Агрегатний багаторівневий метод розв'язування скінченноелементних задач будівельної механіки

Розділ 6 дисертаційної роботи присвячений Рітц - градієнт методу. Це оригінальна розробка автора, яка опублікована у [11]. Рітц-градієнт метод -- це наближений метод визначення нижніх частот та форм власних коливань, що не вимагає факторизації матриці жорсткості. В багатьох випадках при розв'язуванні реальних задач достатньо отримати наближені значення частот і форм, що значно економить час аналізу.

Рітц-градієнт метод -- то метод Рітца, у якому базисні вектори визначаються на підставі градієнтного підходу при мінімізації частки Релея. Агрегатне багаторівневе передобумовлення застосовується для того, щоб підсилити наближення векторів Рітца до нижніх власних форм коливань. Алгоритм методу представлений нижче.

Ефективність Рітц-градієнт методу в значній мірі залежить від того, наскільки передобумовлення може апроксимувати нижні форми власних коливань. У дисертації сформульовані і доведені наступні властивості.

Властивість 1 встановлює зв'язок Рітц-градієнт методу з методом Ланцоша у випадку граничного переходу , а властивість 2 допомагає краще зрозуміти взаємодію МСЕ моделі з агрегатною моделлю у процесі генерації базисних векторів.

Розглядається МСЕ модель реального будинку (рис. 12), яка містить 19 409 вузлів, 19 475 скінченних елементів та 115 362 рівнянь. На рис. 13 -- 15 показані перші три форми коливань.

Похибка частот, визначених Рітц-градієнт методом (Ritz), обчислюємо як, .

Застосування поелементного методу зборки матриці жорсткості агрегатної моделі та технології розріджених матриць для її факторизації дозволило утримати один рівень агрегації (55 452 рівняння для прямого розв'язання, 4 внутрішні ітерації). Похибка для перших 10 частот не перевищила 1.5%, що для класу методів Рітца кваліфікується як відмінний результат.

Сучасні сейсмічні норми вимагають утримувати у сейсмічному аналізі стільки власних форм, щоб сума модальних мас по кожному напрямку сейсмічного входу була б не менше, ніж 90%. Модальною масою для форми коливань та сейсмічному напрямку називається величина , де ( - глобальні вісі координат); , - вектор, у якому на позиціях поступового руху у напрямку стоять одиниці, а інші компоненти дорівнюють нулю; - загальна рухлива маса системи вздовж напрямку . Сума модальних мас у напрямку має таку властивість: , де - загальна кількість ступенів свободи динамічної моделі, яка для розглянутої задачі складає близько 65 000. При застосуванні методу модальної суперпозиції звичайно уживають відносно невелику кількість мод . Тоді , а різниця є мірою похибки, зв'язаної з зрізанням.

Особливість розглянутої задачі полягає в тому, що у нижній частині спектра розташовані переважно локальні форми коливань, які дають дуже малий внесок у сейсмічну реакцію системи. Для таких задач буває дуже важко виконати вимоги сейсмічних норм, тому що треба утримувати велику кількість власних форм коливань. Для даної задачі, щоб забезпечити у горизонтальних напрямках () суму модальних мас не меншу ніж 90%, а у вертикальному - не меншу, ніж 75%, довелося визначити 126 власних пар, що на комп'ютері Pentium III (процесор Intel 600 МГц) блоковим методом Ланцоша із зсувами зайняло 2 г 12 хв.

