Моделирование и управление модернизацией, устойчивостью и ростом региональных социально-экономических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

193

МОДЕЛИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ МОДЕРНИЗАЦИЕЙ, УСТОЙЧИВОСТЬЮ И РОСТОМ РЕГИОНАЛЬНЫХ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Торопцев Е.Л. д.э.н., профессор, зав. кафедрой Ставропольского государственного университета

Таточенко Т.В. к.э.н., доцент Ставропольского государственного университета

За последние годы, формулируя перспективы социальной и экономической динамики, во многих регионах России стали использовать выражение «устойчивое развитие» как характеристику оптимального сочетания целей, средств и результатов деятельности. Системное стратегическое управление социально-экономическим развитием имеет большое не только теоретическое, но и практическое значение, так как эффективное использование потенциала страны и ее отдельных регионов, выход их на траекторию устойчивого экономического развития возможны лишь на основе осознанных, целенаправленных действий по преобразованию экономических и социальных подсистем, в том числе и на основе формализованных подходов, развиваемых математическими и инструментальными методами экономики.

Между тем, решение широкого круга научных задач, нацеленных на проблему перехода РФ на модель устойчивого развития, подготовки и обоснования стратегических решений, в настоящее время недостаточно обеспечено методологически, методически и инструментально. Требуется реализация принципиально новой парадигмы, базирующейся на глубоких и всесторонних исследованиях, широком использовании математических моделей и методов, многовариантного анализа сценариев развития, на достаточно объемном вычислительном эксперименте, на новейших информационных технике и технологиях, как это делается в сообществе развитых стран. Прямое подтверждение постоянной актуальности проблем социальной сферы России содержит её Конституция, факт принятия и реализации Национальных проектов, обеспеченных экономически и имеющих в качестве стратегических приоритетов социальную направленность, многие иные действия всех ветвей власти.

Разработка методики комплексного стратегического управления развитием региональной социально-экономической системы на основе рассмотренной в данной статье совокупности моделей и методов является важной научной задачей отечественной теории и практики.

Можно, по-видимому, отдельные фазы и этапы развития человеческого общества различать по набору актуальных задач поиска и открытия экономически наиболее целесообразных путей удовлетворения растущих количественно и качественно общественных потребностей в продуктах труда, как в форме овеществленных предметов, так и в форме услуг. Годы «перестройки» и «переходного периода», упования на некое могущество в сфере торговли сырьевыми ресурсами, имеющими высокие цены на мировых рынках, вынашивания планов превращения России в «великую энергетическую державу» завершились переходом её экономики в состояние технической и технологической отсталости, близкое к деградации. Очевидно, что длительное сохранение подобной «динамики развития» несет в себе угрозу обвального снижения уровня и качества жизни населения, экономической и национальной безопасности, целостности и существованию страны.

Из сказанного следует абсолютный приоритет модернизации экономики, причем её проведение в форме вялотекущих эволюционных процессов и принятия так называемых «отложенных решений» сколь расточительно, столь и недопустимо в сложившейся социально-экономической ситуации. Модернизация должна проводиться в темпе, близком к революционному. Воистину, в данном случае справедливо утверждение типа «кто выигрывает время, тот выигрывает всё». Следовательно, последовательность шагов, предпринимаемых в направлении модернизации и экономического роста, должна быть по времени минимально разнесена, а многие шаги должны выполняться одновременно или синхронно. Ясно также, что качество этих шагов должно быть безупречным. Ошибки будут стоить чрезвычайно дорого. Между тем, экономической наукой наработаны надежные пути предотвращения этих ошибок, для чего в XXI-м веке появились новые математические и инструментальные возможности. Сказанное актуализирует определение вариантов перехода к траекториям экономического развития и роста, которые исследователи экономической динамики в третьей четверти XX-го века назвали бесконечно-оптимальными или эффективными. Множество траекторий в пространстве валовых выпусков по видам экономической деятельности (ВЭД) образует некий их конус с вершиной в точке X0, характеризующей начальное состояние экономической системы. Причем, среди состояний, порождающих такие траектории, нет «плохих», то есть таких, которые могут быть улучшены по всем компонентам динамики одновременно. Со времен Х. Ацуми, Д. Гейла, К. Инады, М. Моришимы, Х. Никайдо, Л. Маккензи, В. Леонтьева, П. Самуэльсона, Р. Раднера и некоторых других ярких представителей математической экономики известны теоремы о магистрали, свойства эффективных и магистральных траекторий, тех, на которых пропорции производственных показателей (например, темп роста производства по ВЭД) неизменны, а сами показатели (например, интенсивность производства, валовой выпуск) растут с постоянным максимально возможным темпом.

