Исследование процесса обслуживания реального потока сообщений полнодоступным пучком, включенным в однозвенную коммутационную схему

Решение:

1. Интенсивность обслуженной нагрузки определяется как

,

где - число одновременно занятых линий при каждом измерении (k = 1,2,..,12) в j-й день измерений (j = 1,2,3).

Для 1 дня: ?= 2+6+5+6+4+10+7+3+5+5+4+3 = 60

Для 2 дня: ?= 4+7+4+3+6+8+5+3+5+2+7+6 = 60

Для 3 дня: ?= 5+10+6+2+5+3+4+3+4+5+3+2 = 52

2. Предположим, что поступающий поток вызовов является простейшим потоком. Для его полного описания достаточно знать интенсивность потока м, зная которую можно оценить все остальные характеристики потока (параметр л, функцию распределения промежутков между вызовами А(х), вероятность поступления определенного числа вызовов k за некоторый промежуток времени t - Pk(t)).

Если принять за единицу времени ЧНН, то правомерно приравнять эмпирическое значение среднего числа вызовов в ЧНН его теоретическому значению:

.

Переходя к расчету характеристик модели обслуживания М/М/н/К (процесс обслуживания простейшего потока вызовов полнодоступным пучком линий с потерями при показательном распределении длительности обслуживания), К=н, также правомерно приравнять эмпирическое значение интенсивности поступающей нагрузки его теоретическому значению у:

Модель М/М/н/К, К=н описывается первым распределением Эрланга:

Р₁₀ = 0,01838

Р₉ = 0,03677

Р₈ = 0,06618

Р₇ = 0,1059

Р₆ = 0,14825

Р₅ = 0,17790

Р₄ = 0,177904

Р₃ = 0,142323

Р₂ = 0,085394

Р₁ = 0,034158

Р₀ = 0,02522

где -вероятность того, что в полнодоступном пучке из н линий, на который поступает нагрузка интенсивности у, занято точно i линий .

Вероятность занятости в пучке всех н линий Рн равна вероятности потерь по вызовам Рв, времени Рt и нагрузке Рн:

Согласно таблицам из Приложения 2 вероятность занятости в пучке всех н линий Рн равна 0.018385, т.е.

Определим отклонения теоретических значений Рн и уоб от эмпирических, и , в %:

3. Предположим, что поступающий поток вызовов является примитивным, который характеризуется переменным параметром лi, пропорциональным числу свободных источников (абонентов):

где N - общее число источников, i - число занятых источников, б - параметр потока одного свободного источника.

В сущности, примитивный поток - это суммарный поток, т.е. от каждого свободного источника поступают простейшие взаимно независимые потоки.

Модель обслуживания примитивного потока полнодоступным пучком (модель М/М/н/K/N, К=н) описывается формулой Энгсета.

Распределение Энгсета Pi и характеристики качества прохождения нагрузки имеют следующий вид:

,

при этом Рн < Pв < Pt = Pн, где б/в= бЧ1/в - среднее число вызовов, посылаемое одним свободным источником в течение интервала времени, равного средней длительности обслуживания;

- нагрузка, создаваемая одним источником, т.е. отношение средней длительности обслуживания к сумме средней длительности обслуживания и расстояния от момента окончания обслуживания до момента посылки нового вызова.

Нагрузка, создаваемая одним источником равна:

Рв = 0,012405

Pt = Pн = 0,014494

Распределение вероятностей Pi рассчитывается через рекуррентное соотношение, начиная с i=н:

Р10 = 0,012405

Р₉ = 0,03273

Р₈ = 0,06444

Р₇ = 0,10935

Р₆ = 0,15759

Р₅ = 0,18910

Р₄ = 0,18385

Р₃ = 0,13913

Р₂ = 0,07689

Р₁ = 0,0276

Р₀ = 0,01932

При расчете характеристик модели М/М/н/К/N, К=н будем исходить из численного равенства между эмпирическим значением интенсивности поступающей нагрузки и ее математическим ожиданием ().

Интенсивность поступающей нагрузки на н линий от N источников (по определению среднего значения)

Интенсивность обслуженной нагрузки (среднее число занятых линий i):

Определим отклонения теоретических значений Рн и уоб от эмпирических, и , в %:

4. Сумма вероятностей состояний полнодоступного пучка при обслуживании примитивного и простейшего потоков составляет 1:

0.01838+0.03677+0.06618+0.1059+0.14825+0.17790+0.177904+0.142323+0.085394+0.034158+0.02522 = 1

Для примитивного потока:

0.012405+0.03273+0.06444+0.10935+0.15759+0.18910+0.18385+0.13913+0.07689+0.0276+0.01932 = 1

5. Характер зависимости величины поступающей нагрузки na от емкости пучка линий v, который обслуживает вызовы примитивного потока, поступающие от фиксированного числа источников n, такой же, как при обслуживании вызовов простейшего потока. Однако на пропускную способность пучка влияет число источников вызовов n: в области малых потерь с уменьшением n увеличивается пропускная способность пучка. При увеличении потерь Рв:

- существенно уменьшается влияние n на пропускную способность пучка;

- сокращается различие между пропускной способностью пучков, обслуживающих вызовы примитивного и простейшего потоков.

