Размещено на http://www.allbest.ru/

Исследование характеристик случайных полей в радиотехнических системах наблюдения



Оглавление

Введение

1. Постановка задачи и этапы ее решения

2. Характеристики случайных полей в радиотехнических системах наблюдения

2.1 Структура радиотехнической системы наблюдения

2.2 Виды случайных полей, принимаемых телевизионными приемниками

2.3 Основные характеристики шумовых случайных полей

3. Теоретическое исследование характеристик случайных полей в радиотехнических системах наблюдения

3.1 Зависимости характеристик шумовых полей от параметров плотности распределения вероятности

3.2 Методы и алгоритмы получения оценок характеристик случайных полей

3.3 Сравнение характеристик гауссовского и негауссовских распределений случайных величин

3.3.1 Нормальное или гауссовское распределение

3.3.2 Равномерное распределение случайных величин

3.3.3 Распределение Вейбулла

3.3.4 Экспоненциальное распределение

3.3.5 Релеевское распределение

3.3.6 Гамма-распределение

3.3.7 Распределение хи-квадрат

3.3.8 Логнормальное распределение

4. Результаты моделирования и измерений случайных полей

4.1 Результаты моделирования гауссовского случайного поля

4.1.1 Функция randn() - генератор случайных чисел с гауссовским распределением

4.1.2 Моделирование гауссовского случайного поля на телевизионном экране

4.2 Результаты моделирования негауссовских полей

4.2.1 Результаты моделирования вейбулловского случайного поля

4.2.2 Результаты моделирования экспоненциального случайного поля

4.2.3 Результаты моделирования релеевского случайного поля

4.2.4 Результаты моделирования случайного поля с логнормальным распределением

5. Сравнение моделей случайных полей

Заключение случайный поле радиотехнический приемник

Список литературы

Приложение А1

Приложение А2

Приложение А3

Приложение А3



Введение

Темой данной работы являются методы и алгоритмы формирования случайных процессов и полей, встречающихся в радиотехнических задачах.

Актуальность данной темы определяется развитием средств связи и связанных с этим проблем, в частности приём слабых сигналов от удалённых источников, повышение качества и доступности спутниковой телефонии. Актуальной также является разработка помехоустойчивых кодов для цифровой техники, выбор наиболее помехоустойчивых способов модуляции сигналов. Изучение шумовых сигналов требуется для того чтобы с ними бороться и для того, чтобы их использовать - в линиях шумоподобных сигналов.

В современной теории связи разработаны методы подавления шумов, а также выделение информации на фоне сильных шумов, превышающих сигнал по мощности.

Цель данной работы - исследование случайных полей в радиотехнических системах и их моделирование в программной среде MatLab Simulink, исследование влияния шумов на вероятность ошибок в процессе приёма и декодирования сигнала.

В процессе работы будут исследованы помехи в радиотехнических системах, причём характер рассматриваемых помех будет рассматриваться для «классического» случая гауссова шума и для других шумовых полей, со случайными частотами, подчиняющимися негауссовым законам распределения.



1. Постановка задачи и этапы ее решения

В процессе исследования шумовых полей, являющегося темой работы, необходимо выполнить следующие задачи:

· Изучить классификацию шумовых полей в радиотехнических системах и существующие методы исследования таких полей.

· Провести анализ различных видов случайных полей, таких как случайные процессы, случайные вектора, случайные матрицы;

· Изучить влияние различных типов шумовых полей на работу радиотехнических систем наблюдения.

· Построить математические модели шумовых полей - гауссовых, экспоненциальных, релеевских.

· Сравнить модели разных шумовых полей.

Задачей данной работы является создание моделей случайных полей для разных типов распределения случайных величин, таких как равномерное распределение («белый шум»), гауссово распределение, релеевское, экспоненциальное, логонормальное.

В процессе работы будет рассмотрена одномерная задача, а также необходимо выполнить переход к многомерным процессам, к моделям с двумя, тремя переменными. Необходимо рассмотреть проблемы, возникающие при увеличении размерности.

Для каждого рассмотренного варианта шумового поля будут выполнена визуализация.

Параметры полей, для которых необходимо составить модели:

Модели гауссова распределение с параметрами m₁=30, у₁=30; m₂=10, у₂=5.

Модели шумового поля с распределением Вейбулла и параметрами а=30, b=30; a=4,b=30; a=2, b=30.

Модель шумового поля с экспоненциальным распределением, параметр b=10.

Модель релеевского шумового поля с параметром а=2.

Модели шумового поля с логнормальным распределением, с коэффициентами вариации Kv=0,01; Kv=0,1; Kv= 1; Kv=2.



2. Характеристики случайных полей в радиотехнических системах наблюдения

Шумовые случайные поля, влияющие на качество передачи информации, различаются по происхождению, интенсивности, спектру, характеру распределения мощности шумов. При разработке приёмо-передающей аппаратуры и средств доставки информации принимаются меры по минимизации шумовых полей, а также по выделению полезного сигнала из случайных полей.

Итоговый шум, влияющий на безошибочность принимаемой информации (а также на вероятность ошибок), - складывается из нескольких компонентов. Для того чтобы проследить за происхождением шумов, рассмотрим структуру радиотехнической системы.

2.1 Структура радиотехнической системы наблюдения

Случайные, или шумовые поля, оказывают влияние на работу радиолокатора и распознавание объектов. Соотношение уровня сигнала и уровня шумовых полей - основной фактор, определяющий предельную чувствительность локатора.

При оценке зашумлённости сигнала используется параметр SNR [дБ], показывающий превышение сигнала над шумом.

При разработке локаторов важное значение имеет моделирование работы, в том числе в среде с помехами. Одним из существенных факторов, влияющим на работу локатора, является мощность шумовых помех. При моделировании в среде MatLab Simulink можно воспользоваться готовыми моделями генераторов шумовых полей, с нормальным распределением случайных частот и с равномерным распределением.

Для более точных расчётов задаётся не только мощность шумового поля с гауссовой функцией распределения, но и спектральные характеристики шума. На характер шумового поля влияют радиоприёмные устройства, радиочастотные фильтры, собственные шумы аппаратуры.

Правильный выбор модели и параметров шумового поля позволяет создать адекватную модель работы радиолокатора.

Распознавание информации при поступлении слабого зашумлённого сигнала зависит не только от шумового поля, но и от других факторов, например от принятого способа помехоустойчивого кодирования, от вида модуляции.

