Функции преобразования кластерного одновиткового вихретокового датчика с тремя чувствительными элементами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Функции преобразования кластерного одновиткового вихретокового датчика с тремя чувствительными элементами

Введение

вихретоковый датчик контур чувствительный

Известны методы получения измерительной информации о многокоординатных смещениях торцов лопастей винтовентилятора газотурбинного двигателя с использованием кластерных одновитковых вихретоковых датчиков (КОВТД) [1, 2]. КОВТД представляют собой единую конструкцию, включающую несколько чувствительных элементов (ЧЭ) в виде отрезка проводника. ЧЭ размещаются в плоскости торца датчика, обращенной к объекту, и соединяются тоководами с первичными обмотками согласующих трансформаторов (СТ), через которые осуществляется связь с мостовыми измерительными цепями (ИЦ) [3, 4]. В ИЦ используется импульсное питание, а на выходе ИЦ формируется сигнал в виде напряжения, соответствующего первой производной тока в датчике в момент подачи питания (t=0) [5]. Основные рабочие характеристики КОВТД - семейства функций преобразований (ФП), каждая из которых представляет зависимость индуктивности ЧЭ, приведенной к выходу соответствующего СТ, от координат смещений торца лопасти.

До последнего времени семейства ФП определялись экспериментальным путем, и это затрудняло исследования КОВТД, направленные на совершенствование конструкций и оптимизацию параметров (например, диапазонов измерений и чувствительностей к координатам смещений).

В работе [6] предложена численная модель КОВТД, построенная на основе закона Био-Савара и модифицированного метода конечных элементов. Она позволяет в результате компьютерного эксперимента получить семейство ФП датчика для заданных геометрических и электрофизических параметров ЧЭ и имитатора лопасти в виде плоской прямоугольной пластины. Однако для решения задач оптимизации параметров более предпочтительны упрощенные модели [7, 8], в которых семейство ФП представлено аналитически, но в этих моделях число ЧЭ в КОВТД не превышает двух. Для построения моделей с большим числом ЧЭ используется аналогичный подход. В настоящей статье рассматривается модель, отличающаяся от существующей увеличенным числом ЧЭ (тремя), которая также обеспечивает получение семейств ФП в аналитическом виде. Приводятся результаты расчета семейства ФП для заданных параметров контура имитатора объекта и контуров с ЧЭ.

1.Функция преобразования

КОВТД с тремя ЧЭ [4] изображен на рис. 1, а. Каждый из ЧЭ представлен своим контуром, отдельным контуром показан имитатор объекта. Предполагается, что напряжение питания в виде одиночного импульса прямоугольной формы амплитудой E подается во все контуры ЧЭ одновременно (рис. 1, б). Там же представлена геометрическая модель контуров в системе координат 0XYZ (в) Конфигурация ЧЭ КОВТД задана в виде равностороннего треугольника, ориентированного вдоль оси X, но при расчете семейства ФП она может быть и другой. Угол поворота лопасти относительно оси X также может быть произвольным..

Под действием напряжения E в контурах ЧЭ возбуждаются нарастающие токи i₁, i₂, i₃, создающие первичные электромагнитные поля. В контуре имитатора объекта под действием ЭДС индукции e₄ возникает ток i₄, характеризующий вихревые токи и создающий вторичное электромагнитное поле. Через поверхность, ограниченную каждым j-тым первичным контуром,

проходит магнитный поток Ф_jj, возбуждаемый током контура i_j, и потоки Ф_jk, возбуждаемые токами соседних контуров i_k (j=1..3; k=1..4 и k№j). Потокосцепление j-того контура Y_j определяется полным магнитным потоком

 , (j=1..3).

Допуская, что параметры электромагнитного поля в пределах каждого контура (рис. 1, б) не зависят от координат и проводники, образующие контур, являются бесконечно тонкими, по закону Био-Савара можно определить величину индукции магнитного поля , которое создает каждая из сторон прямоугольного контура в окружающем пространстве. Тогда индукция в произвольной точке пространства определится как векторная сумма индукций от всех проводников, образующих стороны прямоугольного контура. Модуль индукции магнитного поля , создаваемого прямолинейным проводником с током конечной длины, определяется как [9]

,

где r - расстояние от точки, в которой определяется индукция, до проводника, б₁ и б₂ - углы, образованные радиус-векторами, проведенными в эту точку из начала и конца проводника и самим проводником, ? - магнитная проницаемость.

