Замечание о выборе подхода к моделированию нелинейностей

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Орловский государственный технический университет Россия, г. Орёл, тел. (0862) 76-19-10

Замечание о выборе подхода к моделированию нелинейностей

Канд. техн. наук Раков В.И.,

д-р техн. наук Константинов И.С.,

инженер Чудный А.Ю.

Введение

Известные особенности характеристик [1], отображающих закономерности преобразования входных сигналов имеют важное методологическое значение:

1. Конечность и ограниченность образов сигналов наряду с объективностью постепенного (непрерывного) поступления сигнала y=F(x) во времени и пространстве приводит к восприятию сигнала как наращиваемого явления, агрегатируемого «порциями» своей формы, каждая из которых не может выходить за границы цельного образа сигнала (нелинейности),

2. Основополагаемость формы нелинейности (сигнала), её непрерывность и уникальность, воспринимаемые как качества непрерывной функции неизвестного аналитического описания, заданной поточечно, показывают, что функции, используемые для формирования образа нелинейности на заданном интервале, могут и должны иметь асимптотический характер за границами заданных интервалов. Этот характер по самому существу агрегатируемости не может трактоваться иначе, чем выражением:

, , (1)

где f (x) функции, из которых составляется (агрегатируется) в заданном интервале аппроксимирующая зависимость (заданной нелинейности). Учитывая, что аппроксимирующая зависимость может использоваться в формальных моделях, представляющих в общем случае дифференциальные уравнения, составляющие их функции должны обладать качеством непрерывной дифференцируемости. Дифференцируемость и выполнение условия (1) характерно для зависимостей экспоненциального вида и, в частности, так называемых гауссовых функций (импульсов, сигналов). Эти функции нашли широкое применение [например, 2-7]. В настоящей работе рассматривается экспоненциальное представление задачи и предлагается подход к построению методики аналитического описания нелинейных характеристик посредством гауссовых функций.

Приближение на множестве экспонент

{exp(ixj)},

где- поле вещественных чисел, j, j 1- величины, заранее неизвестные, называют нелинейной экспоненциальной аппроксимацией. В самом простом случае при j =1 экспоненциальные приближения проводятся на линейной оболочке Ai exp[ix], где i заданные параметры.

1. Линейная экспоненциальная аппроксимация

сигнал нелинейность экспоненциальный аппроксимация

Основная идея определения i при расчете параметров аппроксимации сводится к решению линейных уравнений с предварительным анализом либо определителя Вандермонда (интерполяция), либо детерминанта Грамма (среднеквадратичные приближения), либо выполнения условий Хаара (равномерные приближения). Обычно, параметры i (i = 1,2,..., n) неизвестны и для их выбора необходимы интуитивные соображения (исходя из физического смысла задачи, преследуемой цели, желаемой точности и т.п.) или многоэтапные численные процессы подбора i Однако, в случае интерполяции, Прони «дал простой метод нахождения показателей степени для равноотстоящих данных. Пусть

f(x) = A0 + A1 + ...+ Ak-1 (2)

для некоторого множества равноотстоящих значений x=xj (j =1, 2, ...,n) не будет ограничением считать, что xj=j. Прони заметил, что, если все члены (i = 0,1,..., k-1) удовлетворяют некоторому разностному уравнению k-ого порядка с постоянными коэффициентами, то характеристические корни этого уравнения равны =. Следовательно, f (x) также удовлетворяет этому разностному уравнению.

Пусть это разностное уравнение есть:

f (j)+ c1f (j+1) +...+ ckf (j+k) = 0 (j = 0,1,2,...) (3)

Возможны два случая. Если мы имеем ровно столько же уравнений (3), сколько неизвестных cm(m =1,2,...,k), то следует рассмотреть «персимметричный» определитель .

Если он не равен нулю, то можно решить уравнения для cj. Зная cj, найдем характеристическое уравнение

k + c1k-1 +...+ ck = 0

и из его корней найдем ai.

Теперь, когда известны ai, можно решить первые k уравнений для Ai. Таким образом, 2k равномерно расположенных узлов f (x) определяют 2k неизвестных ai и Ai [8, С.342].

Пока до конца не проработаны методы экспоненциальной аппроксимации на любой сетке узлов, но при небольшом количестве членов равенства (2) может быть использован известный способ, основанный на том, что для правой части разложения (2), обозначаемой как

f (x) = F(A1, A2, ..., Ak-1, a1, a2, ..., ak-1, x), (4)

подбирается такое количество функций ( A1, A2, ..., Aj, x) или (a1, a2, ..., aj, x), j[1,k-1], аппроксимирующих f (x), которое сделало бы возможным определение остальных неизвестных параметров {ai} при (x) и {Ai} при (x).

2. Нелинейная экспоненциальная аппроксимация. В качестве базисных функций, то есть функций, на совокупности которых проводится приближение, предлагаются функции типа «гауссова импульса»: {exp[-i(x-xi) j]} , где iN (множество натуральных чисел).

