О некоторых способах оценки анизотропии изображений

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

О некоторых способах оценки анизотропии изображений

Ю.С. Радченко

Аннотация

В работе рассмотрены алгоритмы количественной оценки анизотропии полей (изображений). Предложен подход на основе анализа спектров в ортогональных базисах. Спектральные алгоритмы оценки анизотропии корректны с математической точки зрения, удобны для практической реализации. В работе предложены два вида алгоритмов. Первый основан на энергетическом сравнении верхней и нижней треугольных подматриц двумерной спектральной матрицы блоков изображений. Предложены метрики оценки анизотропии изображения. Другой подход основан на вычислении рангового коэффициента корреляции Спирмена вертикальных и горизонтальных компонент спектральных матриц. Метрика, основанная на ранговом коэффициенте корреляции свободна от ограничений на статистику обрабатываемого изображения и структуру спектров.

Ключевые слова: анизотропия изображения, спектральный анализ поля, метрики оценки анизотропии, корреляция Спирмена.

about SOME METHODS OF estimation of IMAGES ANISOTROPY

Y. S. Radchenko, O. A. Masharova

Voronezh state university (VSU), Voronezh, Russia

Abstract. This paper considers algorithms for quantitative estimation of anisotropy of fields (images). An approach based on the analysis of spectra in orthogonal bases is proposed. Spectral algorithms of estimation of the anisotropy is correct from a mathematical point of view, convenient for practical implementation. In this paper, two types of algorithms are proposed. The first one is based on the energy comparison of the upper and lower triangular submatrices of the two-dimensional spectral matrix of image blocks. Proposed metrics for evaluation of image anisotropy. Another approach is based on the calculation of Spearman's rank correlation coefficient of vertical and horizontal components of spectral matrices. The metric based on the rank correlation coefficient is free from restrictions on the statistics of the processed image and the structure of the spectra.

Keywords:anisotropy of image, a spectral analysis of the field, metrics of estimation of anisotropy, correlation coefficient.

анизотропия изображение матрица

Введение

Реальные изображения, содержащие границы фрагментов, контуры, разнообразные текстуры, являются анизотропными. Оценка ориентации и анизотропии пространственного фрагмента в кадре являются важными задачами цифровой обработке изображений при видеокодировании, трассировке движения объекта и других приложениях [1,2,3]. Исследование анизотропии может быть самостоятельной задачей при обнаружении и распознавании текстур, объектов, границ фрагментов, так и вспомогательной задачей при адаптивной обработке изображений.

Как правило, анизотропия исследуется и оценивается в пиксельном пространстве изображения. Например, в [4,5] строится корреляционный тензор градиента фрагментов изображений. Однако такой подход обладает рядом недостатков. Во-первых, дифференцирование изображений на реальном изображении создает разрывные контуры изображений, так что попутно возникает проблема их сшивания. Во-вторых, при дифференцировании изображения с сопутствующими шумами усиливаются шумы на полученном изображении, от которых нужно избавиться. В-третьих, при видеокодировании используются блочные алгоритмы обработки. Поэтому возникает проблема ложных контуров.

В работе [6]предложен способ оценки анизотропииизображений на основе анализа спектров в некоторых ортогональных базисах: дискретного косинусного- DCT, Уолша-Адамара, чебышевского-GDCT. Эта методика не приводит к математическим неопределенностям при дифференцировании резких краев фрагментов изображений, а также не дает усиления шумов на изображении. Данная работа предлагает новые алгоритмы оценки анизотропии изображений, в том числе непараметрические, основанные на анализе спектров.

Анализ спектров анизотропных двумерных сигналов

Пусть задан двумерный сигнал . Свойства сигнала по координатам различные. В [4,5] это отличие характеризуется компонентами градиента :. Известно, что характеристикой, которая определяет протяженность сигнала, является интервал корреляции, или в двумерном случае область корреляции. Запишем двумерную автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала

.(1)

Для АКФ имеет место пара преобразований

,

.(2)

Спектральная плотность мощности, где - спектр сигнала. В окрестности положения максимума спектральная плотность имеет вид

,(3)

где,

(4)

Как видно из (3) спектральная плотность в окрестности максимума представляет собой квадратичную форму (в сечении - эллипс). Поворот осей с помощью преобразования

(5)

приводит квадратичную форму (3) к каноническому виду

.(6)

Здесь - угол поворота, приводящий к канонической форме

,(7)

, где - корни уравнения

.(8)

Причем,,. Набор параметров характеризует неоднородность сигнала по координатам .

Из пары соотношений для (2) следует, что

,

,(9)

.

