Потеря устойчивости мостичного амортизатора из эластомера

Размещено на http://www.allbest.ru/

Санкт-Петербургский государственный университет

Кафедра вычислительных методов механики деформируемого тела

Выпускная квалификационная работа бакалавра

Потеря устойчивости мостичного амортизатора из эластомера

Введение

Во многих областях современной техники для снижения перегрузок при ударе и изоляции вибраций широко используются различные типы амортизаторов. В одних случаях они защищают основание от действия динамических сил, в других позволяют уменьшить динамические воздействия, передаваемых на амортизируемый объект от движущегося с переменным ускорением основания.

Для поглощения перегрузок, испытываемых конструкцией при ударных воздействиях, необходимо применение амортизаторов, имеющих мягкую характеристику. Такими амортизаторами являются, в частности, амортизаторы мостичного типа. Изменя ягеометрические и физические параметры эластомеров, можно изменять вид их упругой характеристики, что особенно важно для противоударных амортизаторов. Наличие значительного внутреннего трения в материале позволяет достичь хорошей виброизоляции в области высоких частот и уменьшить возможность возникновения резонансных колебаний с большими амплитудами.

Основная сложность при расчетах деформаций различных изделий из эластомера возникает из-за нелинейности задачи.

Постановка задачи

В рамках нелинейной теории тонких оболочек из эластомера [4] рассматривается задача о бифуркации мостичного амортизатора при сжатии. Под бифуркацией понимается ответвление от симметричного решения в несимметричное.

Амортизатор представляет собой две симметричные резиновые пластины по бокам, наклоненные под некоторым углом к плоскости симметрии амортизатора. Онипривулканизированык металлическим пластинам снизу (нижнее основание) и сверху (верхнее основание).

Целью работы является исследовать бифуркации от симметричного состояния при различных конфигурациях системы и выяснить, при каких начальных углах они возможны.

В отличии от [1], в качестве краевых условий у верхнего основаниярассматривается шарниное опирание. Как показали эксперименты, при вулканизации у верхнего основания реализуется именно шарнирное опирание, а у нижнего - жесткая заделка, на что обратил внимание академик Новожилов В.В.В настоящей работе предполагается, что верхнее основание амортизатора может сдвигаться вбок, оставаясь параллельным нижнему основанию.

Программная реализация решения поставленной задачи написана в среде MATLAB.

Обзор литературы

В 1981 вышла статья [2], в которой исследуется симметричное сжатие мостичного амортизатора. Построены жесткостные характеристики для разных начальных углов и толщин, приведена граница раздела областей мягкой и жесткой характеристик амортизатора. Основы нелинейной теории упругости для эластомеров были заложены Черныхом К.Ф. [3]. В [1] рассмотрена бифуркация подобной модели при условии заделки у верхнего основания. Также, там предполагается, что металлическая пластина имеет возможность поворачиваться.

На примере мостичного амортизатора ставится задача выяснить особенности его состояния при симметричном статическом нагружении вертикальной нагрузкой.

1.1 Основные зависимости для арки-полоски

Рассмотрим задачу о цилиндрическом изгибе арки-полоски

Отнесем ее к материальным координатам:

.

Будем считать:

Таким образом, рассмматривается одномерная, не зависящая от , деформация амортизатора, поэтому можно считать его длину (по единичной). Индексом 0 снабжаются величины недеформированной конфигурации видно, что (: .

Здесь:

- кратность удлинения дуги в плоскости .

Используется модифицированная геометрическая гипотеза Кирхгофа[3]: материальное волокно, нормальное к материальной срединной поверхности до деформации, остается нормальным к ней и после деформации, удлиняясь по линейному закону.

Для описания упругих свойств эластомеров из несжимаемого материала используется модель трехконстантного потенциала[4]:

Этому материалу в главных осях деформации отвечает закон упругости:

.

Здесь - энергия упругой деформации, - начальный модуль сдвига, где E-модуль Юнга, -главная кратность удлинения, -напряжение, p-сила, обеспечивающая несжимаемость материала, а и -безразмерные константы материала. Далее в работе будет рассматриваться модель двухконстантного материала, то есть . Константы и будут равны и соответственно.