Аналогичным образом можно определить модуль индукции магнитного поля от каждого проводника в центре контура, возбуждаемого током этого контура (рис. 2, а), или в центре соседнего контура, возбуждаемого током соседнего контура (рис. 2, б). Вычисляя косинус угла между векторами l и m (l и n) через их скалярное произведение (, [10]), а расстояние (r) до проводника (l) как проекцию вектора m на направление вдоль вектора p, модуль индукции вычисляется по формуле:

 (1)

а

б

в

Р и с. 1. КОВТД (а), модель электромагнитного взаимодействия ЧЭ с имитатором объекта (б) и геометрическая модель контуров в системе координат 0XYZ (в)

С учетом дистрибутивности векторного произведения [10] магнитный поток первого контура является суммой четырех скалярных произведений индукций от токов i₁, i₂, i₃ и i₄ на площадь контура

,

где - вектор-нормаль площади контура , - индукция в центре от токов i_k, - единичный вектор направления индукции от j-того проводника k-того контура к центру площадки i-того контура, вычисляемый через нормализацию векторного произведения вектора направления j-того проводника k-того контура на вектор-радиус от начала j-того проводника k-того контура до центра площадки i-того контура (, рис. 2), , , , - вспомогательные вектора для вычисления модуля индукции по формуле (1) для j-того проводника k-того контура и центра площадки i-того контура.

а б

Р и с. 2. Определение индукции магнитного поля в центре контура с током (а) и в центре соседнего контура с током (б)

Собственная индуктивность 1-го контура и взаимные индуктивности в 1-м контуре от поля k-того контура вычисляются как

;(2)

(3)

и определяются геометрическими размерами этих контуров () и геометрическими параметрами их размещения друг относительно друга (). Каждый из векторов , , , задается своими проекциями в системе координат 0XYZ (рис. 1, б), а вычисление скалярных и векторных произведений, длин и сумм векторов осуществляется с использованием этих проекций по правилам векторной алгебры.

С учетом формул (2), (3) магнитный поток для 1-го контура рассчитывается, как

,

аналогично определяются магнитные потоки для остальных контуров. Учитывая, что потокосцепление и электродвижущая сила для каждого контура вычисляются по формулам и , на основе второго закона Кирхгофа можно составить систему уравнений, характеризующих изменение токов во времени:

(4)

Как уже отмечалось, в ИЦ КОВТД используется импульсное питание и реализуется метод первой производной [5], т.е. начальные условия таковы, что в момент времени t=0 все токи равны нулю. Тогда для начального момента времени t=0 в системе (4) исчезают слагаемые, содержащие токи, а система (4) определяется в матричной форме как

или .(5)

Система уравнений (5) относительно неизвестных производных , , , становится линейной. Если использовать формулу Крамера [10] для определения неизвестных системы линейных уравнений, то первое уравнение системы будет представлять собой

,

второе - ,

третье - ,

где - миноры соответствующих элементов матрицы M системы (5). Определяя индуктивность контура с ЧЭ как отношение напряжения питания контура и производной соответствующего тока, можно записать индуктивности контуров с ЧЭ КОВТД (L_ЧЭ1, L_ЧЭ2 и L_ЧЭ3) в аналитическом виде:

(6)

Индуктивности измерительных каналов, в которых включены ЧЭ:

(7)

где ? - коэффициент трансформации по индуктивности СТ.

Элементы матрицы M в (6), являющиеся собственными и взаимными индуктивностями, определяются по закону Био-Савара (формулы (2), (3)) и зависят от геометрических размеров контуров и их взаимного расположения в пространстве, в том числе и от координат смещений имитатора объекта относительно неподвижных ЧЭ. Таким образом, формулы (6)-(7) определяют семейство ФП как зависимости индуктивностей датчика от координат смещений имитатора объекта в системе координат 0XYZ. Расчет по этим формулам позволяет получить семейство ФП для любых геометрических размеров и взаимного расположения ЧЭ, геометрических размеров имитатора объекта, любых диапазонов изменения координат смещений. Благодаря использованию метода первой производной, когда выходной сигнал ИЦ фиксируется в момент t?0, индуктивности КОВТД оказываются не зависящими от сопротивлений контуров, а следовательно, от удельных сопротивлений материалов элементов конструкции датчика и имитатора объекта.

2.Примеры расчета функции преобразования

Геометрические параметры контуров (рис. 1, в) задаются в соответствии с размерами ЧЭ КОВТД и имитатора (a₁=a₂=45 мм, b₁=b₂=67 мм). Перемещение контура имитатора (перемещение точки геометрического центра в его торцевой части - г.ц.) относительно начала системы координат 0XYZ (рис. 1, в) производится в диапазонах (мм), (мм), . Коэффициент трансформации СТ =38.