Напомним, что магистраль - это траектория максимального сбалансированного роста [1]. Поскольку «оптимальное» или «эффективное» развитие экономики связано с ожиданием такого роста, то для достижения любой конечной цели следует сначала вывести производство на магистральный путь, т.е. на траекторию или так называемый луч Неймана, характеризующуюся максимальным темпом роста ?max, а по истечении определенного срока времени T вывести ее к поставленной цели. Такими целями могут быть максимизация прибыли, минимизация затрат, максимизация полезности от потребления товаров, минимальная норма процента, достижение конкурентного равновесия при наиболее благоприятных условиях, т.е. на более высоком уровне благосостояния населения, какая-либо комплексная цель и т.д. Другим вариантом развития может быть постоянное нахождение на магистрали и удовлетворение иных целей, которые в этом случае становятся второстепенными, «по мере возможности».

Рассмотрим в общей постановке линейную функцию , где - обозначение скалярного произведения. Для решения глобальной проблемы экономического роста необходимо в модели экономической динамики найти такую (X0,T)-траекторию, которая включает конечную последовательность векторов, - упомянутых выше шагов в направлении модернизации и роста, чтобы линейная функция достигала максимального значения на векторе среди всех допустимых траекторий на временном горизонте T. Иными словами, надо найти такую (X0,T)-траекторию, которая обеспечит выполнение равенства

, (1)

где AT(X0) технологическое отображение модели в момент времени T, при старте переходного процесса из точки X0.

Описанная задача является основной в теории моделей экономической динамики, развитой в XX веке. Экономически задача отыскания (X0,T,D)-оптимальной траектории представляет собой задачу о нахождении такой интегральной кривой (в непрерывной постановке) или последовательности допустимых в данной модели планов (в дискретной постановке), которая максимизирует функцию на T-м периоде, то есть максимизирует величину общего объема валового производства. Элементы вектора определяют вес (ценность) вклада i-го ВЭД в эту величину.

Важно, чтобы из полученного на шаге T вектора выпуска X(T) можно было начать расширенное воспроизводство в рамках замкнутой модели, поскольку если включение

, (2)

где K(X,t) - область определения отображения At, K(Y,t) - множество принимаемых значений отображения At, не выполнено, то может оказаться, что , то есть из состояния X(T), означающего конец (X0,T,D) оптимальной траектории вообще ничего нельзя произвести. Популяризируя сказанное, планирование развития экономики только на основании найденной (X0,T,D) оптимальной траектории вполне отвечает принципу: «После нас - хоть потоп». Поэтому задача математической экономики состоит в том, чтобы найти такие траектории, которые были бы хороши в некотором смысле для всех моментов времени t.

Решение данной задачи возможно в рамках динамической межвидовой балансовой модели (МВБ - межвидовой баланс), в которую превращается межотраслевая динамическая модель В.В. Леонтьева при переходе от отраслей народного хозяйства (по ОКОНХ) к видам экономической деятельности в соответствии с СНС - Системой Национальных Счетов, принятой ООН (по ОКВЭД). Экономическая наука оперирует понятиями технологического и экономического темпа роста, под которыми в первом приближении она принимает следующее. Пусть имеется процесс производства продукции по ВЭД, который в соседних интервалах времени характеризуется парой векторов

, (3)

где Z - множество всех технологически допустимых процессов.

Рассмотрим величину

. (4)

Значения (4) определяют возрастание/спад валового производства i-го ВЭД при применении технологии (3).

Величину в математической экономике называют темпом роста технологического процесса . Таким образом, данный «темп» определяет ВЭД, который растет хуже всего в положительной динамике процесса. Естественной является попытка определить процесс, обладающий максимальным темпом роста и получить технологический темп роста модели динамики, который обозначим через .

Процессу (3) можно приписать сопровождающий вектор средних цен по ВЭД P=(p1,p2,…,pn), рассмотреть величину

, (5)

обладающую свойствами, аналогичными (4). Величина (5) есть темп роста процесса (3) при заданных ценах P=(p1,p2,…,pn). Полагая, что все компоненты вектора цен отличны от нуля, следует предпринять поиск процесса, для которого темп роста при заданных ценах максимален.

