Сплайн-фільтр Калмана обробки траєкторної інформації

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО освіти і НАУКИ, молоді та спорту УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ АВІАЦІЙНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

05.22.13 -- Навігація та управління рухом

Сплайн-фільтр Калмана обробки траєкторної інформації

Гордєєв Микита Георгійович

Київ 2011

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Національному авіаційному університеті Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор Шутко Микола Олександрович, Національний авіаційний університет, професор кафедри організації авіаційних робіт і послуг

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Рева Олексій Миколайович, Кіровоградський національний технічний університет, професор кафедри автоматизації виробничих процесів

доктор технічних наук, професор Мислович Михайло Володимирович Інститут електродинаміки НАН України завідувач відділу теоретичної електротехніки

Захист відбудеться “ 15 ” червня 2011 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.062.03 при Національному авіаційному університеті за адресою: 03058, м. Київ, просп. Космонавта Комарова, 1.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного авіаційного університету за адресою: 03058, м. Київ, просп. Космонавта Комарова, 1.

Автореферат розісланий “ 13 ” травня 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор технічних наук С. Павлова

1. Загальна характеристика роботи

навігаційний фільтр калман маршрут

Актуальність теми. Розробка та впровадження нових методів обробки навігаційної інформації та визначення поточних даних за умови оптимальності є напрямом, в якому проведено велику кількість досліджень, що успішно впроваджені у різних галузях авіації. Слід відмітити роботи вчених, на які можна спиратись при подальшому вдосконаленні методів обробки навігаційних даних, таких відомих, як: Р. Калман, А. Балакрішнан, С. Кузьмін, Л. Блохін, В. Рогожин, В. Харченко, С. Павлова, С. Закора, М. Шутко, В. Васил'єв, В. Казак, В. Пасльон, Г. Конахович, В. Конін, В. Мелкумян, В. Обухов, В. Павлов, О. Петрашевський, Л. Сібрук, В. Сінєглазов, О. Соломенцев, К. Сундучков, В. Беликовский, П. Лимар, Н. Огороднійчук та багатьох інших.

У зв'язку зі значним збільшенням кількості авіаційних рейсів по всьому світу, а зокрема над територією Європи та странами ЄС, значно виросли вимоги до точності плану виконання польоту по контрольним точкам та переміщенню центра мас повітряного корабля (ПК) у максимальній відповідності до ешелону, згідно вимог наігаційних характеристик (RNP), в межах сумарної похибки системи TSE (Total system error). Обов'язковою умовою є високий рівень безпеки польотів, що є тим базовим комплексним поняттям, яке вміщує цілий перелік робочих складових у авіаційній галузі. Тому Міжнародною організацією цивільної авіації (ІСАО) був створений комітет майбутніх аеронавігаційних систем (FANS), метою якого була розробка та впровадження нових глобальних систем аеронавігаційного забезпечення польотів з використанням супутникових систем навігації. Однією з перспективних спроб, покликаних одночасно підвищити ефективність виконання польотів згідно потреб авіакомпаній та забезпечити необхідний рівень безпеки польотів в системі обслуговування повітряного руху (ОПР), є концепція вільного польоту або польоту за довільною траєкторією.

Питанням виконання польотів згідно запланованих траєкторій, польотів за довільними траєкторіями, при умові руху в певних девіаційних межах, що встановлені попередньо, присвячено ряд робіт як у нашій країні, так і за її межами, де в основному розглядаються навігаційні системи з обробкою даних, що воліють певною надмірністю за рахунок використання даних від декількох джерел, датчиків навігаційної інформації. В одних розглядаються алгоритми, побудовані з використанням систем диференційних рівнянь, які виконують обробку навігаційних даних, за умови оптимальності, кількість яких динамічно змінюється та постійно зростає, а в інших, що стосуються застосування удосконалення вже відомих методів, таких як метод компенсації, метод фільтрації, метод найменших квадратів, метод максимуму правдоподібності, рекурентний алгоритм, не враховано достатньою мірою сутність випадковості впливу спектру завад на точність оцінки вимірювальної інформації. Одним із поширених методів, що проводить обробку навігаційних даних за вказаних умов є фільтр Калмана (ФК).

Отже постає актуальна науково-практична задача розробки і застосування нових методів та алгоритмів застосування ФК для обробки складних за формою траєкторій польту ПК, тобто виникає необхідність в більш адекватній моделі траєкторії та її оцінках, що дозволять в реальному масштабі часу виконувати розв'язання основних навігаційних задач з підвищенням точності в умовах гарантованого рівня безпеки польотів за довільними маршрутами. Це стає можливим завдяки використанню сплайнів та побудові сплайн-моделей траєкторій з оцінкою даних ФК.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дослідження, які проведені в даній роботі є складовою частиною досліджень, що проводяться на кафедрі технічної експлуатації авіаційної техніки ІПТ НАУ, кафедрі аеронавігаційних систем ІАН НАУ згідно з КПКВ 2201020 - Фундаментальні дослідження у вищих навчальних закладах. Матеріали кваліфікаційної роботи та матеріали наукових статей автора використані при виконанні досліджень на вище названій кафедрі.