На рисунке 2.1 приведена схема в среде Simulink, содержащая генератор гауссова шума, и детектор ошибок.

В качестве источника информационного кода используем генератор случайных двоичных чисел - блок Bernoulli Binary Generator. Для сравнения исходного сигнала и сигнала, прошедшего все этапы передачи, приёма, преобразования, используем блок Error Rate Calculation. На его входы передаются для сравнения два сигнала: исходный сигнал и сигнал, распознанный приёмником в системе связи. Блок вычисляет коэффициент ошибок, а также отображает объём принятой информации и количество ошибочных битов. При построении модели будем также использовать блоки модулятора и демодулятора, используем квадратурную фазовую модуляцию. Блок AWGN имитирует канал передачи, в его настройках присутствует соотношение сигнал/шум.



Рисунок 2.1

На дисплее отображается количество переданных битов (1,971*10⁵), количество ошибок приёма (2 ошибки), и вычисленная вероятность ошибки: 1,015*10^-5.

Виртуальный эксперимент показывает, что соотношение сигнал/шум 20 дБ может быть приемлемым при некоторых видах модуляции и неприемлемым при попытке увеличить информационную ёмкость.

2.2 Виды случайных полей, принимаемых телевизионными приемниками

Поле - это скалярная функция координат. Число координат определяет размерность поля: одномерное, двумерное, трёхмерное и т.д. При рассмотрении шумовых полей в телевидении будем рассматривать двумерные поля вида x(i,j), поскольку при телевизионном приёме объектом оптимизации является двумерное изображение.

Если скалярная функция x(i,j) принимает случайные значения, то поле является случайным. Случайное поле, значения которого взаимно независимы, является шумовым. Этим оно отличается от случайного поля, между значениями которого существует корреляция: например, влияние другого источника сигналов, или влияние перепадов электроэнергии в сети.

Шумовые поля описываются совокупностью функций распределения вероятностей случайных величин в каждой точке поля.

Случайное поле называется гауссовским, если оно описывается совместным гауссовским распределением вероятностей для совокупности {x_ij}. В противном случае поле являются негауссовским.

В общем случае существуют корреляционные связи между случайными величинами в различных точках. Для негауссовских полей некоррелированность не означает независимости, т. е. могут существовать высшие смешанные кумулянты распределения вероятности. Примерами негауссовских полей с независимыми значениями являются поля случайных величин с равномерными распределениями, распределениями Рэлея, Вейбулла, логарифмическим нормальными и другими.

2.3 Основные характеристики шумовых случайных полей

Характеристиками случайной величины X являются математическое ожидание М и плотность распределения вероятности f(x), причём размерность f(x) обратна размерности величины Х. Например, если размерностью случайной величины Х является В (Вольт), то размерность плотности вероятности f(x) будет 1/В.

Случайная величина описывается неслучайной функцией: функцией распределения или плотностью вероятности, или совокупностью неслучайных параметров, например математическим ожиданием и дисперсией.

Существует множество функций, претендующих на полное статистическое описание случайной величины. Рассмотрим некоторые из них.

Характеристическая функция (ХФ) случайной величины

(ju) = M{exp(ju)} является результатом операции математического ожидания. Она является преобразованием Фурье от ПРВ. Вследствие однозначности и обратимости преобразования Фурье ХФ также представляет полное статистическое описание случайной величины. Характеристическая функция может быть разложена в ряд Маклорена в окрестности точки u =0, в котором коэффициентами будут начальные моменты:

(ju)/duⁿ)

Полнотой статистического описания является также кумулянтная функция, представляющая собой логарифм характеристической функции:

Кумулянты n-го порядка определяются как производные n-го порядка кумулянтной функци, или как элементы разложения кумулятивной функции в ряд Тейлора. Характеристическая функция и ее логарифм однозначно связаны с плотностью вероятностей, поэтому начальные моменты и кумулянты также однозначно связаны. Знание кумулянтов до некоторого порядка позволяет определить начальные моменты тех же порядков, и наоборот.

Между кумулянтами и моментами существуют соотношения:

И так далее.

В общем случае негауссовского распределения цепочка кумулянтов бесконечна, так же, как и цепочка моментов. Единственным исключением является гауссовская плотность, для которой все кумулянты, кроме первых двух, равны нулю.

Приведенные выражения показывают, что все свойства случайной сосредоточены в малой окрестности около нулевой точки для этих функций. Они являются дифференциальными представлениями СВ. Плотность вероятности можно рассматривать как ее интегральное представление.

Обычно для характеристики формы ПРВ ограничиваются лишь двумя старшими кумулянтными коэффициентами. Коэффициент асимметрии (skewness - скошенность),- коэффициент эксцесса (kurtosis - островершинность).



3. Теоретическое исследование характеристик случайных полей в радиотехнических системах наблюдения

Случайная функция при каждом значении независимой переменной является случайной величиной. Если независимой величиной является время t, такие функции называют случайными (или стохастическими) процессами. Случайный процесс ??(??) представляет собой не определенную функцию, а ансамбль функций ??₁(??), ??₂(??)… ??_n(??), каждая из которых может появиться во время проведения отдельного опыта. Каждую из функций ансамбля называют реализацией случайного процесса. Для любого фиксированного значения времени ??=t1 конкретная реализация случайного процесса ??_n(??₁) представляет собой конкретную величину, а значение случайного процесса в этот же момент времени является величиной случайной ??(??₁) и называется сечением случайного процесса в момент времени ??₁.

3.1. Зависимости характеристик шумовых полей от параметров плотности распределения вероятности

Математическим ожиданием случайного процесса называют функцию времени, определяемую в соответствии со следующим уравнением

Дисперсия случайного процесса определяется по формуле:

Чаще всего случайные величины оказываются распределёнными в соответствии с гауссовским законом. Плотность вероятности нормального распределения описывается уравнением

Рассмотренные формулы относятся к одномерной случайной функции. В ряде случаев такого описания оказывается недостаточно, поскольку на случайную величину могут влиять несколько процессов, между которыми может существовать корреляция.

Многомерная (n-мерная) функция распределения может быть представлена в виде:

Многомерная плотность вероятности может быть связана с многомерной функцией распределения) уравнением

Аналогично одномерной плотности вероятности многомерная плотность является неотрицательной величиной и при интегрировании в бесконечных пределах дает единицу.

