Моделювання та оптимізація динамічних об’єктів і процесів на основі зміщених диференціальних перетворень

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України

Автореферат

Моделювання та оптимізація динамічних об'єктів і процесів на основі зміщених диференціальних перетворень

Фролова Олена Геннадіївна

Київ - 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Відділенні гібридних моделюючих та керуючих систем в енергетиці Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України.

Науковий керівник доктор технічних наук, старший науковий співробітник

БАРАНОВ Володимир Леонідович,

провідний науковий співробітник Відділення гібридних моделюючих

та керуючих систем в енергетиці Інституту проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, старший науковий співробітник

САУХ Сергій Євгенович,

провідний науковий співробітник Інституту проблем моделювання в

енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України

доктор технічних наук, професор

ВОРОНІН Альберт Миколайович,

провідний науковий співробітник Інституту космічних досліджень

НАН України та Національного космічного агентства України

Провідна установа Інститут проблем математичних машин і систем НАН України, відділ Інтелектуальних систем математичного моделювання складних об'єктів і процесів, м. Київ

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Потреба у розв'язку задач моделювання та оптимізації динамічних об'єктів і процесів виникає у багатьох областях науки та техніки. Такі задачі мають місце при керуванні різноманітними видами транспорту, аерокосмічними та аеродинамічними об'єктами, сільськогосподарськими машинно-тракторними агрегатами (МТА) у системах “точного землеробства”, під час керування швидкоплинними фізичними процесами тощо. Моделювання та оптимізація керування рухом динамічних об'єктів і процесів розглядалися у працях Понтрягіна Л.С., Бєллмана Р., Сейджа Е.П., Кротова В.Ф., Красовського А.А., Шушляпіна Є.А. та інших. До задач оптимального керування динамічними об'єктами і процесами ставиться вимога моделювання та оптимізації у реальному часі, а також у прискореному часі з метою запобігання зіткнень рухомих об'єктів. При цьому потреба моделювання у реальному часі вступає в протиріччя із складністю розв'язку задач оптимального керування. Відомі методи, які застосовуються для моделювання оптимального керування, такі, як варіаційні методи, принцип максимуму Понтрягіна та динамічне програмування, не завжди задовольняють вимогам реалізації процесів керування в реальному та прискореному часі, особливо якщо виникає потреба чисельного моделювання. Так, варіаційні методи призводять до чисельного інтегрування рівнянь Ейлера-Лагранжа, принцип максимуму вимагає розв'язання двоточкової граничної задачі, а динамічне програмування перетворює задачу оптимального керування у задачу чисельного інтегрування рівняння Бєллмана в часткових похідних. Такі задачі є досить складними у обчислювальному відношенні і вимагають потужних бортових ЕОМ для керування рухом динамічного об'єкту, що є економічно невигідним при широкому застосуванні, особливо якщо розглядувана задача багатокритеріальна. Таким чином, являється актуальною проблема розробки методів, які дозволяють моделювати процеси оптимального керування в реальному та прискореному часі.

Серед таких методів відомий операційний метод диференціальних перетворень (або основних диференціальних перетворень), що був започаткований у працях академіка Пухова Г.Є. та набув подальшого розвитку в роботах Ронто Н.І., Семагіної Е.П., Баранова В.Л., Сауха С.Є., Степанова А.Є., Степанова А.В. та інших. Цей метод також використовувався для моделювання оптимальних процесів керування Барановим В.Л., Уруським О.С., Залогіним Н.С. та Комаренко О.Ю. Метод основних диференціальних перетворень дозволяє виконувати розв'язання задачі у області з відсутнім часовим аргументом і зводити складну задачу оптимального керування до більш простої задачі, яку можна досить легко розв'язати чисельними методами. Але вказаний метод має недоліки, властиві усім методам, що використовують ряд Тейлора, а саме: 1) обмеження часового інтервалу, на якому розглядається задача, радіусом збіжності ряду Тейлора, а також 2) необхідність забезпечення потрібної точності зменшенням інтервалу або великою кількістю дискрет, які не можуть бути достовірно отримані із моделі оптимального керування внаслідок наявності шумів та збурень, що діють на об'єкт. Тому актуальною є розробка моделей та методів оптимізації об'єктів і процесів на основі більш точних перетворень моделей об'єктів керування. В якості таких перетворень пропонується застосувати зміщені диференціальні перетворення, основи яких розроблені академіком Пуховим Г.Є. Зміщені перетворення дозволяють побудувати більш точні моделі оптимізації динамічних об'єктів і процесів та реалізувати процеси оптимального керування динамічними об'єктами і процесами в реальному і прискореному часі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дана робота виконувалась в рамках наукових досліджень Центрального НДІ навігації і управління та Національного аграрного університету при реалізації НДДКР "Розробка засобів картографування врожайності" (Технічне забезпечення системи точного землеробства), № держ. реєстрації 0199U004525, що входить складовою частиною до “Програми виробництва технологічних комплексів машин і обладнання для агропромислового комплексу на 1998-2005 роки”, схваленої Постановою Кабінету Міністрів України № 403 від 30.03.1998 р. Також тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями Відділення гібридних моделюючих та керуючих систем в енергетиці ІПМЕ НАНУ, де робота виконувалась в рамках держбюджетної НДР "Розробка теорії моделювання та методів побудови системоаналогових обчислювальних структур для рішення нелінійних багатокритеріальних задач математичного програмування в енергетиці" за номером держ. реєстрації № 0199U000489. Зв'язок роботи з даними програмами полягає у моделюванні оптимальних та багатокритеріальних процесів керування сільськогосподарськими агрегатами, що ввійшло до четвертого розділу дисертаційної роботи, а також у розробці методів багатокритеріальної оптимізації. диференціальне перетворення рух транспорт

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка моделей і методів оптимізації об'єктів і процесів на основі зміщених диференціальних перетворень.

