Линейные системы автоматического управления

Рисунок 4

Усилитель рассогласования может быть представлен пропорциональным или инерционным звеном. Так как по условию, для усилителя рассогласования заданы постоянная времени Т_ур и коэффициент передачи К_ур, то, следовательно, усилитель рассогласования является инерционным звеном.

Уравнение движения для усилителя рассогласования -

.

В операционной форме

.

Выходной сигнал усилителя

Передаточная функция звена

.

Структурная схема УР после подстановки числовых значений имеет вид, представленный на рис.5.

U_д(p) U_ур(p)

Рисунок 5

Двигатель постоянного тока

Функциональная схема двигателя приведена на рис.6.

U_ур ш

Рисунок 6

Выходной величиной является угол поворота вала двигателя. Выходная величина двигателя Ш определяет угол поворота вала двигателя за время t. Следовательно, двигатель будет представлен интегрирующим звеном.

Уравнение движения во временной форме

ш(t) = K_дв • .

В операционной форме

ш(p) = K_дв • U_ур(p).

Передаточная функция звена

W_дв = .

Структурная схема двигателя с заданными числовыми параметрами представлена на рис. 7.

U_ур(p) ш(p)

Рисунок 7

Потенциометр

Функциональная схема потенциометра приведена на рис.8. Для потенциометра задан только коэффициент передачи Кп , и, следовательно, он будет представлять пропорциональное звено.

Ш U_п

Рисунок 8

Уравнение движения для потенциометра

U_п(t) = K_п • Ш(t).

В операционной форме

U_п(p) = K_п • Ш(p).

Передаточная функция звена

W_п = K_п .

Структурная схема потенциометра с заданными числовыми параметрами представлена на рис. 9.

Ш(p) U_п(p)

Рисунок 9

Усилитель мощности

Функциональная схема усилителя мощности приведена на рис.10. Усилитель мощности может быть представлен пропорциональным или инерционным звеном. По условию для усилителя мощности заданы постоянная времени усилителя мощности T_ум и коэффициент передачи К_ум, следовательно, в данном случае УМ - инерционное звено.

U_п U_ум

Рисунок 10

Уравнение движения во временной форм

T_ум • + U_ум(t) = K_ум • U_п(t).

В операционной форме

T_ум • + U_ум(p) = K_ум • U_п(p).

Передаточная функция звена

W_ум(p) = .

Структурная схема усилителя мощности с заданными числовыми значениями представлена на рис.11.

U_п(p) U_ум(p)

Рисунок 11

Генератор постоянного тока

Функциональная схема генератора постоянного тока приведена на рис.12. Генератор может быть представлен пропорциональным или инерционным звеном. По условию для генератора постоянного тока задан статический коэффициент передачи генератора постоянного тока по напряжению К_г, но не задана постоянная времени генератора постоянного тока Т_г, следовательно, в данном случае ГН - пропорциональное звено.

автоматический управление устойчивость гурвиц

U_ум U_г

Рисунок 12

Уравнение движения для генератора постоянного тока - U_г(t) = K_г • U_ум(t).

В операционной форме - U_г(p) = K_г • U_ум(p).

Передаточная функция звена - W_г = K_г .

Структурная схема усилителя мощности с заданными числовыми значениями представлена на рис.13.

U_ум(p) U_г(p)

Рисунок 13

Делитель напряжения

Функциональная схема делителя напряжения приведена на рис.14. Для делителя напряжения задан только статический коэффициент передачи делителя напряжения К_дн, и, следовательно, он будет представлять пропорциональное звено.

U_г U_г U_ос

Рисунок 14

Уравнение движения для делителя напряжения

U_ос (t) = К_дн • U_г (t).

В операционной форме

U_ос (p) = К_дн • U_г (p).

Передаточная функция звена

W_дн = K_дн .

Структурная схема делителя напряжения с заданными числовыми значениями представлена на рис.15.

U_г(p) U_ос(p)

Рисунок 15

5. Составление и расчет структурной схемы системы

Используя функциональную схему заданной САР и полученные структурные схемы отдельных узлов системы составим структурную схему замкнутой системы стабилизации напряжения генератора постоянного тока (рис.16). Найдем передаточную функцию разомкнутой системы, которая равна произведению передаточных функций звеньев, входящих в контур регулирования:

W_p(p) = • • K_п • • K_г • K_дн .

