Максимально правдоподобный алгоритм определения координат и угловой ориентации бортовой пеленгаторной антенны по результатам радиопеленгования реперных источников радиоизлучения

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

ВУНЦ ВВС «ВВА»

АО «Концерн «Созвездие»

Максимально правдоподобный алгоритм определения координат и угловой ориентации бортовой пеленгаторной антенны по результатам радиопеленгования реперных источников радиоизлучения

А.Д. Виноградов

А.Ю. Востров

И.С. Дмитриев

Воронеж, Россия

Аннотация

В докладе рассмотрена задача определения координат и угловой ориентации бортовой пеленгаторной антенны, размещенной на подвижном объекте воздушного базирования, по результатам азимутально-угломестного радиопеленгования реперных источников радиоизлучения.

Ключевые слова: азимутально-угломестное радиопеленгование, ошибки радиопеленгования, пространственная ориентация, декартова система координат, курс, тангаж, крен, матрица вращения, функция максимального правдоподобия.

A.D. Vinogradov, A.Yu. Vostrov, I.S. Dmitriev. Maximum-likelihood algorithm of determining on-board direction-finder antenna coordinates and angular orientation based on radio direction-finding of reference radio-emission sources

Abstract. Considered the task of determining the coordinates and angular orientation of an on-board direction finding antenna placed on a mobile air-based object based on the results of the azimuth-elevation radio direction finding of reference radio-emission sources.

Keywords: azimuth-elevation radio direction finding, error of a radio direction finding, spatial orientation, rectangular coordinate system, yaw, pitch, roll, rotation matrix, maximum likelihood function.

Введение

Для определения с высокой точностью координат и угловой ориентации летательных аппаратов и размещенной на них аппаратуры (в частности, бортовых пеленгаторных антенн) в настоящее время используются спутниковые радионавигационные системы [1, 2]. В условиях потери сигналов спутниковых радионавигационных систем координаты и угловая ориентация подвижных объектов могут быть определены с использованием бортовых автономных навигационных датчиков и систем (инерциальных, геомагнитных) [3, 4]. Недостатком автономной навигации является ухудшение точности определения навигационных параметров при увеличении интервала времени с момента калибровки датчиков или систем [3, 4].

В случае размещения на подвижном объекте радиопеленгатора с бортовой пеленгаторной антенной (БПА), обеспечивающей возможность определения азимута и угла места источников радиоизлучения (ИРИ) с известными координатами (реперных ИРИ - РИРИ), координаты в пространстве и угловая ориентация как БПА, так и подвижного объекта, на котором размещена БПА, могут быть определены угломерным методом на основе использования результатов радиопеленгования РИРИ в азимутальной и угломестной плоскостях. При этом точность определения навигационных параметров БПА и подвижного объекта, на котором размещена БПА, определяется как точностью радиопеленгования бортового азимутально-угломестного радиопеленгатора, так и взаимным пространственным расположением БПА и РИРИ. В известных работах по радионавигации [5-10] возможность определения координат в пространстве и угловой ориентации подвижного объекта путем азимутально-угломестного радиопеленгования с борта подвижного объекта РИРИ не рассматривалась. Поэтому представляется целесообразным исследовать возможность и оценить потенциальную точность определения координат и угловой ориентации БПА, размещенной на подвижном объекте, по результатам азимутально-угломестного радиопеленгования РИРИ с использованием и без использования инклинометра и бортового высотомера при различном пространственном расположении БПА и РИРИ. Одним из методов решения вышеупомянутой задачи, позволяющим получить оценки координат и угловой ориентации БПА, является метод максимального правдоподобия.

