Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

тема

«Формирование у учащихся начальных классов навыка решения задач с пропорциональной зависимостью»

Содержание

Введение

Глава I. Обучение младших школьников решению задач с пропорциональной зависимостью

1.1. Текстовая задача и процесс ее решения

1.2. Виды задач с пропорциональной зависимостью в начальном курсе математики

1.3. Методические приемы обучения младших школьников решению тестовых задач с пропорциональной зависимостью

Вывод по 1 главе

Глава II. Особенности методической деятельности учителя начальных классов при обучении учащихся решению задач с пропорциональной зависимостью

2.1 Качество умений и навыков учащихся начальных классов решения задач с пропорциональной зависимостью

2.2 Методическая деятельность учителя при решении младшими школьниками задач с пропорциональной зависимостью различного вида

2.3. Анализ особенностей методической деятельности учителя начальных классов при обучении учащихся решению задач с пропорциональной зависимостью

Вывод по 1 главе

Литература

Введение

Одна из основных целей начального курса математики - формирование умения решать текстовые задачи.

Каких бы образовательных концепций учитель ни придерживался, по каким бы программам и учебникам ни работал, он не может не ставить перед собой цель научить детей решать задачи, причем не только математические, но и орфографические, природоведческие, бытовые и др. Обучение решению задач в той или иной мере происходит при изучении любого предмета.

Текстовые задачи на уроке математики в начальных классах могут быть использованы для самых различных целей: для подготовки к введению новых понятий (в частности, арифметических действий); для ознакомления с новыми понятиями, свойствами понятий; для показа области применимости изучаемых понятий; для углубления и расширения формируемых математических знаний и умений; для формирования вычислительных навыков; для обучения методам и приемам решения задач на разных этапах этого обучения; для многих иных целей.

Проблема исследования - выявить особенности методики обучения младших школьников решению текстовых задач с пропорциональной зависимостью.

Объектом нашего исследования является процесс обучения младших школьников решению текстовых задач с пропорциональной зависимостью.

Предметом исследования являются особенности методической деятельности учителя начальных классов в процессе обучения младших школьников решению текстовых задач с пропорциональной зависимостью.

Цель работы состоит в выявлении эффективных методических приемов, используемых учителем начальных классов, повышающих качество формирования у младших школьников умений и навыков решения текстовых задач с пропорциональной зависимостью.

Задачи:

1. Дать анализ методико-математической литературы по проблеме формирования у учащихся младшего школьного возраста умений и навыков решения текстовых задач с пропорциональной зависимостью на уроках математики.

2. Выявить методические особенности деятельности учителя при формировании у младших школьников осознанных и качественных умений и навыков решения текстовых задач с пропорциональной зависимостью.

3. Раскрыть практическую работу учителя, направленную на формирование умений решать текстовые задачи с пропорциональной зависимостью.

В нашем исследовании использовались следующие методы:

· анализ научно-методической литературы;

· беседа с учителем исследуемого класса по проблеме;

· наблюдение за деятельностью учителя и учащихся;

· анализ письменных работ учащихся.

Глава I. Обучение младших школьников решению задач пропорциональной зависимостью

1.1 Текстовая задача и процесс ее решения

Термин задача используется в жизни и в науке очень широко. Этим термином обозначаются очень многие и различные понятия. До настоящего времени нет общего определения понятия «задача».

Задача может рассматриваться как с бытовой точки зрения, так и в разных науках: психологии, педагогике, логике и других.

Г.А.Балл, анализируя различные трактовки, дает такую последовательность определений задачи:

1. Задача есть ситуация, требующая от субъекта некоторого действия.

2. Мысленная задача - ситуация, требующая от субъекта некоторого действия, направленного на нахождение неизвестного на основе использования его связей с известным.

3. «Проблемная задача или «проблема» - ситуация, требующая от субъекта некоторого действия, направленного на нахождение неизвестного на основе использования его связей с известным в условиях, когда субъект не обладает способом (алгоритмом) этого действия» [1].