При решении реальных экономических задач функция (5) непрерывна и ограничена на некотором замкнутом множестве, а потому можно определить и назвать её экономическим темпом роста процесса (3), а процесс, обладающий максимальным темпом - экономическим темпом роста модели динамики. Обозначим его через .

Технологический и экономический темпы роста модели в общем случае не равны. Если, например, разница между ними значительна и выполняется неравенство

, (6)

то это значит, что цены плохо согласованы с оптимальным процессом в модели и не способствуют развитию экономики с максимальным темпом роста.

Если же экономический темп роста существенно выше технологического темпа роста модели, т.е. знак неравенства (6) изменен на противоположный, то это значит, что цены плохо согласованы с реализуемыми технологиями производства в различных ВЭД, поскольку в модели динамики физически нет ни одного процесса, развивающегося с темпом, превышающим технологический. Стоит заметить, что экономика России в последнее десятилетие XX-го века «развивалась» именно по такому сценарию.

Сказанное позволяет определить так называемое состояние равновесия в контексте рассматриваемых вопросов. Данное равновесие существует благодаря линейности нашей задачи.

Определение. Тройка , где , вектор цен, а процесс, принадлежащий конусу Z, определяет состояние равновесия в модели экономической динамики, если выполняются неравенства:

(7)

Тогда пара называется оптимальным процессом данного состояния равновесия, вектор цен P- равновесным вектором цен, а параметр ? - темпом роста данного состояния равновесия.

Модельная экономика будет расти с темпом ?, если удастся уравнять её технологический и экономический темпы роста. Так, первое и третье неравенства из (7) говорят о том, что , а второе о том, что . Таким образом, =.

В рамках излагаемого подхода к исследованию экономической динамики возможно решение задач прогнозирования будущих состояний модели и темпов технологического и экономического роста. При этом лучшим случаем является их равенство, для достижения которого актуальны усилия региональных и центральной властей в лице правительств, специализированных структур типа Федеральной антимонопольной службы, прокуратуры и т.п. В остальном подход носит описательный или так называемый «объясняющий характер» и не позволяет решать реальные задачи прогнозирования, планирования, управления и оптимизации.

Например, если модель в необходимой степени адекватна, то в конусе Z можно будет найти процесс такой, что первое неравенство в (7) обратиться в строгое равенство, что будет означать отсутствие перепроизводства в процессе .

Первое и второе неравенства из (7) дают равенство

(8)

которое в основном объясняет экономическое значение и смысл равновесных цен. Для объяснения надо положить, что в момент времени t = 0 модель, находившаяся в состоянии с ценовой характеристикой в существующей системе цен , перешла в состояние с ценовой оценкой . Второе неравенство в (7) дает основание записать неравенство . Возьмем теперь вариант растущего состояния равновесия с темпом больше единицы, т.е. . При одинаковых ценовых характеристиках текущего и оптимального состояний и , т.е. когда , оптимальный процесс дает максимальный прирост продукции, оцениваемой по ценам P=(p1,p2,…,pn) по всем ВЭД.

Подобными рассуждениями ограничиваются возможности рассмотренной постановки задач анализа экономической динамики сложных систем. Для решения задач более высокого класса, нацеленных на проведение комплексных многовариантных прогнозных расчетов возможных состояний экономических систем, динамики их развития и устойчивости при организации тех или иных управляющих воздействий необходим переход к многоуровневому межвидовому анализу в рамках динамических моделей МВБ. При этом на основе методов оптимизации режимов функционирования и параметров экономических систем возможно обеспечение приемлемой (желаемой, заданной, требуемой) динамики их развития, не противоречащего магистральной теории, и безусловное удовлетворение конечного спроса. Это открывает широкие возможности для повышения научного уровня планирования и управления процессом модернизации экономики, делая известными, а в худшем случае хорошо прогнозируемыми её результаты. Важнейшей здесь является проблема соответствия модели и реального процесса, то есть важно не только использовать аппарат современной вычислительной математики, теории систем, теории управления и т.п., но и определить корректность его применения, правильно интерпретировать результаты расчетов. В противном случае корректно будет говорить только о свойствах модели, поведении модели, управляемости ею и тому подобном. Реальную экономику надо будет оставить «на потом».