Постановка задачи и основные определения

Будем считать, что РИРИ размещены в i-х точках пространства (где ) с известными координатами в нормальной Земной системе координат (НЗСК) , представляющей собой левую пространственную прямоугольную декартову систему координат, начало O которой фиксировано по отношению к Земле, ось абсцисс OX которой, находящаяся в горизонтальной плоскости, совпадает с северным направлением вертикальной линии координатной сетки плоской прямоугольной системы координат, ось аппликат OZ которой перпендикулярна горизонтальной плоскости и направлена вверх по вертикали, а ось ординат OY которой, находящаяся в горизонтальной плоскости XOY, дополняет систему до левой пространственной прямоугольной декартовой системы координат [11]. Будем полагать, что за начало отсчета по оси OZ принята Балтийская система высот. Отсчет углов при радиопеленговании РИРИ с борта подвижного объекта, на котором размещена БПА, осуществляется в связанной системе координат БПА , представляющей собой левую пространственную прямоугольную декартову систему координат, начало O' которой помещено в фазовом центре (ФЦ) БПА, осями которой являются продольная, поперечная и нормальная осевые линии БПА, являющиеся осями абсцисс O'X', ординат O'Y' и аппликат O'Z' соответственно [12]. Угловая ориентация БПА и связанного с ней подвижного объекта относительно однозначно определяется матрицей вращения размера 3Ч3 направляющих косинусов осей относительно осей , которая однозначно определяется тремя углами Эйлера: углом курса - ш, тангажа - м и крена - ? [12, 13].

ш - угол курса БПА представляет собой угол между проекцией на горизонтальную плоскость положительного направления продольной осевой линии БПА и расположенной в горизонтальной плоскости линией совпадающей с вертикальной линией координатной сетки , проходящей через принятый за начало отсчета ФЦ БПА, измеряемый в градусах в пределах от 0° до 360° и отсчитываемый от вышеупомянутой линии по ходу часовой стрелки если смотреть в направлении вниз по вертикали, проходящей через ФЦ БПА.

м - угол тангажа БПА представляет собой угол между продольной осевой линией БПА и проходящей через ФЦ БПА горизонтальной плоскостью, измеряемый в градусах в пределах от 0° до ±90°, отсчитываемый от горизонтальной плоскости с положительным или отрицательным знаками в случае если положительное направление продольной осевой линией БПА находится соответственно выше или ниже горизонтальной плоскости.

? - угол крена БПА представляет собой угол между поперечной осевой линией БПА и осью ординат подвижной НЗСК (ПНЗСК отличается от НЗСК тем что её начало помещено в ФЦ БПА), смещенной в положение, при котором угол курса БПА равен нулю. Угол крена БПА измеряется в градусах в пределах от 0° до ±90° и отсчитывается от оси ординат ПНЗСК с положительным или отрицательным знаками в случае если положительное направление оси ординат ПНЗСК совмещается с положительным направлением поперечной осевой линии БПА поворотом вокруг продольной осевой линии БПА соответственно по ходу или против хода часовой стрелки если смотреть в положительном направлении продольной осевой линии БПА.

В рассматриваемой задаче, упомянутая выше матрица вращения, имеет вид:

(1)

Азимутально-угломестный пеленгатор представляет собой совокупность пеленгаторной антенной решетки и фидеров многоканального цифрового радиоприемного устройства, с помощью которых осуществляется прием и преобразование электромагнитного поля радиоволны в информацию о направлении прихода радиоволны от ИРИ к ФЦ пеленгатора [12]. Азимутально-угломестный пеленгатор при соосном размещении его антенной системы на объекте измеряет направление на ИРИ в объекта в виде азимута б и угла места е.

б - азимут представляет собой угол между проекцией направления от ФЦ БПА на ИРИ на плоскость, содержащую продольную и поперечную осевые линии БПА и положительным направлением продольной осевой линии БПА, измеряемый в градусах в пределах от 0° до 360° и отсчитываемый от положительного направления продольной осевой линии БПА по ходу часовой стрелки если смотреть в направлении навстречу положительному направлению нормальной осевой линии БПА.

е - угол места определяется как угол между направлением от ФЦ БПА на ИРИ и проекцией вышеупомянутого направления на азимутальную плоскость, в которой размещены продольная и поперечная осевые линии БПА, измеряемый в градусах в пределах от 0° до ±90°, отсчитываемый от вышеупомянутой проекции на азимутальную плоскость с положительным или отрицательным знаками в случае если ИРИ находится соответственно выше или ниже азимутальной плоскости, проходящей через ФЦ БПА.

Барометрический высотомер - прибор предназначенный для измерения барометрической или относительной высоты полета летательного аппарата. Принцип действия основан на измерении атмосферного давления. В качестве нулевого уровня барометрического высотомера выберем Балтийскую систему высот.

Инклинометр - это прибор, предназначенный для измерения угла наклона различных объектов относительно гравитационного поля Земли. Помимо датчика гравитационного поля Земли инклинометр может содержать датчики геомагнитного поля и гироскопического эффекта, что позволяет помимо углов наклона измерять ещё и направление на магнитный или географический Север.