Эта последовательность определений не охватывает всех точек зрения на понятие «задача», имеющихся в педагогической литературе.

С точки зрения А.Ф.Эсаулова, задача определяется как «более или менее определенные системы информационных процессов, несогласованное или даже противоречивое отношение, между которыми вызывается потребность в преобразовании» [12].

С позиции А.Ф.Эсаулова задача является «изложением требования «найти» по «данным» вещам другие «искомые» вещи, находящиеся друг к другу и к данным вещам в указанных отношениях». При этом понятие «вещь», «найти», «искомые» определяются не особо.

По характеру требований можно выделить следующие задачи:

1) на нахождение искомого;

2) на доказательство или объяснение;

3) на преобразование и построение.

Кроме данной классификации существует много других, например по способам решения (арифметические, практические, логические и др.).

Система современных методов и средств обучения математике младших школьников рассматривает, в основном, текстовые задачи, которые занимают одно из ведущих мест в начальной школе.

«Текстовая задача - это математическая задача, в которой есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом. Она представляет собой словесную модель ситуации, явления, события, процесса и т. п. Как в любой модели, в текстовой задаче описывается не все событие или явление, а лишь его количественные и функциональные характеристики.» - это мнение Т.Е.Демидовой, А. П. Тонких [4].

В каждой задаче, утверждают математики, можно выделить:

«1) числовые значения величин, которые называются данными, или известными (их должно быть не меньше двух);

2) некоторую систему функциональных зависимостей в неявной форме, взаимно связывающих искомое с данными и данные между собой;

3) требование или вопрос, на который надо найти ответ.

Числовые значения величин и существующие между ними зависимости, т. е. количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношение между ними, называют условием задачи. В задаче обычно не одно, а несколько условий, которые называют элементарными.

Требования могут быть сформулированы как в вопросительной, так и в повествовательной форме, их также может быть несколько. Величину, значения которой требуется найти, называют искомой величиной, а числовые значения искомых величин - искомыми, или не известными.

Систему взаимосвязанных условий и требований называют взыскательной моделью задачи» [4].

В начальных классах ведущую роль играют простые задачи, которые представляют собой частный случай элементарных задач (содержащих только одно основное соотношение), т. к. выполняют функцию формирования математических понятий. В связи с этим, в зависимости от тех понятий, которые рассматриваются в начальном курсе математики, М.А.Бантова и Г.В.Бельтюкова предлагают следующую классификацию простых задач.

Первая группа включает простые задачи, при решении которых дети усваивают конкретный смысл каждого из арифметических действий:

1) нахождение суммы;

2) нахождение остатка;

3) нахождение суммы одинаковых слагаемых;

4) деление на равные части;

5) деление по содержанию.

Вторая группа включает в себя простые задачи, при решении которых учащиеся усваивают связь между компонентами и результатами арифметических действий. Это простые задачи на нахождение неизвестного компонента сложения, вычитания, умножения и деления (8 видов).

Третья группа включает простые задачи, при решении которых раскрываются понятия разности (6 видов) и кратного отношения (6 видов).

Также в систему входят сложные задачи (содержащие систему двух и более взаимосвязанных соотношений), называющиеся «составными» [2].

С помощью решения простых задач формируется одно из центральных понятий начального курса математики -- понятие об арифметических действиях и ряд других понятий. Умение решать простые задачи является подготовительной ступенью овладения учащимися умением решать составные задачи, так как решение составной задачи сводится к решению ряда простых задач. При решении простых задач происходит первое знакомство с задачей и её составными частями.

Рассмотрим основные вопросы процесса обучения решению текстовых задач. По мнению С.Е.Царевой, «обучение решению задач - это специально организованное взаимодействие учителя и учащихся, цель которого - формирование у учащихся умения решать задачи»[10].

Чтобы раскрыть данный аспект, показать его механизм в действии, необходимо определить те понятия, которыми мы привычно пользуемся в методике.

