Размещено на http: //www. allbest. ru/

АО «Концерн «Созвездие», Воронеж, РФ

Методы генерирования последовательностей частот сигнала с псевдослучайной перестройкой рабочей частоты

Е.В. Григорьев

Аннотация

псевдослучайный последовательность сигнал генерирование

Сформулированы требования к последовательности частот сигналов с ППРЧ. Проведен анализ методов генерирования псевдослучайных последовательностей на основе статического и динамического регистров сдвига с линейной обратной связью. Детально рассмотрены корреляционные свойства и длины периодов последовательностей частот, генерируемых на основе комбинированных последовательностей Таусворта.

Ключевые слова: псевдослучайные последовательности, регистр сдвига с линейной обратной связью, корреляционная функция.

Abstract

METHODS OF GENERATING FREQUENCY SEQUENCES FHSS SIGNALS

E.V. Grigoryev

JSC «Concern «Sozvezdie», Voronezh, RF

Requirements to the sequence of frequencies of POFH signals are stated. Analysis of methods of pseudorandom sequences, based on static and dynamic linear feedback shift registers is performed. Correlation behavior and period lengths of frequency sequences, generated on the base of combined sequences by Tausworthe are considered in detail.

Keywords: pseudorandom sequences, linear feedback shift register, correlation function.

Введение

Генерируемые последовательности для частот сигналов с ППРЧ должны обладать в определенном смысле хорошими свойствами. В частности, в целях защиты от преднамеренных помех стороннего наблюдателя, они должны восприниматься как реализации случайной величины и быть не прогнозируемыми во времени по прошлым наблюдаемым значениям. Наиболее простой метод генерирования таких последовательностей базируется на основе псевдослучайных последовательностей (ПСП) максимального периода (M-последовательностей) [1]. Кроме высокой помехозащищенности, для работы в сети ансамбль из таких последовательностей должен иметь минимальное число пересечений и большой период повторений [2-4].

Несмотря на то, что M-последовательности обладают рядом достоинств им присущи и недостатками. Наиболее существенным является низкая криптостойкость, т.к. коэффициенты отводов регистра сдвига с линейной обратной связью (РСЛОС) в арифметике по модулю 2 или в англоязычной аббревиатуре (LFSR - linear feedback shift registers), на основе которого они генерируются, могут быть определены алгоритмом Берлекэмпа-Месси по 2n элементам бинарной ПСП [1]. Однако, при формировании последовательности частот для сигналов с ППРЧ наблюдаются не сами элементы ПСП, а сформированные на их основе частоты. Поэтому данный недостаток может проявить себя лишь опосредованно. При неизвестном стороннему наблюдателю способе формирования частот из элементов ПСП отмеченный недостаток не является определяющим. Более важными факторами являются период формируемой ПСП и возможность прогнозирования текущего значения частоты по прошлым наблюдаемым значениям. Кроме того, при использовании алгоритма в реальном времени важную роль играют простота реализации и низкая вычислительная сложность.

Поэтому целью данной статьи является анализ и оценка существующих методов создания генераторов ПСП, на основе которых можно конструировать последовательности частот для сигналов с ППРЧ.

Так или иначе при генерации частот используются те же методы, что и в задачах моделирования (методы Монте-Карло) и криптографии. К настоящему времени разработано много датчиков случайных чисел и методов оценки их эффективности [5-7]. Вместе с тем наметились и новые направления:

- генерирование ПСП на основе динамического регистра сдвига с линейной обратной связью (ДРСЛОС) [8-10];

- генерирование ПСП на основе, бент-функций (полиномов Жигалкина) [11,12].

Предположим, что задано конечное множество из M допустимых частот , называемое в дальнейшем алфавитом. Предположим также, что задана сгенерированная каким-то образом по псевдослучайному закону (известному на приемной и передающей стороне) последовательность из N чисел. Между допустимыми частотами и числами из сгенерированной последовательности установлено взаимно однозначное соответствие.

