Интегральные уравнения рассеяния изгибных волн на трещинах в пластине Тимошенко

Размещено на http://www.allbest.ru/

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАССЕЯНИЯ ИЗГИБНЫХ ВОЛН НА ТРЕЩИНАХ В ПЛАСТИНЕ ТИМОШЕНКО

Л.А.Фильштинский, проф.

Классическая теория пластин имеет весьма ограниченное применение в задачах динамики. При значительных толщинах и высоких частотах возбуждения необходимо учитывать инерцию вращения и сдвига элемента. В данной работе для исследования рассеяния упругих волн на сквозных трещинах используется уточненная теория типа Тимошенко [1]. Сформулированная граничная задача при помощи предложенных ниже интегральных представлений решений сводится к системе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений.

1 В пластине Тимошенко изгибающие моменты mij и перерезывающие усилия Q*i выражаются через кинематические величины u3=w(x1,x2,t), следующим образом [1,2]:

, ;

(1.1)

Здесь U1,U2,U3 - соответствующие компоненты вектора упругого перемещения; - углы поворота поперечных сечений пластинки; E,??- модуль Юнга и коэффициент Пуассона соответственно; K-коэффициент сдвига. В [1] принято . Уравнения поперечных колебаний пластины имеют вид :

(1.2)

Полагая и исключая в (1.2) функции ?j, находим (q=0)

(1.3)

Разложим теперь вектор на потенциальную и вихревую части согласно представлениям :

(1.4)

Тогда из (1.2) получим еще два уравнения:

,

(1.5)

Таким образом, волновое поле в пластине определяется функциями удовлетворяющими системе дифференциальных уравнений (1.3), (1.5). Усилия, моменты и тангенциальные перемещения выражаются через них следующим образом:

(1.6)

Интегрирование уравнения (1.3) дает:

(1.7)

где величины T и S учитывают соответственно влияние инерции вращения и поперечного сдвига; верхний знак относится к , нижний - к .

В соответствии с представлением нормального перемещения (1.7) проводится интегрирование уравнений (1.5).

Окончательно получаем:

(1.8)

Таким образом, усилия и моменты в пластине выражаются через функции , каждая из которых является решением соответствующего уравнения Гельмгольца.

2 Рассмотрим пластину, ослабленную сквозными криволинейными трещинами , на берегах которых действует гармонически изменяющаяся во времени изгибающая или сдвиговая нагрузка. Возбуждение может производиться также падающей из бесконечности монохроматической волной одного из трех возможных типов. В этих случаях в пластине с трещинами возникает сингулярное волновое поле, которое складывается из поля падающей волны и рассеянного дефектами поля.

Граничные условия для волнового поля на имеют вид

(2.1)

где - нормальная и касательная компоненты изгибающего момента и перерезывающая сила; и определяются рассеянной и падающей волнами соответственно; верхний знак относится к левому берегу разреза (при движении от его начала к концу ); - угол между нормалью к левому берегу и осью Ox1.

Ниже будем считать, что правые части (2.1) непрерывно продолжимы через разрезы ;

Тогда граничные условия (2.1) с учетом соотношений (1.6) можно представить в амплитудах так:

(2.2)

где определяются падающей из бесконечности волной.

Интегральные представления рассеянного поля возьмем в виде

где - подлежащие определению плотности; -функция Ханкеля первого рода, нулевого порядка.

Так, определенные функции удовлетворяют соответствующим уравнениям Гельмгольца в (1.8), а также условиям излучения [3] . Для корректного определения необходимо позаботиться, чтобы интегральные представления (2.3) обеспечили существование разрывов перемещений (углов поворота) и непрерывную продолжимость правых частей в (2.2) при переходе через . Кроме этого, за счет имеющегося произвола в плотностях интегральных представлений (2.3) потребуем, чтобы левые части граничных равенств (2.2) содержали лишь интегрируемые особенности. Последнее требование приводит к следующим связям между плотностями:

, (2.4)

Реализация намеченной выше программы дает возможность выразить функции через физические величины - скачки кинематических величин на разрезах. Имеем после громоздких вычислений:

(2.5)

Здесь - нормальная и касательная компоненты вектора радиус кривизны контура в точке элемент дуги; символ [*] обозначает скачок соответствующей величины при переходе через разрез.

Вычислим теперь предельные значения входящих в граничные условия (2.2) выражений, привлекая для этого интегральные представления (2.3) и формулы (1.6), (2.5). В силу самого построения плотностей эти граничные условия достаточно выполнить лишь на одном из берегов каждого разреза . Выполняя эту процедуру, получим систему уравнений:

(2.6)

Нет смысла выписывать здесь ядра и правые части системы, они определяются достаточно громоздкими выражениями. Отметим только, что все ядра и могут обладать не более чем слабыми особенностями в точках . Таким образом, поставленная граничная задача сведена к системе трех сингулярных интегро-дифференциальных уравнений относительно скачков кинематических величин на L.

В заключение отметим, что бегущие монохроматические волны всех трех типов в пластине Тимошенко не всегда возможны. В самом деле, согласно (1.7), (1.8) волновые числа можно представить так:

тимошенко пластина теория

Отсюда следует, что при любой частоте возбуждения, а при . Если , то и, наконец, при получаем . Следовательно, бегущая волна типа I возможна при любой частоте возбуждения, а бегущие волны типа 2, 3 - только в тех случаях, когда частота возбуждения больше критической частоты [4].

Таким образом, рассматривается задача о дифракции упругих волн на сквозных разрезах в пластине типа Тимошенко. Предлагаются корректные интегральные представления решений, позволившие свести соответствующую граничную задачу к системе сингулярных интегральных уравнений. Получены формулы для динамических коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах трещин в виде некоторых функционалов.

SUMMARY

The classic theory of plates have a limit application in dynamic problems. In the cases of considerable thicknesses and high frequencies the inertia of rotation and shear of element are took into account. This boundary problem with the help of proposed integral presentations of solution is led to the system of singular integro-differential equations. The specific theory of plates of Timoshenko type is used.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Mindlin R.D. Influence of rotary inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates // J.Appl.Mech. -1951.- V. 18, N1.- P. 31-38.

2. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн.- Киев: Наук.думка, 1978. - 307 с.

3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1977. - 736 с.

4. Chao C.C., Pao Y.H. On the flexural motion of plates at the cut-off frequency // Trans. ASME, Ser. E. - 1964. -N1. - P. 22-25.

Размещено на Allbest.ru