Мета і задачі дослідження. Підвищення точності оцінювання траєкторних даних на всій траєкторії польоту в тому числі при польоті за вільною траєкторією.

Основні задачі дослідження:

1. Аналіз існуючих навігаційних систем та технологій навігаційного забезпечення польотів та перспектив їх розвитку.

2. Аналіз моделей траєкторій польотів та методів їх оцінювання, зокрема фільтром Калмана.

3. Вибір сплайн-моделей для опису траєкторій ПК.

4. Розробка методів оцінювання параметрів сплайн-моделей траєкторій за допомогою фільтра Калмана.

5. Створення алгоритмів вирішення навігаційних задач із використанням сплайн-фільтрів Калмана.

6. Перевірка отриманих результатів на модельних та реальних траєкторних даних.

Об'єкт дослідження - навігаційні технології обробки траєкторної інформації.

Предмет дослідження - методи обробки навігаційних даних за допомогою фільтра Калмана зі сплайн-моделлю траєкторії.

Методи дослідження. При виконанні роботи використовувалися наступні методи:

1. Оптимального оцінювання та Калманівської фільтрації.

2. Теорії сплайн-функцій.

3. Статистичного моделювання.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що:

1. Вперше побудовано фільтр Калмана для лінійної сплайн-моделі траєкторії.

2. Вперше отримано рекурентні розрахункові вирази для фільтра Калмана з кубічною сплайн-моделлю траєкторії.

3. Отримано ермітів кубічний сплайн із трьохфрагментним базисом.

Практичне значення отриманих результатів.

1. Синтезовано алгоритм оцінки траєкторних даних при польоті літального апарату по прямій, тобто між двома навігаційними точками.

2. Синтезовано алгоритм оцінки траєкторних даних при польоті літального апарату по раніше запланованій траєкторії, що відповідає польотному плану, тобто між декількома навігаційними точками.

3. Отримано сплайн-модель траєкторії, що проводить оцінку даних з прогнозуванням положення літака за допомогою ФК, що працює в режимі реального часу, як при запланованому польоті так і при польоті за довільними траєкторіями.

Результати роботи впроваджено на кафедрі технічної експлуатації авіаційної техніки ІПТ НАУ в лекційних матеріалах по дисципліні «Аеронавігаційне забезпечення польотів» та кафедрі аеронавігаційних систем ІАН НАУ в лекційних матеріалах по дисципліні «Методи та засоби аеронавігаційного обслуговування польотів» в рамках КПКВ 2201020 - Фундаментальні дослідження у вищих навчальних закладах.

Особистий внесок здобувача. Основні результати роботи, які становлять суть дисертаційної роботи, отримані автором самостійно. У працях, виконаних у співавторстві, здобувачеві належить: у праці [1] - аналіз моделі ФК для обробки траєкторної інформації; у праці [2] - аналіз базисних функції для вирішення задачі стиснення інформації; у праці [3] - отримання співвідношень та матриць для побудови сплайн-фільтра Калмана з використанням ермітового сплайна першої степені.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи докладалися на четвертій науково-технічній конференції молодих вчених “Комп'ютерні науки та інженерія CSE-2010» (м. Львів, Львівська політехніка, 2010), Всеукраїнській науково-практичній конференції молодих вчених і студентів “Проблеми навігації і управління рухом» (Київ, НАУ, 2010), XIII Міжнародній научно-практичній конференції «Людина та космос» (Дніпропетровськ, ДНУ ім. О. Гончара, 2011), Міжнародній науково-технічній конференції «Авіа-2011» (Київ, НАУ, 2011).

Публікації. Основний зміст дисертації опубліковано в 8 друкованих роботах: в 4 статтях у фахових наукових виданнях, 3 матеріалах та 1 тезах доповідей на міжнародних та вітчизняних конференціях.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, 4 розділів та висновків, списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертаційної роботи становить 133 сторінки, у тому числі 56 рисунків, 10 таблиць. Список використаних джерел містить 110 найменувань на 10 сторінках.

2. Основний зміст роботи

Вступ до дисертації містить обґрунтування актуальності теми досліджень, формулювання мети та задачі дисертаційної роботи, визначення об'єкта та предмета дослідження, методологічну основу досліджень, опис основних наукових результатів, їхньої новизни та практичної цінності, зв'язок роботи з науковими програмами і темами, а також відомості про публікації, апробацію та структуру роботи.