Перейдем на следующий этап общего - комплексного моделирования социально-экономических систем различного типа на основе аппарата дискретной математики, в частности знаковых, взвешенных знаковых и функциональных знаковых графов. Так как аппарат работает с данными как качественного, так и количественного типа, причем степень использования количественных данных может увеличиваться в зависимости от возможностей количественной оценки взаимодействующих факторов в итерационном цикле моделирования.

На первоначальном этапе происходит сбор сведений об изучаемой социально-экономической системе (ситуации). Затем формулируются определенные концепции и допущения относительно системы (ситуации) и на строгом математическом языке формируется математическая модель, позволяющая оценить динамику поведения (развития).

Моделирование при этом рассматривается как попытка, во-первых, снять ту неопределенность, которая неизбежно сопутствует прогнозированию развития системы, во-вторых, предложить вариант управления процессом, в котором присутствуют неопределенности.

Аппарат знаковых графов позволяет формально строить прогнозы развития или траектории движения моделируемой системы в фазовом пространстве ее переменных (факторов) на основе информации о структуре и программах её развития, путем аппроксимации их кусками траекторий импульсных процессов на знаковых орграфах [3].

Математическая модель знаковых, взвешенных знаковых, функциональных знаковых орграфов является расширением математической модели орграфов. Кроме орграфа G (X, Е), в модель включаются следующие компоненты [5]:

Множество параметров вершин. Каждой вершине из их множества X может быть приписан набор параметров V.

Функционал преобразования дуг F (V, Е), ставящий в соответствие
каждой дуге либо знак, либо вес, либо функцию.

Если функционал имеет вид:

стратегический модернизация экономика прогнозный

, (9)

то такая модель является знаковым орграфом.

Если функционал имеет вид:

, (10)

то такая модель является взвешенным знаковым орграфом. Здесь является весом соответствующей дуги. Если функционал имеет вид:

, (11)

то такая модель является функциональным знаковым орграфом.

На расширенных таким образом орграфах вводится понятие импульса и импульсного процесса в дискретном временном пространстве. Импульсом в вершине , в момент времени называется изменение параметра в этой вершине в момент времени :

. (12)

При этом новое значение параметра в вершине будем определять соотношением:

(13)

Здесь -- внешний импульс, вносимый в вершину в момент времени . Из конечно-разностных уравнений (12) и (13) легко получить уравнение для импульса в исследуемом процессе:

. (14)

Аппарат знаковых графов представляет собой мощное средство структурного моделирования. Экономическое моделирование позволяет проводить исследование тенденций развития экономики всей страны, отдельного региона, края, отраслей и т.д. Однако с помощью этого аппарата можно также планировать внесение в СЭС (социально-экономическая система) определенных управляющих воздействий для достижения необходимых тенденций стабилизации и развития [5]. При решении этой задачи можно определить набор вершин, в которые следует вносить управляющие воздействия, приводящие к необходимому результату, а также характер этих воздействий. Эти данные являются основой для построения детальных планов управления СЭС. Таким образом, от традиционных задач для этого аппарата моделирования («что будет, если») мы переходим к решению более содержательной задачи: «что надо сделать для достижения заданного поведения системы».

Использование предлагаемой системы показателей в процессе моделирования даст возможность определения функциональных зависимостей между выбранными показателями и, как следствие, для объективной оценки потенциала региона.

Формирование модели социально-экономического развития региона должно базироваться, в первую очередь, на оценке предлагаемых структур и взаимосвязей базовых факторов по степени их соответствия принципу соразмерности ее элементов, предусматривающему сбалансированность различных составляющих социально-экономического развития. Выбор точек и характера воздействия на формирование социально-экономической модели являются исключительно сложными задачами, решение которых должно базироваться на комплексе методов многофакторного моделирования [6]. Анализ текущих и рассмотрение будущих траекторий развития социально-экономических параметров и составляющих ее элементов на основе оценки тенденций экономического развития на определенный период является важнейшей задачей для краевых органов власти и управления.

Определение характера и точек внесения управляющих воздействий -- это начальный этап разработки детальных планов управления. Однако для привязки этих планов к конкретным условиям необходимо знать, когда надо их вносить. Задача состоит в определении времени влияния на СЭС для достижения определенных целей. Поскольку аппарат знаковых графов может дать только качественный результат, то время в данном случае определяется не как физическая величина, а как последовательность наступления некоторых событий. Такие события мы назовем экспертно значимыми событиями (ЭЗС).