Термином «решение задачи», указывает С.Е.Царева, «мы пользуемся в различных смыслах:

1) обозначая процесс перехода от условия к выполнению требования задачи, т. е. к ответу на вопрос задачи, или процесс выполнения плана решения;

2) обозначая запись результата в процессе решения (результат);

3) записывая результат, т.е. ответ на требование;

1) показывая метод, способ перехода от условия к выполнению требования задачи»[9].

Значит, мы можем сказать, что процесс решения задачи - это переход от условия к ответу на ее вопрос. Ответ на вопрос считается соответствующим условию, если информация в нем не противоречит информации, данной в условии.

Определяя понятие умения используем формулировку С. Е.Царевой:

«Любое умение - это качество человека, а именно: готовность его и возможность успешно осуществлять определенные действия». [10]

В методической литературе принято выделять два основных типа умения решать задачи, выявленные Л.М.Фридманом:

«1)общее умение решать задачи;

2) умения решать задачи определенного вида (частное умение)»[11].

Каждое из умений имеет свою структуру, операционный состав, компоненты.

Общее умение проявляется при решении учащимися любой незнакомой задачи, т. е. задачи такого вида, способ решения которой неизвестен ему.

Частное умение заключается в распознавании вида задач и применении известного теоретического материала и правила решения «таких» задач.

В основе этого подхода лежат классификации задач по видам и типам.

Используя эти характеристики можно предположить, что общее умение складывается из следующих компонентов:

1) знаний о задачах, структуре задач, процессе и этапах ее решения, методах и способах, приемах решения;

2) умений выполнять каждый из этапов решения любым из методов и способов решения, используя любой из приемов, помогающих решению.

А соответственно необходимо для обучения общему умению решать задачи:

1) формировать знания о задачах, методах и способах решения, о процессе решения, этапах этого процесса, о содержании и целях каждого этапа;

2) выработка умения разбиения задачи на составные части, использовать различные методы решения, применять разнообразные приемы, помогающие понять задачу, составить план ее решения, выполнить его, проверить правильность, осознанно выполнять каждый из этапов решения.

Частное умение решать задачи, описывает С.Е.Царева, «состоит из следующих компонентов:

1) знания о видах и способах решения задач каждого вида;

2) умения «узнать» задачу данного вида, выбрать соответствующий ей способ решения и выполнить его на данной задаче. Следовательно, обучая умению решать задачи определенного вида, работа организуется по следующему плану:

1) формирование знаний о видах задач, способах и образцах решения задач конкретных видов;

2) решение большого количества задач с применением этих знаний»[10].

Непосредственное сравнение этих подходов и анализ психолого-педагогической и методической литературы позволяет говорить о преимуществе первого при обучении младших школьников. Н.А.Менчинской установлено, что «разучивание решения типовых задач не помогает, а мешает формированию общих умений и навыков, необходимых для решения задач любого вида. Поэтому начинать обучение решению задач целесообразнее с общего подхода.

Обучение решению задач сориентировано на три ступени:

1) подготовительную;

2) ознакомительную;

3) закрепление»[5].

На первой же ступени учителю необходимо четко поставить цели формирования таких знаний, умений, навыков, которые учащиеся используют при решении задачи любого вида, типа. С. Е. Царева выделяет следующее:

1) «формирование у учащихся основных познавательных действий, представлений о ключевых отношениях мира: отношение целого и части, равенства и неравенства;

2) формирование представлений о числах и действиях с ними» [10].

При этом выполняется работа по решению простых задач на сложение и вычитание (возможно в этот период без записи арифметического действия), на установление отношений равенства и неравенства. После выполнения заданий достаточно большого числа, на основе уже имеющегося опыта у учащихся проводится систематизация и обобщение знаний.

Например: Детям предлагается практическое задание.

«Положите 6 треугольников на парту, затем еще 2 квадрата. Покажите, сколько геометрических фигур вы положили?»

Данное задание учитель не называет «задачей». Ответ на вопрос может быть получен как путем «пересчитывания», так и путем «присчитывания». Затем, данная ситуация переводится на язык арифметических действий, более высокий уровень оперирования числами, который связан с усвоением смысла арифметических действий.