У першому розділі розглянуто сучасні навігаційні системи, особливо супутникові навігаційні системи, що використовуються для аеронавігаційного забезпечення польотів. Проведено аналіз щодо точності визначення місця розташування об'єкту у просторі та проведено аналіз очікуваних переваг і особливостей впровадження нових концепцій у аеронавігаційному забезпеченні, зокрема концепції вільного польоту, головною ідеєю якої є надання екіпажу ПК можливості вільно обирати траєкторію польоту за маршрутом в межах встановленого повітряного простору з метою підвищення ефективності виконання польотів за критеріями користувачів аеронавігаційних послуг. Реалізація цієї концепції стає можливою завдяки використанню нових систем зв'язку, навігації та спостереження (CNS/ATM), таких як глобальна супутникова система GNSS, автоматичне залежне спостереження в режимі широкозонного мовлення ADS-B, системи попередження зіткнень ACAS/TCAS і безпечного розділення літаків ASAS з використанням багатофункціонального бортового індикатора повітряної обстановки CDTI, система попередження зіткнень з наземними перешкодами EGPWS і цифровий канал передачі повідомлень «пілот-диспетчер» CPDLC. Зазначений склад бортового обладнання значною мірою вже реалізований в таких фірмах-виробниках як Rockwell Collins, Honeywell, Sensis Corporation, Transas, AlliedSignal, Thales, КБ «Буран-Титан» і т.і.

Однак, ці задачі можуть бути вирішені за умови точного виконання плану польоту. План польоту вводиться екіпажем повітряного судна безпосередньо перед вильотом. Траєкторія руху повітряного судна може бути досить складною, з багатьма проміжними пунктами. Описати такі складні криві повністю, існуючі поліноміальні моделі не здатні, тому запропоновано використовувати сплайни для опису таких траєкторій. Слід відмітити, що для обробки послідовностей числових даних сплайни в неявному вигляді давно використовуються в багатьох алгоритмах, що працюють в побіжному вікні.

Для вибору базисних сплайнів проведено аналіз існуючих математичних співвідношень сплайн-функцій та способів їх застосування згідно поставлених задач. Вибір робиться на користь ермітових сплайнів першої та третьої степені, що мають певні переваги завдяки простоті опису складних траєкторій та хорошим апроксимативним властивостям. Ермітів сплайн першої степені можна використовувати для опису траєкторій на прямолінійних маршрутах. Ермітів сплайн третьої степені дозволяє отримати гладку модельну траєкторію, форма якої є досить складною та непідвладна опису класичними поліномами. Використання сплайн-моделей дозволяє отримати бажаний результат за умовою необхідної достатності при описі траєкторій літальних апаратів.

Виходячи з викладеного вище, виникає задача розробки таких сплайн-моделей, які б дозволяли проводити оцінку поточних навігаційних (траєкторних) даних за допомогою методу оптимальної фільтрації в реальному часі. Проаналізовано, що алгоритмом обробки інформації, який проводить оцінку та робить прогноз на наступний крок екстраполяції є фільтр Калмана. Фільтр Калмана дозволяє оптимальним чином обробляти інформацію зовнішніх вимірювачів, наприклад від супутникових навігаційних систем (СНС) та ІНС (ІССН), з врахуванням статистичних характеристик похибок цих систем, підвищувати точність вихідної інформації. Причому джерелом інформації оптимального фільтра є параметри, що характеризують стан системи, і похибки (завади) вимірювань відповідних параметрів. Модель динамічної системи припускається лінійною, а спостереження (вимірювання) мають в своєму складі заваду типу білого шуму. Сам алгоритм неперервного фільтра Калмана об'єднує вирішення двох задач: спостереження і фільтрації.

Математична модель будь-якого реального процесу системи може мати різний ступінь складності в залежності від призначення моделі і рівня вивченості описуваної системи. Ці моделі насамперед пристосовані для аналізу точності підсистем і датчиків у деяких типових «модельних» умовах. Чим точніше моделі описують реальні пристрої або процеси, тим більш ефективно будуть працювати алгоритми вторинної обробки інформації, в основу яких покладені ці моделі. Таким чином, від повноти математичних моделей і ступеня їхньої близькості до реальних процесів залежить точність систем обробки навігаційної інформації.