Введем для нашей задачи вектор состояния объекта - вектор-столбец из 6 скалярных величин, характеризующий местоположение объекта и его ориентацию в 3-мерном пространстве - параметры пространственной ориентации объекта (ППОО):

Этот вектор по условиям задачи неизвестен и подлежит определению через измеряемые с определенной точностью бортовыми системами и датчиками величины: азимут и угол места пеленга на РИРИ, углы ориентации и высоту.

Предположим, что распределение ошибок измерений пеленгатора и автономных датчиков подчиняется закону Гаусса [14].

Определение связей между искомыми и измеряемыми параметрами

Предположим, что объект завис в некоторой точке пространства , тогда направляющие косинусы направления из ФЦ БПА на i-й РИРИ с координатами в выражаются формулой:

.(2)

Направляющие косинусы в связаны с измеренными пеленгатором азимутом б и углом места е на i-й РИРИ [12] соотношением:

.(3)

В свою очередь и связаны через матрицу поворота (1):

.(4)

Следовательно, измеренные пеленгатором объекта в азимут и угол места на известную точку пространства могут быть представлены как функции шести ППОО:

(5)

(6)

Функция правдоподобия и неравенство Рао - Крамера

В математически корректной постановке задача оценивания координат и углов ориентации объекта по измеренным БПА азимутам и углам места на три известные РИРИ есть статистическая задача оценивания неизвестного 6-мерного вектора состояния от которого зависит плотность распределения 6-мерной случайной величины по её однократной выборке [15].

Условная плотность распределения вектора наблюдения при известных координатах радиореперов, координатах местоположения и углах ориентации БПА и центрированном Гауссовском законе распределения ошибок имеет вид:

, (7)

где - ковариационная матрица элементов вектора наблюдения ; - вектор ошибок наблюдения, - величина i-го элемента вектора наблюдения выраженная через элементы вектора состояния, ошибки радиопеленгования i-го РИРИ по азимуту или углу места , с учетом цикличности тригонометрических функций, имеют вид:

(8)

(9)

Из (7) можно составить неравенство Рао - Крамера, чтобы получить выражение для нижней границы ковариационной матрицы ошибок вектора состояния. Согласно [14] искомая ковариационная матрица удовлетворяет неравенству:

(10)

которое следует понимать как положительную определенность матрицы [15], где J - информационная матрица Фишера размера 6Ч6:

где - оператор математического ожидания [15].

Диагональные элементы матрицы , удовлетворяющей (10), определяют нижние границы дисперсий ошибок оценивания ППОО при заданных , и .

Положим, что - любой из ППОО, тогда частные производные логарифма функции (8) для элементов по параметрам имеют вид:

Для математического ожидания элемента j-й строки, k-го столбца информационной матрицы Фишера справедливо выражение:

Поскольку элементы примут вид:

(11)

где j = 1 ... 6, k = 1 ... 6, , а частные производные функций (8) и (9) имеют вид:

(12)

(13)

где частные производные элементов вектора направляющих косинусов на i-й РИРИ в по j-му ППОО выражаются формулами:

(14)

где j = 1 ... 3, k = 1 ... 3, , , - элемент m-й строки n-го столбца матрицы (1);

(15)

где j = 1 ... 3, k = 1 ... 3, , , - элемент m-й строки n-го столбца матрицы (1); - частная производная по переменной элемента m-й строки и n-го столбца матрицы (1):

Частные производные (12) и (13) по параметрам , согласно (14) обратно пропорциональны расстоянию от объекта до i-го РИРИ. Если рассматривать это расстояние как длину ребра тетраэдра, в вершинах которого находятся объект и РИРИ, то в подобном ему тетраэдре длинна ребра будет отличаться в раз [15], где - коэффициент подобия. Очевидно, что для подобного тетраэдра соответствующие , , будут отличаться в раз, а, согласно (11), соответствующие СКО определения координат в раз. Из (15) следует, что СКО определения углов ориентации объекта от не зависит.