а б

в г

Рис. 3. Результаты расчета семейства ФП в системе координат 0LX (Z=0)) и в системе координат 0LY (X=0)); результаты эксперимента в системе координат 0LX (Z=0) (в) и в системе координат 0LY (X=0) (г)

Для сравнения расчетного и экспериментального семейства ФП изготовлен макет КОВТД с тремя ЧЭ, образующими равносторонний треугольник в торцевой части корпуса цилиндрической формы. ЧЭ - линейный цилиндрический проводник длиной 67 мм. В макете датчика с помощью конструктивных мер обеспечено формирование электромагнитного поля в пространстве только током, протекающим по ЧЭ, остальные части контуров экранируются элементами корпуса. ЧЭ включен в ИЦ с импульсным питанием [5]. Изменения выходного сигнала ИЦ от смещения имитатора объекта по координатным осям пересчитываются в соответствующие значения индуктивности. Имитатор представляет собой медную пластину толщиной 0.5 мм и габаритными размерами 67x45 мм.

Эксперименты выполнялись на специальной градуировочной установке, позволяющей изменять координаты имитатора объекта в направлении осей X, Y, Z. Ввод сигнала в компьютер осуществлялся с помощью платы аналогового ввода L-783 (ЗАО «Л-КАРД») и согласующего устройства, в котором ИЦ реализована в соответствии с методом первой производной [5].

Семейства ФП определялись в условиях, когда остальные ЧЭ обесточены.

На рис. 3 приведены расчетные и экспериментальные семейства ФП в координатных осях 0LX при Z=0 (а, в) и в координатных осях 0LY при X=0 (б, г). Результаты показаны в относительных единицах. Относительная индуктивность L_отн определяется по формуле

,

где и - границы диапазона изменения индуктивности. Относительные координаты вычисляются как и , , где , , - верхние границы диапазонов изменения координат ().

Изменения индуктивности для расчетных и экспериментальных данных носят один и тот же характер.

Заключение

Разработана модель электромагнитного взаимодействия контуров с тремя ЧЭ между собой и с контуром, имитирующим лопасть винтовентилятора. На основе разработанной модели получено семейство ФП в виде формул, определяющих зависимости индуктивностей от X, Y, Z - координат смещений имитатора с учетом геометрических размеров ЧЭ, имитатора и направлений токов в ЧЭ.

В качестве примера произведен расчет ФП для конкретных значений перечисленных параметров. При этом характер изменения индуктивностей соответствует экспериментальным данным.

Библиографический список

1. Боровик С.Ю., Секисов Ю.Н., Скобелев О.П. Методы получения информации о многокоординатных смещениях торцов лопаток и лопастей в газотурбинных двигателях // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Труды VIII междунар. конф. (Самара, 24-29 июня 2006 г). Самара: Самарский НЦ РАН, 2006. С. 240-245.

2. Боровик С.Ю., Секисов Ю.Н., Скобелев О.П. Обобщенное представление методов получения измерительной информации о координатах смещений торцов лопаток и лопастей // Мехатроника, автоматизация, управление. 2007. №3. Приложение. С. 19-24.

3. Беленький Л.Б., Райков Б.К., Скобелев О.П., Секисов Ю.Н. Одновитковые вихретоковые датчики: от кластерных композиций к кластерным конструкциям // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Труды VI междунар. конф. (Самара, 14-17 июня 2004 г). Самара: Самарский НЦ РАН, 2004. С. 437-443.

4. Райков Б.К. Кластерный вихретоковый датчик для измерения смещений торцов лопастей винтовентилятора по трем координатам // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Труды VII междунар. конф. (Самара, 27 июня - 1 июля 2005 г.). Самара: Самарский НЦ РАН, 2005. С. 189-192.

5. Секисов Ю.Н., Скобелев О.П., Беленький Л.Б. и др. Методы и средства измерения многомерных перемещений элементов конструкций силовых установок / Под ред. Ю.Н. Секисова, О.П. Скобелева. Самара: Самарский НЦ РАН, 2001. 188 с.

6. Боровик С.Ю., Маринина Ю.В., Секисов Ю.Н. Модель кластерного одновиткового вихретокового датчика на основе метода конечных элементов // Вестник СамГТУ. Сер. Технические науки, 2007. №1(19). С. 76-83.

7. Тулупова В.В. Упрощенные аналитические модели взаимодействия чувствительных элементов кластерного одновиткового вихретокового датчика с торцами лопаток и лопастей // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Труды VIII междунар. конф. (Самара, 24-29 июня 2006 г). Самара: Самарский НЦ РАН, 2006. С. 246-252.

8. Райков Б.К., Секисов Ю.Н., Тулупова В.В. Функции преобразования кластерного одновиткового вихретокового датчика // Автометрия, 2008. №1(44).

9. Яворский Б.M, Детлаф А.А., Лебедев А.К. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. М.: ООО «Издательство Оникс», 2006. 1056 с.

10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1977. 832 с.

Размещено на Allbest.ru