Размещено на http://www.allbest.ru/

Возможность применения преобразований сигналов для идентификации типов стационарного процесса

Моновская А.В., Секаев Д.А.

Annotation

The brief review of Fourier-transform, Short-Time Fourier-transform and Continuos Wavelet transform. Uses of Fourier-transform for definition of type of stationary process.

сигнал преобразование стационарный электронный

Неотъемлемой частью современного электронного оборудования являются импульсные системы преобразования энергии. Наличие в таких системах субгармонических и хаотических режимов является общепризнанным фактом. В связи с этим встает задача точного определения периода установившихся колебаний в системе с минимальной задержкой. Это позволит посредством адаптивного управления значительно повысить эффективность преобразования. В рамках данной статьи будет дано краткое описание некоторых общеизвестных преобразований сигналов, а в заключение приведен пример их применения для определения типа стационарного процесса.

Начнем с самого распространенного - Фурье-преобразования. Большинство сигналов, с которыми приходится сталкиваться на практике, представлены во временной области, то есть являются функциями от времени. Иными словами, мы имеем амплитудно-временное представление сигнала: независимая координата - ось времени и зависимая - ось амплитуд. Часто такое представление сигнала, особенно в случае его сложной формы, не очень удобно. Фурье-преобразование - это однозначное и обратимое преобразование, которое переводит сигнал из временной области в частотную. В качестве базиса оно использует ортогональные синусоиды. После его применения получается набор компонентов, которые отражают наличие тех или иных частот в сигнале. Совокупность этих компонентов называется спектром.

Преобразование Фурье наиболее эффективно применять для стационарных периодических сигналов. Сигнал называется стационарным, если содержащиеся в нем частоты не меняются со временем. Применив к такому сигналу преобразование Фурье на интервале кратному периоду, мы получим четкий спектр, состоящий из пиков на частотах, которые присутствовали в исходном сигнале. Однако чисто стационарных сигналов в природе существовать не может, поскольку все они имеют конечную длительность. Поэтому имеет смысл говорить о стационарности лишь на определенном временном интервале. Но даже в этом случае на сигнал всегда будут действовать различные побочные факторы, которые будут изменять его форму. Следствием этого будет появление в спектре дополнительных побочных пиков. Например, если применить преобразование Фурье к сигналу в электрической сети, то его спектр будет состоять из значительного пика на частоте 50 Гц и множества меньших пиков на различных частотах. В зависимости от временного интервала, в течение которого было произведено преобразование, и степени шумового воздействия побочные пики могут оказаться того же порядка, что и основной. В этом случае анализ спектра становится весьма затруднительным.

Теперь рассмотрим другой случай: пусть наш процесс будет нестационарным и иметь на первом полупериоде синусоиду частотой 50 Гц, а на втором - 100 Гц. Применив к такому сигналу преобразование Фурье, получается спектр, содержащий два значительных пика на частотах 50 и 100 Гц, вокруг которых будет множество меньших. Вспомним, что если бы эти частоты были бы в сигнале всегда, спектр состоял бы только из пиков на этих частотах. Таким образом, спектр сигнала, содержащего последовательность двух синусоид, визуально очень похож на спектр сигнала, полученного суммированием этих двух синусоид при наличии шумовых воздействий. Отсюда следует вывод - наличие в спектре значительных пиков, вокруг которых множество меньших не позволяет определить, были ли эти частоты в сигнале с самого начала или появились позднее. Напомним, что поскольку преобразование Фурье - это однозначная операция, речь идет не о потере информации в спектре, а о затруднительной интерпретации полученных результатов.

Как показано выше, преобразование Фурье слабо подходит для анализа нестационарных процессов, поскольку при амплитудно-частотном представлении сигнала весьма затруднительно определить начала существования той или иной частоты. Одним из способов обхода данного ограничения является оконное преобразование Фурье (ОПФ). ОПФ - это попытка представить сигнал в частотно-временной области.

Пусть исследуемый сигнал можно условно считать кусочно-стационарным, и пусть интервалы стационарности невелики. В этом случае возможно применить преобразование Фурье только на участках стационарности. Для этого пользуются так называемой оконной функцией, которая в простейшем случае представляет прямоугольник, который равен единице на некотором ограниченном интервале и равен нулю вне этого интервала. Исходный сигнал перемножается с оконной функцией, другими словами, мы просто обнуляем сигнал вне промежутков окна. К полученному сигналу применяется преобразование Фурье. Затем оконная функция сдвигается по оси времени и операции повторяются, пока не будет достигнут конец сигнала. В итоге мы получим трехмерное представление сигнала в осях амплитуды, времени и частоты. Частоты, которые имели ограниченную длительность в сигнале, будут локализованы на временной оси. Таким образом, на первый взгляд нам известно не только, какие частоты присутствуют в исходном сигнале, но и в какие моменты времени они встречаются. Однако это не совсем так.