азимутальный угломестный пеленгация летательный аппарат

Вычисление ППОО по результатам пеленгации РИРИ

Так как согласно (4) и связаны через матрицу поворота (1), при наличии неколлинеарных направляющих косинусов пеленгов на три РИРИ в и в матрица поворота и описывающие её углы могут быть однозначно вычислены. Поскольку однозначно определяется измеряемыми параметрами и для вычисления углов ориентации достаточно определить координаты объекта.

Для постановки и решения задачи определения координат объекта можно воспользоваться следующей интерпретацией исходных данных: при отсутствии погрешностей измерений пеленгатора для пары пеленгов на разнесенные в пространстве РИРИ все множество возможных значений координат местоположения объекта образует поверхность вращения, показанную на рисунке 1 а), для каждой точки этой поверхности угол между векторами, направленными из этой точки в сторону пары РИРИ равен углу между соответствующими пеленгами [15]. Если реперов будет три и они не будут лежать на одной прямой, тогда три подобные поверхности будут пересекаться в двух точках, симметричных относительно плоскости, образованной тремя РИРИ, как это показано на рисунке 1 б). Одна из точек соответствует действительному местоположению объекта, вторая точка является ложным решением. На рисунке 1 местоположение РИРИ обозначено треугольником с вершиной направленной вверх, предполагаемое положение объекта - треугольником с вершиной направленной вниз.

Рис. 1. Геометрическая интерпретация задачи местоопределения

Исходя из геометрической интерпретации задачи запишем систему уравнений, решением которого являются координаты местоположения объекта:

(16)

где мерой угла между направляющими косинусами пеленгов в и в является их скалярное произведение [15].

Система из трех уравнений при трех неизвестных является совместной, т.е. существуют такие при которых (16) обращается в тождественное равенство. Для решения этой задачи можно применить методы численной оптимизации, например, метод Ньютона или симплекс-метод для функции вида.

. (17)

Когда найдена одна из точек (обозначим её ), вторая может быть найдена из условия, что точки расположены зеркально относительно плоскости РИРИ по формуле:

,

,

,

,

,

,

где d - расстояние от до плоскости РИРИ

A, B, C и D - её коэффициенты.

Для определения истиной точки местоположения можно использовать показания высотомера, выбирая точку, у которой значение высоты ближе к показаниям высотомера. Когда координаты местоположения объекта определены, в силу (4) матрица K может быть однозначно вычислена по формуле:

,

где и - неколлинеарные направляющие косинусы, вычисленные по (2) и (3) соответственно.

Углы ориентации согласно (1) можно вычислить по формулам:

,

,

.

Вычисление ППОО с учетом показаний автономных датчиков

Использование измеряемых автономными датчиками величин приводит к тому, что задача вычисления ППОО становится переопределенной и с математически корректной точки зрения необходимо использовать вероятностный подход при постановке задачи. Размерность вектора наблюдения увеличится до 10 элементов: . Функция правдоподобия, учитывающая показания автономных датчиков, есть условная плотность вероятности вида:

(18)

где - ковариационная матрица элементов вектора наблюдения , ошибки автономных датчиков определяются формулами: , , , , при этом разность углов следует заменять, например, на .

В [16] показано что при наличии сведений о вероятностных свойствах измеряемых и оцениваемых величин целесообразно использовать метод максимального правдоподобия. Максимально правдоподобные оценки вектора состояния максимизируют функцию правдоподобия . Для упрощения вычислений можно воспользоваться свойством монотонности логарифмической функции и искать максимум логарифма функции правдоподобия (18), для этого с учетом знака показателя степени экспоненты (18) необходимо найти минимум целевой функции:

(19)

Минимизация функции (19) в пространстве компонент вектора состояния с целью определения наиболее правдоподобных значений этих компонент осуществляется методами численной оптимизации [17]. ППОО, вычисленные по показаниям пеленгатора, могут быть использованы в качестве начальных приближения.