Для виявлення маневру (зміни траєкторії) використовують спеціальні алгоритми. Існуючі поліноміальні моделі траєкторій виявляються нездатними описати деякі складні за формою траєкторії вільного (поза коридорами) польоту літальних апаратів. Введення та використання концепції вільного польоту є майбутнім, що дає переваги в економії пального, скороченні дистанції між навігаційними точками, скороченні часу перебування літака у повітрі, а значить і загального часу перельоту, зменшенні часу нальоту авіаційної техніки, зменшенні навантаження на наземний персонал, що зайнятий в аеронавігаційному забезпеченні польотів. Найбільш вживаними є алгоритми побудовані на основі рекурентного методу найменших квадратів, але для ФК така задача не ставилася. Використання сплайнів дозволить побудувати алгоритм на базі ФК для обробки навігаційних (траєкторних) даних в реальному часі та з точністю, що забезпечить ФК як для прямолінійної траєкторії польоту, коли навігаційна задача полягає в переносі центра мас повітряного судна із початкового в кінцевий пункт маршруту, так і для криволінійної траєкторії з певної кількістю проміжних пунктів маршруту, що відповідатиме плану польоту. Слід особливо звернути увагу на те, що ФК використовується не для вирішення задачі управління, а для вирішення навігаційної (траєкторної) задачі. Необхідно розробити алгоритми для обробки навігаційної інформації та проводити їх оцінку в реальному часі. Висока точність оцінки (у відповідності до RNP) та відображення лінії шляху, при польотах по довільним траєкторіям на високих швидкостях руху ПК, може стати основою для запобігання зіткнень. Потенційно, вирішити ці задачі можуть сплайн-моделі. Вказані задачі апроксимації вирішуються в даній роботі використанням лінійного та кубічного ермітових сплайнів.

Завдяки цьому обробка навігаційної інформації виконується на кожному відрізку відносно незалежно від інших, але з врахуванням сусідніх відрізків. Отже, використання сплайн-моделей потенційно дозволяє підвищити точність оцінки траєкторій.

Другий розділ присвячено розробці моделей ФК для поліноміальних траєкторій. В основі побудови фільтра Калмана покладено той його варіант, що використаний С.Кузьміним для обробки траєкторій в радіолокації. Спочатку будується модель параметру прямолінійної траєкторії представленої у формі полінома Лагранжа. На коротких інтервалах маршруту рух за координатою ПК описується прямою за формулою:

, (1)

де r0- початкове значення координати, - перша похідна (швидкість), t-t0 - інтервал екстраполяції, - початковий час, що відповідає координаті .

У виразі (1) оцінюють загальну швидкість (нахил прямої) та поточну координату швидкості. Початкова координата задається як константа. В процесі фільтрації значення оціненої координати та швидкості оцінюються так, щоб мінімізувати середньоквадратичне відхилення екстрапольованого значення від виміряного. Тобто, оцінюються швидкість та поточна координата. Екстраполяція на контрольну точку маршруту при такій моделі може давати значну похибку.

Моделлю, яка враховує контрольні точки маршруту при виконанні польоту є поліном Лагранжа, який, для фрагменту польоту по прямій між двома навігаційними точками, можна записати так:

. (2)

Необхідно, щоб обробка навігаційних даних, тобто вектору згладжених параметрів, виконувалась при виконанні умови оптимальності та адаптивності. Розрахунковий час польоту між двома заданими навігаційними точками відомий, тож ставиться задача оцінити поточні координати та зробити прогноз виходу у задану навігаційну точку в заданий час. Розглянемо фільтр Калмана для рівняння у формі Лагранжа (2). Вектор оцінок параметрів на кроці матиме значення оцінок навігаційного параметру у контрольних навігаційних точках відрізку траєкторії у заданий час:

. (3)

Запишемо матрицю зв'язку Н, що встановлює відповідність між параметрами , що оцінюються та вимірами координат:

, (4)

де - вимір координати, - похибка вимірювання.

Отримаємо:

(5)

або прийнявши

(6)

де .

Далі згідно системи рівнянь ФК отримуємо відповідні матриці та вектори для поточної оцінки навігаційного параметра. Рівняння оцінки:

(7)

Наступним кроком є побудова ФК для криволінійної траєкторії, що представлена у формі Лагранжа, тобто необхідно побудувати модель фільтра Калмана з поліноміальною моделлю траєкторії у формі Лагранжа.

Виразом, який враховуватиме контрольні точки маршруту при виконанні польоту є поліном Лагранжа, який, для польоту (або фрагменту) по кривій за чотирма навігаційними точками, можна записати так:

(8)

Матриця зв'язку, що встановлює відповідність між оцінками та вимірами координат буде рости та ускладнюватись з кожною навігаційною точкою. Для чотирьох навігаційних точок отримано:

(9)

Оцінка параметрів на наступному кроці (при отриманні наступного виміру рівна:

,

або . (10)

Остаточно рівняння оцінки навігаційного параметру:

(11)

З проведених аналітичних розрахунків та співвідношень видно, що зі збільшенням кількості навігаційних точок маршруту значно ускладнюватиметься процес обробки даних, що крім того не враховуватиме різноточність вимірів, має ефект старіння даних, та при переході на кожний новий фрагмент польоту алгоритм починає обробку з початку, тобто з найгрубіших оцінок.

Проблемою сплайнів вище першої степені є наявність крайових умов зумовленої відсутністю фрагментів за останнім відрізком. Це створює складності при екстраполяції. Тому в роботі отримано вирази для розрахунку кубічного ермітового сплайна з базисами на трьох фрагментах. Похідні такого сплайна задаються через розділені різниці ліворуч від вузла. Вигляд отриманого базисного сплайна показано на рис. 1.

