Дослідження систем автоматичного регулювання

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Дослідження систем автоматичного регулювання



Вступ

Теорія автоматичного керування - наукова дисципліна, що вивчає процеси автоматичного керування об'єктами різної природи. Основним призначенням є дослідження законів та розробка принципів керування, а також методів аналізу та синтезу систем автоматичного керування. Головними складовими системи є об'єкт керування - пристрій або процес, яким необхідно керувати для отримання бажаного результату, та керуючий пристрій - сукупність пристроїв, за допомогою яких відбувається керування входами об'єкта.

За ступенем участі людини в процесі керування системи можна поділити на системи ручного керування - коли закон керування формується безпосередньо людиною, автоматичні системи - закон формується без участі людини, а також автоматизовані системи, що є поєднанням ручної та автоматичної систем.

Автоматичні системи можна розділити на два класи:

Автомати - технічні пристрої, які без участі людини протягом тривалого часу виконують одноразові або багаторазові цикли операцій на основі жорсткої програми.

Автоматичні системи - технічні пристрої, які без участі людини протягом тривалого часу підтримують незмінними або змінюють за певним законом певні фізичні величини.

Частинним випадком керування є регулювання, яке полягає в підтриманні вихідної величини об'єкта на певному заздалегідь відомому рівні, або ж відповідно до визначеного закону. Відповідно в автоматичних системах регулювання використовується регулятор, який призначений для перетворення величини похибки регулювання в керуючий вплив на об'єкт керування.

Перетворення структурної схеми

Зображення системи регулювання у вигляді сукупності динамічних ланок із вказівкою зв'язків між ними називається структурною схемою. Структурна схема може бути складена на основі відомих рівнянь системи, і навпаки, рівняння системи можуть бути отримані зі структурної схеми. Однак перша задача може мати різні варіанти рішення (структурні схеми). Тоді як друга задача має завжди єдине рішення. Структурна схема часто є досить простою і її складання не представляє особливих зусиль. Однак у деяких випадках, коли структурна схема виявляється складною і містить багато різних перехресних зв'язків, можна спробувати її спростити й звести до найпростішого вигляду.



1. Вихідні дані

Рисунок 1.1 - Вихідна структурна схема

Загальний вигляд передатних функцій ланок:

Значення параметрів:

k1=13

k2=4

k3=1.05

k4=2

k5=2

T1=0.8

T2=0.9



Перетворення структурної схеми: 1-ий крок: перенесемо суматор 2 через ланкуW1заходом сигналу, суматор 3 через ланкуW3 проти ходу сигналу та вузол а:

Рисунок 1.2 - Схема АСР після 1-го кроку перетворення 2-ий крок: перенесемо суматор 2 через ланку W3 та суматор 4 за ходом сигналу. Об'єднаємо ланки W1, W2, W3, W5-1 у блок W6, також W3, W4 у W7

Рисунок 1.3 - Схема АСР після 2-го кроку перетворення 3-ій крок: об'єднаємо ланки W6, W7 у ланку W8, її об'єднаємо з W5 у ланку W9. Перенесемо суматор 4 через ланку W9 по ходу сигналу та об'єднаємоW9 з W1,W3 у ланку W10



Рисунок 1.4 - Схема АСР після 3-го кроку перетворення

Отримано кінцевий вигляд схеми АСР після 3-х кроків перетворення (Рисунок 1.4).



2. Визначення передаточних функцій САР

Динаміку АСР регульованої величини при y(t) по каналу збурюючого впливу f(t) можна записати:

A(p)y(p)= B(p)f(p)

Якщо це рівняння перетворити по Лапласу, використовуючи теорему лінійності й диференціювання, то перетворене рівняння за формою запису буде збігатися із символічною формою запису. Відмінність у тому, що потрібно записати їхнє зображення оригіналів f(t),y(t).

A(p)Y(p)=B(p)F(p)

Можна записати:

Відношення вихідної величини системи Y(p) до зображення вхідного впливу (збурення) при нульових початкових умовах називається передаточною функцією системи.

2.1 Визначення передаточної функції розімкнутої системи по вхідному впливу

Передаточну функцію розімкнутої системи можна визначити як відношення зображень регульованої величини й помилки при нульових початкових умовах і збурюючи впливах рівних нулю:



де, p = c + jw - комплексна величина.