Аналогично (11) информационная матрица Фишера для (18) имеет вид:

(20)

где частные производные аналитического выражения элементов вектора наблюдения, определенного автономными датчиками, через элементы вектора состояния по параметрам имеют вид:

Проведем статистический эксперимент в предположении, что три РИРИ лежат в горизонтальной плоскости и образуют равносторонний треугольник, радиус описанной окружности которого равен 1 км. Используя (10, 11) вычислим СКО определения координат , , , углов наклона , и курса при размещении объекта на высоте 1 км параллельно горизонту над центром описанной окружности, при условии что а ошибки взаимно независимые. Чтобы проверить полученный результат проведем с среде Matlab статистический эксперимент:

1) используя истинные ППОО по (5, 6) вычисляются истинные пеленги на РИРИ;

2) истинные азимут и углы места складывались с гауссовским шумом с и нулевым смещением (функция для генерации случайных величин с гауссовским законом распределения randn [18]);

3) поиск минимума (17) выполнялся функцией fminsearch - симплекс-метод Нелдера - Мида [17, 19], в качестве начального приближения - истинные значения координат объекта, используя полученные координаты вычисляются углы ориентации;

4) пункт 2) - 3) повторялся 10⁵ раз для получения статистической выборки, по которой рассчитывались экспериментальные СКО определения ППОО.

Результаты вычислений представлены в таблице 1.

Таблица 1

Результаты вычисления границы Рао - Крамера и стат. эксперимента

	, м	, м	, м	, град.	, град.	, град.
Граница Рао - Крамера	40,30	40,30	20,15	1,82	1,82	0,57
Стат. эксперимент	41,09	40,89	20,2	1,83	1,86	0,57

Из таблицы 1 видно, что значения оценочных и экспериментальных данных сходятся. Из этого можно заключить, что метод максимального правдоподобия, реализованный в виде минимизации целевой функции (17) симплекс методом Нелдера - Мида обеспечивает достижение нижней границы Рао - Крамера.

Из (11) следует, что чем точнее используется датчик, тем больше его вклад в значение , следовательно, с учетом (10), тем меньше ошибка определения соответствующего параметра. Справедливо и обратное утверждение. Предположим, что при прочих равных условиях для определения ППОО будет дополнительно использоваться высотомер и инклинометр, обладающие, например, такой же точность, с которой высота и углы ориентации определяются по результатам пеленгования (см. таблицу 1). Из (10, 20) следует, что результирующая СКО будет в раз меньше. Проведем расчет по (10, 20) и аналогично выполним статистический эксперимент используя целевую функцию (19) для её минимизации по шести параметрам ППОО, при условии что показания высотомера и инклинометра будут складываться из истинных значений ППОО и гауссовского шума с заданным СКО и нулевым смещением. Результаты вычислений представлены в таблице 2.

Таблица 2. Результаты вычисления границы Рао - Крамера и стат. эксперимента

	, м	, м	, м	, град.	, град.	, град.
Граница Рао - Крамера	29,85	29,85	14,24	1,28	1,28	0,4
Стат. эксперимент	30,51	29,96	14,27	1,28	1,3	0,41

Данные таблицы 2, подтверждают что при использовании автономных датчиков точности определения ППОО увеличивается.

Зависимость СКО ППОО от положения объекта и расположения РИРИ

Предположим, что три РИРИ лежат в горизонтальной плоскости и образуют равносторонний треугольник, радиус описанной окружности которого равен 5 км. Используя (10, 11) вычислим СКО определения координат , углов наклона и курса при перемещении объекта на высоте 5 км параллельно горизонту. Результаты представлены на рисунках 2 - 4. Поскольку по условию проведения эксперимента , то согласно (10, 11) на представленных ниже рисунках графики показывают нормированные к значениям или СКО определения ППОО.

На рисунках 2 - 4 видно, что наименьшую ошибку при определении ППОО можно получить, когда проекция объекта (как материальной точки) на плоскость реперов лежит внутри указанного треугольника. С удалением проекции точки от треугольника РИРИ величина ошибки определения ППОО возрастает. Особой зоной является пространство возле окружности проходящей через три РИРИ. Вблизи неё ошибка определения координат и углов резко возрастает.

Рис. 2. Нормированное к значению СКО определения координат, м/град.

Рис. 3. Нормированное к значению СКО определения углов наклона, град./град.

Рис. 4. Нормированное к значению СКО определения курса, град./град.

Если сравнивать различные треугольники, вершинами которых являются РИРИ при их различной пространственной конфигурации, при этом полагая что радиус окружности, проходящий через их вершины одинаковый, наименьшую ошибку при определении ППОО можно получить, когда РИРИ образуют равносторонний треугольник лежащий в горизонтальной плоскости.