Рис. 1 Трьохфрагментний базисний кубічний ермітів сплайн

Похідна у останньому вузлі залежить від значень у двох передостанніх вузлах. Таким чином вирішується проблема крайової умови праворуч. Для точки що належить фрагменту значення сплайна розраховується згідно формул:

, (12)

де , (13)

, (14)

,

- значення сплайна у вузлових точках. (15)

Кубічні сплайни, побудовані розглянутим способом мають неперервність значень у вузлах та першої похідної.

Третій розділ присвячено розробці сплайн-фільтра Калмана з моделями у формі ламаної, фільтра Калмана з лінійним ермітовим сплайном та фільтра Калмана з кубічним ермітовим сплайном з трьохфрагментним базисом.

Розглянемо фільтр Калмана для сплайн-моделі ламаної, що є ермітовим сплайном першої степені. Навігаційні точки траєкторії, що є значеннями ермітового сплайна у вузлах задаємо матрицею V:

, (16)

де - значення сплайна у відповідному вузлі, k - кількість вузлів.

Початкові значення вектора оцінок параметрів на n-1 кроці для оцінки прямолінійної траєкторії між двома точками на першому фрагменті сплайна, матиме значення оцінок навігаційного параметру у контрольних навігаційних точках траєкторії у заданий час:

. (17)

Модельне значення траєкторії на одному фрагменті, визначається за допомогою ермітового сплайна, множниками якого є складові вектору V:

(18)

де t - значення змінної часу, - початкове та кінцеве часові значення першого фрагменту. Кількість фрагментів сплайну залежить від розмірності вектора V.

Тоді в загальному випадку модель траєкторії з урахуванням нормальної похибки визначення координати матиме вигляд:

, (19)

де - похибка визначення координати з нульовим середнім і заданою дисперсією.

Запишемо матрицю зв'язку Н, що встановлює відповідність між параметрами , що оцінюються та вимірами координат:

(20)

де - вимір координати, - похибка вимірювання. Отримаємо:

. (21)

Головною особливістю використання сплайн-моделі є збільшення розмірності матриць у фільтрі в процесі його роботи з кожним наступним фрагментом. З кожним новим вузлом сплайна розмірність матриці Н збільшуватиметься за рахунок додавання нульового стовпчика на початок матриці. Рекурентні вирази отримаємо за формулами малорангового перетворення матриць. В основу результатів покладено те, що фільтр Калмана, який використовується, є ідентичним узагальненому методу найменших квадратів.

Вектор екстраполяції на кожний новий момент часу буде одиничною діагональною матрицею, розмірність якої буде збільшуватись з кожним новим фрагментом сплайна та дорівнюватиме кількості оцінюваних алгоритмом ФК вузлів:

, (22)

а значення вектора екстрапольованих параметрів рівне:

. (23)

Нехай на кроці n маємо матрицю для R-оцінок, отриману по n-вимірах

, (24)

де - матриця планування МНК розмірності (nR), така що

,

 - вектор значень сплайна з параметрами у точках вимірів .

З надходженням нового відліку в збільшуємо число параметрів на 1 (додаємо до моделі наступний вузол ).

Тоді

, (25)

де .

Матриця:

, (26)

необхідно знайти:

(27)

Взявши до уваги значення відповідних складових та малорангову модифікацію матриці отримаємо рекурентні формули для

:

, (28)

де . (29)

Відповідні складові:

, (30)

, (31)

. (32)

В зваженому МНК (ЗМНК) оцінки отримують як:

(33)

де . (34)

,

отримуємо:

. (35)

Знайдемо рекурентний вираз для оцінок :

, (36)

, (37)

(38)

де , (39)

Е - одинична матриця розмірності RR.

Отримані вирази достатньо прості для реалізації як програмно так і апаратно.

Побудований фільтр Калмана з моделлю траєкторії у формі ламаної, дає можливість:

1. Оцінювати траєкторію руху матеріальної точки - центра мас повітряного судна між заданими навігаційними точками згідно плану польоту;

2. Дозволяти виконувати польот згідно діючих вимог точності у межах сумарної похибки системи згідно вимог RNP-5;

3. Виводити ПС у цільові навігаційні точки у заданий навігаційний час польоту.

Розглянемо фільтр Калмана [5] для сплайн-моделі, що є ермітовим сплайном третьої степені. Принципово такий фільтр відрізняється від ФК з лінійною моделлю матрицею зв'язку. Навігаційні точки траєкторії, що є значеннями ермітового сплайна у вузлах задаємо матрицею V:

(40)

де - значення сплайна у відповідному вузлі, k - кількість вузлів.