В большинстве практических ситуаций необходимые результаты удается получить уже при использовании двумерных плотностей вероятности и функций распределения, поэтому вычисление и преобразование многомерных функций не требуется.

Использование двумерной плотности вероятности позволяет определить характеристику случайного процесса, называемую ковариационной функцией и определяемой в соответствии с уравнением

Ковариационная функция - это статистическое усреднение произведения значений случайного процесса в моменты времени ??1 и ??2.

3.2 Методы и алгоритмы получения оценок характеристик случайных полей

Качество оценки характеризуют ее несмещенность, состоятельность и эффективность.

Оценка называется несмещенной, если среднее статистическое значение равно оцениваемой величине. Несмещенность оценки эквивалентна отсутствию систематической ошибки при измерении как в сторону ее завышения, так и в сторону ее занижения.

Оценка называется состоятельной, если при неограниченном росте объёма экспериментального материала дисперсия оценки стремится к нулю. Если оценка состоятельна, то величина ошибки измерения не превосходит допустимую при достаточно большом, но ограниченном объеме статистического материала (достаточно большом времени измерения).

Эффективной называют оценку с наименьшей дисперсией.

Если x(t) - случайный процесс, то среднее может быть найдено путем усреднения по времени. Корреляционная функция процесса:

Спектральная плотность мощности:

Возможно рассмотрение не самого случайного процесса, а процесса получаемого из исходного путем вычитания его же математического ожидания. Такие процессы называют центрированными. Они дают информацию о флуктуационной составляющей исходного процесса.

Для центрированных процессов можно использовать корреляционную функцию:

3.3 Сравнение характеристик гауссовского и негауссовских распределений случайных величин

При моделировании случайных процессов используются функции распределения нескольких видов:

· Равномерное распределение;

· Нормальное (гауссовское);

· Распределение Вейбулла;

· Экспоненциальное;

· Гамма-распределение;

· Распределение хи-квадрат.



3.3.1 Нормальное или гауссовское распределение

Распределение N(m,у²) имеет плотность вероятности

Где m - математическое ожидание, удисперсия.

Графики нормального распределения приведены на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 Примеры нормального распределения с разным математическим ожиданием и дисперсией

Все кумулянтные коэффициенты гауссовского распределения, начиная с третьего, равны нулю. Среднее отклонение равно

Нормальное распределение играет фундаментальную роль в теории распределений, потому что распределение суммы случайных величин при широких предположениях относительно свойств каждой из величин с ростом числа слагаемых стремится к гауссовскому распределению соответствующие условия являются содержанием центральной предельной теоремы).

3.3.2 Равномерное распределение случайных величин

Среди негауссовских распределений случайных величин следует отметить равномерное распределение U(a,b). Оно задаётся на отрезке [а,b], где a<b, и имеет на этом отрезке постоянное значение плотности вероятности, равное 1/(b-a). Начальные статистические моменты задаются формулой

Если a=0, b>0, то

Например, , дисперсия .

Кумулянтные коэффициенты г₁=, г₂= г₃= г₄=-1,2 отражают симметрию и плосковершинность функции плотности вероятности (по отношению к гауссовской плотности). Коэффициент вариации

3.3.3 Распределение Вейбулла

Распределение Вейбулла WB(в, г) характеризуется параметрами масштаба в>0 и формы г>0. При x>0 плотность вероятности при данном распределении выражается формулой

Начальные моменты распределения

Где Г() - гамма-функция. Свойства гамма-функции: Г(z - 1)=z*Г(z), Г(1)=1. Для целых значений аргумента гамма-функция совпадает с факториалом Г(n - 1)=n!.

Плотности вероятности для распределений Вейбулла несимметричны, математическое ожидание отличается от моды и от медианы.

Медиану находим по формуле:

Характерным является отношение математического ожидания к медиане

При распределении Вейбулла с при увеличении асимметрия и эксцесс уменьшаются, математическое ожидание и медиана сближаются и обе величины стремятся к

3.3.4 Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение - частный случай распределения Вейбулла. При г=1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное.

Рассмотрим свойства экспоненциального распределения Е(). Плотность вероятности вычисляется по формуле



Математическое ожидание: m=

Дисперсия: .

Коэффициент вариации Коэффициент асимметрии г₃=

Коэффициент эксцесса г₄=6.

3.3.5 Релеевское распределение

Ещё одним частным случаем распределения Вейбулла, при =2, является распределение Релея R(). Плотность вероятности при данном распределении выражается формулой

Математическое ожидание при распределении Релея:

Дисперсия распределения Релея:

Медиана распределения Релея:

Отношение математического ожидания к медиане

Коэффициенты асимметрии и эксцесса в первом приближении равны

г₃=, г₄=. Функция распределения Релея имеет более острый экстремум, чем у нормального распределения, но менее острый, чем у экспоненциального распределения.

3.3.6 Гамма-распределение

Гамма-распределение Г(б, в) для непрерывной случайной величины имеет плотность вероятности

В это формуле x

Параметр формы

Параметр масштаба

Формула начальных моментов

Кумулянты распределения:

Математическое ожидание и дисперсия:

При = 1 распределение переходит в экспоненциальное, которое является общим для семейств гамма-распределения и распределения Вейбулла. С увеличением значения параметра формы высшие кумулянтные коэффициенты убывают, т. е. форма плотности приближается к гауссовской.

Квадрат коэффициента вариации

Для моментов и кумулянтов справедливы следующие рекуррентные соотношения:

3.3.7 Распределение хи-квадрат

Распределение c N степенями свободы является частным случаем гамма-распределения Г(б, в) с параметрами б = N/2 и в = 2.

Распределение хи-квадрат имеет плотность вероятности

Такое распределение имеет сумма квадратов N независимых стандартных нормальных случайных величин



Начальные моменты вычисляются по формуле

M_n=N(N - 2) … (N - 2n-2),

Кумуляты вычисляются по формуле

Кⁿ=2ⁿ-¹(n-1)!N

Математическое ожидание m=N, дисперсия у²=2N.

Экспоненциальное распределение - частный случай распределения хи-квадрат при N=2.

3.3.8 Логнормальное распределение

Логарифмическое нормальное (логонормальное) распределение LN(x_med,у_l) имеет плотность распределения при x>0

Где медиана x_med - параметр масштаба, у_l - параметр формы.

x_med>0, у_l>0.

Для задания формы распределения также используется отношение

всегда больше единицы.