Уравнения равновесия для мостичного амортизатора принимают вид:

Для изотропно упругого материала определяющие соотношения имеют вид:

Где - усилие, прикладываемая по касательной к срединой линии в подвижной системе координат, - усилие, прикладываемое по нормали к срединой линии в подвижной системе координат, -изгибающий момент,и - проекции внешней нагрузки в подвижной системе координат.

Перепишем усилия в проекции на и :

Введя перемещения:

и угол поворота:

составим системы уравнений, описывающие деформацию амортизатора:

Где и - перемещение по осям и соответственно, - угол поворота, - изменение кривизны, и - углы между нормалью и осью до и после деформации соответственно, -константа материала, - толщина боковой пластины, - высота амортизатора в недеформированном состоянии, и - координаты до деформации.

Так как амортизатор представляет собой две симметричные пластины из эластомеров, верхние индексы и будут обозначать левую и правую пластины соответственно. Для определенности Граничные условия для данной задачи будут выглядеть следующим образом:

1.2 Решение поставленной задачи

Введем обозначение для (1.1) и для (1.2). Систему дифференциальных уравнений (1.1) можно представить в виде:

а систему (1.2) в виде:

Граничные условия (1.3) можно записать в виде:

Задача сводится к решению систем(1.4), (1.5) с граничными условиями (1.6).

Для нахождения точек разветвления решений используется идея метода деидеализации [9]. В данной работе рассматривается два варианта введения неидеальностей:

а) приложение усилия ;

б) фиксированное смещение верхней пластины по оси , которые ниже будут изложены подробнее.

Алгоритм решения

Задача решается методом стрельбы. Он сводит краевую задачу к задаче Коши. Задача Коши для системы дифференциальных уравнений решается численно методом Рунге - Кутты-Мерсона. Далее методом Ньютона решается система нелинейных уравнений. В качестве начального приближения задается нулевой вектор, так как он является решением для ненагруженного состояния амортизатора. При дальнейшем выборе начальных приближений используетя метод продолжения по параметру. Матрица производных в методе Ньютона считается численно.

Стоит отметить, что, в случае приближения к точкебифуркации, матрицы Якоби становятся плохо обусловленными. В самой точке бифуркации Якобиан принимает нулевое значение,поэтому прохождение по любому из параметров через точку бифуркации становится невозможным.

Глава 2. Методы численного решения

Большинство методов решения нелинейных краевых задач можно описать следующим образом. Рассматриваемая задача сводится к решению нелинейной системы алгебраических уравнений относительно не очень большого числа неизвестных; далее эта система решается при помощи какого-либо способа решения нелинейных систем. Выбор вспомогательных переменных, то есть параметризация задачи, часто имеет решающее значение для ее успешного решения.

2.1 Метод стрельбы

Суть метода заключается в сведении нелинейной краевой задачи к задаче Коши.

Рассмотрим нелинейную краевую задачу:

Пусть функции таковы, что система уравнений:

однозначно определяет вектор Тогда задача (2.1) может быть сведена к системе нелинейных уравнений относительно параметров .

Довольно часто грачниное условие в точке 0 имеет вид:

Тогда в качестве целесообразно взять Таким образом, здесь в качестве искомых параметров выступают неизвестные компоненты решения в точке Как правило, тербуемая система нелинейных уравнений не выписывается явно, но можно указать алгоритм вычисления ее правой части.

При каждых , решая систему (2.2) можно определить вектор решая задачу Коши при начальном условии , определяем и затем находим . Таким образом, решение задачи (2.1) сводится к решению нелинейной системы

В этой работе в качестве метода решения нелинейной системы выбран метод Ньютона.При использовании метода Ньютона на каждой итерации численно вычисляется матрица производных.

2.2 Метод продолжения по параметру

Неединственность решения нелинейных задач теории упругих оболочек обусловливает необходимость обеспечения соответствующей определенности поиска этих решений. Данное требование означает, что должна быть указана процедура выбора начальных итераций. С точки зрения реализации численных алгоритом наиболее эффективно такой выбор осуществляется при помощи идеи продолжения по параметру.