Початкові значення вектора оцінок параметрів на перших кроках для оцінки траєкторії між двома точками на першому фрагменті сплайна, матиме значення оцінок навігаційного параметру у контрольних навігаційних точках траєкторії у заданий час:

. (41)

Модельне значення траєкторії на одному фрагменті, визначається за допомогою кубічного ермітового сплайна

, (42)

де t - значення змінної часу, - похибка визначення координати з нульовим середнім і заданою дисперсією, - значення сплайна у вузлах, - складові базисних функцій, що враховують початкове та кінцеве часові значення кожного фрагменту. Кількість фрагментів сплайну залежить від розмірності вектора V. Тоді для повного плану польоту модельне значення траєкторії визначатеметься так:

(43)

Визначимо матрицю зв'язку Н, що встановлює відповідність між параметрами , що оцінюються та вимірами координат:

, (44)

де - вимір координати, - похибка вимірювання. Отримаємо:

. (45)

Вектор екстраполяції на кожний новий момент часу буде одиничною діагональною матрицею, розмірність якої буде збільшуватись з кожним новим фрагментом сплайна та дорівнюватиме кількості оцінюваних алгоритмом ФК вузлів:

, (46)

а значення вектора екстрапольованих параметрів рівне:

. (47)

Матриця зв'язку для нового значення виглядатиме як:

. (48)

Екстрапольоване на час наступного вимірювання значення координати:

. (49)

Кореляційна матриця похибок екстрапольована на наступний інтервал часу визначається за формулою:

. (50)

Тоді кореляційну матрицю помилок оцінки параметрів в момент часу n отримаємо з виразу:

(51)

або враховуючи (35):

 (52)

де - кореляційна матриця похибок вимірювання, яка при незалежності вимірів координат має вигляд:

, (53)

де - дисперсія вимірювання координати у момент часу t, що відповідає n-му вимірюванню.

Оцінка параметрів на наступному кроці, при отриманні наступного виміру , рівна:

. (54)

З врахуванням (35) та (40)

. (55)

При додаванні наступного фрагмента слід використати вирази подані вище.

Особливістю фільтра Калмана із сплайн-моделлю є те, що при виконанні маневру нема потреби скидати попередні значення оцінок та фактично розпочинати оцінювання із початку. Просто розпочинається новий фрагмент сплайна і додається новий параметр оцінювання. На початку виконання маневру спостерігається зростання похибки екстраполяції, що пов'язано із зміною параметрів закону руху. Однак, уже з наступних кроків похибка значно зменшується. Ця похибка при зміні фрагментів значно менша, ніж похибка, яка спостерігається на початку роботи фільтра і пов'язана із відсутністю достатньої інформації для отримання якісних оцінок і прогнозу.

В четвертому розділі виконана розробка алгоритмічного забезпечення для побудови сплайн-моделей фільтра Калмана, а саме розглянуто:

- алгоритм фільтра Калмана для прямолінійної траєкторії у формі Лагранжа;

- алгоритм фільтра Калмана для криволінійної траєкторії у формі Лагранжа;

- алгоритм сплайн-фільтра Калмана для прямолінійної траєкторії у формі ермітового сплайна першої степені;

- алгоритм сплайн-фільтра Калмана для криволінійної траєкторії у формі ермітового кубічного сплайна з трьохфрагментним базисом.

Вхідними даними для алгоритмів слугує план польоту, що вводиться екіпажами перед вильотом в аеропорту, або може бути змінений згідно вказаної концепції вільного польоту та за умови певних перешкод на маршруті. Виконано перевірку роботи алгоритму на модельних та реальних траєкторіях руху повітряних кораблів. Похибка вимірювань (середньоквадратичне відхилення) складає 5 м й розподілена за нормальним законом.

На рис. 2 показано похибку екстраполяції модельної лінійної траєкторії в процесі польоту. Середньоквадратичне відхилення екстраполяції становить 4.96 м., а максимальна похибка не перевищує 13.5 м.

Середньоквадратична похибка становить 0.13 м., а максимальна похибка не перевищує 0,34 м. Тобто побудовані алгоритми з використанням сплайнів забезпечують високу точність виходу на задану точку в заданий час та виконання плану польоту в цілому.



Рис. 2 Похибка екстраполяції в процесі польоту

На рис. 3 показано оцінки координати виходу на другу навігаційну точку в процесі польоту.

Рис. 3 Значення оцінок другої навігаційної точки а процесі обробки даних

Динамічні властивості літальних апаратів сплайн-модель враховує за рахунок зміни ширини базисних сплайнів. Чим коротший базис (і фрагмент) тим динамічнішою є модель. Зрозуміло, що динаміка моделі може змінюватися протягом польоту за рахунок зміни ширини фрагментів сплайна.

В роботі розглянуто приклади обробки реальних траєкторій літаків різних типів (літак місцевих повітряних ліній Fokker 100 (F100), літак середньомагістральний B737 та далекомагістральний Airbus A330-243 (A332) за даними отриманими із системи ADS-B (flightradar24.com). Експеримент підтвердив хороші апроксимаційні властивості моделі та здатність описувати траєкторії на різних ділянках польоту. Однак, алгоритм є досить чутливим до тривалих пропусків даних (5-15 хв.). Проте цю проблему можна вирішити за рахунок отримання даних від систем інерційної навігації. Слід зазначити, що погіршення оцінок можна безпосередньо оцінити за значеннями коваріаційної матриці похибок.

