Квазиправдоподобный алгоритм оценки фазы сверхширокополосного квазирадиосигнала с неизвестной длительностью

Размещено на http://www.allbest.ru/

Воронежский государственный университет (ВГУ)

КВАЗИПРАВДОПОДОБНЫЙ АЛГОРИТМ ОЦЕНКИ ФАЗЫ СВЕРХШИРОКОПОЛОСНОГО КВАЗИРАДИОСИГНАЛА С НЕИЗВЕСТНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ

Ю.Э. Корчагин, К.Д. Титов, М.С. Войнаровская

Воронеж, Россия

Аннотация

Синтезирован квазиправдоподобный алгоритм оценки фазы сверхширокополосного квазирадиосигнала с неизвестной длительностью, наблюдаемого на фоне гауссовского белого шума. Найдена структура и статистические характеристики алгоритма оценки фазы. Исследовано влияние априорного незнания длительности сигнала на точность оценки фазы.

Ключевые слова: сверхширокополосный, квазирадиосигнал, фаза, длительность, квазиправдоподобная оценка, смещение, дисперсия, рассеяние.

We considered the new quasi-likelihood phase estimation algorithm of the ultra-wideband quasi-radiosignal with unknown duration against white Gaussian noise. We found the structure and statistical characteristics of the introduced estimation algorithm and we investigated the influence of the prior signal duration ignorance on estimation efficiency.

Keywords: ultra-wideband, quasi-radiosignal, phase, duration, quasi-likelihood estimation, offset, bias, variance.

Содержание

• Введение
• 1. Постановка задачи
• 2. Синтез алгоритма
• 3. Анализ алгоритма
• Заключение
• Литература

Введение

Задача оценки фазы радиосигнала, наблюдаемого на фоне шума, актуальна для многих практических приложений статистической радиофизики и неоднократно рассматривалась в литературе [1-5]. Применительно к сверхширокополосному (СШП) квазирадиосигналу (КРС) задача оценки фазы решена в предположение априори известной длительности [4]. В работе [6] рассмотрена оценка фазы узкополосного радиосигнала с неизвестной длительностью. Однако при разработке современных систем связи и локации, использующих СШП сигналы, зачастую имеется необходимость в определении фазы сигнала.

Цель работы - синтез квазиправдоподобного алгоритма оценки фазы СШП КРС с неизвестной длительностью, наблюдаемого на фоне гауссовского белого шума. Разработка структуры и расчёт статистических характеристик оценки фазы. Исследование влияния априорного незнания длительности сигнала на точность оценки фазы.

1. Постановка задачи

СШП КРС с прямоугольной модулирующей функцией запишем в виде

, (1)

где

- индикатор единичной длительности, , , , - амплитуда, начальная фаза, частота и длительность СШП КРС соответственно [4], а - прямоугольная огибающая узкополосного радиосигнала (1). Если полоса частот и частота сигнала (1) удовлетворяют условию

, (2)

то сигнал (1) является узкополосным радиосигналом. Если условие (2) не выполняется, то формула (1) описывает СШП КРС. Величины , , , являются параметрами гармонического колебания, используемыми для его формирования. Тем не менее, для краткости аналогично [4], далее будем называть , , , соответственно амплитудой, начальной фазой, частотой и длительностью СШП КРС (1).

Рассмотрим задачу оценки фазы сигнала (1) с неизвестной длительностью на фоне аддитивного гауссовского белого шума с односторонней спектральной плотностью. Наблюдаемую в течение интервала времени аддитивную смесь сигнала (1) и шума представим в виде

, (3)

где , , - истинные значения неизвестных параметров. Будем считать, что начальная фаза и длительность сигнала могут принимать значения из априорных интервалов , . Располагая наблюдаемой реализацией , необходимо сформировать оценку фазы полезного сигнала (1), считая амплитуду и длительность неинформативными параметрами, в оценке которых нет необходимости.

2. Синтез алгоритма

сверхширокополосный квазирадиосигнал алгоритм шум

Для синтеза алгоритма оценки воспользуемся методом максимального правдоподобия (МП) [1-3], согласно которому оценка фазы при априори известных длительности и амплитуде совпадает с положением абсолютного (наибольшего) максимума логарифма функционала отношения правдоподобия (ФОП)

.

