Решение обратных задач прочности тонкостенных конструкций градиентным методом с привлечением сопряженных систем уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Решение обратных задач прочности тонкостенных конструкций градиентным методом с привлечением сопряженных систем уравнений

05.07.03 - прочность и тепловые режимы летательных аппаратов;

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Валитова Наталья Львовна

Казань 2009

1. Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. В области прочности летательных аппаратов в настоящее время по-прежнему остаются актуальными вопросы, связанные с определением диаграмм деформирования материалов элементов тонкостенных конструкций. Эти диаграммы могут быть известны, но получены в результате испытания образцов на простые виды нагрузок. Прочностные же свойства материалов элементов реальных тонкостенных конструкций могут отличаться от свойств образцов, вследствие того, что элементы реальных тонкостенных конструкций как с точки зрения закрепления, так и нагружения, работают в более сложных условиях. Кроме того, имеющиеся диаграммы могут быть несколько «идеализированными» (без упрочнения, с линейным упрочнением и др.).

Таким образом, возникает вопрос о разработке методики построения диаграмм деформирования не для образцов, а для элементов реальных авиаконструкций.

Указанная задача относится к классу обратных задач. Одним из эффективных методов решения обратных задач является градиентный метод с привлечением уравнений сопряженного состояния.

Цель работы. Целью данной работы является разработка расчетно-экспериментального метода, алгоритмов и программного обеспечения для анализа свойств и оценивания состояния тонкостенных каркасированных конструкций.

Задачи работы.

1. Разработка алгоритма решения обратных задач прочности тонкостенных конструкций в экстремальной постановке.

2. Разработка программного обеспечения в специализированных системах компьютерной математики для решения обратных задач прочности тонкостенных конструкций.

3. Апробация разработанных алгоритма и программного обеспечения при решении прикладных задач с реальными исходными данными.

Методы исследования. При выполнении разработки применены: математическая теория вариационного исчисления, метод наименьших квадратов, метод неопределенных множителей Лагранжа, градиентный метод для минимизации функционала качества, метод интегрирующих матриц для численного решения системы дифференциальных уравнений, метод редукционных коэффициентов В.Н. Беляева для решения прямых задач прочности в нелинейной постановке. В качестве математической модели была выбрана система дифференциальных уравнений равновесия тонкостенной конструкции типа крыла, фюзеляжа Ю.Г. Одинокова.

Научная новизна. Развитие экстремальных методов решения обратных задач прочности тонкостенных конструкций. Создание алгоритмов и программного обеспечения для решения задачи восстановления диаграмм деформирования материалов элементов тонкостенных конструкций с различным видом нагружения.

Положения, выносимые на защиту. В диссертации выносятся на защиту следующие основные положения:

1. Метод и алгоритм решения задачи восстановления диаграмм деформирования материалов элементов тонкостенных конструкций в экстремальной постановке.

2. Функционал цели, обеспечивающий минимум квадрата невязки осевых деформаций (теоретических и экспериментальных), а также выполнение условия равновесия каждого ребра и прилегающих к нему панелей обшивки.

3. Применение вспомогательной системы линейных уравнений, сопряженной к исходным нелинейным уравнениям равновесия, упрощающее поиск градиента целевого функционала.

4. Использование различных компьютерных систем для решения поставленной задачи.

Практическая ценность. Предлагаемая методика может быть использована для уточнения физико-механических параметров конструкции по данным натурного прочностного эксперимента. Для решения задачи создано программное обеспечение в специализированных системах компьютерной математики: Matlab, Mathcad. На его базе может быть создан комплекс программ для восстановления диаграмм деформирования материалов элементов тонкостенных конструкций.

Апробация работы. Основные пункты диссертационной работы докладывались на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.), в КГТУ им. А.Н. Туполева на XIII и XIV Туполевских чтениях (Казань, 2005 и 2006 г.г.), в НГТУ на VII Всероссийской научно-технической конференции (Новосибирск, 2006 г.), на VIII Королевских чтениях (Самара, 2005 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 научных работ, в том числе 2 статьи и 4 тезиса докладов.

2. Основное содержание диссертации

Во введении дается краткий обзор научной литературы, посвященный данной проблеме, рассматриваются основные проблемы решения обратных задач применительно к области прочности конструкций ЛА.

В первой главе в первом разделе дается общая постановка задачи восстановления переменных параметров упругости материалов тонкостенных конструкций.