Особливість Рітц-градієнт методу полягає в тому, що внаслідок накладання жорстких в'язей при утворенні агрегатної моделі виникає тенденція виключення локальних форм із розрахункової моделі. Тому цей метод, який обчислює вектори Рітца замість власних векторів, звичайно вимагає істотно менше векторів, ніж методи, які обчислюють власні пари. У дисертації показано, що вектори Рітца задовольняють умовам ортогональності незалежно від того, із якою точністю вони знайдені. Тому при їх застосуванні система рівнянь руху розпадається на незалежні рівняння так само, як і у випадку методу модальної суперпозиції. Для даної задачі було визначено 80 базисних векторів, причому виявилося, що 48 векторів Рітца, обчислених на їхній підставі, забезпечують достатню суму модальних мас по кожному напрямку. Обчислення тривали 12 хв 49 с, що у 10 разів швидше, ніж при застосуванні блокового методу Ланцоша із зсувами. У дисертації наведено багато інших прикладів, які ілюструють той факт, що для задач великої розмірності Рітц-градієнт метод значно швидший за блоковий метод Ланцоша.

Основні результати роботи і висновки

1. На основі агрегатного багаторівневого передобумовлення розроблено стійке до поганої обумовленості сімейство ітераційних методів для розв'язування великорозмірних задач статики та власних коливань, які виникають при застосуванні МСЕ до задач будівельної механіки та тіл складної форми. Головними особливостями методу, які відрізняють його від агрегатних підходів, відомих раніше, є поелементний метод формування матриці жорсткості агрегатної моделі та багатофронтальний метод її факторизації, розроблений на основі технології розріджених матриць. Ці особливості дозволяють утримувати високу розмірність агрегатної моделі, що забезпечує добре передбачення нижніх мод розв'язання, що вільно збігаються, і високу стійкість до поганої обумовленості.

2. Вперше розроблено узагальнений метод спряжених градієнтів для розв'язування алгебраїчної узагальненої проблеми власних значень (вільні коливання) при застосуванні зсувів в агрегатному багаторівневому передобумовленні, який поєднує достоїнства методу спряжених градієнтів із достоїнствами техніки зсувів. Теоретично обгрунтовано і підтверджено чисельними прикладами, що впровадження відповідно вибраних зсувів покращує спектральні властивості передобумовлення і прискорює збіжність. Установлено зв'язок поміж градієнтними методами із зсувами з методом ітерації зворотною матрицею із зсувами. Показано, що узагальнений метод спряжених градієнтів із зсувами у агрегатному багаторівневому передобумовленні дозволяє подолати ефект замикання збіжності, яким часто страждає класичний метод спряжених градієнтів із передобумовленням.

3. Розроблено Рітц-градієнт метод, призначений для наближеного визначення частот та форм власних коливань. Це метод Рітца, у якому базисні вектори створюються на підставі градієнтного методу при мінімізації частки Релея. Застосування агрегатного багаторівневого передобумовлення значно покращує апроксимацію нижніх форм власних коливань. Установлено зв'язок поміж Рітц-градієнт методом та методом Ланцоша з повною реортогоналізацією. Математично обгрунтовано і підтверджено чисельними прикладами, що чим краще агрегатна модель передбачає нижні форми власних коливань, тим ближче базисні вектори до векторів Ланцоша МСЕ моделі, і тим краще знайдені пари Рітца апроксимують власні пари. Метод не вимагає факторизації матриці жорсткості, яка для задач високої розмірності стає дуже коштовною. Показано, що Рітц-градієнт метод демонструє достатню для інженерних розрахунків точність і високу швидкість.

4. Показано також, що вектори Рітца, визначені на підставі Рітц-градієнт метода, мають більшу інформативність для визначення сейсмічної реакції системи, ніж форми власних коливань. Тому Рітц-градієнт метод при розрахунках на сейсміку звичайно значно ефективніший, ніж методи, які визначають власні пари. Особливо це стосується задач, коли у нижній частині спектра знаходиться велика кількість локальних форм коливань, внесок яких у сейсмічний рух системи дуже малий.

5. Порівняння ефективності агрегатного багаторівневого методу з ітераційними методами іменитих програм (метод спряжених градієнтів із тим чи іншим передобумовленням) та з агрегатним методом В.Є. Булгакова показало, що за рахунок високого порядку моделі грубого рівня представлений у дисертації метод дозволяє значно швидше і за меншу кількість ітерацій отримати розв'язки. Це свідчить про високу стійкість розробленого передобумовлення до поганої обумовленості.