При неизвестных параметрах сигнала имеет место априорная параметрическая неопределенность относительно амплитуды и длительности. В этом случае логарифм ФОП зависит от трёх неизвестных параметров

. (4)

Одним из возможных способов преодоления априорной параметрической неопределённости является использование квазиправдоподобного (КП) алгоритма оценки. Вместо неизвестной длительности в выражении (4) будем использовать некоторое ожидаемое её значение из области возможных значений длительности . Неизвестную амплитуду в выражении (4) заменим её КП оценкой

, , (5)

что равносильно максимизации логарифма ФОП (4) по переменной . Тогда КП оценка фазы определяется как положение абсолютного (наибольшего) максимума решающей статистики

, . (6)

Подставим в выражение (4) явный вид СШП КРС (1) и перепишем логарифм ФОП (5) как

, (7)

где обозначено:

, , ,

, ,

(8)

,

,

где величина

характеризует степень узкополосности радиосигнала и равна количеству периодов гармонического колебания (1), укладывающихся на длительности сигнала . Величину будем аналогично [4] называть параметром узкополосности.

Оценка (6) может быть найдена аналитически. Для этого, решая систему уравнений правдоподобия

, ,

получаем выражение для КП оценки фазы сигнала (1)

, , . (9)

Поскольку функция многозначная, для однозначного определения КП оценки фазы необходимо учитывать априорный интервал её возможных значений. Числитель и знаменатель в формуле (9) можно интерпретировать как декартовы координаты некоторой точки А (рисунок 1), а оценку как полярный угол этой точки. При точка А располагается в правой полуплоскости, а КП оценка фазы равна главному значению арктангенса и принимает значения из отрезка [].

Рис. 1. Представление оценки фазы в виде полярного угла.

Если , то точка А находится в левой полуплоскости, а значение КП оценки фазы зависит от знака величины , а именно

. (10)

Таким образом, с учетом знаков случайных величин и , получаем

,

(11)

Согласно (9) КП оценку фазы СШП КРС можно сформировать на основе блок-схемы, приведенной на рисунке 2, где 1 - перемножитель, 2 - интеграторы, которые работают на интервале времени , , 3 - блок, осуществляющий возведение в квадрат, 4 - сумматор, 5 - блок, реализующий операцию арктангенс, 6 - блок, реализующий функцию (11).

Рис. 2. Блок-схема КП измерителя фазы СШП КРС.

Выполним анализ КП алгоритма оценки фазы СШП КРС. Для полного статистического описания оценки (6) найдём её плотность вероятности. Точность оценки будем также характеризовать величинами смещения, дисперсии и рассеяния, определяемыми выражениями

(12)

Согласно (9), КП оценка фазы определяется через случайные величины (СВ) и . Следовательно, плотность вероятности оценки (9) может быть выражена через совместную плотность вероятности СВ и . Эти величины являются гауссовскими, поскольку представляют собой линейные преобразования (8) гауссовского случайного процесса , обладают математическими ожиданиями

,

,

дисперсиями

,

,

и корреляционным моментом

,

где обозначено

,

,

.

Величина

характеризует отличие длительности ожидаемого и принимаемого сигналов. При КП оценка амплитуды совпадает с МП оценкой, исследованной в [4].

Случайные величины и гауссовские, так как они представляют собой линейные комбинации гауссовских СВ и . Следовательно, статистические свойства и полностью описываются их первыми двумя моментами. Выполняя усреднение, находим математические ожидания

, ,

,

,

дисперсии

, ,

и коэффициент корреляции

,

где .

С учётом найденных моментов, совместная плотность вероятности СВ и определяется формулой

(13)

Сделаем замену переменных , и выполним переход от совместной плотности вероятности СВ и к совместной плотности вероятности СВ и . Для этого воспользуемся формулой [8]

, (14)

где якобиан преобразования

,

причём , .

В результате получим следующее выражение для совместной плотности вероятности и

. (15)

Здесь введены обозначения:

,

,

.

Интегрируя плотность вероятности (15) по всем возможным значениям , получаем выражение для плотности вероятности оценки фазы СШП КРС

. (16)

Используя плотность вероятности (16), найдём выражения для смещения и рассеяния оценки фазы.

