Комбинированный алгоритм оценки координат в многопозиционной дальномерной навигационной системе

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

(ГУАП)

А.А. Монаков

Санкт-Петербург, Россия

Аннотация

В многопозиционных дальномерных навигационных системах, к которым относятся спутниковые системы навигации и системы мультилатерации, важной задачей является синтез эффективного алгоритма оценки местоположения объекта, который должен сочетать высокую точность оценивания и простоту реализации. Максимальной простотой реализации отличаются прямые алгоритмы оценивания, которые не используют итерационные методы поиска решения. Среди этих методов наибольшую известность приобрел алгоритм Банкрофта. Однако этот алгоритм имеет существенный недостаток, заключающийся в том, что получающаяся оценка не является однозначной. В статье предлагается комбинированный алгоритм, который сочетает вычислительные особенности алгоритма Банкрофта и алгоритма, основанного на использовании суммы и разности псевдодальностей. Последний алгоритм, названный суммарно-разностным, используется для грубого оценивания лоренцевой нормы вектора неизвестных параметров. Полученная грубая оценка позволяет определить истинную оценку местоположения объекта без привлечения дополнительной информации. Математическое моделирование показывает, что предлагаемый алгоритм имеет одинаковую с алгоритмом Банкрофта точность оценивания. Вместе с этим его реализация не требует существенного увеличения вычислительных затрат.

Ключевые слова: оценка местоположения объекта, многопозиционная дальномерная навигационная система, алгоритм Банкрофта.

A.A. Monakov. Combined positioning algorithm for a multipositional range-based navigation system

Abstract. In multi-positional range-based navigation systems, which include satellite navigation systems and multilateration systems, an important problem is the synthesis of an effective positioning algorithm, which should combine high accuracy of estimation and ease of implementation. Direct algorithms possess the maximum ease of implementation because they do not use iterative methods to seek a solution. Among these methods, the Bancroft algorithm has become the most famous. However, this algorithm has a significant disadvantage because the resulting solution is ambiguous. The article proposes a combined algorithm that combines the computational virtues of the Bancroft algorithm and an algorithm based on the use of the sum and difference of pseudoranges. The latter algorithm, called the sum-difference algorithm, is used for the rough estimation of the Lorentz norm of the vector of unknown parameters. The resulting rough estimate allows to determine the true position estimate of the object without using additional external information. Mathematical simulation proves the proposed algorithm has the same estimation accuracy with the Bancroft algorithm. At the same time, its implementation does not require any significant increase of the computational costs.

Keywords: position estimation of the object, multi-positioning range-based navigation system, the Bancroft algorithm.

Введение

Многопозиционные радионавигационные системы (МПРНС) оценки местоположения объектов в пространстве получили в настоящее время широкое распространение и стали серьезными конкурентами радиолокационных комплексов управления воздушным движением (УВД) [1]. В зависимости от масштаба решаемых задач МПРНС делятся на локальные (системы мультилатерации типа MLAT), и глобальные (спутниковые навигационные системы (СНС), системы мультилатерации типа WAM).

Одной из проблем при создании МПРНС является синтез эффективных алгоритмов оценки местоположения (МП) объектов в пространстве. Эта проблема не является новой в радионавигации, поскольку она ранее встречалась при разработке систем дальней навигации [2]. В соответствии с [3] принято выделять три класса методов оценки МП в МПРНС: статистические (statistical), численные (numerical) и алгебраические (algebraic). Статистические методы [4-6] учитывают случайный характер оценок радионавигационных параметров и предполагают синтез оценок МП на основе метода максимального правдоподобия. Эти методы наиболее близки к оптимальным, однако они не позволяют получить прямое решение и требуют применения оптимального поиска экстремума достаточно сложной целевой функции в пространстве, размерность которого равна числу координат объекта. Численные методы [7-10] используют методы оптимального поиска решения некоторой оптимизационной задачи, однако в отличие от статистических методов поиск проходит в пространстве меньшей размерности при простой (как правило, квадратической) целевой функции. Оценки, получаемые этими методами, в общем случае являются смещенными и неоптимальными в статистическом смысле. Алгебраические методы [11-14] не учитывают вероятностный характер данных, однако они являются прямыми, поскольку позволяю получить оценки координат объекта путем решения некоторой линейной, в общем случае переопределенной, системы уравнений. Последнее делает данные методы особенно привлекательными для практического применения, несмотря на то, что методы данной категории не могут претендовать на оптимальность.