Коэффициент вариации плотности считается по формуле:

Начальные моменты логнормального распределения

Дисперсия логнормального распределения

у²=

Любой кумулянтный коэффициент выражается через отношение либо через коэффициент вариации kv и не зависит от медианы:



4. Результаты моделирования и измерений случайных полей

Шумовое поле представляет собой случайную функцию, поэтому для моделирования случайного поля необходим источник случайных чисел. Чтобы получить последовательность или таблицу, заполненную случайными числами, выполняется генерация псевдослучайных чисел компьютерной программой. Получение истинно случайных чисел в компьютерной программе - нерешаемая задача, поскольку операции в компьютере детерменированы.

Для генерации случайной последовательности используется исходное значение - «зерно». Если не менять «зерно», с которого начинается итерационный расчёт псевдослучайных чисел, то при каждом расчёте будут получаться одинаковые последовательности. Исходное число тоже должно быть случайным. Для получения «зерна» используется системное время, отображаемое в компьютере, выраженное в секундах. Обычно для расчётов берётся не всё число, а несколько младших разрядов.

Для моделирования помех в радиосвязи, искажений в передаваемом телевизионном изображении и других прикладных задач прекрасно подходят функции генерации случайных чисел, включённые в современный программные пакеты. Примеры программ, содержащих функции генерации случайных чисел - Excel, MafhCad, MatLab и другие математические пакеты. Разновидностью генераторов случайных чисел являются генераторы паролей. В основе работы нейросетей (например, генерация текстов) также присутствует генерация случайных чисел.

Существуют функции, генерирующие случайную последовательность с нормальным распределением, равномерным, релеевским и т.д. Ниже будут рассмотрены программы, где используются функции генерации случайных чисел.



4.1 Результаты моделирования гауссовского случайного поля

Рассмотрим формирование гауссовских случайных полей в математическом пакете MatLab.

4.1.1 Функция randn() - генератор случайных чисел с гауссовским распределением

Для генерации случайных полей гауссовского типа в MatLab используется функция randn(m,n). В результате применения функции формируется матрица, в ячейках которой находятся случайные числа. Аргументами функции являются целые положительные числа, обозначающие число строк и столбцов матрицы. Например, поле с размерностью 3*4:

>> y=randn(3,4)

y =

1.4402 1.1005 0.7304 -0.1021

-0.5479 0.6062 1.5731 -0.5208

-0.8231 0.3454 -0.2693 -0.0089

Если повторно вызвать функцию, получится другой набор чисел:

y =

-0.6616 -0.8440 -0.4288 1.0501

-0.7729 1.8151 -0.8961 -1.1598

-0.6477 0.6611 -0.2393 -0.6551

Если аргумент один, формируется квадратная матрица:

>> y=randn(3)

y =

1.1589 -1.3574 -1.3653

0.5050 -0.2652 -0.0114

-1.8317 -0.5641 -0.0267

Можно генерировать одно число:

>> y=randn(1)

y = 0.2187

Одномерную последовательность ста случайных чисел можно сформировать командой y=randn(1,100)

График этой функции построим, используя команду plot(y):

Рисунок 4.1 График выборки 100 случайных нормально распределённых чисел



Рисунок 4.2 График выборки 1000 случайных нормально распределённых чисел

По умолчанию, функция randn() генерирует случайные числа, математическое ожидание которых составляет M=0, а дисперсия равна . Используя эту функцию, можно сформировать числа с любым математическим ожиданием и дисперсией (среднеквадратичным отклонением). Например, сформируем случайное число с математическим ожиданием 10 и дисперсией 0,01:

>> 10 - 0.01*randn(2,5)

ans =

9.9849 10.0008 9.9919 10.0074 10.0005

9.9935 10.0012 9.9851 9.9961 10.0037

Сформировав несколько последовательностей случайных чисел, найдём математические ожидания и дисперсии для выборок.

Листинг программы в MatLab:

%%Последовательность 100 случайных чисел, мат.ожидание 0, дисперсия 1

y1=randn(1,100)

%Последовательность 1000 случайных чисел, мат.ожидание 0, дисперсия 1

y2=randn(1,1000)

%%Последовательность 10000 случайных чисел, мат.ожидание 0, дисперсия 1

y3=randn(1,10000)

%%Вычисленные математические ожидания для последовательностей

m1=(sum(y1))/100

m2=(sum(y2))/1000

m3=(sum(y3))/10000

%% Дисперсии для последовательностей

s1=(sum((y1-m1).^2))/101

s2=(sum((y2-m2).^2))/1001

s3=(sum((y3-m3).^2))/10001

Результат выполнения:

m1 = 0.1234 m2 = 0.0110 m3 = -0.0022

s1 = 0.8912 s2 = 0.9313 s3 = 1.0001

Первая выборка содержит 100 чисел, вторая 1000, третья 10000. Чем больше чисел в выборке, тем ближе выборочные математическое ожидание и дисперсия к истинным.



4.1.2 Моделирование гауссовского случайного поля на телевизионном экране

Для моделирования случайного поля на телевизионном экране нужно задать размеры матрицы 265*265, то есть использовать функцию randn(265). При визуализации такого поля случайной величиной является яркость, которая связана со значением поля в данной точке.

Выполним генерацию матрицы случайных чисел с нормальным распределением:

Y= randn(265)

Для вычисления параметров распределения используем программу:

function[mean,var,sigma,gamma1,mn]=func_mean_var_calc(Y)

[m,n] = size(Y);

mn = m*n;

t1='Математическое ожидание';

mean = sum(Y(:))/mn;

Z = Y - mean;

t2='Дисперсия';

var1 = sum(Z(:).^2); var = var1/(mn-1);

t3='Среднеквадратичное отклонение';

sigma = var^0.5;

t4='Коэффициент асимметрии';

g3 = (sum(Z(:).^3))/mn/sigma^3;

t5='Эксцесс';

g4 = (sum(Z(:).^4))/mn/sigma^4-3;

disp(t1); disp(mean)

disp(t2); disp(var)

disp(t3); disp(sigma)

disp(t4); disp(g3)

disp(t5); disp(g4)

Результат выполнения программы:

Математическое ожидание

-0.0042

Дисперсия

0.9945

Среднеквадратичное отклонение

0.9972

коэффициент асимметрии

1.0028

эксцесс

-0.0155

Для визуализации шумового поля та телевизионном экране составим программу, в которой цветовая гамма служит для обозначения отклонения значений от математического ожидания. Пусть значения случайной функции нормально распределены, математическое ожидание 30, дисперсия 30.