Для досягнення поставленої мети в дисертації були розв'язані наступні задачі:

Розробка методу моделювання і оптимізації процесів керування зміщеними диференціальними перетвореннями.

Побудова варіаційної моделі оптимізації динамічних об'єктів і процесів на основі зміщених диференціальних перетворень.

Створення багатокритеріальної моделі процесів оптимального керування динамічними об'єктами в області зміщених диференціальних перетворень.

Об'єктом дослідження є моделювання динамічних об'єктів і процесів.

Предметом дослідження є побудова моделей процесів оптимального керування динамічними об'єктами в області зміщених диференціальних перетворень.

Методи дослідження. Для розв'язку поставлених задач використовувались методи математичного моделювання, варіаційного числення, теорії оптимального керування, у випадку багатокритеріальної моделі - методи багатокритеріальної оптимізації, а також математичний апарат зміщених диференціальних перетворень.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

Вперше розроблений метод моделювання і оптимізації процесів керування в області зміщених диференціальних перетворень, що забезпечує у порівнянні з основними диференціальними перетвореннями зниження верхньої границі оцінки похибки в 2^q разів, де q - кількість врахованих дискрет диференціального спектру.

Вперше запропонована варіаційна модель оптимальних процесів на основі зміщених диференціальних перетворень, що не потребує інтегрування двоточкової граничної задачі.

Вперше за допомогою зміщених диференціальних перетворень отримана модель процесів багатокритеріального керування динамічними об'єктами, що дозволяє виконати динамічну векторну оптимізацію шляхом розв'язку системи кінцевих рівнянь відносно параметрів керуючих змінних.

Практичне значення одержаних результатів. На основі результатів дисертаційної роботи були проведені:

моделювання і багатокритеріальна оптимізація коливань сошника зернової сівалки;

моделювання і багатокритеріальна оптимізація роботи гичкозбирального комбайну, в результаті чого була отримана аналітична залежність між оптимальними параметрами та параметрами руху комбайну.

моделювання і оптимізація процесів керування швидкістю руху МТА;

багатокритеріальна оптимізація режимів роботи і конструктивних параметрів культиватора та орного агрегату, на основі чого були запропоновані оптимальні параметри під час їх конструювання та подальшої експлуатації.

Одержані результати дисертаційної роботи були впроваджені у Центральному НДІ навігації і управління при виконанні НДДКР “Розробка засобів картографування врожайності" (Технічне забезпечення системи точного землеробства), шифр “Міус”. Також результати досліджень включено до навчальних курсів “Програмне та математичне забезпечення ОС АСУ” і “Системи підтримки прийняття рішень”, що викладаються на кафедрі “Комп'ютеризовані системи” Житомирського військового інституту радіоелектроніки.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідались та обговорювались на 9 міжнародних та регіональних конференціях, у тому числі: IV Міській міжвузівській науково-практичній конференції викладачів, студентів та молодих вчених (Житомир, 2001), V Міжнародній науково-практичній конференції "Сучасні технології в аерокосмічному комплексі" (Житомир, 2001), Міжнародній конференції з управління "Автоматика 2001" (Одеса, 2001), XIII Військово-науковій конференції (Житомир, 2002), I Міжнародній науково-практичній конференції "Проблеми застосування технологій точного землеробства в АПК" (Київ, 2002), IV Міжнародній науково-технічній конференції "АВІА-2002" (Київ, 2002), Міжнародній науково-технічній конференції "Інформаційно-комп'ютерні технології 2002" (Житомир, 2002), V Міжнародній науково-технічній конференції "АВІА-2003" (Київ, 2003), IV Міжнародній науково-технічній конференції “Гиротехнологии, навигация, управление движением и конструирование авиационно-космической техники” (Київ, 2003).

Публікації. Основні результати дисертації викладено у 13 наукових працях, із них 8 - у фахових виданнях та 5- у матеріалах конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаної літератури з 79 найменувань, 4 додатків, 2 актів впровадження, 8 малюнків та 4 таблиць - всього 189 сторінок. Основний текст дисертації викладено на 150 сторінках.

Основний зміст роботи

У вступі відображено актуальність обраної теми, сформульовано мету роботи та основні задачі дослідження, а також вказано наукову новизну і практичну цінність одержаних результатів.

В першому розділі проаналізовано відомі методи розв'язку задач оптимального керування, на основі чого встановлено, що існуючі на сьогодні методи являються досить складними у обчислювальному відношенні і тому не завжди задовольняють умовам реалізації оптимального керування динамічними об'єктами у реальному та прискореному часі. Насамперед це пов'язано із необхідністю чисельного розв'язку двоточкової граничної задачі або диференціального рівняння в часткових похідних. Серед відомих методів моделювання та оптимізації процесів керування розглянуто чисельно-аналітичний метод диференціальних перетворень академіка Г.Є. Пухова та вказано, що він є найбільш простим у обчислювальному відношенні операційним методом, заснованим на диференціальних перетвореннях вихідної математичної моделі у область із відсутнім аргументом часу. Але даний метод також має недоліки, основний з яких - необхідність обчислення великої кількості дискрет диференціального спектру, що ускладнює виконання аналітичних перетворень.