У нашому випадку схема АСР виглядає так (Рисунок 2.1):

Рисунок 2.1 - Розімкнена система по вхідному впливу

Передавальна функція розімкненої системи по вхідному впливу має вигляд:

2.2 Визначення передаточної функції розімкнутої системи по збурюючому впливу

Передаточна функція розімкнутої системи по збурюючому впливу знаходиться аналогічно, якщо покласти при нульових початкових умовах вхідний вплив рівним нулю. Тоді шукана передаточна функція буде дорівнювати відношенню зображень вихідної величини й зовнішнього збурення.

У нашому випадку схема АСР виглядає так (Рисунок 2.2):

Рисунок 2.2 - Розімкнена система по збурюючому впливу

Передавальна функція розімкненої системи по збурюючому впливу має вигляд:

2.3 Визначення передаточної функції замкнутої системи по вхідному впливу

Передаточна функція замкнутої системи по задаючому впливу дає зв'язок між регульованою величиною й задаючим впливом при рівності нулю збурюючих впливів.

У нашому випадку схема АСР виглядає так (Рисунок 2.3):

Рисунок 2.3 - Замкнена система по вхідному впливу



Передавальна функція замкненої системи по вхідному впливу має вигляд:

2.4 Визначення передаточної функції замкнутої системи по збурюючому впливу

У нашому випадку схема АСР виглядає так (Рисунок 2.4):

Рисунок 2.4 - Замкнена система по збурюючому впливу



Передавальна функція замкненої системи по збурюючому впливу має вигляд:

2.5 Визначення передаточної функції замкнутої системи відносно помилки по вхідному впливу

У нашому випадку схема АСР виглядає так (Рисунок 2.5):



Рисунок 2.5 - Замкнена система відносно похибки по вхідному впливу

Передавальна функція замкненої системи відносно похибки по вхідному впливу має вигляд:



3. Складання рівняння статики та динаміки методом виключення змінних

автомат технічний передатний статика

Дослідження системи автоматичного регулювання або її елементів пов'язане з вивченням процесів, що протікають як в самій системі, так і в її елементах. Характер і напрямок протікання процесів відповідає тим чи іншим фізичним законам, математичне формулювання яких для даної системи і визначає рівняння, що описують процеси в елементах і системі. Ці рівняння можуть бути лінійними диференціальними з постійними коефіцієнтами.

Будь-яка система автоматичного регулювання складається з пов'язаних між собою елементів. Тому диференціальне рівняння системи можна отримати, складаючи рівняння окремих елементів.

Стан регулятора характеризується регулюючим впливом, який є вихідним сигналом і вхідним впливом.

Рівняння, яке оцінює стан системи в часі, визначає перехідні процеси в системі і зазвичай називається рівнянням динаміки.

Це рівняння може бути як лінійним, так і нелінійним.

Якщо припустити, що рівняння динаміки для деякої системи або елемента є нелінійним, то в сталому режимі при постійних впливах, поведінка системи або елемента визначається рівнянням статики.

На основі вихідної схеми (Рисунок 1.1) складемо систему рівнянь:



Використовуючи рівняння (1), (2) та (7) можна виразити :

(10)

З рівнянь (3), (4), (8), (10) виразимо рівняння (11):

(11)

З рівнянь (6), (5) виразимо :

(12)

Виражаємо з рівняння (9)

(13)



Прирівняємо рівняння (11) та (12). І підставимо з рівняння (13):

(14)

В отриманому рівнянні біля змінної можна побачити передатну функцію замкненої системи по вхідному впливу, а біля - по збуренню. Враховуючи, що в усталеному режимі , а також відсутнє збурення, отримаємо рівняння статики:



4. Оцінка стійкості САР

Для правильної роботи системи регулювання необхідно забезпечити її стійкість. Стійкістю в загальному випадку називають властивість системи повертатись до початкового стану при зникненні впливу чинників, що спричинили зміну стану. Існує ряд методів для визначення стійкості системи. Ці методи можна поділити на алгебраїчні, до яких належать метод Рауса та метод Гурвіца, та частотні, серед яких найпоширенішими є метод Михайлова, метод Найквіста, та метод визначення стійкості за логарифмічними частотними характеристиками.

4.1 Метод Рауса

Відповідно до даного критерію необхідно заповнити таблицю коефіцієнтами характеристичного полінома наступним чином: у перший рядок записуються коефіцієнти з парними індексами, у другий рядок - з непарними.

Третій рядок розраховується через перший та другий за формулами , де . Загальна кількість рядків - на один більше порядку характеристичного полінома. Система є стійкою, якщо всі елементи першого стовпця мають однаковий знак.