Для овладения умением переводить предметные действия на язык математических знаков полезно использовать схему, которая сопровождает предметные действия и иллюстрации: ? + ? = ?

«В какое «окошко» впишем число 6? Число 2? Число 8?»

При формировании умения, о котором идет речь, следует идти не только от предметных действий к математическим знакам, но и, наоборот.

Например: Даны записи: 6 + 2 = 8, 6 - 2 =4.

Учитель выполняет сначала одни действия: выставляет на наборное полотно 6 предметов, затем убирает 2 и спрашивает: «Какой записи соответствует то действие, которое я выполнила?». Затем предлагает ситуацию, которая соответствует другой записи.

Вторая ступень - формирование понятия «задача». На этой ступени важно не только разъяснить школьникам особенности понятия «задача», но и на усвоение ее структуры и осознание процесса решения.

Для осознания структуры задачи используется прием сравнения текстов. С этой целью дается задание: «Сравни, чем похожи тексты задач? Чем отличаются? Какую задачу ты можешь решить? Какую не можешь? Почему?»

Для этого, по предложению Н.Б.Истоминой, используются тексты задач:

« - с недостающими или лишними данными;

- с противоречивым условием или вопросом;

- - с вопросом, в котором спрашивается о том, что уже известно»[6].

Обобщая, можно с уверенностью сказать, что с целью формирования умения выбирать арифметические действия для решения задач, предполагаются задания, в которых используются следующие приемы:

1) выбор схемы;

2) выбор вопросов;

3) выбор выражений;

4) выбор условия к данному вопросу;

5) выбор данных;

6) изменение текста задачи в соответствии с данным решением;

7) постановка вопроса, соответствующего данной схеме;

8) объяснение выражений, составленных по данному условию;

9) выбор решения задачи.

На ступени закрепления применяются также различные приемы, направленные на формирование у них умений, необходимых для решения как простых, так и для подготовки к решению составных задач. Например, методический прием постановки вопроса к данному условию, с одной стороны, способствует усвоению структуры задачи, с другой - формирует у учащихся умение правильно оценить, на какой вопрос можно ответить, исходя из определенных данных.

Учитывая, что данное умение неодинаково успешно у всех, работу в этом направлении следует проводить заблаговременно на доступном для детей материале, т. е. на простых задачах. Особое место в работе по подготовке к решению составных задач занимают задачи с двумя вопросами. В таких задачах, сначала нужно выяснить на какой вопрос дети могут ответить первым. Данный прием позволяет понять взаимосвязь этих вопросов между собой.

Особое место в формировании умения решать задачи отводится выбору метода решения. Такие авторы, как Н.Б.Истомина, С.Е.Царева, выделяют следующие методы:

«- арифметические метод - с помощью выполнения последовательно-арифметических действий;

- алгебраический метод - решение с помощью составления и решения уравнений;

- практический метод - решение путем практического выполнения описываемых в задаче действий с реальными предметами или с их предметными или графическими моделями;

- логический метод - решение с помощью логического рассуждения;

- графический метод - решение путем построения модели ситуации задачи и отыскания ответа на вопрос.

Каждому из методов учащиеся обучаются по определенной схеме:

1) накопление учащимися практического опыта применения данного метода по указанию учителя;

2) осознание метода, выявление элементов действий и операций, входящих в его состав;

3) организация учебной деятельности, направленной на усвоение и освоение метода;

4) накопление опыта решения задач данным методом, осознание его особенностей»[6, 10].

Одновременно с работой по усвоению методов решения задач, рассматривается вопрос о формах записи решения. По мнению Царевой С. Е. «считается необходимым в процессе обучения ставить и обсуждать вопрос об отношениях между содержанием знаний и способами, средствами и формами его выражения»[10]. Рассматривая письменное выполнение плана решения задачи, автор описывает его приемы. Арифметический метод предполагает:

« - запись в виде выражения с записью шагов его составления и в итоге полученного равенства;

- запись в виде выражения, без записи шагов по составлению данного выражения;

- записи по действиям с пояснением;

- записи по действиям без пояснения;

- записи по действиям с вопросами.