Во втором разделе дается понятие прямых и обратных задач, в том числе обратных задач прочности летательных аппаратов, рассматриваются возможные типы обратных задач. Отмечается математическая особенность обратных задач - некорректность по Ж. Адамару.

Обратные задачи прочности летательных аппаратов делятся на два основных типа. В первом случае при известных из эксперимента напряженно-деформированном состоянии конструкции и физико-механических параметрах конструкции необходимо найти нагрузки, вызвавшие это напряженно-деформированное состояние. Во втором случае известны нагрузки и напряженно-деформированное состояние и, решая обратную задачу, можно уточнить физико-механические параметры конструкции, например, распределение жесткостей, масс, изменения модуля упругости или сдвига.

В третьем разделе проводится обзор методов решения обратных задач. Эффективной является постановка обратной задачи как задачи оптимального управления. Использование при решении так называемых сопряженных систем уравнений позволяет значительно сократить вычислительные и временные ресурсы.

Во второй главе рассматривается математическая модель Ю.Г. Одинокова, используемая для описания поведения тонкостенных конструкций типа крыла, фюзеляжа и других, имеющих продольный и поперечный силовой набор, для которых существенны явления поперечного сдвига и депланации сечений. Силовая схема конструкции состоит из сетки ребер жесткости (с присоединенными к ним полосками обшивки), работающей на нормальные напряжения, и обшивки контура (в том числе стенки лонжеронов), воспринимающей сдвиги (рис. 1).

Рис. 1. Типовая схема тонкостенной конструкции

Система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих искажения конструкции постоянного сечения, имеет вид:

(1)

Здесь n - количество ребер в конструкции; f_i _ перемещение i-го ребра; _ деформация i-го ребра, E_i - модуль упругости материала i-го ребра, F_i - площадь поперечного сечения i-го ребра.

Коэффициенты , зависящие от модуля сдвига G в панелях и коэффициенты , являющиеся нагрузочными членами, определяются по формулам:

,

где _i,_i - коэффициенты, характеризующие работу обшивки на сдвиг.

Краевые условия системы дифференциальных уравнений (1) определяются в зависимости от способа заделки и загрузки конструкции. Например, если сечение z=0 жестко закреплено, а сечение z=l загружено осевыми силами P_i, то краевые условия имеют вид:

(2)

Модель Ю.Г. Одинокова не учитывает того, что некоторые панели выпучиваются при сдвиге. В этом случае следует рассматривать некоторый условный модуль сдвига.

В третьем разделе приводится математическая постановка обратной задачи как задачи оптимального управления.

Дано:

1)геометрия конструкции, прочностные характеристики материалов ребер жесткости и панелей обшивки;

2)внешняя нагрузка, прикладываемая к конструкции;

3)перемещения и деформации ребер, полученные в ходе эксперимента.

Требуется минимизировать функционал

(3)

при условии, что , , удовлетворяют уравнениям равновесия (1)-(2), записанным в матричном виде:

(4)

Функционал цели, минимум которого необходимо достичь за счет выбора управляющих параметров и , обеспечивает минимум квадрата невязки осевых деформаций (теоретических и экспериментальных), а также, за счет g_k, выполнение условия равновесия каждого ребра и прилегающих к нему панелей обшивки.

В формуле (3) r_k = const > 0 - параметры штрафа за нарушение условий равновесия k-го ребра: g_k(,)=0, где g_k определяются по формуле:

- семейство зависимостей модуля сдвига от управляющих параметров и экспериментально найденных перемещений;

Величины и их производные (согласно п.3 исходных данных), помеченные волной, предполагаются известными из эксперимента, т.е. заданными величинами при минимизации функционала цели.

- вектор перемещений продольных силовых элементов (стрингеров, полок лонжеронов), n - количество продольных силовых элементов, C(.f') - вектор-функция от z с координатами по контуру оболочки:

A(,f) - вектор-функция от z с координатами по контуру оболочки:

- коэффициент, характеризующий работу обшивки на сдвиг; - вектор внешних сил.

Предполагается, что продольные силовые элементы с присоединенной обшивкой работают на нормальные напряжения при нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями, которая представляется в следующем виде:



где - константа, характеризующая упругие свойства материала при работе на растяжение-сжатие (модуль упругости I рода); - вектор управляющих параметров, задающий семейство зависимостей E от f', - допустимое множество.

Для обшивки также принимается нелинейная зависимость между напряжениями и деформациями

Здесь - константа, характеризующая упругие свойства материала при работе на сдвиг (модуль упругости II рода); - вектор управляющих параметров, задающий семейство зависимостей G от f, - допустимое множество, m - количество панелей обшивки в сечении.