Ставится задача, какой должна быть последовательность из N чисел, чтобы сторонний наблюдатель воспринимал ее как реализации случайной величины равномерно распределенной в области допустимых частот. Кроме того, реализации частот должны быть статистически независимыми во времени, чтобы исключить возможность прогнозирования сторонним наблюдателем текущего значения частоты по прошлым наблюдаемым значениям. Требование к равномерности распределения определяется тем, что энтропия, как мера неопределенности опыта с конечным числом состояний, при равномерном распределении максимальна [13].

1. Генерирование частот на основе M-последовательности

Предположим, что для конструирования последовательности частот используется M-последовательность. В общем случае исходная М-последовательность с элементами из поля Галуа порядка p в GF(p) генерируется с помощью рекуррентного соотношения

, (1)

где t и n - целые числа. Множители сi в (1) являются коэффициентами характеристического многочлена, который для M-последовательности является примитивным (не делит нацело ни один из многочленов вида xs1,где s2n1)

. (2)

Последовательность st называется линейной рекурсивной последовательностью n-го порядка в GF(p). Такая последовательность может быть сгенерирована на регистре сдвига с линейной обратной связью (РСЛОС) (рисунок 1). Период такой последовательности

L=pn1 [1].

Содержимое st+i для всех регистров Si в конкретный дискретный момент времени t будем называть состоянием РСЛОС. В начальный момент времени задается начальное состояние s0=(s0,s1,…,sn-1). В последующие моменты времени состояния регистров сдвигаются (пересчитываются в соответствии с рекуррентной формулой (1)).



Рис.1 Линейный регистр сдвига с линейной обратной связью, где суммирование осуществляется по mod(p)

Пример 1. Например, для p=3 и n=3, период последовательности

L=pn1=331=26,

а рекуррентная формула для генерирования искомой М-последовательности S может быть выбрана следующей

(3)

В результате сгенерированная последовательность имеет следующий вид:

= 0 0 1 1 1 0 2 1 1 2 1 0 1 0 0 2 2 2 0 1 2 2 1 2 0 2.

Пример 2. Для p=2 и n=5 существует 6 вариантов М-последовательностей. Выберем одну из них с коэффициентами порождающего многочлена c0,c1,c2,c3,c4,c5=111101. Искомая последовательность генерируется по следующей рекуррентной формуле



с начальными состояниями регистров 0 0 0 0 1. В результате сгенерированная последовательность имеет следующий вид:

= 0 0 0 01 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1.

В процессе работы оптимальные последовательности должны обновляться. Обновление определяется количеством различных М-последовательностей. Общее число M-последовательностей , которые можно получить из полиномов по modp степени n определяется из формулы [1]

, (4)

где функция Эйлера, которая определена для каждого натурального m и равна количеству натуральных чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m.

Если

,

где pi - различные простые числа, то

. (5)

В табл.1 в качестве примера приведено количество возможных бинарных M-последовательностей, которые можно сформировать для заданной длины регистра сдвига n.

Таблица 1 Количество типов М-последовательностей для p=2.

n	6	8	10	11	12	17	18	19
л2(n)	6	16	60	176	144	7710	7776	27594

Из таблицы видно, что ансамбль различных М-последовательностей хотя и ограничен, но достаточно большой. С ростом длины регистра сдвига n число типов М-последовательностей возрастает, в среднем фактически удваиваясь при увеличении n на единицу. Обширные таблицы примитивных бинарных полиномов приведены в [14].

Так как каждой частоте из заданного алфавита соответствует некоторое целое число из заданного диапазона, то генерацию частот будем рассматривать как генерацию псевдослучайных чисел. Вначале рассмотрим бинарный случай (p=2). В этом случае каждый элемент последовательности принимает значения либо 0, либо 1, причем в периоде M-последовательности число единиц на один больше, чем нулей [1]. Для удобства статистического анализа и физической реализации наряду с sj используются величины

.