В таблице 3 представлена численная зависимость величин СКО определения ППОО, в зависимости от точности пеленгования РИРИ и высоты расположения объекта над плоскостью РИРИ, при условии что углы наклона азимутальной плоскости объекта к плоскости РИРИ близки к нулю, РИРИ образуют равносторонний треугольник и проекция объекта на плоскость РИРИ находится внутри треугольника не далее половины радиуса описанной окружности от центра. Данные получены из усредненных значений СКО определения ППОО вычисленных по формулам (10, 11).

Таблица 3

Нормированная по точности пеленгования зависимость СКО определения ППОО от высоты расположения объекта над плоскостью РИРИ

Высота, км	, м/град	, град/град	, град/град
0,25	24,5	1,25	0,58
0,5	30,9	1,55	0,58
0,75	42,5	1,99	0,58
1,0	60,5	2,58	0,58
1,25	86,3	3,28	0,58
1,5	122	4,12	0,58
2	231	6,22	0,58

Примечание: R - величина радиуса окружности, проходящей через три РИРИ, измеряется в километрах, в колонке коэффициенты при R имеют размерность м/(км•град).

Заключение

1. Получены аналитические выражения связи параметров пространственной ориентации пеленгатора с азимутом и углом места на радиорепер с известными координатами, а также аналитическое выражение условной плотности вероятности распределения измеренных величин азимутально-угломестных параметров радиореперов с известными координатами в зависимости от параметров пространственной ориентации пеленгатора.

2. Получено аналитическое выражение целевой функции метода максимального правдоподобия для оценивания параметров пространственной ориентации объекта учитывающий показания пеленгатора и автономных датчиков.

3. Из неравенства Рао - Крамера получены аналитические выражения для нижней границы ковариационной матрицы ошибок оценивания параметров пространственной ориентации объекта с учетом пространственной конфигурации реперов, точности их азимутально-угломестного пеленгования и показаний автономных датчиков.

4. Однозначное определение координат и углов ориентации объекта при азимутально-угломестной пеленгации радиореперов с известными координатами возможно при их минимальном количестве равном трем.

5. Определение координат и углов ориентации объекта невозможно, когда проекция объекта на плоскость, образованную тремя радиореперами, находится вблизи окружности, проходящей через эти реперы.

6. Наименьшее СКО параметров пространственной ориентации можно получить, когда проекция объекта на плоскость реперов лежит внутри равностороннего треугольника, образованного этими реперами.

7. Использование вспомогательных автономных датчиков - высотомера и инклинометра позволяет повысить точность определения координат и углов ориентации объекта, в случае когда точность датчиков не хуже точности определения соответствующих параметров пространственной ориентации объекта при пеленгация радиореперов.

8. Статистические эксперименты показали, что минимизация целевой функции симплекс методом Нелдера - Мида позволяет приблизиться к границе Рао - Крамера.

9. Даны количественные оценки точности определения координат и углов ориентации объекта в зависимости от точности пеленгования и высоты расположения объекта над плоскостью радиореперов при наилучшей конфигурации реперов.

Литература

1. Яценков В.С. Основы спутниковой навигации. Система GPS NAVSTAR и ГЛОНАСС. М.: Горячая линия - Телеком, 2005. 272 с.

2. Тяпкин В.Н. Гарин Е.Н. Методы определения навигационных параметров подвижных средств с использованием спутниковой радионавигационной системы ГЛОНАСС: монография. - Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2012. 260 с.

3. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. М.: Наука, 1992. 280 с.

4. Ориентация и навигация подвижных объектов: современные информационные технологии / Под ред. Б.С. Алешина, К.К. Веремеенко, А.И. Черноморского. М.: Физматлит, 2006. 424 с.

5. Белавин О.В. Основы радионавигации. Учебное пособие для вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Сов. радио, 1977. 320 с.

6. Беляевский Л.С., Новиков В.С., Олянюк П.В. Основы радионавигации: Учебник для вузов гражд. авиации. М.: Транспорт, 1982. 288 с.

7. Ярлыков М.С. Статистическая теория радионавигации. М.: Радио и связь, 1985. 344 с.

8. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации: Учебное пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1992. 304 с.

9. Бакулев П.А., Сосновский А.А. Радиолокационные и радионавигационные системы: Учебное пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1994. 296 с.

