Исследование модели Жуковского

Размещено на http://www.allbest.ru/

Институт Физико-математических и естественных наук, направление прикладная метаматематика и інформатика Благовещенский Владимир Валерьевич, кандидат физико-математических наук профессор

Костромской Государственный Университет

Исследование модели Жуковского

Кузнецов Евгений Николаевич

Птицы при полете не всегда машут крыльями. Подобный тип полета называется -- парение. Птицы плавно скользят на распластанных крыльях, спускаясь вниз, но могут и взмывать вверх без затраты мускульной силы, используя для этого энергию восходящих потоков воздуха. Оставалось только найти способ дающий возможность скользить по воздуху. Парением называется такой вид полета птицы, при котором она не машет крыльями.

Жуковский Н.Е. проникся парением птиц, предложив собственную теорию крыла, которая стала основой зарождения воздухоплавания и авиации. Именно крылья позволяют держаться телу в воздухе. Жуковский очень вдохновлялся полетами Отто Лилиенталя, посещал его полеты на собственноручно построенном планере.

По предложенной модели Жуковского будет строиться собственная модель, в ее основе задача Жуковского. Построив, произведем исследование траектории полета при изменении параметров сделать вывод от полученных результатов. планер полет двигатель тяга

Актуальность:

Построение модель дает возможность представления определенных аспектов и получения ответов на изучаемые вопросы. Модель планера необходима для получения траектории полета. Данная модель поможет изучить зависимость траектории полёта планера, как безмоторного, так и с двигателем. Задав параметры планера, мы получим результат расчетов программы, представленные графически, что и будет являться траекторией полета.

Тяга - сила, выработанная двигателем. Она толкает самолет сквозь воздушный поток. Единственное, что противостоит тяге - лобовое сопротивление. В прямолинейном горизонтально установившемся полете они сравнительно равны. Тяга - один из самых важных факторов для определения скороподъемности самолета, а именно насколько быстро ЛА может подняться на определенную высоту.

Подъёмная сила -- составляющая полной аэродинамической силы, перпендикулярная вектору скорости движения тела в потоке жидкости или газа, возникающая в результате несимметричности обтекания тела потоком.

Согласно теореме Жуковского, величина подъёмной силы пропорциональна плотности среды, скорости потока и циркуляции скорости потока.

Угол атаки самолета (общепринятое обозначение -- альфа) -- угол между направлением скорости набегающего на тело потока и характерным продольным направлением, выбранным на теле, например у самолета это будет хорда крыла.

При рассмотрении именно крыла самолета следует различать угол атаки и угол скольжения (находится в нормальной плоскости к углу атаки).

Угол атаки крыла (несущей поверхности летательного аппарата) является одной из ключевых характеристик в эксплуатации летательного аппарата и при решении задач динамики полета. Угол атаки влияет на подъемную силу крыла, находясь с ней в прямой пропорциональности.

Мёртвая петля -- в авиации фигура сложного пилотажа в виде замкнутой петли, известная также как «петля Нестерова».

Представляет собой замкнутую петлю в вертикальной плоскости. Петля называется «правильной», если все точки её траектории лежат в одной вертикальной плоскости.

Согласно определению, планер, или планёр -- безмоторный летательный аппарат тяжелее воздуха, поддерживаемый в полете за счет аэродинамической подъемной силы, создаваемой на крыле набегающим потоком воздуха. Но возможно добавить планеру и собственную силу тяги пропеллер или двигатель, которая будет толкать планер сквозь воздушную среду.

В основе модели лежит второй закон Ньютона, и задача Жуковского при учете силы тяги примет вид:

ma=mg+Fn+Fc+Ft

В проекциях на оси координат будем иметь:

max=-(сScyvvy)/2-(сScxvvx)/2+(Fvx)/v

may=-mg+(сScyvvx)/2-(сScx vvy)/2+(Fvy)/v

Переписываем систему уравнений в удобном виде:

ax=-bvvy-cvvx+(fvx)/v

ay=-d+bvvy-cvvy+(fvy)/v

Где: b=с•S•cy/(2•m), c=с•S•cx/(2•m), d=g, f=F/m.