В результате такой замены величинам 0 и 1 соответствуют значения +1 и 1. Каждому целому числу из совокупности чисел от 0 до можно поставить в соответствии под последовательность

(кортеж из k бит) и наоборот каждой такой под последовательности из k элементов можно поставить в соответствии число по правилу

. (6)

Например, для p=2 элементы частичной последовательности являются представлением числа в двоичной системе исчисления, для p=3 - в троичной и т.д.

2. Последовательности Таусворта

В [15] Таусвортом предложен алгоритм генерирования псевдослучайных чисел на основе кортежей из k бит М-последовательности и проведен теоретический анализ их статистических характеристик. При формировании последовательностей использовалось свойство децимации, которое состоит в следующем. Пусть имеется M-последовательность S периода 2n1. Рассмотрим последовательность {Sm}, элементами которой являются кортежи из k бит исходной последовательности, полученные скользящим сдвигом следующим образом

,

,

,

.

Если провести децимацию последовательности {Sm} при , то получится новая последовательность с элементами

,

,

,

Из вида последовательности {um} следует, что последние k1q бит предыдущего элемента последовательности совпадают с начальными k1q битами последующего члена последовательности. Следовательно, для qk1 соседние элементы последовательности коррелируют. Каждый кортеж из k бит исходной M-последовательности можно интерпретировать как двоичное представление некоторого числа. Если новое число выбирать как скользящую последовательность сдвинутую на один элемент, то соседние последовательности будут пересекаться, а построенные на их основе числа будут коррелировать. Для количественной оценки степени корреляции, следуя [16], введем в рассмотрение корреляционную функцию следующим образом. Пусть имеется некоторая периодическая с периодом L и средним последовательность элементов . Нормированная корреляционная функция определяется следующим образом [16]

,

где

Как хорошо известно [1], нормированная автокорреляционная функция периодической последовательности имеет два уровня. Верхний уровень равен 1, а нижний принимает значение . Нормированная корреляционная функция последовательностей без децимации с q=1, длиной регистра сдвига n и k битами в бинарном представлении числа обладает следующими свойствами: существует k+1 различных уровней корреляционной функции: для

; для ,

и константа для остальных значений i [16]. На рисунке 2 приведены графики абсолютной величины автокорреляционной функции для недецимированной последовательности, элементами которой являются кортежи из k бит. Рисунок 2 а соответствует случаю, когда k=n, приведенные на рисунке 2б кривые построены для различных длин чисел k при фиксированной длине регистра n=11. На рисунке 2в зафиксировано k=5, а меняется длина регистра n. Как следует из вида кривых минимум корреляции достигается при сдвиге, равном количеству бит в кортеже. При этом минимум убывает с ростом длины регистра n.

Рис.2 Модуль нормированной автокорреляционной функции недецимированной последовательности

Таким образом, корреляция между кортежами из k бит минимальна, когда они не перекрываются.

Это достигается за счет децимации.

Учитывая это обстоятельство, Таусвортом [15] были введены и изучены состоящие из k-битовых кортежей последовательности, следующего вида

(7)

где q - (шаг сдвига) натуральное число взаимно простое с периодом M-последовательности, k - длина кортежа, не превышающая n бит.

Так как масштабирование не меняет вид распределения и корреляционные свойства величин, то для удобства статистического анализа в [15] рассматривались числа, распределенные на отрезке (0,1) и (1,1), двоичное представление которых имеет вид

, (8)

, (9)

где kn. В двоичном представлении последовательности Таусворта сдвинуты друг от друга на qk цифр, т.е. кортежи, соответствующие различным цифрам не пересекаются. Если многочлен (2) неприводим и наибольший общий делитель НОД(q,2n1)=1, то периоды последовательностей {um} и {уm},{wm} одинаковы и равны L=2n1 [15].

Для анализа статистических свойств последовательностей заметим, что равномерно распределенная на отрезке [1,1] случайная величина zj имеет следующие математическое ожидание и дисперсию

, . (10)

В [15] показано, что для больших длин регистра n элементы последовательности (9) обладают числовыми характеристиками близкими к равномерному распределению

, (11)

. (12)

Отсчеты ненормированной автокорреляционной функции имеют следующие значения

(13)

и для

. (14)

Таким образом, как это следует из (10)-(14), в рамках моментной теории для больших значений длины регистра сдвига n образованные по не пересекающим кортежам бинарной М-последовательности цифры можно приближенно считать некоррелируемыми и равномерно распределенными величинами.