На параметры и накладываются ограничения, исходя из реального хода диаграмм деформирования материалов в осях - и -.

Во второй главе описывается подход к решению поставленной задачи. Задача условной минимизации (3)-(4) сводится к безусловной с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. Полученную задачу предлагается решать градиентным методом с использованием сопряженных систем уравнений для нахождения градиентов функционала. Уравнения сопряженного состояния, выведенные из исходной системы (4), имеют вид:

где - диагональная матрица с i-м диагональным элементом, равным:

- матрица с (i,j)-м элементом, равным

- матрица, транспонированная к ;

при z = l;

при 0 < z < l.

F и получены из вариации в предположении, что значения f и производных f' во втором слагаемом J, отвечающем за равновесие отдельных стрингеров и прилегающей обшивки, являются фиксированными.

В четвертом разделе подробно описываются уравнения сопряженного состояния и приводится полный вывод формул для вычисления матриц коэффициентов при неизвестных.

В пятом разделе содержится вывод формул для нахождения градиентов целевого функционала. Эффективный по скорости вычислений и точности метод расчета J' основывается на использовании решения сопряженной задачи по формулам:

 - вектор-функция размерности m;

- вектор-функция размерности s;

Здесь - вариации функционала цели;

- матрица размерности nm с элементами ;

- матрица размерности ns с элементами ;

- матрица, сопряженная (транспонированная) к .

В шестом разделе приводится алгоритм решения задачи восстановления диаграмм деформирования.

В седьмом разделе содержатся рекомендации по выбору начального приближения искомых параметров с использованием диаграмм деформирования образцов.

В третьей главе проводится обзор компьютерных систем для численного решения обратных задач, а также решение задачи восстановления диаграмм деформирования для различных конструкций с различным видом нагружения. Для численного решения систем дифференциальных уравнений (Ю.Г. Одинокова, сопряженных систем) используется метод интегрирующих матриц.

На основе анализа различных компьютерных систем для математических и инженерных расчетов был сделан выбор в пользу двух систем: Mathcad и Matlab. Основное преимущество Mathcad в том, что запись команд в системе Mathcad на языке, очень близком к стандартному языку математических расчётов, упрощает постановку и решение задач. Однако для организации сложных алгоритмов следует отдать предпочтение системе Matlab, которая является высокоэффективным средством для решения широкого спектра вычислительных задач и моделирования сложных процессов.

В системе Mathcad была решена задача восстановления параметров упругости ребер квадратного кессона с осевой нагрузкой на два противоположных ребра (рис. 2). Описание решения и результаты представлены в разделе 3.2.

С помощью разработанного комплекса был произведен расчет при следующих исходных данных: длина кессона l=1 м; ширина панели s=0.15 м; площадь поперечного сечения ребра F=0.0003 м²; толщина панели =0,001 м (для всех панелей).

Для получения экспериментальных значений деформаций и перемещений ребер была решена прямая задача с применением метода переменных параметров упругости В.Н. Беляева. Расчет был произведен при уровне нагрузки P=80000 H. При заданном уровне и виде нагрузки касательные напряжения обшивки конструкции находятся в линейной зоне заданной диаграммы деформирования. А для ребер происходит выход за пределы линейной зоны.

Рис. 2. Квадратный кессон с осевой нагрузкой на противоположные ребра

Полученные значения использовались в качестве исходных данных для решения обратной задачи. Значения параметра в начальном приближении задавались по диаграмме без упрочнения. В процессе решения обратной задачи параметр уточнялся. В таблице 1 приведены значения параметра в начальном и в последнем приближении.

Таблица 1 Значения параметра

Сечение z, см	Значение в первом приближении	Значение в последнем приближении
	Ребро 1	Ребро 2	Ребро 1	Ребро 2
0	0	0	0	0
10	0	0	0	0
20	0	0	0	0
30	0	0	0	0
40	0	0	0,00001	-0,00001
50	0	0	0,00003	-0,00003
60	0	0	0,00016	-0,00016
70	0	0	0,00062	-0,00063
80	0,17667	0	0,14554	-0,00217
90	0,10049	0	0,07836	-0,00075
100	0,059306	0	0,04485	0

С помощью созданного пакета документов Mathcad, реализующего методику, описанную во второй главе, были получены значения искомых значений модулей упругости и напряжений ребер (рис. 3).