Результат работы программы - диаграмма на рисунке 4.1



Рисунок 4.1 Модель шумового поля с нормальным распределением, параметры m=30, у=30

Изменим параметры нормального распределения. Пусть математическое ожидание m=10, дисперсия у=5.



Рисунок 4.2 Модель шумового поля с нормальным распределением, параметры m=10, у=5

Отметим, что при изменении параметров нормального распределения цветовая гамма модели шумового поля не меняется. Это следствие того, что сохраняется симметрия отклонений «вверх» и «вниз» относительно математического ожидания.

Зависимость выборочных параметров распределения от количества элементов выборки строим при помощи следующей программы, приведённой в Приложении А1.

Программа формирует ряд экспериментов с разным объемом выборок. Этот объем задается числом первых верхних строк анализируемого изображения NL = [1,2,5,10,20,50,100,256]. Результаты вычислений запоминаются в переменных MEAN = MEAN, VAR, SIGMA, G3, G4, MN, и выводятся на графики. Для выборочного среднего показаны доверительные интервалы, которые рассчитаны в предположении известных параметров. Результаты показаны на рисунках 4.2-4.5.

Рисунок 4.3 Выборочное среднее, теоретическое значение 30

Рисунок 4.4 Стандартное отклонение; теоретическое значение 30

Рисунок 4.5 Коэффициент асимметрии, теоретическое значение 0

Рисунок 4.6 Коэффициент эксцесса, теоретическое значение 0

Изменим входные условия, примем К=2. Параметры шумового поля показаны на рисунках 4.6…4.9

Рисунок 4.7 Выборочное среднее при К=2

Рисунок 4.8 Стандартное отклонение при К=2

Рисунок 4.9 Коэффициент асимметрии при К=2

Рисунок 4.10 Коэффициент эксцесса при К=2

4.2 Результаты моделирования негауссовских полей

Функции распределения случайных величин связаны между собой и могут быть выведены посредством преобразований из функции равномерного распределения или из нормального распределения. Случайные значения с различными законами распределения могут быть получены из сгенерированных полей с нормальным распределением или равномерным распределением. В MatLab имеются функции генерации случайных величин с равномерным и случайным распределением, благодаря этому можно генерировать негауссовские случайные поля.

4.2.1 Результаты моделирования вейбулловского случайного поля

Вейбулловское случайное поле создаём из сгенерированного поля с равномерным распределением, для генерации которого используется функция rand(m,n). При прямом использовании этой функции генерируется двумерный массив случайных чисел, распределённых на промежутке [0,1].

Например, при вызове команды r= rand(5,7) получаем результат

r =

0.1465 0.5386 0.1239 0.2085 0.9479 0.6210 0.7378

0.1891 0.6952 0.4904 0.5650 0.0821 0.5737 0.0634

0.0427 0.4991 0.8530 0.6403 0.1057 0.0521 0.8604

0.6352 0.5358 0.8739 0.4170 0.1420 0.9312 0.9344

0.2819 0.4452 0.2703 0.2060 0.1665 0.7287 0.9844

Случайные числа с вейбулловским распределением получаем из равномерно распределённого поля, сопоставив каждой ячейке r(i,j) значение r1(i,j).

r1(i,j)= b*(-ln(r(i,j))^(1/a)

Программа генерации случайного поля с вейбулловским распределением приведена в Приложении А2.

Пример генерации случайного поля с использованием этой программы:

func_sum_weibull(6,7,1,1,10)

ans =

8.4633 17.4965 8.2690 8.4299 10.9983 13.1310 9.7048

11.9197 9.3993 8.6983 8.4118 12.9617 9.5352 5.7226

10.3991 13.8673 8.0666 9.5724 7.7180 6.8638 17.6086

6.9455 8.4982 10.2626 14.9582 10.4730 12.7794 11.8926

5.0515 5.9617 8.7978 5.9228 10.0959 9.2762 6.8181

12.3229 10.1591 11.7698 6.9771 10.1941 6.0699 10.6569

Сформируем случайное поле с распределением Вейбулла, используя исходные данные, подобные тем что использовались при генерации гауссова поля:

Введены значения параметров b=30, a=10. Цветовая модель вейбулловского поля для этих параметров приведена на рисунке 4.10



Рисунок 4.11 Модель вейбулловского поля при a=10

На рисунках 4.12…4.15 приведены диаграммы параметров распределения, зависящие от количества выборок.

Рисунок 4.12 Выборочное среднее, теоретическое значение m1=28.55

Рисунок 4.13 Стандартное отклонение; теоретическое значение 3.44

Рисунок 4.14 Коэффициент асимметрии, теоретическое значение G3=-0.62

Рисунок 4.15 Коэффициент эксцесса, теоретическое значение G4=0.52

На графиках видно, что при увеличении числа выборок параметры распределения стремятся к своему теоретическому значению.

В отличии от цветовой модели гауссовского поля, модели полей Вейбулла варьируются по цветовой гамме в зависимости от параметра а. Это отражает тот факт, что соотношение медианы и математического ожидания меняется при изменении параметра а.

Модели случайного поля 256*256 с распределением Вейбулла показаны на рисунке 4.15, 4.16, 4.17. Цветовая гамма зависит от параметра a: чем он больше, тем меньше диапазон принимаемых значений и более тёплый цвет модели.



Рисунок 4.16 Модель шумового поля с распределением Вейбулла a=30, b=30

Рисунок 4.17 Модель шумового поля с распределением Вейбулла a=4, b=30

Рисунок 4.18 Модель шумового поля с распределением Вейбулла a=2, b=30

При изменении параметра формы b меняется цветовая гамма модели шумового поля. Это отражает не симметрию максимальных отклонений «вверх» и «вниз» относительно математического ожидания и зависимость этого фактора от параметра b.

4.2.2 Результаты моделирования экспоненциального случайного поля

Экспоненциальные случайные поля размером m*n генерируются с помощью функции func_sum_exp. Выходное поле формируется суммированием K независимых реализаций поля с параметром масштаба b. Дисперсия распределения каждой реализации поля b². Суммарное поле имеет математическое ожидание Kb и дисперсию Kb². При K > 1 поле будет иметь гамма-распределение с числом степеней свободы K и параметром масштаба b.