Основным ограничителем для ОПФ является принцип неопределенности Гейзенберга, согласно которому нельзя точно получить частотно-временное представление сигнала, то есть невозможно определить для произвольного момента времени, какие частотные компоненты присутствуют в сигнале, можно лишь говорить о том, что в течение определенного интервала времени в сигнале присутствовали некоторые частоты. Таким образом, чем уже используемая оконная функция, тем четче разделение частот по времени, однако на частотной оси будут уже не хорошо различимые пики, а только полосы частот. Если увеличивать ширину окна, то частотные пики будут становиться четче, но на временной оси картинка будет все более расплывчатой. Если ширина окна окажется равной длительности сигнала, то никакой временной информации получить не удастся, и ОПФ перейдет в обычное преобразование Фурье. Следовательно, чем шире окно, тем четче разделение по частотам и тем расплывчатей сигнал на временной оси.

Как сказано выше, от ширины окна зависит то, какое разрешение будет по временной и по частотной осям. Проблема заключается в том, что выбор окна необходимо осуществить до преобразования, а установленное им распределение разрешений одинаково для всех частот. Для обхода этого ограничения можно использовать вейвлет-преобразование. В нем, в отличие от ОПФ, возможно, ширина окна не является постоянной. Вейвлет-преобразование имеет плохое разрешение по частоте и хорошее по времени на высоких частотах, а на нижних частотах - наоборот.

Теперь попробуем применить рассмотренные преобразования для определения типа стационарного процесса. Для примера рассмотрим динамическую систему с широтно-импульсной модуляцией второго рода. Будем исследовать ее выходное напряжение. Нас интересует сценарий перехода системы в хаотический режим через удвоение периода установившихся несинусоидальных колебаний в зависимости от коэффициента усиления ошибки K_p. При этом необходимо рассмотреть только первые два удвоения периода, то есть требуется идентифицировать три режима:

1. Период установившихся колебаний равен периоду модуляции (T_к=Т_м) - 1 тип.

2. Период установившихся колебаний равен двум периодам модуляции (T_к=2Т_м ) - 2 тип.

3. Период установившихся колебаний равен четырем периодам модуляции (T_к=4Т_м) - 4 тип.

Исследование проведем на следующем сигнале:

· длительность исследуемого сигнала - 600 периодов модуляции;

· помехи и шум в сигнале отсутствуют;

· система начинает работу с нулевых начальных условий и примерно 50 периодов идет колебательный переходный процесс с перерегулированием около 80%;

· после окончания переходного процесса в системе идет 1-тип процесс;

· после 200 периодов модуляции коэффициент усиления ошибки увеличивается, и система почти сразу переходит в 2-тип процесс;

· после 400 периодов модуляции коэффициент усиления ошибки вновь увеличивается, и система переходит в 4-тип процесс.

Вот несколько путей решения задачи:

1. Применить преобразование Фурье на протяжении всех 600 периодах.

2. Применить ОПФ или вейвлет преобразование на всех 600 периодах.

3. Непрерывно применять преобразование Фурье на некотором ограниченном временном интервале.

Первый вариант придется сразу отбросить, поскольку, как было сказано выше, по виду спектра нельзя сказать, на каком временном интервале присутствовала та или иная частота. Применение ОПФ и вейвлетов теоретически возможно, но их применение в данном случае можно считать грубой ошибкой по следующим причинам: 1) хотя при правильном выборе окна они позволят получить верное отображение сигнала в частотно-временной области, анализ этого отображения с точки зрения алгоритмизации представляет отнюдь не тривиальную задачу; 2) поскольку для преобразования, безусловно, будет использоваться цифровая техника, важное значение приобретает ресурсоемкость данных преобразований, а она в случае использования простых однопоточных микропроцессоров будет на много периодов превышать период модуляции.

Таким образом, остается только применять преобразование Фурье на некотором ограниченном временном интервале. Определимся со значением этого интервала. Как известно, спектр периодического сигнала состоит из пика на основной частоте, то есть частоте, обратной его периоду, и дополнительных пиков на кратных частотах. В нашем случае возможны три стационарных периодических процесса:

· 1-тип - спектр состоит из основного пика на частоте (T_M)^-1, и пиков на кратных частотах;

· 2-тип - спектр состоит из основного пика на частоте (2T_M)^-1, и пиков на кратных частотах;

· 4-тип - спектр состоит из основного пика на частоте (4T_M)^-1, и пиков на кратных частотах.