Характеристичний поліном - це знаменник передатної функції замкненої системи по вхідному впливу.

Дана функція визначена у розділі 2, її знаменник має наступний вигляд:

360*p3 + 14647*p2 + 45020*p + 2100



Відповідно до вищезазначеного алгоритму сформовано таблицю Рауса:

Таблиця 4.1. Таблиця Рауса

	1	2	3
1	360	45020	0
2	14647	2100	0
3		0	0
4	2100	0	0

Елементи даної таблиці розраховані наступним чином:

В отриманій таблиці елементи першого стовпчика мають однаковий знак, отже система є стійкою.

4.2 Метод Гурвіца

За методом Гурвіца необхідно скласти визначник Гурвіца, на головній діагоналі якого розміщені коефіцієнти характеристичного полінома від 1 до n, де n - порядок полінома. Під діагональними елементами розміщуються коефіцієнти з меншим індексом у порядку спадання, над діагоналлю - коефіцієнти з більшим індексом. Всі незаповнені елементи визначника заповнюються нулями. Відповідно до даного методу система буде стійкою, якщо всі визначники Гурвіца матимуть однаковий знак. Визначники більш низького порядку є діагональними мінорами головного визначника.

З характеристичного рівняння сформовано головний визначник Гурвіца:

Діагональні мінори головного визначника:

Усі обчислені визначники є додатними, що свідчить про стійкість системи.

4.3 Метод Михайлова

Оцінка стійкості за даним методом проводиться з використанням годографа Михайлова.

Для побудови годографа необхідно у характеристичному рівнянні замкненої системи провести заміну , після чого отримане рівняння розділяють на дійсну та уявну частини.

Після підстановки характеристичне рівняння набуде наступного виду:



Отриманий вираз можна розділити на дійсну та уявну частини:

j=sqrt(-1);

w= 0:0.05:20;

W = 360*((w*j).3)+14647*((w*j).2)+45020*(w*j)+2100;

plot(real(W),imag(W)), gridon

ylabel('Уявнавісь')

xlabel('Реальнавісь')

Рисунок 4.1 - Годограф Михайлова

Годограф перетинає координатні осі 3 рази і закінчується у 3 квадранті, що співпадає з порядком характеристичного полінома, отже система є стійкою.



4.4 Метод Найквіста

Даний метод дозволяє оцінити стійкість замкненої системи по амплітудно-фазній частотній характеристиці. Якщо дана характеристика при зміні частоти від нуля до нескінченності не охоплює точку з координатами (-1; j0) - замкнена система є стійкою. Також метод Найквіста дозволяє оцінити запас стійкості системи за фазою та амплітудою.

У розділі 2 було визначено передавальну функцію розімкненої системи по вхідному впливу. Вона має наступний вигляд:

З використанням даної передавальної функції, побудовано амплітудно-фазну частотну характеристику:

Рисунок 4.2 - АФЧХ розімкненої системи



Отримана АФЧХ не охоплює точку з координатами (-1; j0), отже замкнена система є стійкою.

4.5 Метод ЛЧХ

За логарифмічною частотною характеристикою розімкнутої системи також можна оцінити стійкість замкненої системи за кількістю переходів через значення 180.

Для досліджуваної системи логарифмічна частотна характеристика виглядає наступним чином:

Рисунок 4.3 - ЛАЧХ та ЛФЧХ розімкненої системи

Відповідно до отриманої характеристики система є стійкою, адже фазочастотна характеристика жодного разу не набуває значення -180.



5. Побудова областей D-розбиття для параметрів виділеної ланки

Виділена ланка W1, тож область D-розбиття буде побудована за двома параметрами - та . Суть процесу побудови D-розбиття полягає в побудові певної кривої на координатній площині двох параметрів, кожна точки якої відповідає потраплянню одного з коренів характеристичного рівняння в початок координат або на уявну координатну вісь. Враховуючи це, дана крива може бути побудована за характеристичним рівнянням при введенні заміни . Перехід через отриману криву означає перехід одного з коренів рівняння в ліву(в напрямку штриховки) або праву(проти штриховки) напівплощину.

Для початку необхідно записати характеристичне рівняння замкненої системи. В рівняння підставлені всі числові значення, окрім параметрів та .

Рівняння необхідно розділити на 3 частини: Q(p), що залежить від , P(p), що залежить від , та незалежну від досліджуваних параметрів частину R.