Генератор Таусворта. В целях сокращения вычислительной сложности алгоритма и объема занимаемой памяти Таусвортом предложено использовать в качестве характеристического многочлена для генерации M-последовательности (2) трехчлены следующего вида

 . (15)

Для заданного вида многочлена рекуррентная последовательность (1) генерируется следующим образом

, (16)

где и . Период M-последовательности (16) равен L=2n1.

Комбинированные последовательности Таусворта. В целях улучшения статистических характеристик и повышения периода генерируемых последовательностей в [17] предложены конструкции комбинированных последовательностей Таусворта. Суть метода состоит в следующем.

Предполагается, что имеется J регистров сдвига. Каждый j-й регистр сдвига задается своим примитивным характеристическим многочленом fj(x) степени nj. Порождающая им последовательность {} имеет максимальный период Из каждой такой последовательности в соответствии с (8) создаются последовательности Таусворта одинаковой длины

.

Комбинированная последовательность формируется в результате побитового сложения по модулю 2 соответствующих двоичных компонент сформированных простых последовательностей Таусворта

. (17)

Как показано в [17,18], если характеристические многочлены взаимно простые, то период комбинированной последовательности равен произведению периодов .

Например, если выбрать J=3, n1=31, n2=28, n3=30, то получим, что L1=2311=2147483647, L2=2281=268435455, L3=2301=1073741823 - взаимно простые числа. Поэтому период комбинированной последовательности .

На основе комбинированных последовательностей для J=3, n1=31, n2=29, n3=28, с периодом построен популярный при моделировании сложных явлений генератор TAUS88 [18].

Таким образом, генератор на основе РСЛОС обладает следующими свойствами: быстрый алгоритм, низкая вычислительная сложность, малая требуемая память, длинный период генерируемой последовательности, равномерное распределение генерируемых чисел.

Кроме этого, комбинированные последовательности обладают свойством равнораспределенности. Например, для трехмерного случая это свойство можно интерпретировать следующим образом. Генерируются три псевдослучайных числа из интервала [0,1), которые используются как координаты точки внутри единичного куба. Данная процедура повторяется L раз. Единичный куб разбивается на кубики одинакового размера. Последовательность называется равнораспределенной, если все кубики содержат одинаковое число точек. Данное свойство важно при вычислении методом Монте-Карло многомерных интегралов. Однако при генерации последовательности частот роль этого свойства непонятна.

3. Генерирование на основе последовательностей Лемпеля-Гринбергера

Для работы в сети используется оптимальный ансамбль ортогональных в смысле метрики Хэмминга последовательностей частот, которые формируются следующим образом [2-4]. Как и в предыдущем случае выбирается М-последовательность периода L=pn1 над полем Галуа GF(p) . Множество чисел, эквивалентное множеству выделенных частот (соответствии между числами и частотами устанавливается синтезатором) обозначается через . Для каждого j из Pk, где , вводится в рассмотрение отрезок последовательности (кортеж из k чисел) . Затем для каждого числа применяется преобразование , значением которого является k-мерный вектор из коэффициентов представления в p-й системе исчисления числа . Каждому соответствует последовательность частот из ансамбля ортогональных по Хэммингу последовательностей. После чего проводится почленное сложение c по modp

. (18)

Например, для k=5 и p=2 множество Pk - есть множество целых чисел от нуля до 31 (множество частот), а - это некоторое число из этого множества, - это двоичное представление этого числа, равны нулю или единице. С учетом сделанных обозначений выражение (18) можно переписать следующим образом

, (19)

где означает суммирование по модулю p. Далее по правилу (6) для каждого j формируется номер частоты.