В статьях [15-17] рассматривались алгоритмы оценки МП объектов для активного режима работы МПРНС. В этих работах синтезирован алгоритм, который для получения грубой оценки МП использует один из наиболее эффективных алгебраических алгоритмов _ алгоритм Банкрофта (Bancroft) [11]. Этот алгоритм первоначально был предложен для определения МП объекта в СНС [12]. Для получения конечной оценки МП используется один из статистических методов _ метод линеаризации системы уравнений наблюдения, связывающих координаты объекта и результаты измерений радионавигационных параметров. Привлекательной стороной этого алгоритма является его простота и малый объем вычислений при реализации, поскольку оценка МП получается путем решения линейной системы уравнений. Вместе с тем алгоритм Банкрофта имеет существенный недостаток, заключающийся в том, что оценка МП получается в результате решения квадратного уравнения и поэтому не является однозначной. Алгоритм требует применения специальной процедуры для выбора правильного решения. В [17] синтезирован алгоритм, названный суммарно-разностным (СР-алгоритм). Этот алгоритм не требует решения квадратного уравнений. Оценка координат объекта получается путем решения линейной системы уравнений. Однако точностью предложенного алгоритма хуже, чем у алгоритма Банкрофта. Поэтому в [17] предложено уточнять полученное решение итерационным методом. Точность оценки МП объекта предлагаемым алгоритмом, как показали исследования, соответствует точности алгоритма Банкрофта.

В настоящей статье предлагается новый, комбинированный алгоритм (К-алгоритм), реализация которого основана на использовании СР-оценки МП для приближенного решения квадратного уравнения в алгоритме Банкрофта. Точность получаемой оценки близка к границе Крамера _ Рао для поставленной задачи.

Статья построена следующим образом. В первом разделе даются краткие описания СР-алгоритма и алгоритма Банкрофта, а также приведен синтез нового алгоритма оценки МП объекта, который сочетает в себе простоту вычислений метода Банкрофта и в то же время дает единственное решение. Во втором разделе дается анализ точности получаемой оценки. Статья заканчивается выводами по работе.

Алгоритм Банкрофта, суммарно-разностный и комбинированный алгоритмы

Рассмотрим МПСН, которая содержит множество опорных приемных станций (ОПС), пространственные координаты которых известны с высокой точностью в некоторой трехмерной системе координат (см. рис. 1). Пусть запросчик, которым может быть один из вторичных радиолокаторов системы УВД, излучает в момент времени запросный сигнал. Если МП объекта соответствует радиус-вектор , а МП запросчика _ , то приемник объекта примет запросный сигнал в момент времени , где _ длина вектора , _ скорость света. Бортовой ответчик объекта излучает ответный сигнал через время , которое обычно равно 3 мкс. Это время необходимо ответчику, чтобы обнаружить и дешифрировать запросный сигнал.

Ответный сигнал придет в точку расположения -го приемника в момент времени , где _ длина вектора (см. рис. 1). Таким образом, при отсутствии ошибок измерения дальностей и строгом синхронизме часов ОПС, в них будут вычислены псевдодальности , где _ разность хода часов запросчика и МПНС, _ предполагаемое в системе время излучения запросного сигнала. Располагая множеством псевдодальностей , получим систему уравнений вида

, (1)

решение которой относительно четырех неизвестных позволит решить задачу оценки МП объекта.

Рис. 1. Геометрия задачи оценки МП в МПСН

Алгоритм Банкрофта

Перепишем систему уравнений (1) в виде

, (2)

где _ оценка псевдодальности. Можно считать, что в системе (2) неизвестными являются радиус-вектор МП объекта и параметр .

Перенеся в правую часть уравнений (2) и возведя в квадрат обе части, систему можно представить в виде

. (3)

Введем следующие векторы и матрицы:

и перепишем (3) в матричном виде:

. (4)

Здесь и _ скалярные произведения Лоренца [12]. Для действительных векторов и скалярное произведение Лоренца равно .