Значение целевого функционала в первом приближении составило 1,31110^-6. В процессе минимизации произошло 7 итераций, и на седьмой итерации значение целевого функционала снизилось до 7,74210^-10. График изменения целевого функционала по итерациям представлен на рис. 4.

Градиенты целевого функционала по параметру в ребре 1 изменялись согласно графику на рис. 5.

Для оценки чувствительности решения к погрешности исходных данных был произведен расчет с искажениями на 3%, 5% и 7%. Анализ показал, что погрешность решения _ того же порядка, что и погрешность исходных данных (рис. 6).



Рис. 3. Нормальные напряжения ребра 1

Рис. 4. График изменения целевого функционала по итерациям



Рис. 5. Градиенты целевого функционала по параметру в ребре 1

Рис. 6. Нормальные напряжения ребра 1 при искажении исходных данных на 7%

В системе Mathcad была решена задача восстановление модулей сдвига панелей обшивки четырехпоясного квадратного кессона, нагруженного крутящим моментом (рис. 7).

Рис. 7. Квадратный кессон, нагруженный крутящим моментом

С помощью разработанного комплекса был произведен расчет при следующих исходных данных: длина кессона l=1 м; ширина панели s=0.15 м; площадь поперечного сечения ребра F=0.0003 м² (для всех ребер); толщина панелей: ₀=₂=0,001 м; ₁=₃=0,002 м.

При решении прямой задачи задавались диаграммы деформирования такие же, как и в предыдущей задаче. Расчет был произведен при уровне нагрузки M_z=100000 Нм. При заданном уровне и виде нагрузки нормальные напряжения ребер конструкции находятся в линейной зоне заданной диаграммы деформирования. А для обшивки происходит выход за пределы линейной зоны. Для получения касательных напряжений при решении прямой задачи применялся метод переменных параметров упругости В.Н. Беляева. Полученные значения использовались в качестве исходных данных для решения обратной задачи.

Значения параметра в начальном приближении задавались по диаграмме без упрочнения. В процессе решения обратной задачи параметр уточнялся. В таблице 2 приведены значения параметра в начальном и в последнем приближении.

Таблица 2 Значения параметра

Сечение z, см	Значение в первом приближении	Значение в последнем приближении
	Панель 1	Панель 2	Панель 1	Панель 2
0	0	0	0	0
10	0	0	0	0
20	0,015030	0	0,009469	0
30	0,034467	0	0,021258	0
40	0,047074	0	0,028690	0
50	0,055304	0	0,033475	0
60	0,060686	0	0,036584	0
70	0,064156	0	0,038583	0
80	0,066298	0	0,039814	0
90	0,067462	0	0,040483	0
100	0,067836	0	0,040698	0

По значениям параметра были рассчитаны значения искомых модулей сдвига и касательных напряжений панелей обшивки (рис. 8).

Рис. 8. Касательных напряжения панели 1

Значение целевого функционала в первом приближении составило 8,9510^-8. В процессе минимизации произошла 31 итерация, на которой значение целевого функционала снизилось до 1,1810^-23. График изменения целевого функционала по итерациям представлен на рис. 9.

Рис. 9. График изменения целевой функции по итерациям

Градиенты целевого функционала по параметру в панели 1 изменялись согласно графику на рис. 10.

Для оценки чувствительности решения к погрешности исходных данных был произведен расчет с искажениями на 1%, 3% и 5%. Анализ показал, что погрешность решения _ того же порядка, что и погрешность исходных данных (рис. 11).

В системе Matlab была решена задача восстановления модулей упругости ребер слабоконического кессона, нагруженного изгибающей силой (раздел 3.4).



Рис. 10. Градиент целевой функции по параметру для панели 1

Рис. 11. Касательных напряжения панели 1 при искажении исходных данных на 3%

Итак, имеется слабоконический кессон, один конец которого жестко закреплен, а к другому приложена поперечная нагрузка Q_y = 2697 H (рис. 12). Продольный набор кессона выполнен из прессованных профилей марки Д16Т: лонжероны - ПР101-41, стрингеры - ПР100-4, обшив ка - из листа Д16Т толщиной 2 мм. Ребра жесткости пронумерованы от 0 до 13 по часовой стрелке. Номера некоторых ребер указаны на рисунке жирным шрифтом. Ребра 0, 6, 7, 13 являются лонжеронами, остальные - стрингерами. Габаритные размеры кессона на рисунке указаны в миллиметрах.