В формулах (12) усреднение выполняется по реализациям шума при фиксированных истинных значениях параметров . Используя (16), находим значения первых двух моментов оценки

. (17)

Проигрыш в эффективности оценки, вследствие незнания длительности СШП КРС, можно охарактеризовать отношением рассеяния (12) оценки фазы при наличии и при отсутствии расстройки длительности

, (18)

а также величиной нормированного смещения

. (19)

В качестве примера на рисунке 3 изображены зависимости условного смещения (12), нормированного на -

,

от параметра узкополосности при различных отношениях сигнал/шум (ОСШ)

:

(штрихпунктирная кривая), (пунктирная кривая), (сплошная кривая).

На рисунке 4 приведена зависимость проигрыша (18) в точности КП оценки фазы и нормированного смещения (19) от величины расстройки длительности ожидаемого сигнала при различных ОСШ: (штрихпунктирная кривая), (пунктирная кривая), (сплошная кривая). При расчёте кривых предполагалось, что начальная фаза принятого сигнала , а , то есть на длительности принятого сигнала укладывается один период квазирадиосигнала.

Рис. 3. Зависимость условного смещения КП оценки фазы от параметра узкополосности радиосигнала.

Из рисунков 3, 4 видно, что априорное незнание длительности сигнала может привести к снижению точности оценки фазы. Параметр узкополосности оказывает существенное влияние на качество оценки начальной фазы СШП КРС. С ростом его влияние на характеристики оценки снижается, что подтверждается частным случаем СШП КРС - узкополосным радиосигналом (), характеристики обнаружения которого не зависят от числа периодов гармонических колебаний на интервале его длительности. С ростом ОСШ или величины параметра узкополосности рассеяние оценки уменьшается. Несовпадение ожидаемого значения длительности с истинным может привести к несостоятельности КП оценки фазы и увеличению рассеяния оценки в несколько раз.

Заключение

Установлено, что КП алгоритм оценки начальной фазы СШП КРС, синтезированный при условии возможного невыполнения условия относительной узкополосности, имеет существенно более сложную структуру, чем известные алгоритмы оценки начальной фазы узкополосного радиосигнала и СШП КРС с известной длительностью. Однако, эта сложность не является избыточной, при реализации синтезированных алгоритмов в аппаратуре связи, при заданной точности оценки недопустимо использование неоптимальных алгоритмов, а также алгоритмов, не учитывающих возможное изменение длительности СШП КРС вследствие воздействия помех при распространении радиоволн. При попытке перехвата неизвестного сигнала устройством оценки фазы СШП КРС, которое полагает длительность сигнала известной, также недопустимо. Полученные результаты позволяют сделать обоснованный выбор алгоритма оценки начальной фазы в зависимости от имеющейся априорной информации, а также в зависимости от требований, предъявляемых к точности оценки и к степени простоты технической реализации измерителя начальной фазы СШП КРС.

Литература

1. Куликов Е.И., Трифонов А.П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. М.: Сов. радио, 1978. - 293 с.

2. Трифонов А.П., Шинаков Ю.С. Совместное различение сигналов и оценка их параметров на фоне помех. М.: Радио и связь, 1986. - 264 с.

3. Тихонов В.И. Оптимальный приём сигналов. М.: Радио и связь. 1983. - 320 с.

4. Трифонов А.П., Руднев П.Е. Характеристики оценки фазы сверхширокополосного квазирадиосигнала. // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника, 2011, Т. 54, №4. - С. 3-10.

5. Трифонов А.П., Корчагин Ю.Э., Трифонов М.В., Калашников К.С. Оценка начальной фазы узкополосного радиосигнала с неизвестными амплитудой и длительностью. // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника, 2018, Т. 61, №6. - С. 307-317.

6. Трифонов А.П., Корчагин Ю.Э., Титов К.Д. Оценка амплитуды сверхширокополосного квазирадиосигнала с неизвестной длительностью. // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника, 2017, Т. 60, №8. - С. 460-471.

7. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь. 1982. - 624 с.

8. Трифонов А.П., Бутейко В.К. Характеристики совместных оценок параметров сигнала при частичном нарушении условий регулярности. // Радиотехника и электроника, 1991, Т. 36, №2. - С. 319-327.

9. Трифонов А.П., Корчагин Ю.Э., Титов К.Д. Оценка длительности сверхширокополосного квазирадиосигнала. // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника, 2011, Т. 60, №8. - С. 460-471.

Размещено на Allbest.ru