6. По результатам проведенных исследований можно сопоставить реальный поток обслуживания вызовов и две математические модели: простейший поток и примитивный поток.

У простейшего потока интенсивность обслуженной нагрузки отличается от реальной на 2.73%, а у примитивного потока - на 3.51%.

коммутация сообщение нагрузка интенсивность

Задание 2. Оценка пропускной способности управляющих устройств систем коммутации

Ступень группового искания (ГИ) координатной АТС с индивидуальными управляющими устройствами (маркерами) для каждого блока комплектуется из s коммутационных блоков. Средняя длительность занятия входа ступени ГИ равна tвх. На ступень искания поступает поток вызовов, создающий нагрузку yвх. Управляющие устройства работают по системе с ожиданием. Средняя длительность занятия одним вызовом управляющего устройства равна h, допустимое время - tдоп.

- вероятность задержки вызова P{г>0};

-вероятность ожидания P{г>t} свыше допустимого времени t для любого поступающего вызова при фиксированных значениях tдоп;

_- вероятность ожидания P1{г>t} свыше допустимого времени t для задержанного вызова при фиксированных значениях tдоп;

- среднее время ожидания для любого поступившего вызова;

- среднее время ожидания для задержанного вызова.

2. Рассчитать среднее число ожидающих вызовов (среднюю длину очереди) при показательном распределении длительности обслуживания.

3. По результатам расчетов построить и проанализировать следующие графические зависимости:

- P{г>t} = f(t) и P1{г>t} = f(t) для однолинейного пучка, если удельная поступающая нагрузка на управляющие устройства при постоянной длительности обслуживания равна с;

- P{г>t} = f(t) и P1{г>t} = f(t) для однолинейного пучка, если удельная поступающая нагрузка на управляющие устройства при показательном распределении длительности обслуживания равна с.

4. Произвести анализ полученных результатов и сделать вывод о характере изменений P{г>t} и P1{г>t}) при увеличении tдоп и с, а также об изменении и с ростом с при прочих равных условиях для различных законов распределения длительности обслуживания.

Значения исходных данных приведены в таблице 3.

Таблица 3 - Исходные данные

Решение

В соответствии с классификацией Кендала процесс обслуживания простейшего потока вызовов полнодоступным пучком линий при показательном распределении длительности обслуживания и неограниченном числе мест для ожидания соответствует математической модели M/М/v, а тот же процесс при постоянной длительности обслуживания вызова - математической модели М/D/v, причем M/М/v описывается вторым распределением Эрланга, а М/D/v описывается кривыми Кроммелина.

Второе распределение Эрланга и характеристики качества прохождения нагрузки имеют следующий вид:

Формулы и табулированы и представлены кривыми Кроммелина.

Определение качественных показателей обслуживания управляющими устройствами поступающей нагрузки должно производиться по расчетному значению нагрузки yр.

Расчетное значение yр обеспечивает требуемое качество прохождения нагрузки с заданной вероятностью щ, отклоняясь от математического ожидания нагрузки y по экспоненциальному закону

при v = 1, y = c () и P{г>0} = f(cp)

yбл = yвх / с = 560/10 = 56 Эрл

ypбл ==61,045 Эрл

Эрл

Для оценки качественных показателей работы управляющих устройств ступени искания при показательно распределенной и при постоянной длительностях обслуживания необходимо выразить допустимое время ожидания tдоп в условных единицах, численно равных длительности обслуживания маркером одного вызова, в с:

с

с

с

Далее необходимо вычислить следующие характеристики качества прохождения нагрузки: P{г>0}, P{г>t}, P1{г>t}= с использованием таблиц второй формулы Эрланга и кривых Кроммелина

Для математической модели М/М/v:

Вероятность задержки вызова P{г>0} = ср=0,53

Вероятность ожидания P{г>t} свыше допустимого времени t для любого поступающего вызова при фиксированных значениях tдоп равна

Для

Для

Для

Вероятность ожидания P1{г>t} свыше допустимого времени t для задержанного вызова при фиксированных значениях tдоп равна P1{г>t}=