Внаслідок того, що під час керування динамічними об'єктами та процесами потрібно враховувати не один, а, як правило, багато факторів, що суперечать один одному, виникає задача багатокритеріальної оптимізації із декількома частковими критеріями. На основі аналізу відомих методів багатокритеріальної оптимізації із врахуванням обмежень на часткові критерії показано, що їх реалізація вимагає значних обчислювальних витрат, оскільки задачі багатокритеріальної оптимізації відносяться до задач, складних у обчислювальному відношенні, а отже, такі методи також не задовольняють вимогам реального та прискореного масштабів часу.

Зроблений висновок про необхідність розробки методів моделювання процесів оптимального та багатокритеріального керування динамічними об'єктами на основі більш точних методів, використання яких надає можливості реалізації процесу оптимального та багатокритеріального керування в реальному та прискореному часі.

В другому розділі представлено метод моделювання та оптимізації процесів керування динамічними об'єктами і процесами на основі зміщених диференціальних перетворень.

Математичний апарат зміщених диференціальних перетворень запропонований в роботах академіка НАН України Г.Є. Пухова. У роботі зміщені диференціальні перетворення функції часу x(t) в довільній точці t використовувались у наступних двох формах

(1)

де X(k, t) та - дискретні функції цілочисельного аргументу k=0,1,2,3,…; - локальний часовий аргумент, значення якого вибирається в межах H₁0 та H₂0; H₁ та H₂ - відрізки часового аргументу, на яких розглядаються відповідно функції та , H₁ + H₂ = H; зміщена точка t вибирається в межах H>t>0. Величини X(0), X(1),…, X() називаються дискретами диференціального зображення (або диференціального спектру) X(k) оригіналу x(t) в точці t = t. Математичні моделі в області диференціальних перетворень називаються спектральними моделями.

У пункті 2.1 розглянуто моделювання і оптимізацію програмного процесу керування, що полягає в наступному. Нехай рух динамічного об'єкту описується у вигляді векторного диференціального рівняння

,

де x=x(t) - n-вимірний вектор стану; u - m-вимірний вектор керування (m<n); f - неперервна і неперервно диференційована за сукупністю змінних t, x, u вектор-функція узагальненої сили; t[t₀, T] - час, граничне значення якого в одних задачах задається, а в інших - не фіксується. Потрібно знайти таке керування u^*(t), яке переводить об'єкт із заданого початкового стану при t=t₀ у кінцеве (термінальне), що визначене в момент часу t=T q-вимірним (qn) векторним рівнянням

S[x(T),T]=0.

Якість процесу керування оцінюється функціоналом

,

де задані функції G і мають неперервні часткові похідні по x та u. Вважаємо, що обмеження на вектори стану та керування враховані вибором вигляду функціоналу. Мета моделювання полягає у визначенні пари екстремалей векторів стану та керування {x*(t), u*(t)}, які при заданих диференціальних зв'язках та граничних умовах оптимізують функціонал якості.

Моделювання і оптимізація програмного керування виконуються у декілька етапів. Спочатку вибирають аналітичну структуру вектора керування в класі аналітичних функцій у вигляді та , де A = (a₁, a₂,…,a_N) - вектор вільних параметрів. Від керування вимагають виконати переведення об'єкту із проміжного стану x(t) в зміщеній точці t в кінцевий стан x(T). Керування визначають з умови зворотного переводу об'єкту із проміжного стану x(t) в початковий стан . Пара векторів керування та дає керування на всьому відрізку [t₀, T]. До програмних керувань та застосовують зміщені диференціальні перетворення (1):

, .

Модель об'єкта керування в області зміщених диференціальних перетворень представляється у вигляді двох рекурентних рівнянь

,

,

,

де T_c та - зображення часового аргументу відповідно на інтервалах [0, H₁] та [0, H₂]; функція F представляє зображення оригіналу f. За першим рекурентним виразом визначають дискрети диференціального спектру X(k, t, x, A) розв'язку x(t) диференціального рівняння на відрізку H₁=T-t. Аналогічно за другим рекурентним виразом знаходять дискрети диференціального спектру що представляють в області зображень розв'язок x(t) диференціального рівняння на відрізку H₂=t-t₀.

Згідно із властивістю зміщених диференціальних перетворень граничні значення вектора стану можна виразити через суму дискрет диференціального спектру наступним чином:

, або ,

та .

Термінальна умова із врахуванням виразу для граничного значення вектора стану перетвориться до вигляду

.

Векторне рівняння розмірності n, що залежить від початкового значення вектора стану та термінальна умова розмірності q представляють собою векторні обмеження у формі рівностей.

На наступному етапі функціонал за допомогою зміщених диференціальних перетворень та з врахуванням диференціальних спектрів векторів керування та стану представляється у вигляді функції багатьох змінних

,

де - зображення функції . Таким чином отримали задачу умовної оптимізації функції багатьох змінних із двома обмеженнями у формі рівностей, що методом Лагранжа зводиться до безумовної оптимізації функції виду

,

де - векторна функція розмірності n, та - множники Лагранжа. Необхідні умови екстремуму функції дають систему кінцевих рівнянь відносно невідомих компонент векторів та кінцевого значення часу T

У випадку виконання достатніх умов екстремуму функції підстановка знайденого з системи вектора вільних параметрів A в аналітичну структуру вектора керування та дає модель оптимального програмного керування на відрізку [t₀, T]. Таким чином, запропонований метод перетворює задачу моделювання і оптимізації процесів керування у задачу розв'язку системи кінцевих рівнянь без чисельного інтегрування або диференціювання.