Операции интегрирования свободны от вычислительных проблем, свойственных дифференцированию. Кроме того, интегральные преобразования не ухудшают отношения сигнал/шум. Отметим, что характеристики анизотропии, указанные выше, соответствуют характеристикам анизотропии, введенным в [4,5] на основе анализа корреляционного тензора градиента.

Спектральные энергетические метрики

Рассмотрим дискретный цифровой сигнал, вписанный в квадратный блок.Двумерный спектр сигнала можно вычислить при разложении по базису дискретного косинусного преобразования - DCT или дискретного чебышевского преобразования - GDCT [7]. Прямые преобразования DCT и GDCT имеют сходный вид

,(10)

где - двумерный блок отсчетов сигнала- для DCT, или сэмплов для GDCT.

.(11)

Двумерная спектральная матрица в общем случае имеет неоднородную структуру. Для нее целесообразно ввести энергетическую характеристику интегральной анизотропии

. (12)

То есть берется отношение энергии верхней треугольной подматрицы к энергии нижней треугольной подматрицы матрицы.Здесь номер стоки, номер столбца спектральной матрицы. Диагональные элементы матрицы не учитываются. В предельном случае либо , либо. Таким образом, метрика в зависимости от степени анизотропии. Для изотропного поля. Такой разброс значений метрики неудобен для практики. Более удобна метрика

(13)

Очевидно, что. Изотропному полю будет соответствовать значение.Из формул (12)и (13) видно, что метрики и однозначно связаны.

Отметим, что с вычислительной точки зрения вместо удобнее использовать. Введем спектральные параметры

,(14)

Тогда можно ввести метрику, определив отношение данных величин как

,(15)

По значению мы можем судить о величине и направлении анизотропии. Если , то поле анизотропно в вертикальном направлении. Если , то анизотропия имеет горизонтальное направление. В случае блок является изотропным.

Для экспериментального исследования предложенного метода анализа анизотропии взяты изображения текстур, представленные на рисунке1. На рисунке1а анизотропия имеет вертикальное направление, на рисунке1б анизотропия имеет горизонтальное направление и на рисунке1в изображение изотропно.

а) б) в)

Рис. 1 - Изображения текстур

Гистограммы параметров всех блоков исследуемых изображений представлены на рисунке2. Более темная гистограмма соответствует , более светлая . В таблице приведены статистические характеристики распределения найденных параметров.

а) ) в)

Рис. 2 - Гистограммы параметров для а) вертикальной текстуры,б) горизонтальной текстуры в) изотропного изображения

Как видно из рисунка 2,гистограммы и имеют сдвиг в зависимости от степени анизотропии.

Табл. 1

В таблице 1 приведены статистические характеристики компонент и.

Из полученных гистограмм и статистических характеристик видно, что распределения предложенных метрик направления анизотропии зависят от типа текстуры. На изображениях с вертикальной текстурой, метрика. На изображениях с горизонтальной текстурой, метрики блоков. Метрика и имеет те же неудобства, что и. Поэтому может оказаться предпочтительней метрика

.(16)

Непараметрическая метрика Спирмена

Анизотропия сказывается на поведении спектральных коэффициентов по горизонтали и вертикали. При этом самые значительные компоненты спектра сосредоточены в первом столбце и первой строке матрице . В случае анизотропии поля эти два вектора сильно различаются, и, наоборот, для изотропного поля они приблизительно одинаковы. Мерой различия или сходства двух векторов может служить коэффициент ранговой корреляции Спирмена [8]. Его достоинством является независимость от статистики обрабатываемых данных. Таким образом, структура алгоритма оценки анизотропии выглядит следующим образом. 1) Для каждого блока вычисляется векторы величин и,2) элементы векторов сортируются и вычисляются их ранговые векторы по столбцу и строке , 3) вычисляется коэффициент ранговой корреляции Спирмена

(17)

Если, то коэффициент корреляции , что соответствует случаю изотропного поля. Если , то имеет место вертикальная или горизонтальная анизотропия поля. Дляслучайногополякоэффициент. Поэтому необходимо построить гистограммы или ядерные оценки плотностей величин для разных типов изображений.

Для статистического анализа изображений, представленных на рисунке 1, кадр размером 800х800 пикселей разбивался на блоки 16х16 элементов. То есть, таких блоков штук. Соответственно, вычислялись коэффициентов ранговой корреляции Спирмена для каждого из изображений, представляющих выборкудля статистического анализа.