10. Кондратьев В.С., Котов А.Ф., Марков Л.Н. Многопозиционные радиотехнические системы / под ред. проф. Цветнова В.В. М.: Радио и связь, 1986. 264 с. с ил.

11. Бубнов И.А., Богатов С.Ф., Дубов С.Д., Калинин А.К., Савченко П.Т. Военная топография. М.: Воениздат, 1977. 280 с. с ил.

12. Виноградов А.Д., Востров А.Ю., Дмитриев И.С. Обобщенная структура радиопеленгатора и основные термины, используемые в теории радиопеленгования // Антенны, 2018, №5 (249), С. 5-20.

13. ГОСТ 20058-80 Динамика летательных аппаратов в атмосфере. Термины, определения и обозначения. M.: Издательство стандартов, 1981. 56 с.

14. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Радио и связь, 1982. 624 с.

15. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: 1974. 832 с. с ил.

16. Сейдж Э., Мелс Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М.: Связь, 1976. 496 с. с ил.

17. Банди Б. Методы оптимизации / под ред. В.А. Волынского, пер. с англ. О.В. Шихеевои. М.: Радио и связь, 1988. 128 с. с ил.

18. Документация на функцию MATLAB randn // Официальный сайт MathWorks

19. Документация на функцию MATLAB fminsearch // Официальный сайт MathWorks.

References

1. Yatsenkov V.S. Basics of satellite navigation. GPS system NAVSTAR and GLONASS. M.: Goryachaya liniya - Telekom, 2005. 272 p.

2. Tyapkin V.N. Garin E.N. Methods for determining the navigation parameters of mobiles using the satellite radio navigation system GLONASS: monograph. Krasnoyarsk: Siberian Federal University, 2012. 260 p.

3. Branets V.N., Shmyglevsky I.P. Introduction to the theory of strapdown inertial navigation systems. M.: Nauka, 1992. 280 p.

4. Orientation and navigation of mobile objects: modern information technologies / Ed. B.S. Aleshin, K.K. Veremeenko, A.I. Chernomorskiy. M.: Fizmatlit, 2006. 424 p.

5. Belavib O.V. Basis of radio navigation: stud. book for university. Second edition, revised and enlarged. M.: Sov. radio, 1977. 320 p.

6. Belyaevsky L.S., Novikov V.S., Olianyuk P.V. Basis of radio navigation: stud. book for civil aviation university. M.: Transport. 1982. 288 p.

7. Yarlykov M.S. Statistical theory of radio navigation. M.: Radio i svjaz, 1985. 344 p.

8. Sosulin U.G. Theoretical foundations of radiolocation and radio navigation: stud. book for university. M.: Radio i svjaz, 1992. 304 pages with ill.

9. Bakulev P.A., Сосновский A.A. Radar-location and radio navigation system: stud. book for university. M.: Radio i svjaz, 1994. 296 p.

10. Kondrat'ev V.S., Kotov A.F., Markov L.N. Multipoint radio-technical system / under the ed. of Prof. Tsvetnova V.V. M.: Radio i svjaz, 1986. 264 pages with ill.

11. Bubnov I.A., Bogatov S.F., Dubov S.D., Kalinin A.C., Savchenco P.T. Military topography. M.: Voenizdat, 1977. 280 pages with ill.

12. Vinogradov A.D., Vostrov A.U., Dmitriev I.S. Generalized structure of radio direction-finder and basic terms which is used in radio direction finding theory // Antenny. 2018. № 5 (249). Pp 5-20.

13. GOST 20058-80. Aircraft dynamics in air. Terms definitions and designations. M.: Standart Pub. 1981. 56 p.

14. Tihonov V.I. Statistical radiotechnics. - second edition, revised and enlarged edition. M.: Radio i svjaz, 1982. 624 p.

15. Korn G., Korn T. Mathematical handbook. M.: 1974. 832 pages with ill.

16. Sage E., Melse J. Estimation theory with application to communication and control. М.: Svyaz', 1976. 496 pages with ill.

17. Bunday B. Basic optimization methods / under the ed. of V.A. Volynskiy, tr. from the Eng. by O.V. Shikheyeva. M.: Radio i svjaz, 1988. 128 pages with ill.

18. Documentation at MATLAB function randn // Official site of MathWorks.

19. Documentation at MATLAB function fminsearch // Official site of MathWorks.

Размещено на allbest.ru

...