4. Генерирование на основе динамического регистра сдвига

Для повышения крипто стойкости генерируемых псевдослучайных последовательностей и увеличения их периода применяются динамические регистры сдвига с линейной обратной связью рисунок 3 [8,9]. ДРСЛОС может быть определен как РСЛОС, где порождающий полином fi(x) не статичен, а изменяется динамически [9,10].

ДРСЛОС(n,m) генератор состоит из двух различных РСЛОС: основного РСЛОС(n) длины (число состояний) n и управляющего регистра (второго) РСЛОС(m) (рис.3). Второй регистр генерирует управляющую ПСП периода 2m1. Вдобавок, он связан с полиномиальным селектором, который в соответствии с алгоритмом назначения и в зависимости от состояний управляющего регистра выбирает примитивный полином для основного регистра РСЛОС(n) и вводит его в логику основного регистра.

Рис.3 Структура динамического регистра

Существует несколько вариантов реализации ДРСЛОС(n,m) генератора. Рассмотрим один из вариантов [8]. Вначале определим назначение основных элементов схемы на рисунке 3.

Основной РЛОС. Это регулярный регистр сдвига с n ячейками. Коэффициенты отводов определяются одним из Np примитивных полиномов. Полиномы могут выбираться различными способами, в частности, циклическим алгоритмом (методом перебора и упорядочения по круговому циклу - round robin - алгоритм).

Управляющий (второй) РЛОС. Это таймер-управляемый РЛОС с m ячейками Он управляет выбором коэффициентов примитивных полиномов в основном регистре.

Счетчик. Второй регистр устанавливает счетчику новое значение в каждый момент времени, как только он обнуляется. Счетчик синхронизирован с управляющим регистром для установки коэффициентов отводов с выбранного набора примитивных полиномов основного регистра. Как только управляющий регистр генерирует новый бит, основной регистр меняет примитивный многочлен и устанавливает новые отводы для обратной связи.

Процесс генерации состоит в следующем.

Основной РЛОС(n) загружает соответствующее начальное значение. Счетчик инициализируется в соответствии с состояниями управляющего регистра. Основной РЛОС(n) начинает генерировать биты в соответствии с f1(x) и продолжает генерацию до тех пор, пока сигнал от таймера clk2 не изменит примитивный полином. Затем устанавливается f2(x). Одновременно, счетчик начинает обратный отсчет. Когда достигается нулевое состояние, появляется выходной сигнал с таймера clk2. Управляющий регистр РЛОС(m) держит паузу до тех пор, пока счетчик не активирует clk2. В это время основной регистр РЛОС(n) переходит в следующее состояние и снова останавливается. Это новое состояние загружается в счетчик.

Последовательность, образованная динамическим регистром сдвига, представляет собой сцепление последовательностей, генерируемых статическими регистрами сдвига. Причем, последние n бит регистра с полином fi(x) являются начальными состояниями для регистра с полиномом fi+1(x). Таким образом, ДРСЛОС(n,m) генерирует последовательности с более длинным периодом и, управляя параметрами второго регистра, можно получить больше таких последовательностей.

Сравнительный теоретический анализ последовательностей, генерируемых статическим и динамическим регистрами сдвига проведен в [10], а экспериментальный с применением пакета тестов DIEHARD приведен в [20]. Результаты тестирования оказались вполне приемлемыми для обеих типов регистров. Однако согласие на равномерность распределения в силу критериев Колмогорова-Смирнова и хи-квадрат сгенерированных на их основе чисел было лучше у динамического регистра.

Заключение

Проведенный анализ методов генерации псевдослучайных последовательностей показал, что для генерации частот сигналов с ППРЧ могут применятся методы, используемые при статистическом моделировании (методы Монте-Карло) и криптографии. Однако, если ограничится только расширением спектра с целью повышения помехоустойчивости, то приходится находить компромисс между скоростью алгоритма и его криптостойкостью. Подходящими для этих целей являются алгоритмы генерации частот на основе комбинированных последовательностей Таусворта с использованием статического регистра сдвига. Характеристики последовательности могут быть улучшены, если для генерации использовать динамический регистр сдвига.

