варианты: Поверхность Коха (продление кривой Коха на 2D).



Рис. 1,д. Варианты: Кривая Коха - 3D. (Трехмерный фрактал, построенный из кривых Коха. Форма может рассматриваться как трехмерное расширение кривой в том же смысле, что пирамида Серпинского и губка Менгера можно рассматривать как расширение треугольника Серпинского и салфетки Серпинского).

Рис. 1. Примеры фракталов.

В работе [4] проведено цифровое моделирование планарных фрактальных целей. Область пространства последовательно делится на ячейки меньшего размера, в конечном итоге сводящиеся к изотропным точечным целям. Процесс начинается с единичного квадрата (Евклидова размерность Е = 2). Затем квадрат делится на n² равных подъячеек со стороной n^-1, и этот процесс повторяется. Размерность Е = 2 евклидова пространства сохраняется, т.к.,

E = 2 = log (n²) / log (n).

Предположим теперь, что на этапе деления заполняется только p n^-2 подъячеек, и процесс рекурсивно продолжается для этих заполненных подъячеек. После цикла итераций единичный квадрат заполняется случайным паттерном точек конечных размеров. Фрактальная размерность D этого паттерна не более E, но может быть близка к 0. На каждой итерации число подъячеек, охватываемых паттерном, равно pn², а их сторона уменьшается множителем n. Фрактальную размерность D теперь можно определить, как {2 + log (p) / log (n)}. Добавочный фактор фактически отрицателен или равен нулю, так как p l.

Фракцию р можно также рассматривать как вероятность. Полученный паттерн действительно случаен и статистически самоподобен при увеличении. Степень, в которой случайный паттерн точек заполняет единичный квадрат, можно контролировать, выбирая значение p.

Когда p = n^-2, величина D становится равной нулю. Расширение на E = 3 очевидно с

D = log (pn³) / log (n).

Примеры реализаций случайных точек на плоскости показаны на рисунке 2.

Эти точки можно рассматривать как случайные точечные радиолокационные цели. Такие примеры служат основой для численных экспериментов, описанных ниже.

Рис. 2. Случайные паттерны точек на сетке 256256.

На каждом этапе деления ячейка делится на 44 = 16 подъячеек, которые затем выбираются с вероятностью p > 4^-2. Этапы повторяются четыре раза из-за конечного размера пикселей. Параметры p и D увеличиваются слева направо. Для каждого случая показаны две разные реализации. Такие паттерны моделируют конкретные реализации точечных целей в распределенной случайной среде. Фрактальная размерность D, контролируемая вероятностью p, определяет степень, в которой среда заполняет плоскость [4].

3. Рассеяние волн во фрактальной среде: Первое численное моделирование

В работе [4] численно моделировался процесс радиолокационного рассеяния для изучения вариаций мощности принимаемого сигнала при изменении дальности до цели, длины зондирующей волны и непосредственно характера пространственной цели.

Каждой точечной цели присваивается значение эффективного сечения рассеяния. Точечная цель s_i в точке r_i освещается равномерным по пучком. Поле рассеяния Е_i на приемной антенне в предположении дальней зоны изменяется с расстоянием r_i до точечной цели как (r_i)^-2, а его фаза -4r_i /. Комплексный сигнал v_i на выходе приемника линейно связан с E_i. Мощность сигнала P_s от ансамбля точечных целей определяется из накопленного комплексного напряжения v = У_i v_i, как P_s = vv*.

Следует отметить, что этот метод определения P_s дает "истинную" мощность сигнала для любой произвольной структуры цели. Он не предполагает статистической независимости точечных целей, и все фазовые факторы неотъемлемо включены в вычисления.

В реальном моделировании для снятия вычислительных ограничений были рассмотрели только планарные цели, которые представляют собой двумерные ансамбли точечных целей (рисунок 2). Это ограничивает нас значениями D 2 внутри евклидова пространства размерности E = 3.

Ориентация планарной мишени относительно луча радиолокатора показана на рисунке 3. Луч радиолокатора направлен под углом от зенита. Плоская мишень ориентирована вертикально, в плоскости, определяемой зенитом и осью луча радиолокатора. Только эта часть планарной цели (выделенная штриховкой на рисунке 3), которая пересекается с радиолокационным объемом на расстоянии r, образует сигнал, полученный с этого диапазона дальности. Плоская цель образуется фрактальной реализацией точек, таких, как показанные на рисунке 2.

Рис. 3. Геометрия зондирования фрактальной цели.

Фрактальные реализации планарных целей с D2 генерируются путем первого разбиения области 40964096 точек на 16 клеток размером 44. Каждая подъячейка затем аналогично подразделяется итеративно.