Обобщенный аппроксимирующий многочлен в этом случае будет иметь вид:

(x) = A1+ A2+ ...+ Ak, (5)

где x1, x2, ..., xk - некоторые действительные величины.

Тогда задача приближения в плане равномерной аппроксимации формулируется следующим образом. Для данной функции f (x) найти параметры {Ai, i, xi}i=1,2,...,k. обобщенного многочлена (x) так, чтобы:

, (6)

где [a, b]- интервал аппроксимации, - заданная погрешность.

Решением поставленной задачи аналитическим методом при условии определения такого (x), для которого достигается

, (7)

может служить общая формальная Ф-схема [9]:

(x) = f (x) - (x), (8)

/(x) = f /(x) - /(x) = 0. (9)

Из (9) определяется решение x = = g(Ai, i, xi), (10)

для которого справедливо /() 0 (11)

Параметры {Ai, i, xi}i = 1,2,..., k вычисляются из серии равенств:

() = 0, () = 0, () = 0 (i = 1,2,..., k)

или, что то же самое, из системы уравнений:

[(g(Ai, i, xi))] = 0; [(g(Ai, i, xi))] = 0; [(g(Ai, i, xi))] = 0 (12)

(i = 1,2,..., k) в предположении, что выражение (7) справедливо.

Сформулированная задача аппроксимации по своей постановке шире, чем задача определения минимакса . Действительно, для каждого значения k, то есть количества слагаемых (5), существует для данной f (x) определенное значение погрешности:

= k ,

совокупность которых образует некоторую последовательность, например:

1 > 2 > 3... > k > k+1. (13)

Величина заданной ошибки аппроксимации может не совпадать ни с одним из значений (13), например, находиться в промежутке этих значений:

j < < j -1 (14)

Поэтому возможны два принципиально различных подхода к решению поставленной задачи приближения.

Смысл первого заключается в замене погрешности на j и дальнейшем поиске обобщенного многочлена j(x), минимизирующего по параметрам {Ai, i, xi }. Приведенная выше формальная Ф-схема, которая и определяет наиболее общий алгоритм получения результата, обуславливается первым подходом, намечает, в общем, довольно сложный путь вычисления параметров {Ai, i, xi } (i = 1,2,..., k) и, практически, не позволяет успешно разрешать задачу аппроксимации.

Идея, лежащая в основе второго подхода основывается на следующей идее. Пусть заданная погрешность удовлетворяет (14), тогда, в силу того, что j(x) непрерывна по своим параметрам {Ai, i, xi }, существует некоторое количество обобщенных многочленов , удовлетворяющих неравенству (6) и отличных от многочлена наилучшего приближения, для которого справедливо условие (7). Решение задачи аппроксимации сводится к нахождению хотя бы одного из них. Именно возможность нахождения одного из них открывает путь реализации при использовании метода функции ошибки с учетом методологических представлений об экспоненциальных функциях гауссова типа [10].

Заключение

Анализ задач приближения на множестве экспонент {exp(ixj)} позволяет говорить о сложности организации как процессов аппроксимации посредством линейной оболочки Ai exp[ix], так и процессов приближения нелинейного характера.

В линейной оболочке установление параметров i (i = 1,2,..., n) основывается на неких интуитивных соображениях физического смысла прикладной задачи, преследуемых целей, желаемой точности и т.п. или на многоэтапности численных процессов подбора i. Не смотря на не проработанность методов экспоненциальной аппроксимации на любой сетке узлов, при небольшой размерности оболочки (2) возможно получение подходящих результатов.

Для организации процессов аппроксимации в нелинейной оболочке на базисных элементах {exp[-i(x-xi) j]} возможно решение задачи моделирования нелинейностей на основе метода функции ошибки с использованием характерных особенностей «гауссовых» функций.

Литература

1. Раков В.И. К обоснованию необходимости применения средств интерактивной аппроксимации при моделировании сигналов/ Аэродинамика, механика и аэрокосмические технологии: сб. тр. науч.-техн. конф.(АМАТ-2001) - Воронеж: ВГТУ, 2001. - Ч.2. - С. 69 - 78.

2. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. - М.: Наука, 1976. - 536 с.

3. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - М.: Сов. Радио., 1967. - Кн. 1. - 320 с.

4. Бенеш В.Э. Математические основы теории телефонных сообщений. - М.: Связь, 1968. - 360 с.

5. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и оптике. - М.: Сов. Радио, 1971. - 314 с.

6. Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. - М.: Мир, 1971. - Вып. 1. - 230 с.

7. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. - СПб.: Питер, 2003. - 604 с. 79.

8. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров: Пер. с англ. /Под ред. Р.С.Гутера.-2-е изд. - М.: Наука, 1972. - 400 с.

9. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Наука, 1966. - Т.1. - 304 с.

10. Раков В.И. Метод нелинейных приближений для интерактивной аппроксимации. // Сооружения, конструкции, технология и строительные материалы ХХI века: Сб. докл. II Межд. науч.-прак. конф. - Белгород: БелГТАСМ, 1999. - Ч.3. - С.243 - 247.

Размещено на Allbest.ru