Проверка статистических гипотез распределения погрешностей измерения навигационных параметров

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проверка статистических гипотез распределения погрешностей измерения навигационных параметров

Ворохобин Игорь Игоревич

кандидат технических наук, декан факультета МПиТ, Национальный университет "Одесская морская академия"

Аннотация

Приведены результаты проверки статических гипотез 12-ти выборок погрешностей навигационных измерений и показано, что две выборки содержат погрешности, которые подчиняются нормальному закону, а погрешности остальных выборок распределены по смешанным законам обоих типов. В последних восьми выборках погрешности измерений можно описать с помощью обобщенного закона Пуассона, согласие выборок которых сопоставимо со смешанными законами.

Ключевые слова: навигационная аварийность, погрешности навигационных измерений, статистические гипотезы, выборки погрешностей.

Summary

VERIFICATION OF STATISTICAL HYPOTHESES OF DISTRIBUTING OF ERRORS OF MEASURING OF NAVIGATION PARAMETERS

Vorokhobin I.I.

PhD, associate professor, National University «Odessa Maritime Academy»

The results of verification of static hypotheses of 12 selections of errors of the navigation measuring are resulted and it is shown that two selections contain errors which submit to the normal law, and the errors of the other selections are distributed on the mixed laws of both types. In the last eight selections of error of measurings it is possible to describe by the generalized law of Puasson, consent of selections of which comparably with the mixed laws.

Keywords: navigation accident rate, errors of the navigation measuring, statistical hypotheses, selections of errors.

Постановка проблемы

В последнее время во многих случаях при обработке статистических данных погрешностей навигационных измерений, полученных в натурных наблюдениях, обнаружено, что они не подчиняются нормальному закону. Это обстоятельство повело к поиску альтернативных законов распределения вероятностей погрешностей навигационных измерений, в качестве которых предложены смешанные законы двух типов, причем их плотность распределения выражается в элементарных функциях.

Для подтверждения правомерности использования смешанных законов распределения вероятностей погрешностей необходимо проведение натурных наблюдений, результатам которого посвящена данная статья.

Анализ последних достижений и публикаций

статистический распределение погрешность навигационный

Вопросы повышения точности определения места судна освещены во многих работах отечественных и зарубежных ученых. В работах [2, 3] рассматриваются вопросы законов распределения вероятностей погрешностей навигационной измерений исходной выборки, которая является смесью частных выборок нормально распределенных погрешностей с разной дисперсией. Предложена процедура оценки эффективности обсервованных координат судна с учетом смешанных распределений погрешностей исходной выборки.

В работе [1] представлены результаты анализа статистических материалов точности определения места судна с помощью приёмника спутниковой радионавигационной системы, которые показали, что предположение о распределении случайных погрешностей определения широты и долготы по закону Гаусса не является корректным и требует альтернативного подхода.

Анализ выборок случайных погрешностей измерений навигационных параметров произведен в работе [6] и показано, что наибольшее согласие статистического материала с теоретическим распределением достигается для законов, отличающихся от нормального закона.

Анализ статистических данных погрешностей навигационных измерений представлен в работах [4, 5], который показал, что погрешности навигационных измерений, полученные в натурных наблюдениях, не подчиняются нормальному закону распределения.

В работах [7, 8] показано, что применение метода наименьших квадратов для расчета обсервованных координат судна не обеспечивает возможности получения их эффективных оценок. Поэтому для получения эффективных оценок обсервованных координат судна следует использовать метод максимального правдоподобия, учитывающий действительный закон распределения погрешностей.

Выделение нерешенных ранее частей общей проблемы

Так как в рассмотренных работах указывается, что погрешности навигационных измерений могут быть распределенные не только по нормальному закону и теоретически получены смешанные законы первого и второго типа, то возникает необходимость проверки гипотезы о возможности распределения погрешности измерений по альтернативным законам с помощью экспериментальных данных.

Поэтому были проведены натурные наблюдения во время рейса судна, результаты которых приведены в данной статье.

Цель статьи

Целью статьи является проверки гипотезы о возможности распределения погрешности измерений по смешанным законам первого и второго типа, а также обобщенному закону Пуассона с помощью экспериментальных данных.

Изложение основного материала

С целью проверки возможности применения смешанных законов обоих типов для описания распределения погрешностей измерения навигационных параметров в реальных условиях эксплуатации были проведены натурные наблюдения. Для формирования исходных выборок погрешностей измерения навигационных параметров производились серии измерения навигационных параметров количеством более 100 измерений. Измерения навигационных параметров производились на стоянке судна, причем с помощью РЛС измерялись дистанция и пеленг на неподвижный ориентир, а с помощью приемника спутниковой навигационной системы GPS фиксировались широта и долгота судна.