В данной задаче в исходную систему (1.1), (1.2),обозначим ее как , вводится независимый параметр , изменяюшийся непрерывно, начиная с некоторого , причем элемент , являющийся решением уравнения при , считается известным. Фактическое определение семейств (и осуществляется при шаговом итерационном продолжении по параметру исходя из начальных точек и .

Решения строятся для некоторой дискретной последовательности значений параметра причем начальные итерации при каждом новом выбираются исходя из двух предыдущих решений, то есть экстраполяцией. В данной работе в качестве метода экстраполяции выбран метод касательных.

Для нелинейно-упругих систем введение параметра продолжения не требует специальных приемов, учитывая то, что статическая задача обычно заключается в определении решения для некоторого диапазона изменения параметров внешних воздействий на упругую систему. Считая эти величины заданными функциями от некоторого числа - параметра , приходим к параметрической форме статической задачи. При этом начальная точка известна по самой постановке задачи, когда исходное недеформрованное состояние упругой системы, соответствующее нулевым нагрузкам, считается известным.

Глава 3. Анализ результатов

3.1 Алгоритм нахождения точки бифуркации

Чтобы найти точку бифуркации, используется идея метода деидеализации [9]. Для данной задачи метод выглядит следующим образом когда амортизатор находится в ненагруженном состоянии, к нему прикладывается некая нагрузка, обеспечивающая несимметричное состояние, в данном случае прикладываемое усилие или фиксированное смещение по оси . Далее, амортизатор сжимается нагрузкой до какого-то заданного положения. Потом, боковая нагрузка убирается при этом амортизатор остается в несимметричном положение. После чего, уменьшается нагрузка и амортизатор возвращается в исходное положение.

Решается задача для систем (1.4) и (1.5) с граничными условиями (1.6). В качестве основного параметра выбран параметр дискретного перемещения верхней пластины по оси , обозначим его.

Расчет проводился для следующей параметров амортизатора: длина верхней пластины -, толщина боковых пластин -, длина боковых пластин -.

Так как в данной работе ищутся точки, в которых амортизатор при вертикальной нагрузке без смещений по другим осям будет склонен принять несимметричную форму, логично будет рассматривать углы, близкие к .

3.2 Бифуркация

Рассмотрим сжатие амортизатора с начальным углом наклона боковых пластин к оси равному . На всех приведенных ниже рисунках в качестве боковых пластин проиллюстрированы их срединные линии.

Далее, амортизатор сжимаетсядискретно по параметру до момента, когда угол между касательной в точке скрепления пластин и верхней пластиной не становится равным нулю.Потом, используя метод деидеализации, изложенный выше, приравнивается к нулю и сжимающая нагрузка убирается до момента, пока амортизатор не вернется в состояние покоя. На всех диаграммах, приведенных ниже, проиллюстрирован процесс возврата амортизатора в исходное положение, то есть, движение по параметру осуществляется справа налево.

В точке графики несимметричной и симметричной форм сливаются в один. Стоит подметить, что несимметричный вариант является выгоднее симметричного, потому что для его реализации нужна меньшая вертикальная нагрузка. На промежутке наблюдается численный перескок. Если в окрестности этой точки шаг параметра уменьшить в 100 раз, то наблюдается то же самое, что и на рисунке 10. При дальнейшем уменьшении шага наблюдается ухудшение сходимости. Следовательно, требуется пройти по другому параметру.

При движении по параметру - параметру вертикального нагружения несимметричная ветвь снова перескакивает на симметричную.

Каким бы мелким ни был шаг, при движении по наблюдается остановка в окрестности этой точки и «разворот» назад по той же кривой в этой плоскости. То есть,следует рассмотреть трехмерный график зависимости всех от трех параметров.

При движении по любому параметру не осуществляется плавного перехода на симметричное решение, точка является предельной для всех параметров. Также, если в окрестности этой точки пройти по симметричному варианту с мелким шагом, то наблюдается сильно ухудшение сходимости вплоть до остановки алгоритма. Следовательно, эта точка - точка бифуркации, то есть точка разветвления решения. В ней при нагружении будет происходить переход симметричного варианта на несимметричный.