Общее число итераций в этом разделении составляет шесть (4096 = 4⁶). В каждой итерации подъячейка включается с вероятностью p. Типичные реализации случайных точек на плоскости показаны на рисунке 2. Следует отметить, что подъячейки имеют различные горизонтальные и вертикальные границы, как артефакт простой фрактальной модели, используемой здесь. Полное моделирование объемной цели с 4096³ или ~69 миллиардами точек явно нецелесообразно по вычислительным причинам.

С физической точки зрения линейный размер 0,1 м связан с каждой точечной целью. Линейный размер области рассеяния составляет ~0,4 км. Для упрощения вычислений ширина луча и радиальное разрешение поддерживаются постоянными, а именно, = 0,9⁰ и = 0,32 км. Использовались пять значений для каждого из следующих параметров: номинальный диапазон r от 5 до 20 км, зенитный угол от 0 до 20⁰ и длина волны от 3 до 1 м. Параметр вероятности p, который контролирует фрактальную размерность D, изменялся от 0,3 до 0,7 с шагом 0,1. Для каждого из 625 отдельных случаев значение P_s усреднялось по 20 различным реализациям. Скейлинг или закон масштабирования для зависимости P_s от любого параметра, например, дальности, затем получается путем регрессионного анализа. Далее обсуждается только зависимость мощности сигнала P_s от диапазона r.

Значения параметров характерны для типичных экспериментальных радиолокаторов средней атмосферы [1]. На некоторых радарах, которые используют большие антенны, эффекты ближнего поля значительны. Они просты во включении и будут представлять интерес для нашей будущей работы, поскольку радиолокационные уравнения, приведенные выше, действительны только для дальней зоны.

4. Рассеяние волн во фрактальной среде: Результаты численного моделирования

Для зависимости мощности рассеянного сигнала от диапазона дальности определяем это отношение в форме степенного закона [2 - 4]:

P_s = . (3)

Показатель равен 4,0 для точечной цели и 2,0 для цели, которая пространственно заполняет луч, то есть D = 3.

Показатель был получен в [4] линейной регрессией log (P_s) на log (r) в описанном выше численном эксперименте для пяти различных значений D между 1,13 и 1,74 при длине волны = 2,5 м и угле зондирования = 10⁰. На рисунке 4 показано изменение параметра от величины D для пяти значений фрактальной размерности D.

Экстремальные случаи для D = 0 и D = 3 на рисунке 4 также идентифицированы. Изображены линейные регрессии по методу наименьших квадратов, соответствующие пяти рассчитанным точкам, и кубический сплайн, соответствующий всем семи точкам. Для планарных целей с D~1,9 получено~2,22. Следовательно, объемный случай ( = 2) достаточно высок для целей, которые только стремятся заполнить плоскость.

Подгонка сплайнов показывает, что для D ~ 2,2 предел объемного рассеяния при = 2,0 держится с точностью до 5% и этот предел хорошо достигается, если D > 2,4.

Рис. 4. Изменение параметра в зависимости от фрактальной размерности D рассеивающей среды.

Экстремальные случаи точечной мишени (D = 0) и объемного рассеяния однородной случайной средой (D = 3) показаны светлыми кружками. Черные кружки - средние значения более чем по 20 реализациям в численном эксперименте. Пунктирная линия - метод наименьших квадратов. Сплошная линия - кубический сплайн, проходящий через все семь точек. Параметр сначала падает линейно с увеличением D, но замедляется вблизи D ~ 2 в случае объемного рассеяния: = 2,5 м, = 10⁰.

Как отмечено в [4], вышеприведенный результат не обязательно выполняется для всех ориентаций планарной мишени. Для планарной цели, ориентированной перпендикулярно оси пучка и для всех целей вблизи вертикального падения, сигналы от точечных мишеней в зоне Френеля формируются когерентно. Эти когерентные отражения, наблюдаемые во многих радиолокационных экспериментах [5 - 7], также были замечены в численных экспериментах и рассматриваются далее. Когерентные отражения производятся границами подъячейки при почти перпендикулярном падении.

Интересно поразмышлять, как результаты, показанные на рисунке 4, относятся к диапазонной зависимости (r^-3) мощности наземных помех (P_c) для радиолокаторов, что кратко обсуждалось в разделе 1. Эта ситуация соответствует почти горизонтальному лучу антенны ( ~ 90⁰) и горизонтальной плоской цели, которая содержит статистически независимые элементы. Ориентация этой планарной цели, однако, ортогональна тому, что показано на рисунке 3. Его можно рассматривать как совокупность многих статистически независимых линейных целей, которые все параллельны лучу. Каждая из этих линейных целей соответствует фрактальной размерности D = 1 на рисунке 4. Из предполагаемой статистической независимости этих линейных целей показатель степенной зависимости P_c должен быть таким же, как для D=l. Фактическое значение этого показателя составляет ~3,07 на рисунке 4. Несоответствие 0,07 в показателе может быть связано с некоторыми двухточечными корреляциями внутри подъячейки, вопреки предполагаемой статистической независимости между точечными целями, и возможной угловой () зависимостью в численных экспериментах [4].