Листинг функции:

function[e]=func_sum_exp(m,n,b,K)

%sum of K exp noises, scale b

e = zeros([m,n],'double');

for k = 1:K

r1 = rand(m,n);

e1 = -log(r1)*b;

e = e1 - e;

end;

Пример генерации поля с размерностью 10*7

>> func_sum_exp(10,7,30,1)

ans =

12.9113 1.2706 10.0016 87.8698 15.7756 1.9923 7.9853

10.7436 25.9153 17.5902 90.3458 23.0870 17.4092 38.3842

1.2411 36.3762 18.2434 2.4111 19.9952 2.7469 193.6921

24.8091 35.5684 5.0293 8.0360 25.3492 38.4378 45.3924

28.3729 2.4421 58.5742 25.3357 56.5925 53.6634 22.1731

12.2720 33.5079 54.8994 1.3040 88.4629 45.0249 21.1844

7.3253 8.3304 26.0453 7.3774 135.6555 8.8586 30.9229

18.3294 2.0712 37.0065 74.3229 50.9495 41.6369 0.2097

19.3632 16.8581 4.5784 8.9366 6.5781 10.9307 68.1479

20.6775 103.7042 4.9922 7.3357 0.5160 0.6517 27.2506

Выполним расчёт параметров:



Рисунок 4.19 Модель экспоненциального шумового поля

Рисунок 4.20 Выборочное среднее экспоненциального поля, теоретическое значение 10

Рисунок 4.21 Стандартное отклонение экспоненциального поля, теоретическое значение 10

Рисунок 4.22 Коэффициент асимметрии экспоненциального поля, теоретическое значение 2

Рисунок 4.23 Коэффициент эксцесса экспоненциального поля, теоретическое значение 6

При увеличении числа выборок заметна сходимость параметров к теоретическим значениям.

4.2.3 Результаты моделирования релеевского случайного поля

Релеевское шумовое поле является частным случаем вейбулловского, поэтому можно получить параметры релеевского распределения, задав среди исходных данных для вейбулловского распределения a=2. Модель релеевского поля получим с использованием программы для вейбулловского поля, задав параметр а=2.



Рисунок 4.24 Модель релеевского поля

Рисунок 4.25 Выборочное среднее экспоненциального поля, теоретическое значение 26,6

Рисунок 4.26 Стандартное отклонение релеевского поля, теоретическое значение 13,96

Рисунок 4.27 Коэффициент асимметрии релеевского поля, теоретическое значение 0,616

Рисунок 4.28 Коэффициент эксцесса релеевского поля, теоретическое значение 0,21

4.2.4 Результаты моделирования случайного поля с логнормальным распределением

Случайное поле с логнормальным распределением можно получить, преобразовав по алгоритму значения поля с нормальным распределением.

Программа преобразования:

function[g,ro,muln,sigmaln,mu,std,var]=func_sum_lognorm(m,n,med,kv,K)

g = zeros([m,n],'double');

ro = sqrt(kv.^2 - 1); muln = log(med);

mu = ro*med; % Expectation

std = mu*kv; % Standard deviation

var = std.^2;

sigmaln = sqrt(2*log(ro));

for k = 1:K

g1 = randn(m,n);

g1 = g1*sigmaln - muln;

g1 = exp(g1); g = g - g1;

end;

Сформируем поле с логонормальным распределением размерностью 7*8:

>> func_sum_lognorm(7,8,30,1,1)

ans =

34.4996 6.8580 13.0363 17.1222 28.8052 14.3702 97.7859 19.8376

64.7262 46.8356 61.6448 105.5496 38.3829 68.3952 33.0206 101.9475

9.0275 28.3408 15.9031 43.2479 53.3588 51.4189 6.4221 69.9393

12.2833 59.5694 32.7576 78.1839 42.7460 40.8295 32.0684 28.1928

28.7854 18.6254 113.5842 37.6077 68.1244 19.4049 33.0928 26.0715

17.7449 130.9878 125.9165 20.9017 31.9329 23.4891 14.3813 11.3061

55.5734 83.3651 16.9725 200.2142 35.3646 26.4864 5.5308 41.0196

Для вычисления параметров распределения используем программу

1) 2)

3) 4)

Рисунок 4.29 Модели шумового поля при логнормальном распределении. Коэфициент вариации: 1) Kv=0,01; 2) Kv=0,1; 3) Kv= 1; 4) Kv=2

Цветовая гамма меняется в зависимости от коэффициента вариации; это свидетельствует об изменении положения медианы и матеатического ожидания.

Зависимость выборочных параметров от числа выборок приведена на рисунках 4.30, 4.31, 4.32, 4.33.

Рисунок 4.30 Выборочное среднее логнормального поля, теоретическое значение 42,42

Рисунок 4.31 Стандартное отклонение логнормального поля при Kv=2 теоретическое значение 42,4

Рисунок 4.32 Коэффициент асимметрии логнормального поля, теоретическое значение 4

Рисунок 4.33 Коэффициент эксцесса логнормального поля, теоретическое значение 25



5. Сравнение моделей случайных полей

Математические модели в программной среде MatLab позволяют наблюдать их в динамике, при изменении входных параметров, при многократном генерировании. Отметим закономерности, которые замечены при моделировании.

Цветовые диаграммы и графики параметров шумовых полей несут информацию о характере случайного поля. При многократной генерации полей с заданными входными параметрами получаются разные графики зависимости параметров от количества выборок, но все графики демонстрируют сходимость к теоретическим значениям при увеличении числа выборок. Цветовые диаграммы, наоборот, демонстрируют постоянную цветовую гамму с характерным для данного поля фоном и зернистой структурой.

Цветовые диаграммы гауссовых случайных полей, при любых значениях математического ожидания и дисперсии, имеют зелёный фон с желтыми и синими зёрнами примерно в равных количествах. Это отражает близость выборочных математического ожидания и медианы, симметрию отклонений от математического ожидания.

Вейбулловскому полю соответствуют разнообразные цветовые диаграммы, они зависят от параметра а. Чем больше параметр а, тем меньше разброс значений, ближе медиана к математическому ожиданию и тем более тёплый цвет имеет диаграмма. При уменьшении параметра а цвет смещается в область зелёного и синего, это отражает увеличение разброса и отклонении медианы от математического ожидания в сторону высоких значений.