6. Методи, представлені у дисертаційній роботі, дозволили істотно підвищити розмірність МСЕ моделей, що дало змогу підняти точність та достовірність результатів, скоротити терміни МСЕ аналізу та підвищити якість виконання проектів за рахунок того, що у проектувальника з'явилась можливість за той же час виконати кілька варіантів розрахунку, не підвищуючи потужність комп'ютера та не застосовуючи коштовні технології паралельних обчислень. Практично вперше вдалося настільки підвищити стійкість до поганої обумовленості, що представлені ітераційні методи виявилося можливим успішно застосовувати до масового аналізу таких погано обумовлених задач, як сучасні МСЕ моделі багатоповерхових будинків.

7. Представлені у дисертації методи доведені до такого рівня надійності, який дозволив впровадити їх у МСЕ програми масового використання Robot Millennium та SCAD, у яких вони пройшли серйозну перевірку численними користувачами як на території України, так і у багатьох країнах світу.

Основний зміст дисертації викладено у таких публікаціях.

1. Колебания ребристых оболочек вращения / Амиро И.Я., Заруцкий В.А., Ревуцкий В.Н., Скосаренко Ю.В., Фиалко С.Ю. К.: Наукова думка, 1988, 169 с.

2. Фиалко С.Ю. Сопоставление прямых и итерационных методов решения больших конечно-элементных задач строительной механики. В кн. Перельмутер А.В., Сливкер В.И., Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. Издание второе, К.: Сталь, 2002. C. 552 569.

Фиалко С.Ю. О решении обобщенной проблемы собственных значений. В кн. Перельмутер А.В., Сливкер В.И., Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. Издание второе, К.: Сталь 2002, C. 570--597.

3. Фиалко С.Ю. Метод вложенных подконструкций для решения больших конечно-элементных систем в применении к расчету тонкостенных оболочек с высокими ребрами// Прикл. Механика, 2003. Т. 39, №3. С. 88-96.

4. Фиалко С.Ю. Применение современных вычислительных технологий к расчету многоэтажных зданий// Вісник Одеської державної академії будівництва та архітектури. 2003, випуск 9. С. 189 193.

5. Фиалко С.Ю. Агрегатный многоуровневый метод конечных элементов со сдвигами для решения задач собственных колебаний// Збірник наукових праць Придніпровської державної академії будівництва та архітектури та Варшавського технічного університету. 2003, №11. С. 249 256.

6. Фиалко С.Ю. Агрегатный многоуровневый метод конечных элементов для анализа больших задач - моделей строительных зданий и сооружений.// Вісник Одеського національного морського університету. 2003, №10. C. 112 118.

7. Перельмутер А.В., Карпиловский В.С., Фиалко С.Ю., Егупов К.В. Опыт реализации проекта МСН СНГ “Строительство в сейсмических районах” в программной системе SCAD. //Вісник одеської державної академії будівництва та архітектури. 2003, випуск 9. С. 147 159.

8. Фиалко С.Ю. Некоторые особенности анализа частот и форм собственных колебаний при расчете сооружений на сейсмические воздействия// Вісник Одеської державної академії будівництва та архітектури. 2002, випуск 8. C. 193--201.

9. Криксунов Э.З., Перельмутер А.В., Фиалко С.Ю. Напряженное состояние цилиндрического резервуара с геометрическими дефектами. Вестник ДГАСА 2003, №2, (39) “Будівельні конструкції, будівлі та споруди”. Том. 1, С. 31 36.

10. Fialko S.Yu. The high-performance aggregation element-by-element iterative solver for the large-scale complex shell structural problems// Archives of Civil Eng. 1999, V. 45, №2. P.- 193--207.

11. Fialko S. High-performance aggregation element-by-element Ritz-gradient method for structure dynamic response analysis// Computer Assisted Mechanics Engineering sciences (CAMES). 2000, №7. P. 537--550.