Литература

1. Борисов В.И., Зинчук В.М., Лимарев А. Е., Шестопалов В.И. Помехозащищенность систем радиосвязи с расширением спектра прямой модуляцией псевдослучайной последовательностью. М.: Радио Софт, 2011. -548 c.

2. Lempel A., Greenberger H. Families of sequences with optimal Hamming correlation properties.// IEEE Trans. on Inform. Theory, 1974, vol. IT-20, №1. -P.90-94.

3. Gennian Ge, Ying Miao, and Zhongxiang Yao Optimal frequency hopping sequences: Auto- and cross-correlation properties.//IEEE Trans. on Inform. Theory, 2009, vol. IT-55, № 2. - P. 867-879.

4. Чаркин Д.Ю. Конструирование оптимального ППРЧ ансамбля на основе М-последовательностей./Чаркин Д.Ю., Алехин С.Ю., Григорьев Е.В., Лимарев А.Е., Прохоров В.Е. //Теория и техника радиосвязи, 2017, № 1. сс.41-49.

5. Казакова Н. Ф., Щербина Ю. В. Проблемы оценки качества работы современных линейных генераторов псевдослучайных последовательностей // Збірник наукових праць ОДАТРЯ, 2013, № 1(2 ), сс.32-36.

6. Статистические методы. Генерация случайных чисел. ГОСТ Р ИСО 28640 - 2012, Москва, Стандартинформ, 2014. -36 с.

7. Кузнецов В.М. Генераторы случайных и псевдослучайных последовательностей на цифровых элементах задержки(основы теории и методы построения). Диссертация доктора технических наук. Казань, 2012. - 345 с.

8. Mita R., Palumbo G., Pennisi S., Poli M. Pseudorandom bit generator based on dynamic linear feedback topology.// Electron. Lett. 2002, vol.38 . - P. 1097-1098.

9 Peinado A.; Furster-Sabater A. Generation of pseudorandom binary sequences by means of linear feedback shift registers (LFSRs) with dynamic feedback. //Math. Comput. Model, 2013, vol. 57. -P.2596-2604.

10. Peinado A., Munilla J. and Fuґster-Sabater A. Improving the period and linear span of the sequences generated by DLFSRs.// In Proceedings of the 7th International Conference on Computational by Intelligence in Security for Information Systems, CISIS 2014. -P.397-411.

11. Kumar P.V. Frequency-hopping code sequence designs having large linear span.// IEEE Trans. on Inf. Theory, 1988, vol. IT-34, №. 1. - P.146-151.

12. Токарева Н. Н. Нелинейные булевы функции: бент-функции и их обобщения. Saarbrucken, Germany:.LAMBERT, 2011. - 180 с.

13. Галлагер Р. Теория информации и надежная связь./ Пер. с англ., под ред. М.С. Пинскера и Б.С. Цыбакова. М.: Советское радио, 1974. - 720 с.

14. Zivkovic' M. A Table of Primitive Binary Polynominal 2014 //http: Poincare. matf. bg, 15.11. 2018 .

15 Tausworthe R. C. Random numbers generated by linear recurrence modulo two. // Math. Comp. 1965, № 19. - P. 201-209.

16. Neuman F., Martin C.F. The autocorrelation structure of Tausworthe pseudorandom number generators.// IEEE Trans. on Comp.,1976, №5. - P. 460-464.

17. Tezuka S., L'Ecuyer P. Efficient and portable combined Tausworthe random number generators//ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation 1, 1991, №2. - P. 99-112.

18. L'Ecuyer P Maximally equidistributed combined Tausworthe generators// Mathematics of Computation , 1996, vol.65 , №.213. - P. 203-213 .

19. Жмуров А.А. Моделирование больших биомолекул и биомолекулярных систем с использования графического процессора. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физмат наук. Москва, 2011. - 124 c.

20. Stepien R., Walczak J. Comparative analysis of pseudo random signals of the LFSR and DLFSR generators.//In Proceedings of the 20th International Conference "Mixed Design of Integrated Circuits and Systems", June 20-22, 2013, Gdynia, Poland. - P. 598-602.