Використання даного методу має недолік, що полягає у неточному виборі аналітичної структури векторів керування та внаслідок скінченності вектора вільних параметрів A. Таким чином похибка вноситься на початку розв'язування задачі оптимального керування. У пункті 2.2 описаний варіаційний метод моделювання і оптимізації процесів програмного керування, який формально дозволяє знайти точний розв'язок. Для цього математичну модель оптимального керування, що включає рівняння руху динамічного об'єкту та функціонал якості , перетворюють методом варіаційного числення або принципом максимуму Понтрягіна у двоточкову граничну задачу, до якої застосовують зміщені диференціальні перетворення (1). При цьому отримують модель у області зображень у двох формах

,

, ,

та ,

,

де F - зображення функції f; та - зображення часового аргументу відповідно на інтервалах [0, H₁] та [0, H₂]; риска знизу є символом диференціальних перетворень, а риска зверху над частковими похідними позначає диференціальні зображення цих часткових похідних на інтервалі [0, H₂]; символ позначає операцію множення в області зображень; штрих позначає операцію транспонування.

Одержані з рівнянь рекурентні вирази дозволяють знайти в області зображень дискрети диференціальних спектрів векторів x(t-), (t-), u(t-) на відрізку H₂ = t - t₀: , , при k=0,1,2,… та дискрети диференціальних спектрів векторів x(t+), (t+), u(t+) на відрізку H₁=T-t: , , при k=0,1,2,…

Граничні умови, виражені через суму дискрет зміщених диференціальних спектрів векторів стану та спряженої змінної і рівняння, що зв'язує вектор оптимального керування із змінною в точці t, складають систему кінцевих рівнянь для визначення векторів стану, керування та в точці t:

На основі розв'язків системи кінцевих рівнянь та виразів для дискрет диференціального спектру вектора керування і формують вектор оптимального керування у області часу за допомогою зворотних зміщених диференціальних перетворень відповідно на відрізках [0, t] та [t, T].

Розглянутий метод можна застосовувати, якщо задача є невиродженою для використання варіаційних методів або принципу максимуму Понтрягіна. Таким чином, завдяки зміщеним диференціальним перетворенням розв'язання задачі оптимального керування зводиться до розв'язання системи кінцевих рівнянь без чисельного інтегрування двоточкової граничної задачі.

Внаслідок дії зовнішніх збурень на об'єкт керування програмне керування може виявитися нестійким. У пунктах 2.3 та 2.4 розглядається оптимальне керування із зворотним зв'язком u = u(x, t), яке у кожний поточний момент часу враховує поточний стан динамічного об'єкту і таким чином компенсує дію зовнішніх збурень на об'єкт керування. У пункті 2.3 представлений прямий метод моделювання і оптимізації замкнених законів керування на основі програмного керування, розглянутого в пункті 2.1. Система кінцевих рівнянь, до якої зводиться задача оптимального керування, дозволяє визначити вектори і граничне значення часу T при довільному початковому стані

Неперервний розв'язок системи кінцевих рівнянь в реальному часі дозволяє знайти вектор вільних параметрів A у вигляді A[T, x(t)], де довільний початковий стан вектора x(t₀) прийнято рівним поточному стану x(t). Підстановка розв'язку A(T, x) системи кінцевих рівнянь в аналітичну структуру керування та визначає оптимальне керування із зворотним зв'язком, що здатне адаптуватися до дії зовнішніх збурень.

У пункті 2.4 описано варіаційний метод моделювання замкнених законів оптимального керування на основі програмного керування, представленого в пункті 2.2. Неперервний розв'язок одержаної в 2.2 системи кінцевих рівнянь дозволяє в будь-який момент часу t₀ знайти значення векторів x(t, t₀, x₀), (t, t₀, x₀) та u(t, t₀, x₀), t(t₀, T). Підстановка цих векторів у вирази для дискрет зміщеного диференціального спектру та потім у формулу зворотних перетворень дає можливість при = H₂ = t - t₀ знайти оптимальний вектор керування u(t₀, x₀).

Покладаючи t₀ = t, t[0, t], t(0, T) та обираючи крок H₂ = t - t, розв'язки системи кінцевих рівнянь разом з останнім виразом будуть визначати в кожний поточний момент часу t оптимальне керування із зворотним зв'язком u(t, x(t)), адаптоване до дії зовнішніх збурень.

У пункті 2.5 проведено аналіз ефективності зміщених спектральних моделей, одержаних за допомогою зміщених перетворень виду (1), у порівнянні з основними спектральними моделями. Показано, що якщо аналітична функція x(t), яка є диференційованою нескінченне число разів у довільній точці t[0, H], має похідні m-го порядку, обмежені у сукупності для довільного цілого m1 так, що , то зміщені диференціальні перетворення функції x(t) у вигляді (1) забезпечують у порівнянні з основними диференціальними перетвореннями цієї функції зниження верхньої оцінки похибки значення функції x(t) в точці t = H у 2^q разів, де q - кількість врахованих дискрет диференціального спектру функції x(t), при умові розміщення зміщеної точки t в центрі інтервалу [0, H], тобто t = H/2. За допомогою нелінійної схеми компромісів доведено, що саме таке розміщення зміщеної точки t дає найкращу компенсацію складових похибки значення функції x(t) в точці t = H. Також можливий випадок повної компенсації двох складових похибки зміщених диференціальних перетворень (1) (перша похибка функції x(t) в точці t, а друга похибка функції x(t) в точці t = H), коли їх знаки протилежні, а по абсолютній величині похибки співпадають.

В третьому розділі представлена модель багатокритеріального керування динамічними об'єктами та процесами, побудована на основі зміщених диференціальних перетворень.