Процесс моделирования происходит следующим образом. На каждом шаге происходит снятие данных с вершин мониторинга для идентификации ЭЗС. При успешной идентификации ЭЗС происходит расчет первой по приоритету программы управления. Если ее расчет невозможен, то выбирается для расчета следующая ситуация и т. д. После получения программы управления происходит внесение управляющих воздействий в модель СЭС. Последовательность наступления событий представляет собой сценарий поведения СЭС, а последовательность внесения управляющих воздействий -- сценарий управления. Использование разрабатываемой системы показателей в процессе моделирования даст возможность определения функциональных зависимостей между выбранными показателями и, как следствие, объективно оценить потенциал развития края, и взаимовлияние факторов его СЭР.

Из вышесказанного следует, что результаты моделирования процессов поведения факторов, формирующих модель, определяются взаимодействием базовых социально-экономических процессов и факторов, действующих на процесс её формирования. При этом взаимовлияния базисных процессов могут образовывать циклы обратных связей, а взаимодействия циклов вызывать либо нарастающие колебания базовых факторов, либо резкое монотонное усиление их - резонанс [4]. Множество базисных факторов, соответствующих вершинам знакового орграфа, и их взаимное влияние разработан графический образ взаимосвязи базовых факторов социально-экономического развития Ставропольского края. Дополнительно нами были введены факторы макроэкономического уровня, которые включены в модель после рассмотрения совокупности моделей, разработанных в Институте народнохозяйственного прогнозирования РАН под руководством д.э.н. Н.И. Комкова (рисунок 1) [4,5].

Размещено на http://www.allbest.ru/

193

Рис. 1. Графический образ взаимосвязи базовых факторов, влияющих на формирование социально-экономического развития региона.

Моделирование взаимовлияния базовых факторов системы друг на друга рассматривается как попытка, во-первых, отобразить взаимовлияние базовых факторов, которые оказывают как прямое, так и косвенное влияние на составляющие систему параметры. Во-вторых, дополнить данную модель факторами макроэкономического и социального уровня. Для разработки модели взаимовлияния факторов, формирующих систему, использовался математический аппарат знаковых, взвешенных знаковых, функциональных знаковых орграфов, являющихся расширением математической модели орграфов.

Таким образом, алгоритм построения модели социально-экономического развития системы региона можно представить в виде схемы 1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

193

Схема 1. Алгоритм построения модели социально-экономической системы региона.

Результаты функционирования составляющих системы определяются большим числом переменных, взаимодействующих друг с другом, реагирующих с разной чувствительностью по отношению к изменениям окружающих переменных. Поэтому при математическом моделировании процесса функционирования системы с целью выработки предложений по его совершенствованию возникает необходимость нахождения компромисса между точностью результатов моделирования и возможностью получения достоверной информации о динамике изменения факторов, необходимой для построения адекватной модели (схема 2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

193

Схема 2. Алгоритм расчета численных значений длин дуг орграфа взаимосвязи базовых факторов формирования социально-экономической системы региона.

Использование предлагаемой системы показателей в процессе моделирования даст возможность определения функциональных зависимостей между выбранными показателями и, как следствие, для объективной оценки потенциала региона и возможностей по управлению им.

Рассмотрим орграф = ({x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22, x23, x24, x25, x26}, (x1,x6), (x1,x2), (x6,x9), (x6,x5), (x2,x20), (x2,x13), (x2,x14), (x3,x4), (x3,x8), (x3,x15), (x3,x12), ..,(x25,x26)), имеющий в качестве множества параметров вершин.

В нём выделены (рис.2) следующие уровни:

x1 - поддержки населением активной стратегии преодоления экономической депрессии, x2 - влияния криминальных структур, x3 - налогооблагаемой базы, x4 - выплат долга, x5 - собираемости налогов, x6 - консолидации интересов населения и политического руководства, x7 - эффективности механизмов управления реализацией активной экономической стратегии, x8 - влияния властных структур, x9 - инфляции, x10 - медицинского обеспечения, x11 - инвестиционных вложений в строительство, x12 - реализации активной экономической стратегии (программы), x13 - законодательной поддержки активной экономической стратегии, x14 - развития фондового рынка, x15 - разработки концепции активной экономической стратегии, x16 - законодательной поддержка и эффективность производства, x17 - инвестиций, x18 - налоговых ставок, x19 - поддержки всего общества (власти и населения) активной экономической стратегии, x20 - экономического роста, x21 - эффективности производства, x22 - платежеспособного спроса населения, x23 - доступности банковских кредитов, x24 - элементы экономической безопасности. Результатом исследования стала модель орграфа взаимовлияния базовых факторов социально-экономического развития Ставропольского края на 2011 год.