Переписываем систему дифференциальных уравнений второго порядка, как систему четырех уравнений первого порядка:

xx

vxy-cvvx+(fvx)/v

yy

vyx-cvvy+(fvy)/v

Решив данную систему уравнений методом Рунге-Кутта, имеем следующий вектор первых производных:

E(t,x)=-b•v((x1 )2+(x3 )2•x3)-c•v((x1 )2+(x3 )2•x1)+f•x1/v((x1 )2+(x3 )2)

-d+b•v((x1)2+(x3)2)•x1-c•v((x1)2+(x3 )2)•x3+f•x3/v((x1 )2+(x3 )2)

Численное решение систем дифференциального уравнения представляется в виде таблицы (матрицы) из двух столбцов с номерами 0,1,2, в которых размещаются значения x и y. При построении графика у осей координат указываются наименования столбцов (Z3 и Z1) или номера строк таблицы n=0..nt соответствующие шагам алгоритма.

Сразу поясним, за счет чего летит планер. Двигатель сообщает планеру такую скорость, что подъёмная сила крыла достигает веса самолёта и может даже превосходить, за счет этого планер взлетает.

Исследуем траекторию движения планера с двигателем. Будем рассматривать модель планера массой 35 кг, с площадью крыльев 1,6 метра, при нормальных условиях окружающей среды. Планер запускается с земли со скоростью 20 м/с. Для начала запустим планер без собственной силы тяги. Получим:

Рис.1. Траектория планера без силы тяги

Получаем траекторию полёта планера (рис.1) 62 метра. По графику видно, что планер набирал высоту под действием заданной скорости, а после планировал вниз.

Добавив же силу тяги в 85 Н, получим:

Рис.2. Траектория при 85 Н

При заданной силе тяги мы наблюдаем траекторию (рис.2) планера постепенно набирающего высоту и пролетающего большее расстояние. После запуска набрав высоту больше 10 метров планер начал планирование, но при учете силы тяги он набирает скорость быстрей, что в следствии увеличивает подъемную силу и планер снова набирает высоту. Заметим, что он продолжает набирать высоту это значит, что сила тяги достаточна, чтобы самостоятельно разгонять планер.

А увеличив силу тяги до 200Н получим:

Рис. 3 Траектория планера выполняющего «мертвую» петлю

По полученной траектории (рис.3) полета мы наблюдаем петлю, так же называемую «мертвой» или петлей Нестерова. Скорость планера уменьшается до наивысшей точки петли, а после снова возрастает, углы атаки так же начинают увеличиваться, потом становятся постоянными почти до высшей точки петли, потом снова уменьшаются.

До сего времени, вряд ли найдется у нас хоть одна конструкция, в создании которой не принял бы участия творческий гений Жуковского: он оставил после себя труды, без которых не обходится ни один конструктор. Данная модель помогла наглядно увидеть зависимость траектории от изменения силы тяги.

Заключение

Решив данное уравнение и построив в приложении Mathcad модель, удалось изучить влияние на траекторию полета силы тяги двигателя.

В ходе исследования менял сила тяги и получал траекторию полета планера от заданной силы. Вывод следует, что сила тяги разгоняет планер. Чем выше сила тяги, тем большую скорость набирает планер, за счет увеличения скорости увеличивается подъемная сила на крыло, что приводит к набору высоту планера, так как подъемная сила выравнивается с весом планера и даже превосходит. При достаточной силе двигателя, разгон планера приводит к увеличению углов атаки, что приводит планер к выполнению «мертвой» петли. Когда разгон планера под действием силы тяги стремительно увеличивается, приводит к неоднократным выполнениям петель Нестерова.

Аннотация

Работа посвящена теме исследование модели Жуковского. Как известно построение модели дает возможность получения ответов на изучаемые вопросы. Демонстративно показывая траекторию планирования с учетом необходимых параметров. Основная цель составить и решить уравнение с учетом силы тяги, построить модель и изучить.

The paper is devoted to the study of Zhukovsky's model. As is known, the construction of the model makes it possible to obtain answers to the questions under study. Demonstratively showing the trajectory of planning taking into account the necessary parameters. The main goal is to compose and solve the equation taking into account the traction force, build a model and study.

Размещено на Allbest.ru