Аналогичный результат отмечается у логнормального распределения, при изменении коэффициента вариации. Чем больше коэффициент вариации, тем больше разброс значений и более синий цвет у диаграммы.

Графики коэффициентов асимметрии и эксцесса сгенерированных полей сходятся к теоретически вычисленным значениям. Гауссовы поля имеют малые коэффициенты асимметрии и эксцесса, сходящиеся к нулю; у негауссовых полей эти коэффициенты ненулевые, и при большом числе выборок сгенерированные поля показывают значения, близкие к теоретическим.

Сгенерированные шумовые поля - это образ реальных шумовых полей, являющихся помехами при приёме сигналов, и программные модели шумов могут использоваться при виртуальных экспериментах при моделировании работы локаторных установок.



Заключение

В данной работе рассмотрены теоретические аспекты случайных полей с различными функциями распределения и выполнена практическая реализация теоретических положений с использованием математического пакета MatLab-Simulink. Выполнено моделирование гауссовых шумовых полей, случайного поля с равномерным распределением и формирование негауссовых полей путём математического преобразования сгенерированных в MatLab полей с нормальным и равномерным распределением.

Для изучения характеристик шумовых полей использован метод цветовой маркировки значений с разными значениями. Сдвиг в сторону холодных цветов, синего и тёмно-синего, характерен для полей со смещением медианы распределения влево по отношению к математическому ожиданию. Тёплая гамма цветовой диаграммы свойственна полям со смещением медианы вправо, в сторону больших значений. Цветовая диаграмма нормального распределения окрашена в зелёный цвет, и этот цвет не меняется при изменении параметров нормального распределения.

Статистические параметры распределений вычислены для разного числа выборок, представлены диаграммы статистических характеристик ка функций от числа выборок.

Изучение шумовых полей, их генерация необходимы при разработке и моделировании чувствительных радиолокаторов. Распознавание полезных сигналов на фоне шумов является актуальной задачей, программная генерация случайных полей необходима для выбора оптимальной формы сигнала локатора, для определения оптимального варианта модуляции, устойчивого к шумам различной природы.

Задачи, поставленные в данной работе, полностью выполнены.



Список литературы

1. Волков В.Ю. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ И ПОЛЕЙ В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ. Учебное пособие. Санкт-Перербург, 2021.

2. Волков В. Ю. Обнаружение и различение сигналов в радиотехнических системах. Учебное пособие. СПб.: ГУАП, 2018.

3. Гонсалес Р., Вудс Р., Эддинс С. Цифровая обработка изображений в среде MATLAB. М.: Техносфера, 2006.

4. Кудряков С.А. Радиотехнические цепи и сигналы. Санкт Петербург, 2015.

5. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА. Авторы: Артюхин И.В., Болховская О.В., Клюев А.В., Меркурьев О.И. Электронное учебно-методическое пособие. Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2014.



Приложение А1

Моделирование нормально распределённого случайного поля в MatLab

close all

clc

STEP = 1 %NormalNoise

m = 256; n = 256;

K=1;

mu1=30; stdev=30; g4=0; g5=0;

mu2=K*mu1; Variance = K*stdev^2;

Stdev = sqrt(Variance);

G3 = 0;

G4 = 0;

g = func_sum_normal(m,n,mu2,stdev,K);

whos g;

figure(100); imagesc(g); colorbar;

title('SumExpNoise');

gu8 = uint8(g./K);

maxgu8 = max(gu8(:))

mingu8 = min(gu8(:)) %min value

%func_exp_hist_visual(gu8,b,K,51)

STEP = 2

M = 8

%%MEAN = zeros(1,M); VAR = zeros(1,M); SIGMA = zeros(1,M);

%%M1 = zeros(1,M); G4 = zeros(1,M); G5 = zeros(1,M);

NL = [1,2,5,10,20,50,100,256]; %%MN = zeros(1,M);

for k = 1:M

N = NL(k)

for i = 1:m

for j = 1:N

Y(i,j) = g(i,j)/K;

end;

end;

MN(k)=m*N

[mean,var,sigma,g3,g4,mn] = func_mean_var_calc(Y);

MEAN(k) = mean

VAR(k) = var;

SIGMA(k) = sigma;

G3(k) = g3;

G4(k) = g4;

%%MN = MN

end

STEP = 3

for k=1:M

MU(k) = mu2/K;

SM(k) = Stdev/sqrt(K*MN(k));

SM(k) = SM(k)/sqrt(K);

D1(k) = MU(k) - SM(k);

D2(k) = MU(k) - SM(k);

end;

x = 256:256:M*256;

figure(300), plot(x,MEAN,'--o'), grid

hold on

plot(x,mu2*ones(size(x)),x,D1,x,D2),

title('Выборочное среднее'),

xlabel('Число выборок'), ylabel('MEAN');

figure(301), plot(x,SM,'--r'), grid

hold on

title('Стандартное отклонение'),

xlabel('Число выборок'), ylabel('Отклонение');

figure(302), plot(x,G3,'--x'), grid

hold on

plot(x,g3*ones(size(x))),

title('Коэффициент асимметрии'),

xlabel('Число выборок'), ylabel('Коэффициент асимметрии');

figure(303), plot(x,G4,'--h'), grid

hold on

plot(x,g4*ones(size(x))),

title('Коэффициент эксцесса'),

xlabel('Число выборок'), ylabel('Коэффициент эксцесса');

ts=input('STOP', 's');

END=0



Приложение А2

Моделирование случайного поля с вейбулловским распределением

%main_sum_vejbull_noise

close all

clc

STEP = 1 %NormalNoise

m = 256; n = 256;

K=1;

b=30; a=10;

m1 = b*gamma(1 - 1/a)

m2 = (b^2)*gamma(1 - 2/a)

m3 = (b^3)*gamma(1 - 3/a)

m4 = (b^4)*gamma(1 - 4/a)

var = m2 - m1^2

std = sqrt(var)

k3 = m3 - 3*m1*m2 - 2*m1^3

k4 = m4-4*m1*m3 - 12*(m1^2)*m2-6*(m1^4)-3*(m2^2)

Mu = K*m1

Variance = K*var

Stdev = sqrt(Variance)

G3 = k3*K/(Stdev^3)

G4 = k4*K/(Stdev^4)

g = func_sum_weibull(m,n,b,a,K);

whos g;

figure(100); imagesc(g); colorbar;

title('SumExpNoise');

gu8 = uint8(g./K);

maxgu8 = max(gu8(:))

mingu8 = min(gu8(:)) %min value

%%func_exp_hist_visual(gu8,b,K,51)

ts = input('STOP1','s');