Измерения производились в трех портах: Мормугао (Индия), Ричардс Бей (ЮАР) и Дакар (Сенегал). Последовательность измерений была следующей. Вначале измерялись пеленг и дистанция до ориентира, записывались их значения, а затем отсчеты РЛС сбивались. После этого фиксировались координаты судна. Операция повторялась через некоторый интервал времени. Интервал времени произведения всех измерений планировался таким образом, чтобы в порту Мормугао он был наименьшим (около 7 часов, 150 измерений), в порту Ричардс Бей измерения производились в течение суток (210 измерений), а в порту Дакар - в течение двух суток (250 измерений). Различная длительность и число измерений планировалось для выявления влияния фактора времени на погрешности измерений.

Таким образом, в каждом порту были получены 4 серии измерений навигационных параметров, а в течении рейса 12 серий измерений. Для каждой серии измерений определяли среднее значение навигационного параметра и рассчитывали значения погрешностей измерений, которые в совокупности представляли выборку погрешностей. Стандартной процедурой [9] рассчитывались дисперсия и среднее квадратическое отклонение погрешности каждой выборки. Характеристики каждой из выборок приведены в табл. 1.

Таблица 1. Характеристики выборок

В дальнейшем по каждой выборке строится гистограмма и производится проверка статистических гипотез [9], в процессе которой определяется степень согласия статистического материала выборки с выбранными законами распределения вероятностей погрешностей.

В качестве альтернативных законов были выбраны нормальный закон и смешанные законы первого и второго типа, аналитический вид которых приведен в табл. 2.

Таблица 2

Альтернативные законы распределения вероятностей погрешностей

Для каждой выборки рассчитывались значения критерия согласия % -- Пирсона с рассмотренными законами распределения вероятностей погрешностей, и в качестве закона распределения выбирался тот, критерий согласия % -- Пирсона которого имеет минимальное значение.

В качестве примера приведем здесь характеристику первой выборки погрешностей измерения пеленга. Статистический ряд и выборка случайных погрешностей приведены в табл. 3. Во второй строке таблицы приводится число погрешностей, попадающих в соответствующий разряд. Число разрядов равно 12, причем длина каждого разряда равного половине значения с (с=24,9).

Таблица 3

Первая выборка погрешности измерения пеленга

Значения критерия согласия c2 -- Пирсона для рассматриваемых законов распределения представлены в табл. 4.

Таблица 4

Значения критерия согласия c2 -- Пирсона первой выборки

Анализ таблицы показывает, что критерий согласия принимает минимальное значение для закона распределения Гаусса, поэтому принимается гипотеза о том, что погрешности распределены по нормальному закону.

Гистограмма первой выборки и кривая плотности распределения закона Гаусса представлены на рис. 1.

Результаты экспериментальных натурных наблюдений приведены в итоговой табл. 5. Анализ итоговой таблицы показывает, что погрешности измерения навигационных параметров (пеленга и дистанции), полученные на ограниченном интервале времени (7 часов), подчиняются нормальному закону распределения вероятностей.

Погрешности определения широты и долготы на том же интервале времени распределены по смешанным законам обоих типов. Это объясняется тем, что координаты судна рассчитываются по навигационным параметрам (псевдорасстояниям) и погрешности результатов расчета, т. е. координат, могут иметь распределение отличное от нормального, что показал и анализ третей и четвертой выборок.

Рис. 1. Гистограмма первой выборки

Для восьми выборок с 5-й по 12-ю была произведена проверка гипотез о распределении их погрешностей по обобщенному закону Пуассона, для чего рассчитывалось значение критерия согласия.

Таблица 5

Итоговые результаты натурных наблюдений c2 -- Пирсона для всех значений существенного параметра с

Затем произвели сравнение для каждой из указанных выборок смешанный закон первого или второго типа с минимальным значением критерия согласия c2 -- Пирсона и обобщенный закон Пуассона из существенным параметром с, который обеспечивает минимальное значение критерия согласия, как показано в табл. 6.

Таблица 6

Результаты проверки обобщенного закона Пуассона

Анализ заключительной табл. 6 показывает, что рассматриваемые выборки с высокой степенью вероятностей могут быть описаны как смешанными законами распределения, так и обобщенным законом Пуассона. При прочих равных условиях использование обобщенного закона Пуассона является предпочтительным, так как в случае зависимых погрешностей линий положения при обобщенном законе Пуассона систему зависимых погрешностей можно преобразовать в соответствующую систему независимых погрешностей.

В заключение подраздела приведем изображения кривых плотности распределения обобщенного закона Пуассона и гистограммы для 5-й, 9-й и 12-й выборок, показанных на рис. 2 - 4.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2. Выборка 5, обобщенный закон Пуассона, с=3,75