Было выяснено, что при данных расчетных параметрах амортизатора бифуркация имеет место быть при . То есть, при будет реализовываться симметричный вариант.

3.3 Изолированное решение

Помимо бифуркации, методом деидеализациии было найдено изолированное решение.

Рассмотрим сжатие амортизатора с начальным углом наклона боковых пластин к оси ,равному .

Продемонстрирована несимметричная деформация, полученная немного иным путем, чем в главе 3.2: верхней пластине дается фиксированное смещение по оси , обозначим его. Далее все происходит аналогично главе 3.2.

В точке графики нагрузки-перемещения для симметричной и для несимметричной форм сливаются в один.

Шаг параметраравен. Видно, что нагрузка убывает, потом снова возрастает и на промежутке осуществляется численный перескок с несимметричной ветви на симметричную. В этом промежутке сходимость ухудшается, поэтому требуется поменять параметр продолжения решения.

Если в окрестности точки перескока пройти по параметру - параметру угла поворота, то получается изолированное решение. Реализовываться этот вариант, скорее всего, не будет, тем более, симметричный вариант в этом случае выгоднее несимметричного по нагрузке.

Выводы

Составлен алгоритм решения нелинейной краевой задачи методом стрельбы в сочетании с методом продолжения по параметру. Написана программа, реализующая этот алгоритм. Отладка программы проводилась на примерах, известных из литературы.

Была рассмотрена задача деформации мостичного амортизатора при условии шарнирного опирания у верхнего основания и заделки у нижнего основания. Также, предполагалось, что основания при сжатии остаются параллельными, но верхнее основание может перемещаться по горизонтали.Задача в такой постановке другими авторами не рассматривалась.

Найдены бифуркационные ветви перехода от симметричного деформирования к несимметричному. Показано, при каком значении начального угла будет возможна бифуркация при расчетных параметрах.

В развитие работы можно рассмотреть другие толщины резиновых пластин; поставить условие возможности поворота верхнего основания при шарнирном опирании; рассмотреть криволинейные формы резиновых пластин.

В ходе выполнения была написана программа, реализующая решение поставленной задачи. Найденыветви потери устойчивости амортизатора и диапазон угла, при котором она реализуется для заданных расчетных параметров.

Список литературы

1. Бочкарева Н.Л., Колпак Е.П. Об устойчивости арочного амортизатора // Вестник СПбГУ, 1993. Сер. 1, вып. 4. С. 49-53.

2. Колпак Е.П. Устойчивость мостичного амортизатора из резиноподбного материала // Теория и методы расчета нелинейных пластин и оболочек, 1981. С.: Изд-во Саратовского ун-та, 1981. С. 43-45.

3. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. 336 с.

4. Кабриц С.А., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К.Ф., Шамина В.А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. СПб.: СПбГУ, 2002. 386 с.

5. Kabrits S.A., Kolpak E.P. Finding bifurcation branches in nonlinear problems of statics of shells numerically, 2015 International conference «Stability and Control processes» in Memory of Zubov V.I., 2015. P. 389-391.

6. Kabrits S.A., Kolpak E.P. Numerical Study of Convergence of Nonlinear Models of the Theory of Shells with Thickness Decrease, AIP Conference Proceedings, 2016. Vol. 1738, №160006.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1975. 631 с.

8. Кабриц С.А., Терентьев В.Ф. О численном построении диаграмм нагрузка-перемещение в одномерных нелинейных задачах теории стержней и оболочек // Актуальные проблемы нелинейной механики сплошных сред, 1977. Вып. 1. С. 155-171.

9. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 312 с.

10. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1987. 352 с.

11. Белкин А.Е., Семенов В.В., Семенов В.К. Численный анализ больших плоский деформаций арочного амортизатора // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. №2. С. 55-64.

12. Белкин А.Е., Хоминич Д.С. Расчет больших деформаций арочного амортизатора с учетом объемной сжимаемости резины // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. №2. С. 3-11.

Размещено на Allbest.ru