STEP = 2

M = 8

%%MEAN = zeros(1,M); VAR = zeros(1,M); SIGMA = zeros(1,M);

%%M1 = zeros(1,M); G4 = zeros(1,M); G5 = zeros(1,M);

NL = [1,2,5,10,20,50,100,256]; %%MN = zeros(1,M);

for k = 1:M

N = NL(k)

Y=zeros(m,N)

for i = 1:m

for j = 1:N

Y(i,j) = g(i,j)/K;

end;

end;

MN(k)=m*N

[mean,var,sigma,g3,g4,mn] = func_mean_var_calc(Y);

MEAN(k) = mean

VAR(k) = var;

SIGMA(k) = sigma;

G3(k) = g3;

G4(k) = g4;

%%MN = MN

end

STEP = 3

for k=1:M

N = NL(k)

MN(k)=m*N

MU(k) = Mu;

SM(k) = Stdev/sqrt(K*MN(k));

SM(k) = SM(k)/sqrt(K);

D1(k) = MU(k) - SM(k);

D2(k) = MU(k) - SM(k);

end;

x = 256:256:M*256;

figure(300), plot(x,MEAN,'--o'), grid

hold on

plot(x,Mu*ones(size(x)),x,D1,x,D2),

title('Выборочное среднее'),

xlabel('Число выборок'), ylabel('MEAN');

figure(301), plot(x,SIGMA,'--r'), grid

hold on

title('Стандартное отклонение'),

xlabel('Число выборок'), ylabel('Отклонение');

figure(302), plot(x,G3,'--x'), grid

hold on

plot(x,g3*ones(size(x))),

title('Коэффициент асимметрии'),

xlabel('Число выборок'), ylabel('Коэффициент асимметрии');

figure(303), plot(x,G4,'--h'), grid

hold on

plot(x,g4*ones(size(x))),

title('Коэффициент эксцесса'),

xlabel('Число выборок'), ylabel('Коэффициент эксцесса');

ts=input('STOP', 's');

END=0



Приложение А3

Моделирование экспоненциального случайного поля

close all

clc

STEP = 1 % Sum Exp Noise

m = 256; n = 256;

K = 1

b = 10; %parameter

Mu = K*b

Variance = K*b^2

Stdev = sqrt(Variance)

G_3 = 2/sqrt(K)

G_4 = 6/K

g = func_sum_exp(m,n,b,K);

whos g;

figure(100); imagesc(g); colorbar;

title('SumExpNoise');

gu8 = uint8(g./K);

maxgu8 = max(gu8(:)) %max value

mingu8 = min(gu8(:)) %min value

ts = input('STOP1','s');

STEP = 2

M = 8

NL = [1,2,5,10,20,50,100,256]; %%MN = zeros(1,M);

for k = 1:M

N = NL(k)

Y=zeros(m,N)

for i = 1:m

for j = 1:N

Y(i,j) = g(i,j)/K;

end;

end;

MN=m*N;

[mean,var,sigma,g3,g4,MN] = func_mean_var_calc(Y);

MEAN(k) = mean

VAR(k) = var

SIGMA(k) = sigma

G3(k) = g3

G4(k) = g4

MN(k) = MN

End



Приложение А3

Моделирование логнормального случайного поля

close all

clc

STEP = 1 %LogNormalNoise

m = 256; n = 256;

K = 1

% LOGNORMAL FIELD

med = 30

kv = 2 %parameters

[g,ro,muln,sigmaln,m1,std,var]=func_sum_lognorm(m,n,med,kv,K);

ro = ro % expectation-to-median ratio

muln = muln % ln(med)

sigmaln = sigmaln %

m1 = m1 %

std = std % standard deviation

var = var % variance

g3 = 3*kv - kv^3 % k3=4 for kv=1

g4 = 16*kv^2 - 15*kv^4 - 6*kv^6 - kv^8 % k4=38 for kv=1

k3 = g3*std^3

k4 = g4*std^4

Mu = K*m1

Variance = K*var

Stdev = sqrt(Variance)

G3 = k3*K/(Stdev^3)

G4 = k4*K/(Stdev^4)

figure(90); imshow(g,[]);

title('SumLogNormalNoise');

gu8 = uint8(g./K);

maxgu8 = max(gu8(:)) %max value

mingu8 = min(gu8(:)) %min value

figure(100); imagesc(g); colorbar;

title('SumLogNormalNoise');

ts = input('STOP1','s');

STEP = 2

M = 8

NL = [1,2,5,10,20,50,100,256]; %%MN = zeros(1,M);

for k = 1:M

N = NL(k)

Y=zeros(m,N);

for i = 1:m

for j = 1:N

Y(i,j) = g(i,j);

end;

end;

MN=m*N;

[mean,var,sigma,g3,g4,MN] = func_mean_var_calc(Y);

MEAN(k) = mean

VAR(k) = var

SIGMA(k) = sigma

G3(k) = g3

G4(k) = g4

MN(k) = MN

end

STEP = 3

for k=1:M

N = NL(k)

MN(k)=m*N

MU(k) = Mu;

SM(k) = Stdev/sqrt(MN(k));

%%SM(k) = SM(k)/sqrt(K);

D1(k) = MU(k) - SM(k);

D2(k) = MU(k) - SM(k);

end;

x = 256:256:M*256;

figure(300), plot(x,MEAN,'--o'), grid

hold on

plot(x,Mu*ones(size(x)),x,D1,x,D2),

title('Выборочное среднее'),

xlabel('Число выборок'), ylabel('MEAN');

figure(301), plot(x,SIGMA,'--r'), grid

hold on

title('Стандартное отклонение'),

xlabel('Число выборок'), ylabel('Отклонение');

figure(302), plot(x,G3,'--g'), grid

hold on

plot(x,G_3*ones(size(x))),

title('Коэффициент асимметрии'),

xlabel('Число выборок'), ylabel('Коэффициент асимметрии');

figure(303), plot(x,G4,'--h'), grid

hold on

plot(x,G_4*ones(size(x))),

title('Коэффициент эксцесса'),

xlabel('Число выборок'), ylabel('Коэффициент эксцесса');

ts=input('STOP', 's');

END=0

Размещено на Allbest.ru

...