Уравнение (4) связывает неизвестный вектор и величину . В то же время, параметр _ скаляр. Поэтому вектор является суммой двух векторов:

(5)

где _ левая псевдообратная матрица матрицы , и . Учитывая, что , из (5) получим следующее квадратное уравнение для :

, (6)

где , , которое имеет два решения

(7)

Один из корней (7) соответствует истинному решению системы, другой - ложному. Данный алгоритм решения впервые был предложен С. Банкрофтом для оценки МП объектов в СНС.

Суммарно-разностный алгоритм

алгоритм банкрофт местоположение дальномерный навигационный

Вернемся к системе уравнений (2). Вычтем и сложим уравнения с номерами с первым уравнением системы:

(8)

После перемножения уравнений получим систему

(9)

Система (9) является основанием для синтеза предлагаемого алгоритма. Поскольку в основе системы (9) лежат уравнения (8), предлагаемый алгоритм был назван в [17] суммарно-разностным. Учитывая, что , система (9) может быть записана в виде

. (10)

Система уравнений (10) является линейной относительно вектора :

, (11)

где , _ скалярные произведения Лоренца. Решение системы (11) равно

, (12)

где _ левая псевдообратная матрица матрицы . В отличие от алгоритма Банкрофта решение (12) единственно.

Комбинированный алгоритм

Используем полученную СР-оценку (12) для грубого определения истинного корня квадратного уравнения (6):

. (13)

Тогда, подставляя в левую часть уравнения (6) и ограничиваясь членами нулевого и первого порядка малости, получим линейное уравнение относительно :

,

решая которое, уточняем значение корня

.

Подставляя полученное значение в уравнение (5)

, (14)

найдем оценку МП объекта. Векторы и находятся так же, как и в алгоритме Банкрофта. При необходимости можно повторить вычисления, организовав таким образом итерационное вычисление корня . При этом нет необходимости решать линейную систему уравнений (11).

Предлагаемый К-алгоритм не требует решения квадратного уравнения и выбора корня, соответствующего истинному решению. Этим он выгодным образом отличается от алгоритма Банкрофта.

1.

2. Результаты математического моделирования

Оценим точностные характеристики алгоритма Банкрофта и К-алгоритма и сравним их с потенциально достижимой точностью оценивания МП объекта, которая была определена в [17]. Проделать эти вычисления аналитически вряд ли возможно, поэтому воспользуемся методом математического моделирования. В ходе работы над статьей был сделан следующий машинный эксперимент. Десять () ОПС случайным образом располагались на окружности диаметром 10 км. В центре окружности помещался запросчик. Объект случайным образом размещался внутри окружности. Измерения расстояний производились с ошибками, статистические характеристики которых соответствовали СКО ошибки измерения псевдодальности и СКО ошибки синхронизации часов ОПС .

Рис. 2. Результаты моделирования алгоритма Банкрофта

Рис. 3. Результаты моделирования К-алгоритма

Результаты оценки МП по испытаний приведены на рисунке 2 для алгоритма Банкрофта и рисунке 3 для К-алгоритма. На рисунках точечными линиями представлены эллипсы ошибок (ЭО), построенные по результатам оценки корреляционной матрицы ошибок и соответствующие вероятности попадания отметок объекта вовнутрь эллипса . Пунктирным кривым на рисунках соответствуют такие же эллипсы для потенциальной точности оценки [17].

Рисунки 2 и 3 практически полностью совпадают. Таким образом, точность предлагаемого К-алгоритма равна точности алгоритма Банкрофта и близка к потенциально достижимой (границе Крамера - Рао). Вместе с тем, предлагаемый алгоритм полностью освобожден от необходимости решения квадратного уравнения и выбора корня, соответствующего правильному решению.