Запись алгебраического метода наблюдается в виде:

- уравнения и его решения;

- записи шагов составления уравнения и его решения»[10].

Таким образом, опираясь на источники, можно смело утверждать, что задачи, решаемые школьниками в младших классах, занимают одну из важнейших ступеней в их обучении. Существует множество различных определений понятию текстовой задачи, огромное количество классификаций и методов их решения.

Итак, текстовая задача - это математическая задание, в котором есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом. Она представляет собой словесную модель ситуации, явления, события, процесса и т. п. Как в любой модели, в текстовой задаче описывается не все событие или явление, а лишь его количественные и функциональные характеристики. В каждой задаче можно выделить взыскательную модель: систему взаимосвязанных условий и требований. Все задачи можно разделить на группы.

Также в систему входят сложные задачи (содержащие систему двух и более взаимосвязанных соотношений), называемые методистами «составными».

Принято выделять два основных типа умения решать задачи, выявленные Фридманом Л. М. - «общее и частное»[11].

Обучение решению задач, как указывает Стойлова Л.П. сориентировано на этапы:

«I. - подготовительный,

II. - ознакомления,

III. - закрепление» [9].

Таким образом, решение задачи - это не только ответ на ее вопрос. Это сложный процесс, в основе которого лежит большое число математических и методических действий.

Следуя требованиям программы, младшие школьники должны овладеть навыками решения арифметических задач. Поэтому каждый учитель начальных классов обязан хорошо владеть методическими знаниями и умениями качественно осуществлять этот процесс.

1.2 Виды задач с пропорциональной зависимостью в начальном курсе математики

Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно решает образовательные, развивающие и воспитательные цели. Ю.М. Колягин выделяет основные из них:

«1. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач.

2. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.

3. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умения

- анализировать задачные ситуации,

- строить план решения, с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом вида задачи),

- истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи,

- проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть формировать и развивать важные общеучебные умения.

4. Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету»[7].

Как мы уже говорили в первом параграфе нашей работы, существует много видов задач, как простых, так и составных. Особую сложность для младших школьников представляют задачи с пропорциональными величинами. Но именно задачи с пропорциональной зависимостью готовят учащихся к обучению математике в среднем и старшем звене школы.

Среди этих задач методист Н.Б.Истомина выделяет такие основные виды:

1) задачи на нахождение четвертого пропорционального;

2) задачи на пропорциональное деление;

3) задачи на нахождение неизвестного по двум разностям[6].

В задачах, как мы увидели в учебниках математики третьих и четвертых классов, рассматриваются группы пропорциональных величин: масса одного предмета, число предметов, общая масса; емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость; выработка в единицу времени, время работы, общая выработка; расход материи на одну вещь, количество вещей, общий расход материи и т. д.

Мы выделили основные процессы, изучаемые с помощью задач с пропорциональной зависимостью, по степени частотности их использования при решении задач и составили таблицу. В таблице хорошо прослеживается, на наш взгляд, зависимость между величинами в этих процессах.

Процесс
купля-продажа	цена	количество	стоимость
движение	скорость	время	Расстояние (путь)
работа	производительность	время	объем работы

Рассмотрим перечисленные нами виды задач и приведем образцы.

Задачи на нахождение четвертого пропорционального.

К задачам такого вида относятся задачи, в которых рассматриваются две прямо и обратно пропорциональные величины при постоянной третьей. В них известно одно значение одной величины и два значения другой и требуется найти второе значение другой. Для демонстрации таких видов задач методист Н.Б.Истоминой предложены таблицы:

Величины
	Цена	Количество	Стоимость
1	Постоянная	Даны два значения	Дано одно значение, а другое является искомым
2	Постоянная	Дано одно значение, а другое является искомым	Даны два значения
3	Даны два значения	Постоянное	Дано одно значение, а другое является искомым
4	Дано одно значение, а другое является искомым	Постоянное	Даны два значения
5	Даны два значения	Дано одно значение, а другое является искомым	Постоянная
6	Дано одно значение, а другое является искомым	Даны два значения	Постоянная

Рассмотрим этот вид на примере процесса купля-продажа с величинами - количество, цена, стоимость.

