Исследование установившейся реакции динамических звеньев на гармонические входные сигналы. Определение частотных характеристик звеньев способом, близким к экспериментальному. Аналитический расчет частотных характеристик

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Сибирский федеральный университет»

Лабораторная работа

Исследование установившейся реакции динамических звеньев на гармонические входные сигналы. Определение частотных характеристик звеньев способом, близким к экспериментальному. Аналитический расчет частотных характеристик

Красноярск 2020

Введение

автоматический частотный апериодический звено

Порядок исследования САУ включает математическое описание системы, исследование ее установившихся режимов и исследование переходных режимов.

Математическое описание системы, т.е. получение ее математической модели, начинается с разбиения ее на звенья и описания этих звеньев. Это описание может осуществляться либо аналитически в виде уравнений, связывающих входные и выходные величины звена, либо графически в виде характеристик, описывающих ту же связь. По уравнениям или характеристикам отдельных звеньев составляются уравнения или характеристики системы в целом, на основании которых и исследуется система.

Целью данной лабораторной работы является ознакомление с теорией о типовых звеньях систем автоматического управления, изучение переходные и частотные характеристики различных типовых звеньев САУ, применив при этом средства компьютерного моделирования.

1. Теоретические сведения

В функциональной схеме система разбита на звенья исходя из выполняемых ими функций, т.е. назначения. Для математического описания систему разбивают на звенья по другому принципу, а именно - исходя из удобства получения этого описания. Для этого систему следует разбивать на возможно более простые («мелкие») звенья, но вместе с тем необходимо, чтобы они обладали направленностью действия.

Звеном направленного действия называется звено, передающее воздействие только в одном направлении - с входа на выход, так что изменение состояния такого звена не влияет на состояние предшествующего звена, работающего на его вход. В результате при разбиении системы на звенья направленного действия математическое описание каждого такого звена может быть составлено без учета связей его с другими звеньями. Соответственно, математическое описание всей системы в целом может быть получено как совокупность составленных независимо друг от друга уравнений или характеристик отдельных звеньев, образующих систему, дополненных уравнениями связи между звеньями. В результате разбиения САУ на звенья направленного действия и получения математического описания звеньев составляется структурная схема системы, которая и является ее математической моделью.

В работе мы сталкиваемся с различными типовыми звеньями, и каждое звено имеет собственное значение определённых характеристик. Характеристики звена делят на временные и частотные.

Временные характеристики:

переходная характеристика h(t);

весовая функция или импульсная переходная функция w(t).

Частотные характеристики:

амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) или частотная передаточная функция;

амплитудная частотная характеристика (АЧХ);

фазовая частотная характеристика (ФЧХ);

логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ либо ЛАХ);

логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ либо ЛФХ).

Перечисленные выше характеристики могут быть сняты экспериментально или построены по уравнению звена. Имеется и обратная возможность - по экспериментально полученным характеристикам составить уравнение звена. Кроме того, с помощью этих характеристик можно определить реакцию звена на любое возмущение произвольного вида. Эти характеристики являются исчерпывающим описанием динамических свойств звена.

2. Ход работы

Задача 1

Для устойчивого апериодического звена первого порядка, имеющего ПФ вида

с произвольными параметрами k, T получить описанным выше способом значения АЧХ и ФЧХ на частотах щ=0.1/T; 0.5/T; 1/T; 2/T; 10/T.

Пусть k = 6, T = 0,6, тогда частотные характеристики данного звена будут выглядеть, как на рисунке 1.

Рисунок 1. Частотные характеристики апериодического звена первого порядка

Из графика видно, что при увеличении частоты, падает напряжение. Теперь определим частотные характеристики для данного звена аналитическим методом. Для этого воспользуемся следующими формулами:

Тогда АЧХ будет равна .

ФЧХ равна

С помощью программы Classic определим частотные характеристики экспериментальным способом.

На входе исследуемого звена включаем дополнительный фильтр с передаточной функцией

где: T_f = 1/щ; щ - частота колебаний единичной амплитуды на выходе фильтра.

Тогда на частоте щ = 0,1/T = 0,1/0,6 = 1/6 > = 6. Получим график частотных характеристик на заданной частоте (рисунок 2).

Рисунок 2. График ЧХ на частоте равной 0,1/T

A_max = 5.97, ?ц = -0,5*360/38 = - 4,74°

На частоте щ = 0,5/T = 0,5/0,6 = 5/6 > = 1,2.

Рисунок 3. График ЧХ на частоте равной 0,5/T

A_max = 5.4, ?ц = -0,5*360/7,5 = - 24°

На частоте щ = 1/T = 1/0,6 > = 0,6.

Рисунок 4. График ЧХ на частоте равной 1/T

A_max = 4,54, ?ц = -0,38*360/3,8 = - 36°

На частоте щ = 2/T = 2/0,6 > = 0,3.