Заключение

В системах мультилатерации для оценки местоположения объектов используется алгоритм Банкрофта. Этот алгоритм позволяет прямым способом получить оценку местоположения и не требует значительных вычислительных затрат. Это выгодно отличает его от алгоритмов, работающих на основе решения оптимизационных задач. Результаты математического моделирования показывают, что точность получаемых с помощью алгоритма оценок близка к потенциально достижимой. Однако реализация алгоритма требует решения квадратного уравнения и выбора корня, соответствующего правильному решению. В статье предлагается новый алгоритм оценки местоположения объектов, названный в статье комбинированным (К-алгоритм), поскольку представляет собой сочетание алгоритма Банкрофта и СР-алгоритма. К-алгоритм имеет точность равную точности алгоритма Банкрофта.

В то же время получающаяся оценка является однозначной, поскольку для её получения не надо решать квадратные уравнения и применять процедуры разрешения неоднозначности. Оба алгоритма имеют примерно одинаковую вычислительную сложность. Кроме того, как показали исследования, алгоритм Банкрофта является чувствительным к ошибкам в задании истинных координат опорных приемных станций: при незначительных ошибках в знании координат станций часто возникают ситуации, когда дискриминант квадратного уравнения принимает отрицательные значения, что делает абсолютно невозможным оценку местоположения объекта. В то же время К-алгоритм сохраняет свою работоспособность и в этих условиях.

Литература

1. “Multilateration (MLAT) Concept of Use”, Edition 1, ICAO Asia and Pacific Office, September 2007

2. Torrieri D.J. Statistical theory of passive location systems. // Transactions on Aerospace and Electronic Systems, Mar. 1984, Vol. AES-20. - Pp. 183_198.

3. Mantilla-Gaviria I.A., Leonardi M., Galati G., Balbastre-Tejedor J.V. Localization algorithms for multilateration (MLAT) systems in airport surface surveillance. // Signal, Image and Video Processing, Oct. 2015, Vol. 9. - Pp. 1549-1558.

4. Foy W.H. Position-location solutions by Taylor series estimation. // IEEE Transaction Aerospace and Electronic Systems, Mar. 1976, Vol. AES-12. - Pp. 187-194.

5. Mantilla-Gaviria I.A., Leonardi M., Galati G., Balbastre-Tejedor J.V., Reyes E.D.L. Efficient location strategy for airport surveillance using mode-s multilateration systems. // International Journal of Microwave and Wireless Technologies, 2012, Vol. 4. Pp. 209-216.

6. Mantilla-Gaviria I.A., Leonardi M., Balbastre-Tejedor J.V., Reyes E.D.L. On the application of singular value decomposition and Tikhonov regularization to ill-posed problems in hyperbolic passive location. // Mathematical and Computer Modelling, 2012, Available online from 21 Mar. 2012.

7. Smith J.O., Abel J.S. The spherical interpolation method of source localization. // IEEE Journal of Oceanic Engineering, Jan. 1987, Vol. OE-12. - Pp. 246-252.

8. Friedlander B.A passive algorithm and its accuracy analysis. // IEEE Journal of Oceanic Engineering, Jan. 1987, Vol. OE-12. - Pp. 234-245.

9. Schau H.C., Robinson A.Z. Passive source localization employing intersecting spherical surfaces from time-of-arrival differences. // IEEE Transaction on Acoustics, Speech and Signal Processing, Aug. 1987, Vol. ASSP-35. - Pp. 1223-1225.

10. Chan Y.T., Ho K.C.A simple and efficient estimator for hyperbolic location. // IEEE Transaction on Signal Processing, Aug. 1994, Vol. SP-42. - Pp. 1905-1915.

11. Geyer M., Daskalakis A. Solving passive multilateration equations using Bancroft's algorithm. In: Digital Avionics Systems Conference, Bellevue, WA, USA, 1998. - Pp. F41/41-F41/48.

12. Bancroft S. An Algebraic Solution of the GPS Equations. // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, Nov. 1985, Vol. AES-21. - Pp. 56_59.

13. Bakhoum E.G. Closed-Form Solution of Hyperbolic Geolocation Equations. // IEEE Transactions on Aerospace and Electronics Systems, Oct. 2006, Vol. AES_42. - Pp. 1396_1404.

14. Leonardi M., Mathias A., Galati G. Two Efficient Localization Algorithms for Multilateration. // International Journal of Microwave and Wireless Technologies, 2009, Vol. 1, №3. - Pp. 223-229.