Простая фрактальная модель случайной среды, представленная в [4], еще далека от реалистичной, поскольку она не включает пространственную неоднородность, проявляющуюся в стратифицированных слоях турбулентности, обычно наблюдаемых в атмосфере [8, 9]. Улучшенные фрактальные модели, например, те, которые используют анизотропный каскад [2, 3, 10, 11], успешно представляют такие слои и могут быть использованы в будущем.

5. Рассеяние волн во фрактальной среде и уравнение радиолокации

Теория многократного рассеяния электромагнитных волн во фрактальных дискретных случайно-неоднородных средах представлена автором в [12, 13]. Здесь мы покажем, как можно использовать полученные результаты при анализе радиолокационных сигналов, когда объем рассеяния зависит от фрактальной размерности D или фрактальной сигнатуры D(r, t). В соответствии с теорией рассеяния волн можно определить сечение рассеяния и сечение поглощения (которые можно измерить экспериментально) в виде

и , (4)

где w_s - введенный в [12, 13] относительный объем фрактала (см. формулу (50) в [12]).

Соответственно, моменты поля для фрактальной среды равны [12, 13]:

(5)

, (6)

(7)

где

. (8)

Все обозначения и индексы приведены в работе [12].

Рассчитаем значение обратно рассеянного сигнала от фрактальной среды (рисунок 3) с использованием классического уравнения радиолокации. Мощность принятого сигнала определяется уравнением радиолокации

. (9)

С учетом (4)

. (10)

Используя формулу (50) из [12] для относительного объема фрактала и результаты [11], имеем

, (11)

где l₀ - размер фрактальной цели, l - сравнима с длиной волны, l < l₀.

Для дальней зоны и плоской цели Е = 2. Тогда

, (12)

где

. (13)

Следовательно, мощность рассеянного сигнала с учетом результатов [11]:

. (14)

В выражении (14) интегралы I_r и Iимеют вид соответственно

, (15)

. (16)

Следовательно, на основании (14) можно заключить, что для фрактальной среды выполняется соотношение

. (17)

Полученный результат (17) совпадает с экспериментальными данными на рисунке 4 (прямолинейная часть графика) из работы [4].

Для 3D - среды легко получить с учетом того, что в этом случае Е = 3, следующее соотношение [11]:

. (18)

Данный результат (18) согласуется с экспериментальными данными на рисунке 4 (криволинейная часть графика) из работы [4].

Как отмечено в работе [11], приведенные результаты показывают, что по отраженному радиолокационному сигналу можно оценить фрактальную размерность D зондируемой фрактальной среды или фрактальной цели (такой, как динамический слой снега и т.д., см. также работы [2, 3, 11 - 16]).

Заключение

Ранее построенная автором модификация теории многократного рассеяния позволила включить в рассмотрение значение фрактальной размерности D или фрактальной сигнатуры D(r, t) неупорядоченной системы [12, 13, 16 - 19].

На основе модифицированного метода Фолди-Тверского для многократного рассеяния волн во фрактальных дискретных случайно-неоднородных средах [12, 13, 16-19] аналитически рассмотрено уравнение радиолокации для сугубо фрактальной среды. Показано, что фрактальная сигнатура может быть использована для исследования зависимости объемного рассеяния от расстояния. Теоретические исследования согласуются с ранее опубликованными результатами зарубежных авторов. Аналогично можно обосновать решение для анизотропных неупорядоченных больших фрактальных систем: каскады фракталов, вложенные друг в друга, графы из цепочек фракталов, перколяционные системы, космический мусор, скопления беспилотников или малоразмерных космических аппаратов (МКА), в том числе мини- и микро- классов, динамические синтезированные космические антенные группировки (кластерные апертуры), малозаметные высотные псевдоспутники (HAPS) и их группировки, пространственно-распределенные космические системы (кластеры) из небольших МКА для решения задач мониторинга чрезвычайных ситуаций и т.д. [12, 13, 16 - 19].

Настоящее исследование продолжает авторский цикл работ по обоснованию применения теории фракталов, физического скейлинга и дробных операторов в вопросах радиофизики и радиолокации, начатых автором впервые в СССР в ИРЭ АН СССР в конце 70-х годов XX века.

Литература

1. Довиак Р., Зрнич Д. Доплеровские радиолокаторы и метеорологические наблюдения. Л.: Гидрометеоиздат, 1988. - 512 с.

2. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. М.: Логос, 2002. - 664 с.

3. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Университетская книга, 2005. - 848 с.

4. Rastogi P. K., Scheucher K. F. Range dependence of scattering from a fractal medium: Simulation results. // Radio Science, 1990, Vol. 25, No 5. - P. 1057-1063.

5. Rottger J., and Liu C.H. Partial reflection and scattering of VHF radar signals from the clear atmosphere. // Geophys. Res. Lett., 1978, Vol. 5. - P. 357-360.

6. Gage K.S., and Green J.L. Evidence of specular reflections from monostatic VHF radar observations of the stratosphere. // Radio Science, 1978, Vol. 13. - P. 991-1001.

7. Woodman R.F., and Chu Y.-H. Aspect sensitivity measurements of VHF backscatter made with the Chung - Li radar: Plausible mechanisms. // Radio Science, 1989, Vol. 24. - P. 113-125.

8. Fritts D.C., and Rastogi P.K. Convective and dynamical instabilities due to gravity wave motions in the lower and middle atmosphere: Theory and observations. // Radio Science, 1985, Vol. 20. - P. 1247-1277.

9. Rottger J. VHF radar measurements of small-scale and meso-scale dynamical processes in the middle atmosphere. // Philos. Trans. R. Soc. London. Ser. A, 1987, Vol. 323. - P. 611-628.

10. Lovejoy S., and D. Schertzer. Scale invariance, symmetries and stochastic simulation of atmospheric phenomena. // Bull. Am. Meteor. Soc., 1986, Vol. 67. - P. 21-32.

11. Zhen-song Wang and Bao-wei Lu. The scattering of electromagnetic waves in fractal media. // Waves in Random Media, 1994, Vol. 4, No 1. - P. 97-l03.

12. Потапов А.А. Теория многократного рассеяния электромагнитных волн во фрактальных дискретных случайно-неоднородных средах. Часть I. Волны в неупорядоченных фрактальных системах. // Сб. докладов XXIV Междунар. НТК "Радиолокация, навигация, связь" (Воронеж, 17 - 19 апреля 2018 г.). Воронеж: 2018 (доклад в данном сборнике).

13. Potapov А.А. Waves in Large Disordered Anisotropic Fractal Systems, in Clusters of Small-Size Space Vehicles, in Synthesized Space Antenna Aggregations - Cluster Apertures, and in Radar. // Book of Abstracts Int. Conf.-School "Shilnikov WorkShop 2017" (Nizhni Novgorod, Russia, December 15 - 16, 2017). Nizhni Novgorod: Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod, 2017. - P. 32-33.

14. Kulikov D.A., Potapov A.A., Rassadin A.E., and Stepanov A.V. Model for growth of fractal solid state surface and possibility of its verification by means of atomic force microscopy. // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng., 2017, Vol. 256, № 012026. - 10 p. - https://doi.org/10.1088/1757-899X/256/1/012026.

15. Potapov А.А., Rassadin A.E., Stepanov A.V., Tronov А.А. Nonlinear Dynamics of Fractals with Cylindrical Generatrix on Surface of Solid State. // Proc. 14^th Sino - Russia Symposium on Advanced Materials and Technologies / Ed. Mingxing Jia (Sanya, Hainan Province, China: November 28 - December 1, 2017). Beijing: Metallurgical Industry Press (China, http://www.cnmip.com.cn), 2017. - P. 491-493.

16. Potapov A.A. Fractal and topological sustainable methods of overcoming expected uncertainty in the radiolocation of low-contrast targets and in the processing of weak multi-dimensional signals on the background of high-intensity noise: A new direction in the statistical decision theory. // Journal of Physics: Conf. Ser., 2017, Vol. 918, No 012015. - 19 p. - https://doi.org/10.1088/1742-6596/918/1/012015.

17. Бурцева Н., Потапов А.А. Фракталы на службе у военной науки (интервью). // Воздушно-космическая сфера, 2017, № 2(91). - С. 36-41.

18. Potapov A.A., German V.A. Topological or Fractal Detectors. Principles of Building, Circuitry Engineering and Its Application for Detecting Stealthy High-Altitude Pseudo-Satellite. // Book of Abstracts of the 11th Chaotic Modeling and Simulation International Conference (Rome, Italy: 5 - 8 June, 2018): Christos Skiadas, Ed. Rome: ISAST, 2018.

19. Potapov A.A. Theory of multiple scattering of electromagnetic waves in fractal discrete randomly-inhomogeneous media. Radiolocation of fractal targets. // RENSIT, 2018, Vol. 9, No. 1. - P. 3-22.

Размещено на Allbest.ru

...