Рисунок 5. График ЧХ на частоте равной 2/T

A_max = 3,33, ?ц = -0,25*360/2 = - 45°

На частоте щ = 10/T = 10/0,6 > = 0,06.

Рисунок 6. График ЧХ на частоте равной 10/T

A_max = 0,65, ?ц = -0,1*360/0,4 = - 82,5°

Ответить на следующие вопросы:

Как связано время, начиная с которого можно считать процесс на выходе звена установившимся (при гармоническом сигнале на входе) со значением постоянной времени T? С частотой колебаний щ на входе?

Таким образом, при увеличении частоты колебаний входного сигнала время, начиная с которого можно считать процесс на выходе звена установившимся, уменьшается. При увеличении параметра T значения расчетных частот колебаний входного сигнала уменьшаются, и время установления колебаний увеличивается. Коэффициенты при функциях не влияют на «быстродействие» сигнала, а только устанавливают их амплитуду.

Какова относительная ошибка определения значений АЧХ и ФЧХ этим способом?

Относительная ошибка определения АЧХ и ФЧХ таким методом довольно высока, так как основана на приближенных значениях разности фаз и амплитуды.

Задача 2

Для устойчивого звена второго порядка с ПФ вида

с произвольными параметрами k, T, 0<о<1 получить описанным выше способом значения АЧХ и ФЧХ для нескольких значений частоты из диапазона [0.1/T; 10/T]. Найти резонансную частоту и высоту резонансного пика АЧХ при значениях коэффициента демпфирования о = 0.7; 0.1; 0.05.

Примем k = 6, T = 0,6, о = 0,5. Тогда на частоте щ = 0,1/T = 0,1/0,6 > = 6. Построим график ЧХ данного звена (рисунок 7).

Рисунок 7. График ЧХ на частоте равной 0,1/T

A_max = 6,03, ?ц = -0,8*360/38,2 = -7,5°

На частоте щ = 0,6/T = 0,6/0,6 > = 1.

Рисунок 8. График ЧХ на частоте равной 0,6/T

A_max = 6,84, разность фаз = -0,875*360/6,3 = -50°

На частоте щ = 6/T = 6/0,6 > = 0,1.

Рисунок 9. График ЧХ на частоте равной 6/T

A_max = 0,68, разность фаз = -0,35*360/4,4 = -28,6°

Резонансная частота определяется из равенства знаменателя передаточной функции нулю.

Так, при о = 0.7; 0.36s² + 0.84s + 1; отсюда получаем, что s_1,2 = - 1.17 ± j1.19; |s_1,2| 2. Строим график с T_f = Ѕ = 0,5 (рисунок 10).

Рисунок 10. График ЧХ при о = 0.7 и T_f = 0,5

Из графика видно, что высота пика А_max = 3,9.

При о = 0.1; 0.36s² + 0.12s + 1; отсюда s_1,2 = - 0,17 ± j1.66; |s_1,2| 2. Строим график с T_f = Ѕ = 0,5 (рисунок 11).

Рисунок 11. График ЧХ при о = 0.1 и T_f = 0,5

Из графика видно, что высота пика А_max = 15,5.

При о = 0.05; 0.36s² + 0.06s + 1; отсюда s_1,2 = - 0,08 ± j1.66; |s_1,2| 2. Строим график с T_f = Ѕ = 0,5 (рисунок 12).

Рисунок 12. График ЧХ при о = 0.05 и T_f = 0,5

Из графика видно, что высота пика А_max = 20,73.

Ответить на следующие вопросы:

Чему равно время, необходимое для практического затухания переходного процесса для каждого из значений частоты колебаний на входе? Какому числу периодов колебаний приближенно равно это время?

Время, необходимое для практического затухания переходного процесса при частоте на входе:

w = 0,167; t = 10c. - 0.25 периода;

w = 1; t = 7c. - 1 период;

w = 10; t = 6c. - 9 периодов.

Каков характер переходных процессов по огибающей?

Переходные процессы по огибающей носят характер затухающего сигнала.

Вывод

В ходе работы выполнили поставленные задачи, ознакомились с типовыми звеньями, научились работать с ними и их характеристиками. Также ознакомились и поработали с программой анализа структурно - сложных систем управления Classic. Определили переходные и частотные характеристики для каждого звена, ответили на поставленные вопросы, а также проанализировали изменения в значениях характеристик при изменении входящих величин. Построили графики характеристик различных звеньев. Исследовали зависимость резонансного пика ЛАЧХ от коэффициента демпфирования и зависимость резонансной частоты от постоянной времени. Определили оптимальное значение коэффициента демпфирования. Результаты получены, цели работы достигнуты.

Размещено на Allbest.ru