12. Fialko S. Aggregation Multilevel Iterative Solver for Analysis of Large-Scale Finite Element Problems of Structural Mechanics: Linear Statics and Natural Vibrations// R.Wyrzykowski et al. (Eds.): PPAM 2001, LNCS 2328, pp. 663 -670, 2002. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2002.

13. Ищенко Н.Г., Анкянец К.И., Фиалко С.Ю., Скуратовский М.Н., Анкянец Н.Ю. Моделирование напряженно-деформированного состояния строительных конструкций 4-го энергоблока ЧАЭС при запроектной аварии// Науково-технiчний збiрник “Проблеми чорнобильськоп зони вiдчудження” (Мiнiстерство Украпни з питань надзвичайних сiтуацiй та у справах захисту населення вiд наслiдкiв чорнобильськоп катастрофи). 1996, випуск 6. С. 51-58.

14. Фиалко С.Ю. О формах собственных колебаний ребристых конических оболочек// Прикл. Механика. 1984, Т. 20, №11. С. 51--55.

15. Фиалко С.Ю. О формах собственных колебаний несовершенных конических оболочек// Прикл. Механика. 1984, Т. 20, №12. С. 109--112.

16. Фиалко С.Ю. Неустановившиеся колебания ребристых конических оболочек под действием локальных нагрузок// Прикл. Механика. 1987, Т. 23, №6. С. 43--48.

17. Фиалко С.Ю. О местной устойчивости стержней двутаврового сечения, имеющих локальную погибь и работающих в условиях осевого сжатия// - Сопротивление материалов и теория сооружений. 1988, № 53. С.80-85.

18. Фиалко С.Ю. Об одном подходе к определению несущей способности пластинчатых систем, образованных из гибких несовершенных прямоугольных пластинок// Прикл. Механика. 1990, №8. С. 79--84.

19. Фиалко С.Ю. О несущей способности несовершенных подкрепленных прямоугольных пластинок, подверженных действию сжимающих торцевых нагрузок// Прикл. Механика. 1991, Т. 27, №2. С. 73--80.

20. Фиалко С.Ю. Несущая способность тонких прямоугольных пластин с высокими ребрами// Прикл. Механика. 1993, Т. 29, №7. С. 56--59.

21. Фиалко С.Ю. К вопросу о несущей способности тонкостенных подкрепленных призматических складчатых систем// Прикл. Механика. 1995, Т. 31, №8. С. 60--67.

22. Фиалко С.Ю. Несущая способность гибких тонкостенных подкрепленных призматических складчатых систем// Прикл. Механика. 1996, Т. 32, №2. С. 33--40.

23. Фиалко С.Ю., Лумельская И.Г. Определение несущей способности гибких составных призматических складчатых систем с податливыми связями между элементами звеньев// Проблемы прочности.1994, №12. С. 24--30.

24. Фиалко С.Ю. О взаимодействии форм выпучивания при закритическом поведении подкрепленных тонкостенных призматических складчатых систем// Прикл. Механика. 1998, Т. 34, №3. С. 86--90.

У спільній монографії [1] автором написані розділи про власні коливання ребристих конічних оболонок із початковими недосконалостями. У [7] автору належить порівняння ефективності блокового методу Ланцоша з іншими методами при сейсмічному аналізі та необхідність визначення достатньої кількості форм власних коливань на підставі визначення суми модальних мас, у [9] застосування багатофронтального методу до нелінійного аналізу, у [13] аналіз нестаціонарних коливань МСЕ моделі 4-го енергоблоку ЧАЕС під впливом вибухового навантаження методами, розробленими автором у програмі Robot, у [23] розробка методу аналізу несучої здатності призматичних складчастих систем.

Анотація

Фіалко С.Ю. Агрегатний багаторівневий метод розв'язування скінченноелементних задач будівельної механіки. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 05.23.17 - будівельна механіка. Київський національний університет будівництва і архітектури, Київ, 2004.