Якість багатокритеріального процесу керування оцінюється сукупністю часткових критеріїв якості, що задані функціоналами

де j=1,2,…, r; функції G_j та _j мають неперервні часткові похідні по x та u. Часткові критерії якості являються компонентами r-вимірного векторного критерію I=(I₁,I₂,...,I_r). Вважається, що векторний функціонал I мінімізується, а допустима область його зміни задається системою обмежень , де I_jm являється верхньою границею допустимого значення компоненти I_j векторного критерію якості I. Багатокритеріальна задача синтезу оптимального керування полягає у визначенні екстремалей {x^*(t), u^*(t)}, I^*(I), t[t₀,T], які при заданих диференціальних зв'язках , граничних умовах S[x(T),T]=0 та обмеженнях на компоненти векторного критерію якості оптимізують векторний функціонал I.

У даному розділі аналізуються різні методи розв'язування задач багатокритеріальної оптимізації, на основі чого обгрунтовується вибір скалярної згортки часткових критеріїв якості за нелінійною схемою компромісів у вигляді

,

де задані константи та , причому при скалярна згортка J(u) дає при мінімізації розв'язок, що належить множині Парето. У випадку рівнозначності часткових критеріїв якості можна задати _j = 1, _j = 1.

Моделі багатокритеріальної оптимізації, засновані на нелінійній схемі компромісів, дозволяють врахувати обмеження на часткові критерії якості, забезпечують неперервну адаптацію до зміни параметрів моделі, а у випадку опуклості часткових критеріїв якості скалярна згортка є унімодальною, що суттєво спрощує процес багатокритеріальної оптимізації у порівнянні з іншими методами.

На основі нелінійної схеми компромісів та зміщених диференціальних перетворень побудована модель процесів програмного багатокритеріального керування динамічними об'єктами. Вибір вектору керування та в класі аналітичних функцій з вектором вільних параметрів A = (a₁, a₂,…,a_N) та початкові етапи моделювання відбуваються методом, запропонованим для оптимального програмного процесу керування у другому розділі. Далі, часткові критерії якості за допомогою зміщених диференціальних перетворень приймають вигляд

Нелінійна схема компромісів перетворює задачу багатокритеріальної оптимізації у задачу умовної оптимізації функції багатьох змінних

з граничними умовами та у формі рівностей.

Методом Лагранжа задача перетворюється у задачу безумовної оптимізації функції багатьох змінних , необхідні умови оптимальності якої дають систему кінцевих рівнянь для визначення векторів та граничного значення часу T тобто задача динамічної векторної оптимізації звелася до розв'язку системи кінцевих рівнянь.

З метою компенсації дії зовнішніх збурень на об'єкт керування також була розглянута модель багатокритеріального керування динамічними об'єктами із зворотним зв'язком, що встановлюється аналогічно тому, як було описано в другому розділі.

В четвертому розділі представлене практичне застосування запропонованих в роботі методів.

У пункті 4.1 розглянуті моделювання та оптимізація нелінійних коливань сошника зернової сівалки, представлені наступною математичною моделлю

де M - приведена маса сошника і рухомих частин підвісу; z_к - ордината нижньої точки катка відносно бази відліку; R_п - вертикальна складова реакції грунту на каток; F_тр - сила тертя у шарнірах; P - приведена сила тяжіння сошника і підвісу; P_пр - сила натягу пружини підвісу; R - радіус сфери катка; r - твердість грунту до приходу сошника в горизонті 0…10 см; z_п - ордината поверхні поля до приходу сошника.

У вираз для вертикальної складової реакції грунту на каток R_п входить ордината висоти нерівностей поверхні грунту, що змінюється за гармонічним законом

z_п(t) = h₀ + h₁sint,

де - кутова швидкість, V - швидкість руху сівалки, l - крок нерівностей грунту, h₀ - умовна ордината поверхні грунту в момент часу t = 0, h₁ - половина висоти нерівності поверхні грунту відносно рівня h₀.

Для моделювання коливань сошника зернової сівалки використовувалась нелінійна математична модель у наступному вигляді

де a₁ = M; a₂ = Rr; a₃ = F_тр; a₄ = P+P_пр.

Від функції sign звільнились за допомогою гармонічної лінеаризації, а математична модель коливань сошника переводилась в область зміщених диференціальних перетворень:

де ; Z_к(K), Z_п(K), U(K), W(K), K = 0,1,2… - диференціальні спектри відповідно функцій z_к(t), z_п(t), u(t) та w(t); , - допоміжні змінні. Модель дозволяє рекурентно визначити у аналітичному вигляді дискрети диференціальних спектрів невідомих функцій.

Внаслідок того, що каток сошника зернової сівалки після закінчення перехідного процесу повинен копіювати рельєф поверхні поля, аналітичний розв'язок шукався у формі

де С, - невизначені коефіцієнти, які шукались методом балансу дискрет диференціальних спектрів, тобто шляхом прирівнювання однойменних дискрет, знайдених із системи рівнянь та зображення аналітичного розв'язку у області диференціальних перетворень.

Значення коефіцієнтів, одержане основними та зміщеними диференціальними перетвореннями, для порівняння наведене в таблиці 1. Тут значення коефіцієнта C вважалось заданим: C = 8 см, а значення параметрів вихідної математичної моделі були: a₁ = 0,085 кг, a₂ = 40,8 Н/cм, a₃ = 6,5 Н, a₄ = 113 Н, R=13 см, = 5 рад/c, r = 1 Н/cм², h₀ = 10 см, h₁ = 2 см.

З таблиці 1 видно, що значення коефіцієнтів, а отже і перехідні процеси нелінійних коливань, одержані зміщеними диференціальними перетвореннями на 2-х дискретах, практично співпадають з результатами моделювання основними диференціальними перетвореннями на 3-х дискретах.