Задача: За 6 карандашей заплатили 40 руб. Сколько стоят 3 таких карандаша?

Итак, здесь три величины, одна из них постоянна, а две другие - переменные. Известно два значения одной из них (количества) и одно значение другой (стоимости). Это задача на нахождение четвертого пропорционального. Обозначим k - цена, x - количество, y - стоимость, так как формула пропорциональной зависимости y=kx, где x - независимая переменная, y - функция, k - действительное число. Возьмем два значения количества x₁; x₂, соответствующие значения y₁ = k₁x (1), y₂ = k₂x (2). Поделим равенство (2) на равенство (1): y1/y2 = x1/x2.

Получим равенство двух отношений, или пропорцию, в которой известны три значения (y_1,x₁, x₂), находим четвертый пропорциональный. Используя любые три величины, связанные пропорциональной зависимостью, можно составить шесть видов задач на нахождение четвертого пропорционального.

Т.Е.Демидова, А. П. Тонких считают, что «на первом этапе обучения новому типу задач целесообразно подвести учащихся к самостоятельному нахождению способа решения на основе выполнения системы практических действий, которые служат средством анализа, выявления отношений между предметами. После практических упражнений полезно предложить задачи с сюжетом, которые представляют большую трудность. В связи с этим необходимо использовать схемы, рисунки, чертежи, возникающие в совместной деятельности»[4].

Итак, здесь три величины, одна из них постоянна, а две другие - переменные. Известно два значения одной из них (количества) и одно значение другой (стоимости). Ясно, что стоимость карандашей уменьшится во столько же раз, во сколько уменьшится их количество. Это можно увидеть в таблице:

Цена	Количество	Стоимость
одинаковая	6 карандашей 3 карандаша	40 рублей ?

Следовательно можно записать и решение по действиям с пояснениями:

1) 6 : 3 = 2 (раза) - во столько раз карандашей стало меньше;

2) 40 : 2 = 20 (р.) - стоимость трех карандашей.

Ответ: 20 рублей.

Задачи на пропорциональное деление.

К задачам этой группы относятся задачи, в которых данное значение некоторой величины требует разделить на части пропорционально заданным числам. В некоторых из них части представлены ясно, а в других эти части надо суметь выделить, приняв одно из значений этой величины за одну часть и определив, сколько таких частей приходится на другие ее значения:

Величины
	Цена	Количество	Стоимость
1	Постоянная	Даны два значения	Дано одно значение, а другое является искомым
2	Постоянная	Дано одно значение, а другое является искомым	Даны два значения
3	Даны два значения	Постоянное	Дано одно значение, а другое является искомым
4	Дано одно значение, а другое является искомым	Постоянное	Даны два значения

В основе задач на пропорциональное деление лежат задачи на нахождение четвертого пропорционального. К этой группе относятся следующие виды задач:

- задачи на части, или задачи, решаемые делением пропорционально ряду данных чисел;

- задачи на нахождение чисел по сумме и кратному отношению;

- задачи, решаемые делением числа пропорционально нескольким рядам чисел.

«Основным признаком задач на пропорциональное деление является содержащееся в них требование распределить одно числовое значение величины (например, стоимости) пропорционально данным числам (например, числу предметов в одной совокупности и числу предметов в другой совокупности)» - указывает А.В.Белошистая [3].

Задачи на части, или задачи, решаемые делением пропорционально ряду данных чисел.

К задачам данного типа относятся задачи, в которых значение некоторой величины нужно разделить на части прямо пропорционально ряду чисел. Приведем образец такой задачи.

Задача: Туристическая фирма располагает четырьмя базами отдыха, которые имею корпуса одинаковой вместимости. На территории 1-й базы отдыха расположены 6 корпусов, 2-й - 4 корпуса, 3-й - 5 корпусов, 4-й - 7 корпусов. Сколько отдыхающих может разместиться на каждой базе, если на всех 4 базах может разместиться 2112 человек?