Размещено на http://www.allbest.ru/

193

Рис. 2. Модель орграфа взаимосвязи базовых факторов социально-экономического развития Ставропольского края.

Использование предлагаемой системы показателей в процессе моделирования даст возможность определения функциональных зависимостей между выбранными показателями и, как следствие послужит, для объективной оценки потенциала стратегического социально-экономического развития Ставропольского края, модель которого представлена на рисунке 3.

Размещено на http://www.allbest.ru/

193

Рис. 3. Стратегический графический образ взаимосвязи базовых факторов социально-экономического развития региона.

Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод о разработке модели взаимовлияния базовых факторов социально-экономического развития региона, которая базируется на оценке рассмотренных структур и взаимосвязей базовых факторов по степени их соответствия принципу соразмерности ее элементов, предусматривающему сбалансированность интересов различных составляющих и ее безопасное развитие.

Таким образом, результаты функционирования СЭС определяются большим числом переменных, взаимодействующих друг с другом, реагирующих на изменение каждой другой переменной и т. п. Поэтому при математическом моделировании процесса функционирования системы с целью выработки предложений по его совершенствованию возникает необходимость нахождения компромисса между точностью результатов моделирования и возможностью получения достоверной информации о динамике изменения социально-экономических факторов, необходимой для построения адекватной модели.

К счастью, СНС, укрупнено представляя экономику регионов и страны в разрезе 15-ти основных ВЭД, дает возможность необходимым образом, в соответствии с содержательной постановкой задачи, детализировать каждый из видов деятельности. Возникающее таким образом дерево ВЭД обеспечивает представление экономических систем в разрезе сотен и даже тысяч ВЭД, и мы не видим технических трудностей на этом пути. Отметим, что если в советское время качество экономической статистики страдало от приписок, то в современной России оно страдает от укрывательства и припрятывания данных со ссылкой на «коммерческую тайну» и «конфиденциальность информации». Здесь для успеха необходима политическая воля, преодолевающая упорное стремление хозяйствующих субъектов прятать «концы в воду», работать в теневом секторе экономики, уходя от налогов, рэкетиров, рейдеров.

В рамках создания системы национальных счетов Федеральная служба государственной статистики и её региональные отделения разрабатывает методологию и организационные решения для построения системы показателей развития экономики регионов в соответствии с концепцией СНС. Региональные счета являются региональными составляющими национальных счетов. Однако прямо для моделей МВБ данные не готовятся в полном объеме. Для получения необходимых массивов исследователю приходится прибегать к ряду промежуточных операций, раскрытие технологии которых в данном случае не является нашим делом. Отметим только, что данные расчеты нами проведены и касаются они учета материальных затрат и капитала на формирование валового выпуска в разрезе 15-ти ВЭД Ставропольского края, ввода и выбытия ОПФ, а также конечного потребления.

Завершая изложение, отметим, что науке и государству еще придется приложить немало усилий для создания действительно эффективной социально-ориентированной экономики типа управляемого рынка, разработки методологии оценки состояния и модернизации экономических систем, текущего и перспективного планирования, имеющего целью не приведение систем к какому-либо конечному состоянию, но динамическое определение такого вектора ее параметров, который обусловливает максимизацию выпуска и демпфирование циклов.

Список литературы

1. Красс И.А. Математические модели экономической динамики. - М.: Сов. радио, 1976. - 279 с.

2. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г. Численная оптимизация динамических свойств макроэкономической системы // Вопросы статистики. - М., 2000. - № 4. - С. 81-86.

3. Торопцев Е.Л., Гурнович Т.Г. Анализ и управление динамическими свойствами экономических систем // Вопросы статистики. - М., 2000. - № 4. - С. 28-33.

4. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. - М.: Наука, 1970.

5. Яковец Ю.В. Циклы. Кризисы. Прогнозы. - М.: Наука, 2007.

6. Яковец Ю.В., Кузык Б.Н. Стратегия инновационно-технологического прорыва. - М.: МФК, 2007.

Размещено на Allbest.ru