Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

ФГОУВПО

Математические модели при оптимизации конструкции, экранировании и передачи энергии по электрическим цепям цифровых кабелей

Чередилин И.Н., аспирант,

Аннотация

Часто при решении задач оптимального конструирования цифровых кабелей берут широко распространенный метод технико-экономического сопоставления нескольких возможных вариантов решения, базирующихся на заранее выбранных по тем или иным критериям дискретных значениях основных параметров, например, материалы и диаметры токопроводящих жил, материалы, конструкции и возможные толщины изоляции. Для более детальной оптимизации цифровых кабелей следует исследовать технико-экономические показатели в ходе непрерывного изменения одного или нескольких независимых параметров при одновременном учете всех остальных факторов.

Ключевые слова: затухание, минимизация и максимизация

Построение математической модели

С математической точки зрения внутренние параметры играют роль независимых переменных задачи конструирования и однозначно определяют значения внешних параметров, которые, в свою очередь, оценивают эффективность системы в целом. Внешние и внутренние параметры объекта оптимизации связаны конкретными зависимостями, причем каждый из внешних параметров оптимизируемой системы можно представить в виде функции ее внутренних параметров.

Например, для цифрового кабеля:

1) рабочая емкость

С = у1 = f1(x1, x2,…, xn), (1)

где x₁ = d₁-жила; x₂ = _из - коэффициенты скрутки;

x₃ = _r.эк; x₄ = а -расстояние между центрами жил;

2) электрическое сопротивление жилы постоянному току

Rж = у2 = f2(x1, x2), (2)

где x₁ = d₀ - диаметр жил; x₂ = - поправочный коэффициент на вихревое поле;

1) наружный диаметр

Dнар = у3 = f3(x1, x2,…, xn), (3)

где x₁ = d₀; x₂ = _из; x₃ = k_ск.гр; x₄ = k_ск; k_ск.гр и k_ск - коэффициенты скрутки;

x₅ = ;

d_i - толщина слоя соответствующего покрова, расположенного поверх сердечника: поясной изоляции, экрана, оболочки, брони и т.д.

Равенства вида y_i = f_i(x₁,…, x_n) называются уравнениями связи между внешними и внутренними параметрами, отображающие структуру системы, основные, присущие данной системе закономерности, взаимное влияние технических и экономических показателей системы и т.д., выполняющие роль математической модели конструируемого кабеля.

Представление внешних параметров через внутренние - это наиболее удобная форма задания математической модели, позволяющая непосредственно выразить показатель эффективности системы через ее внутренние параметры.

Целевая функция. От внешних параметров зависит эффективность конструкции цифрового кабеля, характеризующаяся целевой функцией

(у) = (у₁, у₂,…, у_m) (4)

Целевая функция зависит не только от внешних, но и от внутренних параметров. Однако в явном виде внутренние параметры не входят в целевую функцию, а влияют на нее через внешние параметры.

Задача оптимального конструирования состоит в том, чтобы определить те значения независимых внутренних параметров n, которые оптимизируют, минимизируют или максимизируют, целевую функцию

(у) = (х₁, х₂,…, х_m) (max, min) (5)

и дополнительно удовлетворяют р уравнениям (неравенствам или равенствам) вида

q_i(х₁, х₂,…, х_m) b_i или < b_i, (6)

где i = 1, 2,…, р.

Целевая функция может быть равна одному из внешних параметров или его обратной величине

(у) = у_i; (у) = у_i^-1 (7)

Все остальные (m - 1) внешние параметры переводятся в систему ограничений. В этом случае физический смысл целевой функции заключается в том, что чем больше или меньше параметр у_i, тем лучше данный цифровой кабель при прочих равных условиях.

Нахождение решения и его проверка

математический моделирование конструкция цифровой кабель

Как правило, искомый оптимальный вариант находится тем или иным математическим методом, базирующимся на теории исследования операций. В этом случае уравнения связи решаются либо аналитически, либо графически или графо-аналитически, либо методами математического моделирования.

При построении подобных методов решения задач оптимизации принимаются упрощения и допущения, что приводит к необходимости проверки и уточнения, как самой модели, так и полученного решения.

Часто при решении задач оптимального конструирования цифровых кабелей берут широко распространенный метод технико-экономического сопоставления нескольких возможных вариантов решения, базирующихся на заранее выбранных по тем или иным критериям дискретных значениях основных параметров. Например, материалы и диаметры токопроводящих жил, материалы, конструкции и возможные толщины изоляции.

Для более детальной оптимизации цифровых кабелей следует исследовать технико-экономические показатели в ходе непрерывного изменения одного или нескольких независимых параметров при одновременном учете всех остальных факторов.

Двумя ключевыми элементами, характеризующими конструкцию цифрового кабеля в целом и степень ее оптимальности, являются изолированные жилы, образующие сердечник кабеля, и его оболочка в совокупности с экраном и защитными покровами. От конструкции изолированных жил во многом зависит выбранная конструкция цифрового кабеля, его электротехнические характеристики, габариты и стоимость.

Как известно, физическая сущность явлений, происходящих в электромагнитных экранах, во многом схожа с процессами, возникающими в электрических цепях при распространении энергии по однородным линиям с несогласованными нагрузками. Рассмотрим и проанализируем методы расчета экранов, базирующиеся на решении основных уравнений электродинамики, сравнив их с методами расчетов, применяемых в электротехнике и в теории электрической связи.