Дисертація, присвячена розробці сімейства ефективних ітераційних методів розв'язування великорозмірних скінченноелементних задач будівельної механіки (статика і власні коливання). Ці методи, засновані на методі спряжених градієнтів з агрегатним багаторівневим передобумовленням, що розроблене на підставі поелементного підходу формування матриці жорсткості агрегатної моделі та багатофронтального методу її факторизації. Представлені методи демонструють високу стійкість до поганої обумовленості і швидку збіжність.

Розроблено узагальнений метод спряжених градієнтів із зсувами у агрегатному багаторівневому передобумовленні для розв'язування алгебраїчної узагальненої проблеми власних значень (вільні коливання), що дозволяє уникнути замикання збіжності, яким страждає класичний метод спряжених градієнтів.

На підставі градієнтного підходу з агрегатним багаторівневим передобумовленням розроблено Рітц-градієнт метод для наближеного визначення нижніх частот і форм власних коливань, що не вимагає факторизації матриці жорсткості.

Усі розроблені методи доведені до високого рівня надійності, що дозволило застосувати їх у МСЕ програмах масового використання Robot Millennium і SCAD.

Ключові слова. Агрегатне багаторівневе передобумовлення, метод спряжених градієнтів, багатофронтальний метод, розріджена матриця, збіжність, метод скінченних елементів, власні коливання, пролонгування, згладження.

Аннотация

Фиалко С.Ю. Агрегатный многоуровневый метод решения конечно-элементных задач строительной механики. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.23.17 -- строительная механика. Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев, 2004.

Диссертация посвящена разработке семейства высокоэффективных итерационных методов решения конечно-элементных задач строительной механики высокого порядка (статика и собственные колебания). В основу положен метод сопряженных градиентов с агрегатным многоуровневым предобуславливанием. Применение поэлементного подхода к сборке матрицы жесткости модели грубого уровня и многофронтального метода, основанного на технологии разреженных матриц, к ее факторизации позволили достичь высокой устойчивости метода к плохой обусловленности.

В предисловии обоснованы актуальность, научная новизна, практическое значение, представлена апробация и дана общая характеристика работы.

В первом разделе изложены причины роста размерности расчетных МКЭ моделей и причины плохой обусловленности, характерной для расчетных моделей задач строительной механики. Приведен обзор работ, посвященных прямым и итерационным методам решения большеразмерных МКЭ задач статики и собственных колебаний, проанализировано состояние вопроса, из которого следует, что в силу плохой обусловленности многие задачи строительной механики не удается решать итерационными методами. Следовательно, создание устойчивых к плохой обусловленности итерационных методов позволит существенно повысить размерность решаемых задач и сократить сроки проектирования, не наращивая вычислительной мощности (а значит, стоимости) компьютеров и не переходя к технологии дорогостоящих параллельных вычислений.

Во втором разделе отмечается, что разработанное семейство методов в основном применяется к пространственным расчетным моделям, имеющим шесть степеней свободы в узле (три перемещения и три угла поворота), а также практически ко всем типам конечных элементов, которые широко применяются в МКЭ программах массового назначения.

В третьем разделе изложены математические основы сходимости градиентных методов, из которых вытекает суть многоуровневого предобуславливания метода сопряженных градиентов. Излагается агрегатный подход к построению модели грубого уровня. Большое внимание уделяется поэлементному методу построения матрицы жесткости агрегатной модели, представляются неявные процедуры сужения и пролонгирования, основанные на фундаментальных теоремах статики и кинематики абсолютно твердого тела, приводится процедура сглаживания быстроосциллирующих компонент вектора невязки. Излагается многофронтальный метод, разработанный на основе технологий разреженных матриц и применяемый для факторизации матрицы жесткости агрегатной модели и быстрых прямых-обратных подстановок.