Таблиця 1

Значення коефіцієнтів аналітичного розв'язку, отриманих основними та зміщеними диференціальними перетвореннями

Диф. перетворення	Кількість дискрет			с	B
Основні	3	1,8	-4,68	26,25	2,1
Зміщені	2	1,64	-4,32	26,47	2,152

Розв'язок, отриманий у аналітичній формі, дав змогу провести двокритеріальну оптимізацію конструктивних параметрів сошника зернової сівалки за критеріями мінімізації амплітуди коливань та часу перехідного процесу. Двокритеріальна задача оптимізації перетворювалась у однокритеріальну за допомогою нелінійної схеми компромісів. В результаті була отримана аналітична залежність між відносним коефіцієнтом демпфірування коливань сівалки та коефіцієнтом підсилення, який залежить від конструктивних параметрів сівалки, у вигляді

де ₀ =(^*)², ^* - коефіцієнт демпфірування, K_у - коефіцієнт підсилення.

При K_у=0,346<1 було знайдено оптимальне значення відносного коефіцієнта демпфірування ^* = 0,83, що співпало з польовими дослідами та електронним моделюванням методом перебору, проведеними Білоруським НДІ механізації сільського господарства. Таким чином підтверджується достовірність запропонованого методу.

У пункті 4.2 представлені моделювання та оптимізація руху гичкозбиральної машини.

Методом диференціальних перетворень був знайдений розв'язок системи диференціальних рівнянь у аналітичному вигляді, який співпав із результатами чисельного моделювання на ЕОМ методом Рунге-Кутта. Завдяки аналітичному вигляду розв'язку була проведена двокритеріальна оптимізація коливань гичкозбирального комбайну за критеріями амплітуди вимушених коливань агрегату та швидкістю згасання перехідного процесу. В результаті була одержана аналітична залежність оптимального коефіцієнту демпфірування ⁰(V) від швидкості руху гичкозбиральної машини V та від кроку l₂ нерівностей поверхні грунту

де Р_m - гранично допустиме значення сталої часу Р; I_OY - момент інерції гичкозбиральної машини відносно осі OY; l₁ - відстань від осі підвісу машини до осі копіюючих коліс.

У пункті 4.3 розглянуто оптимальне керування швидкістю машинно-тракторних агрегатів (МТА). Математична модель руху МТА маси m зі швидкістю V у загальному вигляді представлена наступною математичною моделлю

, t[t₀, t_T],

де f(V) - сила опору, яка у загальному випадку є нелінійною, F(t) - сила тяги.

У роботі розглядалась як частковий випадок сила опору, яка лінійно залежить від швидкості, з метою порівняння із відомими результатами. Узагальнена математична модель після перетворень мала вигляд

де x(t) = V(t)-V_T - відхилення швидкості V(t) від її кінцевого значення V_T; сила опору пропорційна швидкості, тобто f(V)V(t)C, C - константа; a = C/m - коефіцієнт, що характеризує силу опору грунту; u(t) = Y(t) - aV_T = Y(t) - Y_T, Y(t) = F(t)/m, де u(t) - керуюча змінна, яка є відхиленням прискорення Y(t) від потрібного значення Y_T, що забезпечує в усталеному режимі задане значення швидкості V_T.

Якість процесу переходу МТА із швидкісного режиму V₀ в заданий швидкісний режим V_T оцінюється функціоналом

де q - ваговий коефіцієнт.

Процес оптимального керування швидкістю МТА із зворотним зв'язком моделювався за схемою, що розглядалась в розділі 2. В результаті був знайдений закон оптимального керування із зворотним зв'язком, який залежить від коефіцієнта підсилення K_у(t, a):

тобто оптимальне керування має адаптивні властивості, що дозволяють змінювати коефіцієнт підсилення при зміні характеристик рельєфу та твердості грунту в процесі руху МТА по різним ділянкам поля. Коефіцієнт підсилення одержаний за допомогою зміщених диференціальних перетворень на нульовій та першій дискреті у вигляді

Задача розв'язувалась також основними диференціальними перетвореннями на двох дискретах (не враховуючи нульової).

В точці t=0 коефіцієнт підсилення, одержаний зміщеними диференціальними перетвореннями, в 1,5 рази ближче до точного розв'язку, ніж коефіцієнт підсилення, одержаний основними диференціальними перетвореннями. При цьому в основних диференціальних перетвореннях використовувались 2 дискрети, а в зміщених диференціальних перетвореннях - 1 дискрета, і тому аналітичний вигляд коефіцієнта підсилення K_у(t, a), одержаний зміщеними диференціальними перетвореннями, простіший у 2-3 рази за кількістю арифметичних операцій.

У пунктах 4.4 і 4.5 розглянуто двокритеріальну оптимізацію конструктивних параметрів просапного культиватора та орного агрегату за критеріями мінімізації амплітуди коливань та швидкості згасання перехідного процесу. Вважалося, що просапний культиватор та орний агрегат описуються однією математичною моделлю, відрізняючись тільки параметрами моделі.

В результаті було отримано алгебраїчне рівняння 5-го ступеня, яке надає аналітичний зв'язок у неявному вигляді між оптимальним коефіцієнтом демпфірування б₀ та параметрами культиватора або орного агрегату. В результаті моделювання на аналоговій електронній машині, проведеним Білоруським НДІ механізації сільського господарства, для вихідних даних K_y = 0,36, ф = 0,63 с, T₂ = 0,17 с при швидкості руху агрегату v = 2,25 м/с та для K_y = 0,35, ф = 0,59 с, T₂ = 0,14 с при v = 3,25 м/с було знайдено шляхом ручного перебору оптимальне значення сталої часу T₁, що характеризує динаміку коливань.