Для построения гистограммы использовалосьинтервалов группировки на интервале [0,1](). Поскольку гистограмма представляет собой дискретную аппроксимацию плотности вероятности, целесообразно построить непрерывную аппроксимацию плотности вероятности на основе ядерной оценки [8]. Для этого над элементами исходной выборкипроизводилась операция свертки с ядром вида , где ширина ядра . Нарисунке 3 приведена гистограмма и ядерная оценка плотности вероятности (сплошная линия) для выборки данных, соответствующих рисунку 1а.

Для более глубокого анализа распределения получена аппроксимация распределенияв виде расширенного ряда Эджворта

функция распределения .

Здесь ,, - математическое ожидание и дисперсия выборки , а -коэффициенты асимметрии и эксцесса этой выборки. Аппроксимация в виде ряда Эджворта приведена на рисунке 3 штриховой линией.Как видно из графика, ядерная оценка и ряд Эджворта очень хорошо совпадают.

На рисунке 4 приведены на одном графике функции распределения статистикдля изображений на рисунках 1 а), б), в).Как видно из графиков, появление анизотропии приводит к сдвигу функции распределения в сторону меньших значений коэффициента корреляции Спирмена.

Значение лежит в центре медиан функций распределения . Расчеты показали, что в этой точке ,. То есть два случайных поля с противоположными видами анизотропии имеют небольшое различие в вероятности метрики Спирмена. В то же время отличие анизотропного и изотропного поля весьма существенно с точки зрения указанной метрики.

Анализ моментов распределений показал, что наибольшее различие при переходе от анизотропного поля к изотропному наблюдается для коэффициентов эксцесса . В то же время .Здесь верхний индекс соответствует номеру выборки.Таким образом,параметр при переходе от сравнения анизотропных/анизотропных к варианту изотропных/анизотропных полей.

Итоговый критерий можно предложить следующий. По кадру изображения вычисляется вектор коэффициентов ранговой корреляции Спирмена спектральных горизонтальных и вертикальных векторов в кадрах изображения. На основе этого вектора вычисляется коэффициент эксцесса и сравнивается с коэффициентом эксцесса тестового анизотропного изображения, для которого .

Данный подход обладает тем преимуществом, что статистика основана на непараметрическом виде коэффициента корреляции Спирмена, свободном от ограничений на статистику обрабатываемого изображения и структуру спектров.

Заключение

В работе рассмотрены алгоритмы количественной оценки анизотропии полей (изображений). В отличие от существующих алгоритмов, основанных на покоординатном дифференцировании полей, предложен подход на основе анализа спектров по ортогональным базисам. Пример таких базисов -базисы Фурье, дискретного косинусного преобразования, дискретного преобразования Чебышева, преобразования Уолша-Адамара и др. Спектральные алгоритмы оценки анизотропии корректны с математической точки зрения, удобны для практической реализации. В работе предложены два вида алгоритмов. Первый основан на энергетическом сравнении верхней и нижней треугольных подматриц двумерной спектральной матрицы блоков изображений. Гистограммы и статистические характеристики параметров, характеризующих вид и степень анизотропии поля, демонстрируют изменение при изменении структуры поля. Метрики, основанные на этих параметрах, могут служить мерой анизотропии изображения.

Другой подход основан на вычислении рангового коэффициента корреляции Спирмена вертикальных и горизонтальных компонент спектральных матриц. Метрика, основанная на ранговом коэффициенте корреляции, обладает тем преимуществом, что свободна от ограничений на статистику обрабатываемого изображения и структуру спектров.

Литература

Дворкович В. П., Дворкович А. В. Цифровые видеоинформационные системы (теория и практика). Москва: Техносфера, 2012. -1008 с.

Яне Б. Цифровая обработка изображений/ Пер. с англ. . Москва: Техносфера, 2007. -584 с.

Методы компьютерной обработки изображений/Под ред. В. А. Сойфера. Москва:Физматлит, 2003.-784 с.

Vliet, L. J., Verbeek, P. W. Estimation for orientation and anisotropy in digitized Images. // Proc. Ofthefirstconf. ASCI'95, 1995, Netherland. - Pp. 442-450.

Xudong, Jiang. On orientation and anisotropy for online fingerprint authentication. // IEEE Trans. OfSignalProc., 2005, Vol. 53, No. 10. - Pp. 4038-4049.

Радченко Ю. С., Миляев С. В. Спектральный анализ анизотропии изображений // Вестник ВГУ. Серия Математика, физика, 2011, №2. - с. 45-51/

Радченко Ю. С. Алгоритм сжатия изображений на основе полиномиальных преобразований// Цифровая обработка сигналов, 2002, №1. - с.2-6.

Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. 472 с.

Размещено на Allbest.ru