Математические аспекты преобразования случайных процессов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математические аспекты преобразования случайных процессов

Реальный аналоговый сигнал в виде непрерывной функции времени зачастую неизвестен наблюдателю, так как система регистрации выдает этот сигнал либо в дискретной форме, либо в «сглаженном» аналоговом виде. При этом сглаженный сигнал будет некоторым «искаженным образом» реального сигнала. Разумеется, этот образ должен как можно более точно представлять реальный процесс.

Обычно для реального сигнала используется аналого-цифровой преобразователь (далее - АЦП). На вход АЦП подается реальный сигнал в аналоговом виде. На выходе получается либо другой аналоговый сигнал, либо его цифровая интерпретация.

Будем рассматривать случай, когда входной сигнал X(t) представляет собой нормальный стационарный случайный процесс (далее - СП), а АЦП является линейным преобразованием, заданным формулой

Y(t) = , (1)

где - интервал осреднения, Y(t) - выходная функция, имеющая либо дискретный, либо аналоговый вид.

Исследователь имеет возможность изменять , внося тем самым изменения в конструкцию АЦП. Выходной сигнал Y(t) будет, таким образом, функцией двух переменных, причем от времени он зависит случайно, а величина влияет на выходной сигнал детерминированно.

Учитывая линейный вид АЦП, можно утверждать [1, 2], что случайная функция Y(t) будет также нормальной, и тогда для ее полного задания (с точки зрения теории случайных процессов) требуется знание математического ожидания M[Y(t)] и корреляционной функции

R(t₁,t₂) = M[{Y(t₁) - M[Y(t₁)]}{Y(t₂) - M[Y(t₂)]}].

Здесь M[] - оператор взятия математического ожидания.

Введем математическое ожидание и корреляционную функцию случайного процесса X(t):

M[X(t)] = m = const,

K(t₁,t₂) = M[(X(t₁) - m)(X(t₂) - m)] = K(t₂ - t₁) = K(ф), K(ф) = K(- ф).

Известно [1], что при линейном преобразовании СП соответствующим линейным же преобразованиям подвергаются и математическое ожидание, и корреляционная функция, а именно

M[Y(t)] = = M[X(t)],

R(t₁,t₂) = . (2)

Таким образом, различие статистических свойств выхода (Y(t)) и входа (X(t)) АЦП определяется различием корреляционных функций R(t₁,t₂) и K(ф). Сравнительный анализ этих функций и является основным содержанием данной работы.

Двойной интеграл в (2) можно свести к определенному интегралу, произведя замену переменных. Формулы перехода к новым переменным, и якобиан преобразования будет таким:

.

Область интегрирования в этом случае преобразуется так, как показано на рис. 1.

Производя интегрирование, получим

R(t₁,t₂) ==

.

Обозначим t₂ - t₁ = и сменим переменную интегрирования:

. (3)

Отсюда видно, что СП Y(t) является стационарным.

Легко заметить, что величина s - в каждом интеграле сохраняет знак, и поэтому (3) можно записать в виде

R(ф) =. (4)

Как правило, корреляционная функция K(ф) для СП X(t) заранее неизвестна, так как реализации СП X(t) согласно (1) преобразуются в реализации Y(t). По этим данным можно получить оценку для корреляционной функции R(ф). Поэтому в дальнейшем будем считать, что известна корреляционная функция R(t₁,t₂) и требуется найти (восстановить) корреляционную функцию K(ф).

Как видно из (4), функции R(ф) и K(ф) связаны интегральным уравнением. Для решения этого уравнения будет использоваться операция дифференцирования, вследствие чего оговоримся сразу, что производные в дальнейшем будут пониматься в обобщенном смысле [3].

Дифференцируя дважды по ф левую и правую часть соотношения (3), получим неоднородное разностное уравнение относительно искомой функции K(ф):

. (5)

Как известно [4], общее решение уравнения (5) равно сумме общего решения однородного уравнения

K(ф - ) - 2K(ф) + K(ф + ) = 0 (6)

и частного решения неоднородного уравнения (5).