15. Монаков А.А. Алгоритм оценки местоположения объекта в активных системах мультилатерации // XXIV Междунар. научн.-техн. конф. «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 17-19 апр. 2018 г. / Воронеж, 2018. Т. 3. С. 134-142.

16. Монаков А.А. Модифицированный алгоритм Банкрофта для систем мультилатерации. // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2018, №1. - С. 50-55.

17. Монаков А.А. Алгоритм оценки координат объектов для систем мультилатерации. // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2018. №4. - С. 38-46.

References

1. “Multilateration (MLAT) Concept of Use”, Edition 1, ICAO Asia and Pacific Office, September 2007

2. Torrieri D.J. Statistical theory of passive location systems. // Transactions on Aerospace and Electronic Systems, Mar. 1984, Vol. AES-20. - Pp. 183_198.

3. Mantilla-Gaviria I.A., Leonardi M., Galati G., Balbastre-Tejedor J.V. Localization algorithms for multilateration (MLAT) systems in airport surface surveillance. // Signal, Image and Video Processing, Oct. 2015, Vol. 9. - Pp. 1549-1558.

4. Foy W.H. Position-location solutions by Taylor series estimation. // IEEE Transaction Aerospace and Electronic Systems, Mar. 1976, Vol. AES-12. - Pp. 187-194.

5. Mantilla-Gaviria I.A., Leonardi M., Galati G., Balbastre-Tejedor J.V., Reyes E.D.L. Efficient location strategy for airport surveillance using mode-s multilateration systems. // International Journal of Microwave and Wireless Technologies, 2012, Vol. 4. Pp. 209-216.

6. Mantilla-Gaviria I.A., Leonardi M., Balbastre-Tejedor J.V., Reyes E.D.L. On the application of singular value decomposition and Tikhonov regularization to ill-posed problems in hyperbolic passive location. // Mathematical and Computer Modelling, 2012, Available online from 21 Mar. 2012.

7. Smith J.O., Abel J.S. The spherical interpolation method of source localization. // IEEE Journal of Oceanic Engineering, Jan. 1987, Vol. OE-12. - Pp. 246-252.

8. Friedlander B.A passive algorithm and its accuracy analysis. // IEEE Journal of Oceanic Engineering, Jan. 1987, Vol. OE-12. - Pp. 234-245.

9. Schau H.C., Robinson A.Z. Passive source localization employing intersecting spherical surfaces from time-of-arrival differences. // IEEE Transaction on Acoustics, Speech and Signal Processing, Aug. 1987, Vol. ASSP-35. - Pp. 1223-1225.

10. Chan Y.T., Ho K.C.A simple and efficient estimator for hyperbolic location. // IEEE Transaction on Signal Processing, Aug. 1994, Vol. SP-42. - Pp. 1905-1915.

11. Geyer M., Daskalakis A. Solving passive multilateration equations using Bancroft's algorithm. In: Digital Avionics Systems Conference, Bellevue, WA, USA, 1998. - Pp. F41/41-F41/48.

12. Bancroft S. An Algebraic Solution of the GPS Equations. // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, Nov. 1985, Vol. AES-21. - Pp. 56_59.

13. Bakhoum E.G. Closed-Form Solution of Hyperbolic Geolocation Equations. // IEEE Transactions on Aerospace and Electronics Systems, Oct. 2006, Vol. AES_42. - Pp. 1396_1404.

14. Leonardi M., Mathias A., Galati G. Two Efficient Localization Algorithms for Multilateration. // International Journal of Microwave and Wireless Technologies, 2009, Vol. 1, №3. - Pp. 223-229.

15. Monakov A.A. An algorithm for positioning in multilateration systems. // XXIV International scientific conference “Radiolocation, Navigation and Communication”, April 17-19 2018, Voronezh, vol. 3. _ Pp. 134-142.

16. Monakov A.A. Modified Bancroft Algorithm for Multilateration System. // Journal of Russian Universities. Radioelectronics, 2018, No. 1. - Pp. 50-55.

17. Monakov A.A. Localization Algorithm for Multilateration Systems. // Journal of Russian Universities. Radioelectronics. 2018, No. 4. - Pp. 38-46.

Размещено на allbest.ru