В общем случае степень и основные закономерности изменения электромагнитного поля вне и внутри экрана можно оценить, соответственно, коэффициентом экранирования К_э:

К_э = (ch kd)^-1[1 + 0,5(Z_дZ_м^-1 + Z_мZ_д ^-1)th kd]^-1 (8)

и коэффициентом реакции экрана К_р.э [2]:

К_р.э = [0,5(Z_дZ_м^-1 - Z_мZ_д ^-1)th kd] [1 + 0,5(Z_дZ_м^-1 + Z_мZ_д ^-1)th kd]^-1, (9)

где Z_д и Z_м - соответственно, волновое сопротивление диэлектрика и металла; d - толщина экрана;

k = (j)^0,5 - коэффициент вихревых токов; - круговая частота; - магнитная проницаемость;

- удельная проводимость. Оба параметра взаимосвязаны между собой и могут быть вычислены один из другого.

Как правило, в радиотехнике эффективность экрана принято оценивать не через коэффициент экранирования К_э, а через затухание экранирования А_э, характеризующее величину затухания вносимое экраном выраженное либо в дБ, либо в неперах (1дБ = 0,115 неп; 1неп = 8,686 дБ)

А_э = 20Log|К_э^-1|, дБ или А_э = Ln|К_э^-1|, неп.

Опуская промежуточные преобразования получим

А_э = (2)^0,5kd + 2Ln|(Z_д +Z_м)/2(Z_дZ_м)^0,5| + Ln|1 -

- [(Z_д - Z_м)/(Z_д +Z_м)]² е^-2kd| (10)

Из полученного выражения видно, что оно полностью соответствует выражению, применяемому в теории электрических цепей при расчете рабочего затухания цепи с несогласованными нагрузками:

А_р = L + 2Ln|(Z_н +Z_в)/2(Z_нZ_в)^0,5| + Ln|1 - [(Z_н - Z_в)/( Z_н + Z_в)]² е^-2d|,

где Z_в, Z_н - соответственно, волновое сопротивление линии и нагрузки;

L - длина линии;

- коэффициент распространения.

Данное выражение включает в себя три слагаемых. Первое слагаемое - собственное затухание линии, второе - дополнительное затухание отражения вследствие несогласованности сопротивления нагрузок с сопротивлением линий, третье - дополнительное затухание отражения из-за взаимодействия несогласованностей в начале и в конце последующих составляющих волн.

Исходя из полученных выражений, можно сделать выводы. Процесс прохождения электромагнитной энергии через экран аналогичен процессу распространения энергии вдоль электрической цепи с той лишь разницей, что в линиях исследуется энергия передачи, а в экранах - энергия влияния. Причем при исследовании экранов рассматривается движение энергии не вдоль линии, а перпендикулярно ей, от источника электромагнитных помех к экрану и далее через экран в экранированное пространство (рис. 1).

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Рис. 1. Графическое представление экранирующих свойств защитного экрана

Как при распространении электромагнитной энергии вдоль неоднородной линии, так и при движении в радиальном направлении необходимо учитывать: затухание энергии в металлической толще экрана и затухание связанное с отражением на границах диэлектрик-экран-диэлектрик. Достигнув экрана, электромагнитная энергия частично проходит через него, при этом, несколько затухая, а частично отражается на первой границе диэлектрик-экран. На границе экран-диэлектрик часть энергии опять отражается, а часть проникает на экран.

При передаче энергии по проводам эффект отражения крайне нежелателен. При экранировании эффект отражения, напротив, положителен. Чем больше отраженной энергии на границах диэлектрик-экран-диэлектрик, тем меньше часть энергии проникает в экранное пространство.

Для экрана обладающего большим затуханием (kd > 3) выражение для определения эффективности экранирования принимает вид:

К_э = (0,5 е^kd)^-1[1 + 0,5(К_z +К_z^-1)]^-1 (11)

При этом выражение для определения экранного затухания запишется как:

А_э = Ln|К_э^-1| = Ln| е^kd[1+0,5(К_z+К_z^-1)]|.

Данное выражение может быть приведено к виду, принятому для расчета электрических цепей

А_э = Ln|е^kd(К_z - 1)(4К_z)^-1| = (2)^0,5 |k|d + 2Ln|(Z_д + Z_м)/2(Z_дZ_м)^0,5|. (12)

Из представленного выражения видно, что при использовании экрана с большим затуханием, экранное затухание состоит лишь из затухания энергии за счет поглощения энергии в металле (первое слагаемое) и затухания за счет отражения на границах (второе слагаемое). В отличие от выражения (3), третье слагаемое, характеризующее экранное затухание, происходящее за счет многократных отражений последующих составляющих, здесь отсутствует, так как вследствие большого затухания величина их очень мала.

Литература

1. Брискер А.С., Руга А.Д., Шарле Д.Л. Городские телефонные кабели: Справочник. М.: Радио и связь, 1991.

2. Власов В.Е., Парфенов Ю.А. Кабели цифровых сетей электросвязи. Конструирование, технологии, применение. М.: Эко-Трендз, 2005. 216 с.

3. Электромагнитная совместимость радиоэлектронных средств и непреднамеренные помехи. В 3-х вып. Вып. 2. Внутрисистемные помехи и методы их уменьшения: сокр. Пер. с англ. / Под. ред. А.И. Сапгира. М.: Сов. радио, 1978. 272 с.

Размещено на allbest.ru