Легко видеть, что общим решением уравнения (6) является произвольная периодическая с периодом функция (ф). В силу того, что корреляционная функция K(ф) стремится к нулю при |ф| , следует принять функцию (ф) тождественно равной нулю.

Для нахождения частного решения уравнения (5) введем, следуя [5], оператор сдвига exp[(d/dф)] на величину . Формально, разложив экспоненту в ряд, получим для некоторой функции f (ф):

.

С использованием этого оператора соотношение (5) принимает вид

или

.

Разрешая это уравнение, получим

. (7)

Легко проверить подстановкой, что (7) действительно является решением уравнения (5).

Соотношение (7) характеризует связь между действительной корреляционной функцией процесса K(ф) и корреляционной функцией после аналого-цифрового преобразования сигнала R(ф).

Рассмотрим некоторые наиболее часто использующиеся в практических приложениях функции R(ф).

1. Приведенная ниже корреляционная функция соответствует марковскому СП [6], так как мы рассматриваем нормальные случайные функции.

.

Здесь D - дисперсия СП Y(t), а положительный параметр б характеризует статистическую связь между сечениями случайной функции. Величина 1/б часто называется постоянной времени затухания корреляционных связей. Начиная с ф ? 3/б можно считать R(ф) ? 0. Другими словами, при | | ? 3/б случайные величины Y(t) и Y(t + ф) можно считать уже практически независимыми.

Используя соотношение (7) для корреляционной функции K(ф) невозмущенного процесса X(t), получим выражение

.

Дисперсия D случайного процесса X(t), как известно, равна K(0), т.е.

.

Таким образом, для отношения корреляционных функций получим

где x = (рис. 2). Отметим, что данное отношение есть фактически отношение дисперсий случайных процессов X(t) и Y(t).

Легко видеть, что, оценивая корреляционную функцию K(ф), при некоторых значениях и (когда произведение велико) можно иметь значительную погрешность.

Итак, при использовании в статистическом анализе корреляционной функции R(ф) вида (8) следует оперировать значениями kR(ф); это позволяет устранить погрешность, возникающую при аналого-цифровом преобразовании (1).

2. Следующая осредненная корреляционная функция содержит параметр б, обладающий свойствами, аналогичными свойствам б из (8), но вид R(ф) будет несколько другой. Как и раньше, D является дисперсией СП Y(t).

.

Используя, как и раньше, формулу (7), получим

Принципиальным отличием этого случая от предыдущего является то, что теперь отношение k зависит и от величины ф.

В зависимости от конкретных значений параметров легко проанализировать отношение k(, , ) и скорректировать в дальнейшем значения K(ф).

При ф = 0 получим отношение дисперсий реальной и осредненной случайных функций:

,

где, как и раньше, x = (рис. 3).

3. Рассмотрим теперь двухпараметрическую корреляционную функцию, которая в отличие от предыдущих случаев может менять знак:

,

где смысл параметров очевиден. Как видно, нули функции R(ф) следуют с периодом /.

Аналогично предыдущим случаям при помощи (7) получим

.

Легко видеть, что распределение нулей функции K(ф), сохраняя периодическим тот же период, будет другим.

Отсюда легко определяется отношение корреляционных функций:

.

Полученное выражение дает возможность в зависимости от параметров корреляционной функции вводить поправочные коэффициенты, исправляя тем самым погрешности АЦП.

При ф = 0 из предыдущей формулы, обозначив x = , y = , получим отношение дисперсий СП X(t) и Y(t).

.

Полученные результаты убедительно свидетельствуют о необходимости корректировать результаты, полученные при обработке случайных данных с помощью АЦП.

Библиографический список

сигнал аналоговый функция преобразование

1. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Советское радио, 1968. 504 с.

2. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. 540 с.

3. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. М.: Советское радио, 1978. 376 с.

4. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1975. 352 с.

5. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973. 544 с.

6. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. М.: Наука, 1968. 464 с.

Размещено на Allbest.ru