Після введення заміни рівняння набуде наступного вигляду:

Ведемо наступні позначення:

Тепер можна розділити рівняння на дійсну та уявну частини. Поліноми та можна перенести в праву частину рівняння:

Отримали систему рівнянь з двома невідомими. Її необхідно розв'язати, наприклад методом Крамера. Визначники системи:

Як можна побачити, даний визначник завжди менший за нуль.



Розв'язок системи рівнянь:

Отримані функції є парними, тому достатньо зобразити графік при . Також у зв'язку з цим, виконується подвійна штриховка. Як було зазначено раніше, при всіх значеннях частоти(окрім 0) визначник буде від'ємним, тому крива штрихується з правої сторони.

Отримані дані дозволяють побудувати межу D-розбиття. Штриховка особливої прямої має співпадати зі штриховкою межі в точці перетину.

Рисунок 5.1 - Область стійкості системи

Відповідно до алгоритму, отримана область є можливою областю стійкості. Для підтвердження того, що дійсно знайдена область стійкості необхідно обрати будь-які значення коефіцієнтів з даної області та перевірити систему на стійкість за будь-яким критерієм. В 4 розділі систему вже було перевірено на стійкість, тож можна стверджувати, що система буде стійкою при всіх додатних значеннях та .



6. Побудова графіків перехідних процесів системи

Зміна вхідного сигналу або виникнення збурення викликає зміну значення вихідної величини. В наслідок інерційності елементів системи вихідна величина не набуде нового усталеного значення(або не повернеться до попереднього) миттєво. Процес поступової зміни вихідного сигналу називається перехідним процесом. Графік даного процесу може надати додаткову інформацію про систему. Для спрощення отримання цих графіків можна скористатись програмним комплексом Matlab, а саме - його додатком для моделювання динамічних систем Simulink.

6.1 Перехідний процес у вихідній системі

Виконаємо перевірку правильності спрощення початкової структурної схеми, порівнявши графіки перехідних процесів вихідної системи та спрощеної. Для цього використані наступні моделі:

Рисунок 6.1 - Модель вихідної та спрощеної системи



При подачі стрибкоподібних сигналів в якості збурення та вхідного впливу отримано графіки:

Рисунок 6.2 - Графіки перехідного процесу вихідної та спрощеної схем

Повне співпадіння графіків свідчить про правильність виконаних перетворень.

6.2 Перехідний процес у розімкненій системі по вхідному впливу

Для даного випадку використовується наступна модель:

Рисунок 6.3 - Модель розімкненої системи та її передатна функція по вхідному впливу



В якості вхідного впливу подається стрибкоподібний сигнал. Отримано наступні графіки:

Рисунок 6.4 - Графіки перехідного процесу розімкненої системи по вхідному впливу

Графіки співпадають, розрахунки проведені правильно.

6.3 Перехідний процес у розімкненій системі по збуренню

Подається стрибкоподібний сигнал в якості збурення, а вхідний вплив вилучається.

360*p3 + 850*p2 + 500*p)/(180*p3 + 1181*p2 + 7495*p + 1050)



Рисунок 6.5 - Модель розімкненої системи та її передатна функція по збуренню

Графіки перехідного процесу:

Рисунок 6.6 - Графіки перехідного процесу розімкненої системи по збуренню



6.4 Перехідний процес у замкненій системі по вхідному впливу

Необхідно отримати графік перехідного процесу в моделі з наявним зворотнім зв'язком.

Рисунок 6.7 - Модель замкненої системи та її передатна функція по вхідному впливу

В результаті будуть отримані наступні графіки:

Рисунок 6.8 - Графіки перехідного процесу замкненої системи по вхідному впливу



6.5 Перехідний процес у замкненій системі по збуренню

Аналогічні дії виконуються при дослідженні впливу збурення на замкнену систему.

Рисунок 6.9 - Модель замкненої системи та її передатна функція по збуренню

Графіки матимуть наступний вигляд:

Рисунок 6.10 - Графіки перехідного процесу замкненої системи по збуренню



6.6 Перехідний процес у замкненій системі відносно похибки по вхідному впливу

Отримаємо графік зміни похибки при подачі стрибкоподібного сигналу на вхід системи. Для цього використана наступна модель:

Рисунок 6.11 - Модель замкненої системи відносно похибки та її передатна функція по вхідному впливу

Графіки перехідних процесів:

Рисунок 6.12 - Графіки перехідного процесу замкненої системи відносно похибки по вхідному впливу



Графіки перехідних процесів всіх розрахованих передавальних функцій співпали з відповідними графіками вихідної системи.