Польові випробування підтвердили значення оптимальних параметрів T₁ = 0,2 с для швидкості руху культиватора v = 2,25 м/с та T₁ = 0,19 с для швидкості v = 3,25 м/с.

За допомогою алгебраїчного рівняння 5-го ступеня були знайдені оптимальні параметри T₁ = 0,22 с для швидкості руху v = 2,25 м/с та T₁ = 0,17 с для швидкості v = 3,25 м/с, що практично співпадає з електронним моделюванням та польовими випробуваннями і цим підтверджує достовірність оптимізації.

Також проведено дослідження оптимальності роботи серійних орних агрегатів, на основі чого встановлено, що з 8-ми досліджуваних випадків лише у 2-ох випадках є практичне співпадання з оптимальними значеннями, знайденими за допомогою запропонованого методу. Даний факт вказує на те, що конструктивні параметри орних агрегатів, які експлуатуються на практиці, не завжди відповідають оптимальним значенням.

В додатках до роботи наведено теоретичні відомості про метод зміщених диференціальних перетворень та допоміжні математичні розрахунки, а також дані бортового комп'ютера і акти впровадження.

Висновки

У дисертаційній роботі пропонуються методи моделювання та оптимізації динамічних об'єктів та процесів на основі математичного апарату зміщених диференціальних перетворень. На основі проведених досліджень отримано наступні основні результати:

1. Розроблено метод моделювання і оптимізації процесів керування динамічними об'єктами в області зміщених диференціальних перетворень для випадку програмного керування та для випадку керування із зворотним зв'язком, який перетворює задачу оптимального керування у задачу розв'язку системи кінцевих рівнянь. Запропонований метод на основі зміщених диференціальних перетворень забезпечує у порівнянні з основними диференціальними перетвореннями зниження верхньої границі оцінки похибки в 2^q разів, де q - кількість дискрет диференціального спектру, що враховуються.

2. Запропоновано точну варіаційну модель оптимальних процесів керування динамічними об'єктами на основі зміщених диференціальних перетворень для випадку програмного керування та для випадку керування із зворотним зв'язком, яка не потребує інтегрування двоточкової граничної задачі.

3. За допомогою зміщених диференціальних перетворень одержана модель процесів багатокритеріального керування динамічними об'єктами для випадку програмного керування та для випадку керування із зворотним зв'язком з використанням згортки за нелінійною схемою компромісів, що перетворює задачу динамічної векторної оптимізації у задачу розв'язку системи кінцевих рівнянь відносно параметрів керуючих змінних.

4. Виконано моделювання нелінійних коливань сошника зернової сівалки на основі зміщених диференціальних перетворень, які дозволили у порівнянні з основними диференціальними перетвореннями одержати практично однаковий результат, використавши при цьому на одну дискрету менше, що є важливим для моделювання у аналітичній формі і дозволяє використовувати дискрети, які можна практично виміряти. Була проведена оптимізація параметрів сошника зернової сівалки, в результаті чого одержана аналітична залежність між відносним коефіцієнтом демпфірування коливань сівалки і коефіцієнтом підсилення, який залежить від конструктивних параметрів сівалки.

5. Проведено моделювання та оптимізацію конструктивних параметрів гичкозбирального комбайну, внаслідок чого отримано аналітичну залежність між оптимальним значенням коефіцієнту демпфірування та швидкістю руху гичкозбирального комбайну і параметру нерівностей поверхні грунту.

6. Досліджено модель процесу оптимального керування швидкістю руху МТА, побудовану на основі зміщених диференціальних перетворень. Отримано в аналітичній формі закон оптимального керування із зворотним зв'язком, адаптований до змін характеристик нерівностей та твердості грунту, який у порівнянні з законом, одержаним основними диференціальними перетвореннями, потребує при реалізації у 2-3 рази менше арифметичних операцій, а коефіцієнт підсилення, що входить до моделі процесів оптимального керування, точніше в 1,5 рази.

7. В результаті оптимізації параметрів роботи просапного культиватора та орного агрегату отримано аналітичну залежність в неявному вигляді між оптимальним коефіцієнтом згасання перехідного процесу та конструктивними параметрами. Для просапного культиватора доведено достовірність одержаних результатів внаслідок порівняння з відомими даними, отриманими на основі польових випробувань та електронного моделювання. Досліджено оптимальність конструктивних параметрів серійних орних агрегатів та на основі запропонованих методів показано, що сучасні орні агрегати не завжди мають оптимальні конструктивні параметри.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Фролова О.Г. Моделювання оптимальних процесів керування зміщеними диференціальними перетвореннями // Вісник ЖІТІ. Технічні науки. - 2001. - № 18. - С. 155 - 160.

Фролова О.Г. Метод багатокритеріального синтезу замкнених законів керування на основі зміщених диференціальних перетворень // Вісник ЖІТІ. Технічні науки. - 2002. - Сп. вип. - С. 106 - 111.

Фролова О.Г., Жуков І.А. Варіаційний метод синтезу оптимального керування на основі зміщених диференційних перетворень // Проблеми підвищення ефективності інфраструктури (зб. наук. праць НАУ). - 2003. - № 9. - С. 123 - 126.

Баранов В.Л., Фролова Е.Г., Баранов Г.Л. Метод смещенных дифференциальных преобразований для решения многокритериальных задач управления // Электроника и связь. - 2002. - № 16. - С. 25 - 28.