После подстановки числовых значений будем иметь:

W_p(p) = .

Рисунок 16

Замкнутая система представляет собой соединение типа обратная связь, и передаточная функция замкнутой системы может быть рассчитана по формуле:

где передаточная функция звеньев прямого тракта:

• • K_п • • K_г .

Передаточная функция замкнутой системы:

= .

После эквивалентных преобразований получим:

.

Подставим числовые значения:

.

Коэффициент передачи разомкнутой системы равен произведению коэффициентов передачи отдельных звеньев, входящих в контур регулирования:

K_р = 20 • 2 • 0,1 • 8 • 5 • 0,2 = 32.

6. Оценка устойчивости САР по критерию Гурвица

Характеристическое уравнение замкнутой системы с точностью до обозначений совпадает со знаменателем передаточной функции замкнутой системы и имеет вид:

H(p) = T_ур • T_ум • p³ + (T_ур + T_ум) • p² + p + K_р.

Подставим числовые значения:

H(p) = 0,042 • p³ + 0,67 • p² + p + 32.

Анализ устойчивости системы выполним при помощи критерия Гурвица:

Д = .

Найдем определители:

Д₁ = 0,67 > 0;

Д₂ = = ?0,674 < 0;

Найден отрицательный определитель, следовательно, данная система неустойчива. Найдем предельный коэффициент передачи разомкнутой системы К_{р пр} , при котором система находится на границе устойчивости.

Система третьего порядка будет находиться на границе устойчивости, при выполнении следующего условия:

.

Для рассматриваемой системы данное равенство будет иметь вид:

T_ур + T_{ум =} T_ур • T_ум • К_пр.

К_{р пр} = = = 15,95.

Уменьшим предельный коэффициент на 40 % и примем его за К_р^* модернизированной системы:

К_р^{* =} К_пр • 0,6 = 9,57.

Новый коэффициент усилителя рассогласования найдем из условия:

К_р^* = К_ур^* • К_дв • К_п • К_ум • К_г • К_дн К_ур^* = = 5,98.

7. Оценка устойчивости САР по критерию Найквиста

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (-1; j₀) при изменении частоты щ от 0 до ?.

Передаточная функция исходной разомкнутой системы равна:

W_p(p) = .

Комплексный коэффициент передачи исходной системы составит:

W_p(jщ) = .

Построим годограф комплексного коэффициента передачи исходной САР, используя математический пакет Mathcad (рис.17).

Рисунок 17

Годограф охватывает точку с координатами (-1; j₀), следовательно, исходная замкнутая система - неустойчива.

Передаточная функция модифицированной разомкнутой системы:

W_p(p) =.

Комплексный коэффициент передачи модифицированной системы:

W_p(jщ) = .

Построим годограф комплексного коэффициента передачи модифицированной САР, используя математический пакет Mathcad (рис.18).

Рисунок 18

Годограф не охватывает точку (-1; j₀), следовательно, модифицированная замкнутая система - устойчива.

8. Построение логарифмических частотных характеристик САР

Передаточная функция исходной разомкнутой системы:

W_p(p) = .

Комплексный коэффициент передачи исходной системы:

W_p(jщ) = .

Найдем выражение для амплитудной частотной характеристики (АЧХ):

A(щ) = .

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ):

Ф(щ) = - - - .

Выражение для точной логарифмической амплитудной частотной характеристики (ЛАЧХ) исходной системы:

L(щ) = 20lg(32)-20lg(щ)-20lg(-20lg(.

Для построения асимптотической ЛАЧХ найдем частоты сопряжения:

щ₁ = = 1,429.

щ₂ = = 1,6.

Найдем значения асимптотических ЛАЧХ для каждого интервала частот:

1) При щ ? 1,429:

L₁(щ) = 20lg(32)-20lg(щ).

2) При 1,429 ? щ ? 1,6:

L₂(щ) = 20lg(32) - 20lg(щ) - 20lg(.

3) При щ 1,6:

L₃(щ) = 20lg(32) - 20lg(щ) - 20lg( - 20lg(.

Выражение для логарифмической фазовой частотной характеристики совпадет с Ф (щ), но график строится в логарифмическом масштабе.

Построим графики точной и асимптотической ЛАЧХ, а также график ЛФЧХ, используя математический пакет Mathcad (рис. 19). График точной ЛАЧХ изображен пунктирной линией, а график асимптотической - сплошной.

