Математическая модель дискретного и дискретизированного сигнала

Размещено на http://www.allbest.ru/

Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

Кафедра информационных радиотехнологий

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Цифровая обработка сигналов»

Выполнил:

студент группы 890441

Лапайчик Е.В.

Минск 2021

1. Математическая модель дискретного и дискретизированного сигнала. Восстановление исходного сигнала по дискретизированному сигналу

В результате дискретизации по времени непрерывный сигнал заменяется последовательностью своих отдельных значений (выборок, отсчетов), сделанных обычно через равные интервалы времени Д. При восстановлении по выборкам вид сигнала может существенно измениться.

Чтобы определить спектр дискретного по времени сигнала, необходимо указать вид сигналов, представляющих отдельные отсчеты. Удобной математической моделью является «идеальная» дискретизация, при которой дискретный сигнал x_k рассматривается как произведение непрерывной функции x(t) (рисунок 1, а) и последовательности x_д(t) д-функций, следующих с периодом Д (рисунок 1, в):

Спектр сигнала x_д(t) - последовательность гармоник (рисунок 1, г), разделенных частотным интервалом 1/Д и имеющих одинаковые амплитуды 1/ Д. Действительно,

Рис. 1 - К определению спектра дискретизированного

(в интервал - Д/2… Д/2 попадает только один д-импульс при k = 0).

Если идеальный колебательный контур, настроенный на высокую частоту n/Д (n - целое число), возбуждать редкими д-импульсами, следующими с частотой 1/Д, в контуре установятся колебания с собственной частотой контура. Это означает, что в спектре входной последовательности импульсов есть частота n/Д.

Спектр произведения сигналов x(t)x_д(t) получим, заменив каждую линию спектра сигнала x_д(t) (рис. 1, г) спектральной функцией X(f) сигнала x(t) (рис. 1, б). Спектр произведения показан на рис. 2. Спектр сигнала с идеальной дискретизацией состоит из последовательности бесконечно повторяющихся, с частотой дискретизации, спектров исходного непрерывного сигнала.

Рис. 2 - Спектр сигнала с идеальной дискретизацией: а - без наложения, б - с наложением.

Компьютерные программы вычисления спектра обычно выдают один первый лепесток спектра шириной f_max= 1/Дс шагом по частоте Дf_min= 1/ ф , где ф - длительность сигнала.

Частотную полосу сигнала ограничивают некоторой максимальной частотой f_m, пренебрегая более высокочастотными спектральными составляющими. Если выполняется условие 1/Д >2f_m (рис. 2, а), наложения отдельных полос спектра нет. Можно предположить, что исходный сигнал будет восстановлен, если выделить фильтром одну полосу спектра и применить обратное преобразование Фурье. Возможность точного восстановления исходного сигнала обоснована теоремой Котельникова: любой сигнал, спектр которого не содержит частот выше f_m , может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через интервалы времени Д ? 1/(2f_m).

Доказательство теоремы основано на представлении непрерывного сигнала, в любой момент времени, как суммы базисных функций Котельникова

s(kД) - дискретные значения сигнала в моменты выборок с шагом Д. Эти базисные функции сдвинуты относительно друг друга на интервал времени kД (рисунок 3).

Рис. 3 Представление сигнала рядом Котельникова

Если 1/Д< 2f_m (рисунок 2, б), происходит наложение (aliasing) полос, спектр искажается и точное восстановление исходного сигнала становится невозможным.

В реальной системе используется «естественная» дискретизация: отсчеты сигнала представляют прямоугольными импульсами с длительностью Сигнал с естественной дискретизацией можно получить, пропустив сигнал с идеальной дискретизацией через фильтр с коэффициентом передачи преобразующий д-импульсы в прямоугольные импульсы со спектральной функцией, показанной на рис. 2. а. Следовательно, спектр сигнала с естественной дискретизацией является произведением спектра сигнала с идеальной дискретизацией (рис.2, а) и коэффициента передачи фильтра - функции Этот спектр показан на рис. 4.

Рис. 4 - Спектр сигнала с естественной дискретизацией

В дискретизированных сигналах отсутствуют промежуточные значения, которые содержались в непрерывном сигнале. Для многих последующих операций необходим непрерывный сигнал. Поэтому дискретизированный сигнал во многих случаях необходимо преобразовать в непрерывный и восстановить в нем все его промежуточные значения.

Рисунок 5 - Классификация способов восстановления непрерывного сигнала из дискретизированного

При восстановлении необходимо по известным мгновенным значениям в известные моменты времени оценить все промежуточные значения этого сигнала путем интерполяции или экстраполяции. Для этого необходимо предварительно подобрать для данного участка сигнала восстанавливающую базисную функцию.

2. Разновидности передаточных функций ЛДС. Оценка устойчивости ЛДС по ее передаточной функции

Разновидности представления рекурсивных ЛДС обусловлены различным математическим представлением дробно-рациональной функции:

:

1) в виде произведения простейших множителей:

,

где -- нули и полюсы, в общем случае попарно комплексно сопряженные;

2) в виде произведения множителей второго порядка с вещественными коэффициентами:

, или при :

;

.

3) в виде суммы простых дробей:

,

4) в виде суммы дробей второго порядка с вещественными коэффициентами:

; или при :

,

.

Вz-области, где основной характеристикой ЛДС является передаточная функция (z-изображение ИХ), существует критерий, позволяющий оценить устойчивость ЛДС по передаточной функции, а именно: для того чтобы ЛДС была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все полюсы ее передаточной функции располагались внутри единичного круга комплексной z-плоскости

, 1, 2,…, ,

где - k-й полюс ПФ.

На практике устойчивость рекурсивных ЛДС обычно оценивают по более удобному критерию - положению полюсов на карте нулей и полюсов.

3. Задача. Цифровой сигнал имеет Z-преобразование

.

Определить сигнал в виде последовательности .

Решение

1. Обратное Z-преобразование может быть вычислено по вычетам функции X(z)?z^n?1:

где z_k - полюса функции X(z).

Для функции вида вычет определяется в полюсе z = a.

Учитывая свойство линейности Z-преобразования, получаем обратное Z-преобразование вида

2. Применим последнее свойство для функции предварительно разложив ее по полюсам (z_p1 = 2, z_p2 = 3) на слагаемые.

дискретный сигнал передаточный функция

4. Задача. Умножить матрицу Aна число f.

Решение

5. Задача. Алгоритм работы цифровой системы

Определить передаточную функцию системы.

Решение.

Выполняем формальную подстановку y(n)>Y(z), x(n)>X(z), учитывая свойство задержки y(n?1)>z^?1ЕY(z).

Y(z)=aЕz^?1ЕY(z)+X(z).

Приводим подобные слагаемые:

Y(z)Е(1?aЕz^?1)=X(z).

Передаточная функция системы определяется отношением

Размещено на Allbest.ru