7. Оцінка показників якості системи

До найпоширеніших показників якості відносяться перерегулювання, час регулювання, величина статичної похибки, а також інтегральні критерії якості.

Судячи з графіків, що отримані в попередньому розділі, система має коливальний характер перехідних процесів, присутнє перерегулювання. Також з графіків можна побачити, що статична похибка відсутня.

Проведемо оцінку якості за інтегральним критерієм. Вона полягає в знаходженні площі, що обмежена кривою похибки системи під час перехідного процесу. В загальному випадку даний критерій розраховується так:

де замість може бути використана затухаюча складова рівняння, що описує перехідний процес, або величина похибки регулювання.

Даний критерій доцільно використовувати лише для систем без перерегулювання. Для систем з коливальним характером перехідного процесу, коли наявні додатні та від'ємні значення похибки, використовується квадратичний інтегральний критерій, який враховує абсолютні значення додатних та від'ємних площин:



Існують різні методи розрахунку квадратичних інтегралів. На основі деяких з них складені таблиці для розрахунку квадратичного інтеграла як функції коефіцієнтів передавальної функції системи [3, с.214].

Так, для системи, що має характеристичне рівняння 3 порядку, квадратичний інтегральний критерій можна розрахувати наступним чином:

де - коефіцієнти знаменника передавальної функції, - коефіцієнти чисельника. Використавши коефіцієнти передавальної функції замкненої системи по вхідному впливу, можна отримати значення квадратичного інтегрального критерію якості:

Бажаною є мінімізація даного показника, що сприяє збільшенню швидкодії системи.

Визначимо перерегулювання та час регулювання. Графік перехідного процесу замкненої системи по вхідному впливу має наступний вигляд:



Рисунок 7.1 - Графік перехідного процесу замкненої системи по вхідному впливу

За даним графіком величина перерегулювання становить:

Час регулювання - 6.3 с. (якщо вважати виходом на усталений режим значення, що відрізняється на від усталеного). Аналогічними будуть показники для замкненої системи відносно похибки.

Замкнена система по збуренню має графік перехідного процесу, що характерний для астатичних систем, а для таких систем перерегулювання можна визначити за наступною формулою:



Рисунок 7.2 - Графік перехідного процесу замкненої системи по збуренню

Так як для більшості систем необхідно, щоб величина перерегулювання становила менше 20%, якість даної системи є задовільною.



Висновки

В ході виконання курсової роботи було досліджено автоматичну систему регулювання. Початкову структурну схему було спрощено з метою полегшення подальшого аналізу. На основі отриманої спрощеної схеми було отримано передавальні функції замкненої та розімкненої систем по вхідному впливу та по збуренню. Правильність розрахунку була підтверджена порівнянням графіків перехідного процесу відповідних передавальних функцій та вихідної системи з внесенням необхідних змін. Також про правильність розрахунків свідчить співпадіння функцій біля вхідного та вихідного сигналів у рівнянні динаміки з передавальними функціями замкненої системи по відповідним сигналам. Було проведено дослідження стійкості системи. Перевірка за алгебраїчними та частотними методами показала, що система є стійкою. Окрім цього, було побудовано межу D-розбиття, з якої було зроблено висновок про стійкість системи при всіх додатних значеннях параметрів та . Також було здійснено оцінку показників якості системи. Відповідно до отриманих результатів, показники якості даної системи є задовільними.



Література

1. Марченко А. А., Гулий В. С., Настенко Д. В. Теорія автоматичного керування: Дослідження системи автоматичного регулювання: Курсова робота [Електронний ресурс]: навч. посіб. для студ. спеціальності 141 «Електроенергетика, електротехніка та електромеханіка»,спеціалізації «Системи управління виробництвом і розподілом електроенергії» / КПІ ім. Ігоря Сікорського. - Електронні текстові дані(1 файл: 1,23 Мбайт). - Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2019. - 31 с.

2. Теория автоматического управления: Учеб.для вузов по спец. «Автоматика и телемеханика». В 2-х ч. Ч. І. Теория линейных систем автоматического управления / Н. А. Бабаков, А. А. Воронов, А. А. Воронова та ін.; Під ред. А. А. Воронова. 2-ге вид., перероб. і доп. - М.: Высшая школа, 1986. - 367 с.

3. Попович М. Г., Ковальчук О. В. Теорія автоматичного керування: Підручник. - К.: Либідь, 1997. - 544 с.

4. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического управления. 4-те вид., перероб. і доп. - СПб.: Профессия, 2003. - 752 с.

Размещено на Allbest.ru

...