Передаточная функция модифицированной разомкнутой системы:

W_p(p) =.

Комплексный коэффициент передачи модифицированной системы:

W_p(jщ) = .

АЧХ:

A(щ) = .

ФЧХ:

Ф(щ) = - - - .

Точная ЛАЧХ:

L(щ)=20lg(3,192)-20lg(щ)-20lg(-20lg(.

Рисунок 19

Частоты сопряжения модифицированной системы:

щ₁ = = 1,429.

щ₂ = = 1,6.

Расчет асимптотической ЛАЧХ:

1) При щ ? 1,429:

L₁(щ) = 20lg(3,192)-20lg(щ).

2) При 1,429? щ ? 1,6:

L₂(щ) = 20lg(3,192) - 20lg(щ) - 20lg(.

3) При щ 1,6:

L₃(щ) = 20lg(3,192) - 20lg(щ) - 20lg( - 20lg(.

Построим графики точной и асимптотической ЛАЧХ, а также график ЛФЧХ для модернизированной системы, используя математический пакет Mathcad (рис. 20).

График точной ЛАЧХ изображен пунктирной линией, а график асимптотической - сплошной.

Оценим устойчивость САР, используя критерий Найквиста для ЛЧХ.

В разомкнутом состоянии обе системы находятся на границе устойчивости, так как имеют один нулевой корень и два отрицательных.

В данном случае для устойчивости САР в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы на участке частот где L(щ)?0 график Ф(щ) не пересекал прямую ?р .

Следовательно, исходя из построенных ЛАЧХ для исходной и модифицированной систем, сделаем вывод о том, что исходная система - неустойчива, а модифицированная система - устойчива.

Найдем предельный коэффициент передачи разомкнутой системы, используя критерий Найквиста для ЛЧХ.

САР будет находится на границе устойчивости при одновременном выполнении двух условий: Ф (щ) = -р и L(щ)=0.

Приравняем Ц (щ) к -р и найдем частоту щ_{п :}

Ф(щ) = - - - = -р.

- - - = -р.

Отсюда

щ_п = 1,5.

Рисунок 20

Подставим значение щ_п выражение для точной ЛАЧХ и найдем K_пр:

L(щ_п)=0.

20lg(К_рпр)-20lg(1,5)-20lg(-20lg( =0.

Отсюда К_{р пр} = 9,31.

При исследовании устойчивости системы по критерию Гурвица предельное значение коэффициента разомкнутого контура составило 8,12, то есть значения для К_{р пр} , найденные по разным критериям, совпадают.

9. Расчёт переходной характеристики и ошибки регулирования

Подадим на вход модернизированной системы скачок единичного уровня 1⁰(t), изображение которого имеет вид:

.

По определению передаточная функция по ошибке регулирования имеет вид:

W_ош(p) = = .

Для рассматриваемой модернизированной САР будем иметь:

д(p) = ч(p) • = • .

После преобразования получим:

д(p) = .

д(t) = L^-1.

Во временной области д(t) имеет вид:

д(t)=0,06•+0,939•cos(1,28•t)•+0,317•sin(1,28•t)•.

Построим график д(t), используя математический пакет Mathcad (рис. 21).

Установившееся значение ошибки регулирования равно

д_уст = д(?) = = 0.

Изображение переходной функции:

.

Передаточная функция модернизированной замкнутой системы:

W_з(p) =.

Рисунок 21

Подставим значения x(р) и W_з (р) в выражение для h(p):

h(p) = .

h(t) = L^-1.

Во временной области выражение для h(t) имеет вид:

h(t) 0,3•-4,69•cos(1,28•t)•-1,583•sin(1,28•t)•+5.

Построим график h(t), используя математический пакет Mathcad (рис.22):

Рисунок 22

В установившемся режиме:

д_уст = д(?) = = 5.

10. Литература

1. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления [электронный ресурс] / А.А. Первозванский. - СПб. : Лань, 2010. - 624 с. В ЭБС «Лань». Режим доступа:

http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=301

2.Ротач В.Я. Теория автоматического управления: учеб. для вузов /В.Я. Ротач. - М.: МЭИ, 2007. - 399 с.

3. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического управления / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. - Спб. : Профессия, 2004. - 747 с.

Размещено на Allbest.ru