В четвертом разделе проиллюстрировано применение разработанного агрегатного многоуровневого предобуславливания к решению задач статики. Сравнение с итерационными методами (метод сопряженных градиентов с тем или иным предобуславливанием) именитых МКЭ программ, а также с агрегатным методом, разработанным ранее, показывает, что представляемый метод оказывается более предпочтительным как по количеству итераций, так и по времени решения. На серии реальных задач, взятых из коллекции компаний по разработке программного обеспечения RoboBAT и SCAD, проведено сравнение с прямыми и итерационными методами, широко применяемыми в современных МКЭ программах. Рассматривались как расчетные модели многоэтажных зданий, так и тела сложной формы. Показано, что данный метод позволяет существенно сократить время решения больших задач даже по сравнению с прямым многофронтальным методом, разработанным на основе технологий разреженных матриц.

В пятом разделе представлен обобщенный метод сопряженных градиентов со сдвигами в агрегатном многоуровневом предобуславливании для анализа большеразмерных задач собственных колебаний. Математически обосновано и подтверждено многочисленными примерами, что введение соответствующим образом выбранного сдвига в агрегатное многоуровневое предобуславливание позволяет преодолевать запирание сходимости, с которым часто приходится сталкиваться при применении традиционного метода сопряженных градиентов с предобуславливанием.

В шестом разделе представлен Ритц-градиент метод для приближенного определения нижних частот и форм собственных колебаний, не требующий факторизации матрицы жесткости. Показано, что данный метод сочетает достаточную для инженерных целей точность с высокой производительностью. Кроме того, пары Ритца, определяемые с помощью Ритц-градиент метода, при решении задач сейсмики оказываются значительно информативней, чем традиционные методы, определяющие собственные пары. Показано, что применение Ритц-градиент метода для задач, имеющих большое количество локальных форм колебаний в нижней части спектра, позволяет значительно сократить время анализа даже по сравнению с блочным методом Ланцоша со сдвигами.

В выводах отмечается, что разработанное агрегатное многоуровневое предобуславливание, положенное в основу семейства итерационных методов решения МКЭ задач строительной механики (статика и собственные колебания) обладает высокой устойчивостью к плохой обусловленности, что позволяет массово решать даже такие плохо обусловленные задачи, как конструкции многоэтажных зданий. Все разработанные методы внедрены в МКЭ программы массового использования Robot Millennium и SCAD и широко применяются как на территории Украины и России, так и за пределами стран СНГ.

Ключевые слова. Агрегатное многоуровневое предобуславливание, метод сопряженных градиентов, многофронтальный метод, разреженная матрица, сходимость, метод конечных элементов, собственные колебания, пролонгирование, сглаживание.

Summary

Fialko S. Yu. An aggregation multilevel method for finite element analysis of structural mechanics problems. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree by speciality 05.23.17 -- structural mechanics. The Kyiv National University of Construction and Architecture, Kyiv, 2004.

The aggregation multilevel preconditioned conjugate gradient method is developed for analysis the both: large-scale finite element problems of linear statics and natural vibrations. The application of element-by-element approach to assembling of coarse level stiffness matrix and sparse direct multifrontal solver to it factoring allows one to achieve a high level of stability to ill-conditioning.

The generalized preconditioned conjugate gradient method with shifts in aggregation multilevel preconditioning is developed to analyze the large-scale natural vibration problems. It overcomes the lock of convergence, which often met when conventional preconditioned conjugate gradient method for generalized algebraic eigenvalue problem is applied.

The Ritz-gradient method is developed to extract the approximations of low eigenpairs without stiffness matrix to be factored. The aggregation multilevel preconditioning is applied to accelerate the convergence. This method combines the both: good robustness of results and high performance of computations, especially for seismic analysis.

These methods are implemented in commercial software Robot Millennium and SCAD.

Key words. Aggregation multilevel preconditioning, conjugate gradient method, multifrontal solver, sparse matrix, convergence, finite element method, natural vibrations, prolongation, smoothing.

Размещено на Allbest.ru