Баранов В.Л., Фролова Е.Г., Баранов Г.Л. Многокритериальная оптимизация динамических процессов в области смещенных дифференциальных преобразований // Оптимизация производственных процессов. - 2002. - № 5. - С. 25 - 34.

Баранов Г.Л., Фролова О.Г. Моделювання термінального керування на основі зміщених диференціальних перетворень // Проблеми створення, випробування, застосування та експлуатації складних інформаційних систем (зб. наук. праць ЖВІРЕ). Технічні науки. - 2001. - № 4. - С. 21 - 30.

Кравчук В.И., Фролова Е.Г., Баранов В.Л., Баранов Г.Л. Моделирование для управления динамикой движения сельскохозяйственных машин (агрегатов) на основе дифференциальных преобразований // Труды Одесского политехнического университета. - 2001. - № 3 (15). - С. 31 - 36.

Кравчук В.І., Баранов Г.Л., Фролова О.Г. Аналітичний аналіз коливань сошника овочевої сівалки методом диференціальних перетворень // Науковий вісник Національного аграрного університету. - 2002. - № 49. - С. 148 - 157.

Баранов В.Л., Фролова Е.Г., Баранов Г.Л. Модель процессов многокритериального управления подвижными объектами в области смещенных дифференциальных преобразований // Матеріали V Міжнар. наук.-техн. конф. "Сучасні технології в аерокосмічному комплексі", 4 - 6 вересня 2001 р. - Житомир: ЖІТІ. - 2001. - С. 106 - 112.

Кравчук В.И., Фролова Е.Г., Баранов В.Л., Баранов Г.Л. Моделирование для управления динамикой движения сельскохозяйственных машин (агрегатов) на основе дифференциальных преобразований // Матеріали Міжнародної конференції з управління "Автоматика 2001", 10 - 14 вересня 2001 р. - Том 2. Одеса: ОДПУ. - 2001. - С. 21.

Баранов В.Л., Фролова Е.Г., Баранов Г.Л. Метод смещенных дифференциальных преобразований для синтеза законов оптимального управления летательными аппаратами // Матеріали IV Міжнар. наук.-техн. конф. "АВІА-2002", 23 - 25 квітня 2002 р. - Том 2. Аерокосмічні системи моніторингу та керування. - К.: НАУ. - 2002. - С. 21.47 - 21.50.

Фролова Е.Г., Баранов В.Л., Баранов Г.Л. Компьютерное моделирование замкнутого процесса оптимального управления на основе смещенных дифференциальных преобразований // Матеріали V Міжнар. наук.-техн. конф. "АВІА-2003", 23 - 25 квітня 2003 р. - Том 2. Аерокосмічні системи моніторингу та керування. - К.: НАУ. - 2003. - С. 24.181 - 24.184.

Баранов Г.Л., Фролова Е.Г., Баранов В.Л. Вариационная модель в области смещенных дифференциальных преобразований для систем управления подвижными объектами // Сборник докладов IV Международной научно-технической конференции "Гиротехнологии, навигация, управление движением и конструирование авиационно-космической техники", 21 - 23 апреля 2003 г. - Часть 2. - К.: НТУУ "КПИ". - 2003. - С. 41 - 45.

Анотація

Фролова О.Г. Моделювання та оптимізація динамічних об'єктів і процесів на основі зміщених диференціальних перетворень. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут проблем моделювання в енергетиці

Дисертацію присвячено питанням моделювання та оптимізації динамічних об'єктів і процесів та моделюванню процесів оптимального і багатокритеріального керування на основі математичного апарату зміщених диференціальних перетворень. Запропоновано одночасне використання прямої та зворотної моделей в області зміщених диференціальних перетворень, що дозволило підвищити точність моделювання. За допомогою зміщених диференціальних перетворень розроблено метод моделювання оптимальних процесів керування, варіаційну модель оптимальних процесів та модель процесів багатокритеріального керування динамічними об'єктами та процесами. Розроблені методи та моделі дозволяють синтезувати процес оптимального керування в реальному і прискореному часі завдяки перетворенню складної у обчислювальному відношенні задачі оптимального та багатокритеріального керування у більш просту задачу розв'язку системи кінцевих рівнянь. Отримані результати використовувались для моделювання та оптимізації роботи сільськогосподарських машин і агрегатів, що дозволило оптимізувати робочі параметри та режими керування сільськогосподарських машин і виконати адаптацію до зовнішніх умов у реальному часі.

Ключові слова: моделювання, оптимізація, диференціальні перетворення, динамічні об'єкти, оптимальне керування.

Frolova E.G. Simulation and optimization of dynamic objects and processes on basis of displacement differential transformation. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.05.02 - mathematical modeling and numerical methods. - G.E. Pukhov's Institute of Simulation Problems in Power Engineering of National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 2003.

The thesis is devoted to simulation and optimization of dynamic objects and processes and simulation of optimal and multiobjective control processes on basis of mathematical tool of displacement differential transformation. A simultaneous using of forward and backward models in the displacement differential transformation range is proposed. This allowed increasing simulation precision. With the help of the displacement differential transformation is developed an optimal control processes simulation method, an optimal processes variation model and multiobjective model of dynamic objects and processes control. The developed methods and models are allowed synthesizing the optimal control process in a real and accelerated time due to conversion of computationally complex problem of optimal and multiobjective control into simpler problem of a finite equation system solution. The obtained results were used for simulation and optimization of agricultural machinery and aggregates operation, that allowed to optimize operational characteristics and control modes of agricultural machinery and to fulfil adapting to exterior conditions in a real-time.

...