В додатках роботи містяться тексти програм, що реалізують фільтри Калмана зі сплайн-моделями написані у середовищі МаtLab та приклади розрахунків сплайнів та фільтрів у середовищі MathCad.

Основні результати роботи та висновки

У дисертаційній роботі наведено нове вирішення важливої науково-технічної задачі - розроблено сплайн-фільтр Калмана для обробки навігаційної (траєкторної) інформації, що працює в режимі реального часу. За рахунок кращих апроксимаційних та статистичних властивостей сплайн-моделі, порівняно з аналогічними поліномами, підвищено точність оцінок траєкторії. Застосована модель адекватна на всій траєкторії польоту, а не тільки на окремих відрізках.

При цьому отримані такі результати:

1. Вперше отримано фільтри Калмана для сплайн-моделей траєкторії, що дозволяють опрацьовувати траєкторію на всьому маршруті та враховують весь обсяг навігаційної (траєкторної) інформації.

2. За рахунок кращих ніж у алгебраїчних поліномів наближуючих властивостей сплайнів досягається покращення точності оцінки траєкторії.

3.Проведено аналіз існуючих навігаційних систем та технологій навігаційного забезпечення та їх перспектив.

4. Проведено аналіз моделей траєкторій польотів та методів їх оцінювання, зокрема фільтром Калмана.

5. Виконано вибір сплайн-моделей для опису траєкторій ЛА.

6. Розроблено методи оцінювання параметрів сплайн-моделей траєкторій за допомогою фільтра Калмана.

7. Створено алгоритми вирішення навігаційних задач із використанням сплайн-фільтрів Калмана.

8. Перевірено отримані результати на модельних та реальних траєкторних даних.

Використання сплайн-фільтрів Калмана дозволяє побудувати алгоритм для обробки навігаційних (траєкторних) даних в реальному часі. Слід особливо звернути увагу на те, що ФК використовується не для вирішення задачі управління, а для вирішення навігаційної (траєкторної) задачі. Тобто, запропонована модель потребує мінімуму апріорної інформації котру можна отримати безпосередньо з траєкторних вимірів. Модель дозволяє отримувати оцінки всієї траєкторії польоту у вигляді оцінок вузлових точок. Таке компактне представлення траєкторій дозволяє здійснити обмін між ПК не тільки поточними значеннями координат, але й траєкторіями в цілому. Це сприятиме чіткому виконанню плану польоту та підвищенню безпеки польотів.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Гордєєв М.Г., Шелевицький І.В., Шутко М.О., Фільтри Калмана в авіаційному навігаційному обладнанні // Науковий вісник Кременчузького університету економіки інформатики та управління Нові технології - 2010. - №4(30). - C. 25-29.

2. Негода А.М., Кушнір О.М., Гуйда О.Г., Гордєєв М.Г. Перспективи використання сплайн-функцій в технологіях стиснення цифрового відео // Вісник Інженерної академії України: зб. наук. праць. - Миколаїв: Видавництво Національного університету кораблебудування ім. адм. Макарова, 2010. №3-4. - С. 70-73.

3. Шелевицький І.В., Гордєєв М.Г., ГуйдаО.Г., Кутін А.І. Фільтр Калмана з поліноміальною моделлю траєкторії у формі Лагранжа // Електроніка та системи управління: зб. наук. праць. - К.: НАУ, 2010. №4 (26) - С. 50-56.

4. Гордєєв М.Г. Апроксимація криволінійної траєкторії ермітовим сплайном // Науковий вісник Кременчузького університету економіки інформатики та управління Нові технології - 2011. - № 1(31). - C.52-57

5. Гордєєв М.Г., Кутін А.І. Сплайн-фільтр Калмана обробки траєкторної інформації // Матеріали IV Міжнар. конф. мол. вчених CSE-2010 [Комп'ютерні науки та інженерія], (Львів, 25-27 листопада 2010 р.) / М-во освіти і науки України, Нац. університет «Львівська політехніка». - Л.: Вид. Львівської політехніки, 2010. - C. 290-291.

6. Гуйда О.Г., Негода А.М., Кушнір О.М., Гордєєв М.Г. Сплайни в технологіях обробки інформації // Проблеми навігації і управління рухом: Всеукраїнська науково-практична конференція молодих учених і студентів, 23-24 листопада 2010 р.: тези доп. - К.: ІВЦ "ХОЛТЕХ", 2010.- С. 78.