References

1. Borisov V.I. Anti-jam Spread Spectrum Direct Sequence Communication./Borisov V.I., Zinchuk V.M., Limarev A.E., Muchin N.P, Shestopalov V.I. М.:RadioSoft, 2011. -548 p.

2. Lempel A., Greenberger H. Families of sequences with optimal Hamming correlation properties.// IEEE Trans. on Inform. Theory, 1974, vol.IT-20, №1. -Pp.90-94.

3. Gennian Ge, Ying Miao, and Zhongxiang Yao Optimal frequency hopping sequences: Auto- and cross-correlation properties.//IEEE Trans. on Inform. Theory, 2009, vol. IT-55, № 2. -Pp.867-879.

4. Charkin D.Yu. Construction optimal FHSS families ground M-sequence./Charkin D.Yu., Alechin S.Yu.,Grigoryev E.V., Limarev А. Е.,Prohorov V.E. // Theory of Engineering Communication, 2017, № 1. -Pp.41-49.

5. Kazakova N.F., Sherbina Yu.V. Evaluation of quality problems of modern linear generator pseudo-random sequence. // Book scientific work ODATRYA, 2013, № 1(2 ) -С.32-36.

6. Statistical methods. Generate random numbers. GOST Р ИСО 28640 -2012, Moscow, Standartinform, 2014. -36 p.

7. Kuznetsov V.M. Generators random and pseudorandom sequence of digital elements delay. Ph dissertation. Kazan, 2012. -345 p.

8. Mita R., Palumbo G., Pennisi S., Poli M. Pseudorandom bit generator based on dynamic linear feedback topology.// Electron. Lett. 2002, vol.38. -Pp.1097-1098.

9. Peinado A., Furster-Sabater A. Generation of pseudorandom binary sequences by means of linear feedback shift registers (LFSRs) with dynamic feedback. // Math. Comput. Model, 2013, vol.57. -Pp.2596-2604.

10. Peinado A., Munilla J. and Fuґster-Sabater A. Improving the period and linear span of the sequences generated by DLFSRs.// In Proceedings of the 7th International Conference on Computational by Intelligence in Security for Information Systems, CISIS 2014. -Pp.397-411.

11. Kumar P.V. Frequency-hopping code sequence designs having large linear span.// IEEE Trans. on Inf. Theory, 1988, vol. IT-34, №. 1. -Pp.146-151.

12. Tokareva N.N. Non linear Boolean function bent-function and generated. Saarbrucken, Germany: LAMBERT, 2011. -180 p.

13. Gallager R.G. Information Theory and Reliable Communication. М.: Sovetskoe Radio, 1974. -720 p.

14. Zivkovic' M. A Table of Primitive Binary Polynominal 2014 //http: Poincare. matf. bg, 15.11.2018.

15 Tausworthe R.C. Random numbers generated by linear recurrence modulo two. // Math. Comp. 1965, №19. -Pp.201-209.

16. Neuman F., Martin C.F. The autocorrelation structure of Tausworthe pseudo-random number generators.// IEEE Trans. on Comp.,1976, №5. -Pp.460-464.

17. Tezuka S., L'Ecuyer P. Efficient and portable combined Tausworthe random number generators//ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation 1, 1991, №2. -Pp.99-112.

18. L'Ecuyer P. Maximally equidistributed combined Tausworthe generators.// Mathematics of Computation, 1996, vol.65, №.213. -pP.203-213.

19. Zhmurov A.A. Simulations of large biomolecule and biomolecular systems on graphics processors. Ph dissertation, Moscow, 2011. -124 p.

20. Stepien R., Walczak J. Comparative analysis of pseudo random signals of the LFSR and DLFSR generators.// In Proceedings of the 20th International Conference «Mixed Design of Integrated Circuits and Systems», June 20-22, 2013, Gdynia, Poland. -Pp.598-602.

Размещено на Allbest.ru

...