Рис. 12. Слабоконический кессон с приложенной изгибающей силой

В данном случае градиентный метод давал медленную сходимость и для решения задачи пришлось реализовать эвристический овражный метод. Проведя 36 итераций, нам удалось снизить функционал цели до 4,5810-⁸. Результаты решения для ребер 1 (сжатая зона) и 13 (растянутая зона) приведены в таблице 3.

Таблица 3 Восстановленные значения теоретических деформаций и параметра для ребер 1 и 13

Номер сечения	Деформации	Параметр
	экспериментальные	теоретические
	ребро 1	ребро 13	ребро 1	ребро 13	ребро 1	ребро 13
0	-0,0176	0,0187	-0,0177	0,0187	0,3039	0,3280
1	-0,0160	0,0156	-0,0160	0,0156	0,2842	0,2493
2	-0,0131	0,0135	-0,0131	0,0135	0,2285	0,1948
3	-0,0114	0,0111	-0,0113	0,0111	0,1904	0,1348
4	-0,0092	0,0093	-0,0091	0,0093	0,1357	0,0913
5	-0,0076	0,0075	-0,0076	0,0075	0,0808	0,0515
6	-0,0056	0,0056	-0,0056	0,0057	0,0190	0,0232
7	-0,0044	0,0044	-0,0044	0,0044	0,0078	0,0337
8	-0,0029	0,0029	-0,0029	0,0029	0,0049	0,0339
9	-0,0015	0,0014	-0,0014	0,0014	0,0031	0,0155
10	0	0	0	0	0	0

В приведенной таблице сечение 0 соответствует закрепленному концу кессона, сечение 10 - свободному. Экспериментальные деформации, рассчитаны при решении прямой задачи; деформации теоретические и параметр - обратной. По таблице построены соответствующие диаграммы (рис. 13, 14).

Рис. 13. Диаграммы прямая и восстановленная для ребра 1

Рис. 14. Диаграммы прямая и восстановленная для ребра 13

Пунктирными линиями указаны диаграммы, заложенные при решении прямой задачи, сплошными - полученные в результате решения обратной.

Сравнительный анализ диаграмм деформирования, заданных при решении прямой задачи и полученных при решении обратной задачи позволяет сделать вывод о работоспособности предложенной методики.

тонкостенный деформирование деформирование прочность

Заключение

1. Разработан оптимизационный подход к решению обратных задач прочности тонкостенных конструкций.

2. Применен градиентный метод к решению обратных задач прочности тонкостенных конструкций в экстремальной постановке. Градиенты целевого функционала вычисляются с использованием решения сопряженной системы уравнений.

3. Выведены формулы для вычисления коэффициентов сопряженных уравнений и градиентов целевого функционала.

4. Для решения прикладных задач создано программное обеспечение в специализированных системах компьютерной математики: Matlab, Mathcad.

5. Численно решены прикладные задачи для различных конструкций с различным видом внешнего нагружения.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах

В научных журналах, рекомендованных ВАК:

1. Костин В.А., Валитова Н.Л. О коэффициентах уравнений равновесия при решении задачи восстановления диаграмм деформирования для слабоконических тонкостенных конструкций // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 2007. № 3, С.8-11.

В других журналах и материалах научных конференций:

2. Костин В.А., Валитова Н.Л. О методе решения нелинейной обратной задачи прочности тонкостенной конструкции с помощью сопряженных систем. // Труды VII Всероссийской научно-технической конференции «Наука. Промышленность. Оборона». Новосибирск: НГТУ, 2006 г., С.227-231.

3. Валитова Н.Л. Решение обратной задачи прочности для квадратного кессона. - Тезисы докладов всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «VIII Королевские чтения». Самара: Изд-во СГАУ им. ак. С.П. Королева, 2005 г., С.83.

4. Валитова Н.Л. К расчету кессона за пределом пропорциональности. - Международная молодежная научная конференция, посвященная 1000-летию города Казани. Тезисы докладов XIII Туполевских чтений. Казань: Изд-во КГТУ им. А.Н. Туполева, 2005 г., С.16-17.

5. Костин В.А., Валитова Н.Л. Решение обратной задачи прочности для кессона тонкостенной конструкции. IX всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, T.III. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, 2006 г., С. 53.

6. Валитова Н.Л. О выборе начального приближения параметров при решении задачи восстановления параметров упругости элементов тонкостенной конструкции. Международная молодежная научная конференция. Тезисы докладов XIV Туполевских чтений. Казань: Изд-во КГТУ им. А.Н. Туполева, 2006 г., С. 28-30.

Размещено на Allbest.ru

...