Таким образом, для определения текущего процесса минимальный период разложения в спектр составляет в данном случае 4 периода модуляции. Если в системе идет 4-тип процесс, первый пик будет на частоте (4T_M)^-1, если 2-тип - на частоте (2T_M)^-1 и наконец, если 1-тип - на частоте (T_M)^-1. Однако здесь есть неопределенность с переходным процессом. Если провести разложение на интервале, равном 4 периодам модуляции, когда процесс в системе еще не установился, на частоте (4T_M)^-1 пик, безусловно, будет. Для решения этой проблемы можно увеличить интервал разложения до 8 периодов, тогда, пока идет переходный процесс, пик на частоте (8T_M)^-1 будет присутствовать, но как только система перейдет в стационарный процесс он исчезнет. Еще одной проблемой в данном случае является воздействие на систему шумовых процессов. В качестве решения можно попробовать увеличить в целое число раз период разложения и ввести порог нуля - минимальное значение амплитуды, начиная с которого она считается не нулевой.

Теперь остановимся на том, как конкретно производить разложение в спектр. Очевидно, что будут использоваться формулы дискретного преобразования Фурье. При этом нас интересует только значение амплитуды только на частотах (8T_M)^-1, (4T_M)^-1, (2T_M)^-1 и (T_M)^-1. Оставшийся состав спектра нам в данном случае не интересен. Поэтому разумно применить преобразование Фурье только для этих частот. При этом, если не используется параллельная обработка, расчет следует вести с наибольшей частоты (8T_M)^-1, если значение окажется не нулевым - расчет на других частотах не требуется.

Следующий вопрос - частота дискретизации. В теории сигналов известна теорема отсчетов, которая говорит, что если сигнал имеет максимальную частоту в спектре , то он полностью определяется в моменты времени, отстоящие друг от друга менее, чем на . Поясним эту теорему. Разложение в ряд Фурье означает, что сигнал представляется суммой синусоид различной амплитуды и кратными частотами, а тот факт, что максимальная частота в спектре равна , что самая высокочастотная синусоида в сигнале имеет частоту . Оставшаяся часть теоремы говорит о том, что для того, чтобы провести дискретизацию этой синусоиды, нужно взять более двух отсчетов. Это утверждение не трудно проверить, если попытаться взять только два отсчета - очевидно, что они будут равны между собой, и провести восстановление будет невозможно. Таким образом, теорема отсчетов говорит: чтобы исходный сигнал можно было однозначно восстановить, необходимо выбирать шаг дискретизации, достаточный для описания самой высокочастотной синусоиды. Вернемся к нашей проблеме. Поскольку нам необходимы только относительно низкочастотные компоненты, на которых сосредоточена основная энергия сигнала, частота дискретизации, установленная теоремой отсчетов, является для нас избыточной. Поскольку самой высокой частотой для нас является (T_M)^-1, достаточно обеспечить частоту дискретизации более двух точек на период модуляции. Безусловно, столь низкая частота снизит точность определения амплитуд, но поскольку нас интересует лишь равенство или неравенство нулю, данная частота является достаточной.

Теперь исследуем описанный выше сигнал. Будем производить разложение в течение 8 периодов модуляции, шаг дискретизации - 4 точки на период. Для простоты положим, что используется процессор с последовательной обработкой. Результаты исследования сведены в таблицу:

Знаком `-' отмечено нулевое значение пика, `+' ненулевое значение, а знак -' означает, что расчет на данной частоте не производился.

Литература

сигнал преобразование стационарный электронный

1. Гоноровский, И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. [Текст] \ И.С. Гоноровский - М. Радио и связь, 1986.

2. Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. [Текст] \ С.И. Баскаков - М. Высшая школа, 1987.

3. Берже, П. Порядок в хаосе. [Текст] \ П. Берже, И. Помо, К. Видаль - Череповец. Меркурий-ПРЕСС, 2000.

4. Новиков, Л.В. Основы вейвлет-анализа сигналов. [Текст] \ Л.В. Новиков - Санкт-Петербург. МОДУС+, 1999.

Моновская Анна Владимировна

Доцент кафедры ПТЭиВС, к.т.н.

Орловский государственный технический университет, г. Орел

Секаев Александр Иванович

Студент факультета электроники и приборостроения

Орловский государственный технический университет, г. Орел

Размещено на Allbest.ru