7. Гордєєв М.Г. Екстраполяція криволінійної траєкторії формулою Лагранжа: XIII Міжнародна молодіжна науково-практична конференція «Людина та космос» відбудеться 13-15 квітня 2011 р.: Збірник тез - Дніпропетровськ: 2011.

8. Гордєєв М.Г., Кутін А.І. Фільтр Калмана з кубічною сплайн-моделлю траєкторії // Тези доповідей Міжнародної наукової конференції молодих учених «Авіа-2011». - К.: НАУ. - 2011. - С.86.

Анотація

Гордєєв М.Г. Сплайн-фільтр Калмана обробки траєкторної інформації. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.22.13 - «Навігація та управління рухом». - Національний авіаційний університет, Київ, 2011.

Дисертацію присвячено розробці сплайн-фільтру Калмана для обробки траєкторної інформації в масштабі реального часу, згідно як раніше запланованого маршруту, так і польотів за довільними траєкторіями у відповідності до концепції вільного польоту.

Розроблено математичні моделі для опису як прямолінійної траєкторії так і криволінійної траєкторії руху з використанням ермітових сплайнів першої та третьої степені. Отримані моделі траєкторій дозволяють описувати складні маршрути руху літального апарату та проводити поточну обробку фільтром Калмана. Вдалося уникнути ефекту старіння даних та описати траєкторію руху за межами коридору руху між навігаційними пунктами на маршруті.

Розроблено алгоритмічне та програмне забезпечення для оцінки та прогнозування положення літака у просторі з високою точністю. Достовірність розроблених алгоритмів була підтверджена шляхом їх перевірки на модельних та реальних траєкторіях руху літальних апаратів.

Ключові слова: сплайн-фільтр Калмана, довільні маршрути польоту, ермітові сплайни, складні траєкторії руху, алгоритми обробки траєкторної інформації, планування польоту.

Аннотация

Гордеев Н.Г. Сплайн-фильтр Калмана обработки траекторной информации. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.22.13 - «Навигация и управление движением». - Национальный авиационный университет, Киев, 2011.

Дисертация посвящена разработке сплайн-фильтра Калмана для обработки траекторной информации в масштабе реального времени согласно как ранее запланированному маршруту так и полётов по свободным траекториям в соответствии с концепцией свободного полёта.

Разработаны математические модели для описания как прямолинейной траектории так и криволинейной траектории движения с использованием эрмитовых сплайнов первой и третьей степени. Полученные модели траекторий позволяют описывать сложные маршруты движения летательного аппарата и проводить текущую обработку фильтром Калмана. Удалось избежать эффекта старения данных и описать траекторию движения за пределами коридора движения по маршруту.

Разработано алгоритмическое и програмное обеспечение для оценки и прогнозирования положения самолёта в пространстве с високой точностью.

Достоверность разработанных алгоритмов была подтверждена путём их проверки на модельных и реальных траекториях движения летательных аппаратов.

Для выбора базисных сплайнов проведён анализ существующих математических соотношений сплайн-функций и способов их применения в соответствии с поставленными задачами. Выбор делается в пользу эрмитовых сплайнов первой и третьей степени, поскольку они имеют преимущества в простоте описания сложных траекторий и хорошие апроксимативные свойства. Был выведен кубический эрмитов сплайн с трёхфрагментным базисом, для построения которого не требуеться определение правых краевых русловий.

Эрмитов сплайн третьей степени позволяет получить гладкую модельную траекторию, форма которой является достаточно сложной и неподвласна описанию классическими полиномами. Использование сплайн-моделей позволяет получить желаемый результат для описания траекторий летательных аппаратов, при условии необходимой достаточности.

Ключевые слова: сплайн-фильтр Калмана, произвольные маршруты полёта, эрмитовые сплайны, сложные траектории движения, алгоритмы обработки траекторной информации, планирование полёта.

Annotation

Gordyeyev Mykyta. Kalman's spline-filter for trajectory information processing.

The Thesis for Candidate of Technical Sciences degree on speciality 05.22.13 - Navigation and Traffic Control. - National Aviation University, Kiev, 2011.

Dissertation is devoted development of spline filter of Kalman for treatment of trajectory information in a real time scale factor concordantly as prefer planned route so flights after arbitrary trajectories within the limits of conception of free flight..

Mathematical models are developed for description as rectilineal trajectory so curvilinear trajectory of motion with the use of hermitean splines of the first and third degrees. The got models of trajectories allow to describe the difficult routes of motion of aircraft and conduct current treatment by the filter of Kalman. It is avoided of effect of senescence of information and description of trajectories of motion outside the corridor of motion enroute. The algorithmic and programmatic providing is developed for an estimation and prognostication of position of airplane in space with high exactness.

Developed algorithms was validified by their verification on the model and real trajectories of motion of aircrafts.

Keywords: a spline-filter of Kalman, arbitrary routes of flight, hermitean splines, difficult trajectories of motion, algorithms of treatment of trajectory information, planning of flight.

Размещено на Allbest.ru

...