Чтобы ответить на вопрос задачи, сколько отдыхающих может разместиться на каждой базе, нужно знать, сколько отдыхающих разместиться в одном корпусе, а также, сколько корпусов расположено на территории каждой базы. Число корпусов на каждой базе дано в условии. Чтобы узнать, сколько отдыхающих может разместиться в одном корпусе, надо знать, сколько отдыхающих может разместиться на всех 4 базах (это дано в условии) и сколько корпусов расположено на территории всех 4 баз. Последнее можно определить, зная из условия, сколько корпусов расположено на территории каждой базы.

Запишем, в соответствии с этим решение с пояснениями:

1) 6 + 4 + 5 + 7 = 22 (к.) - расположено на территории 4 баз;

2) 2112 : 22 = 96 (ч.) - может разместиться в одном корпусе;

3) 96 • 6 = 576 (ч.) - может разместиться на первой базе;

4) 96 • 4 = 384 (ч.) - может разместиться на второй базе;

1) 96 • 5 = 480 (ч.) - может разместиться на третьей базе;

2) 96 • 7 = 672 (ч.) - может разместиться на четвертой базе.

Ответ: на первой базе может разместиться 576 отдыхающих, на второй - 384 отдыхающих, на третьей - 480 отдыхающих, на четвертой - 672 отдыхающих.

Задачи на нахождение чисел по сумме и кратному отношению.

Чаще задачи этого вида можно увидеть в учебниках программ развивающего обучения - "Гармония" (учебник Н.Б.Истоминой, "Школа 2000..." (учебник Л.Г.Петерсон) и др.

Дадим образец задачи с пропорциональной зависимостью и этого вида.

Задача: На оборудование детской площадки, теплицы и спортивного зала администрацией школы было израсходовано 49 000 р. Оборудование детской площадки обошлось вдвое дешевле, чем теплицы, а теплицы в 3 раза дешевле, чем спортивного зала и детской площадки вместе. Сколько денег было израсходовано на оборудование каждого из указанных объектов?

Чтобы узнать количество денег, израсходованных на оборудование каждого объекта, надо знать, сколько частей всех израсходованных денег приходилось на оборудование каждого объекта и сколько рублей приходилось на каждую часть. Число частей израсходованных денег на оборудование каждого объекта определяется из условия задачи. Определив число частей на оборудование каждого объекта в отдельности, а затем, найдя их сумму, вычислим величину одной части.

Принимаем за одну часть - количество денег, израсходованных на оборудование детской площадки. По условию на оборудование теплицы израсходовано в 2 раза больше, т.е. 1 • 2 = 2 (ч.); на оборудование детской площадки и спортивного зала вместе израсходовано в 3 раза больше, чем на теплицу, т.е. 2 • 3 = 6 (ч.), следовательно, на оборудование спортивного зала израсходовали 6 - 1 = 5 (ч.)

На оборудование детской площадки израсходована одна часть, теплицы - 2 части, спортивного зала - 5 частей. Весь расход составлял 1 + 2 + 5 = 8(ч.)

8 частей составляют 49000 р., одна часть меньше этой суммы в 8 раз: 49000 : 8 = 6125 (р.). Следовательно, на оборудование детской площадки израсходовали 6125 р.

На оборудование теплицы израсходовано в 2 раза больше: 6125 • 2 = 12250 (р.)

На оборудование спортивного зала израсходовано 5 частей: 6125 • 5 = 30625 (р.)

Ответ: 6125 рублей; 12250 рублей; 30625 рублей.

Существуют и задачи, решаемые делением числа пропорционально нескольким рядам чисел.

К задачам данного типа относятся задачи, в которых значение некоторой величины нужно разделить на части пропорционально нескольким рядам чисел.

Задача: Двое рабочих получили 1800 р. Один работал 3 дня по 8 ч, другой 6 дней по 6 ч. Сколько заработал каждый, если за 1 ч работы они получали поровну?

Чтобы узнать, сколько получал каждый рабочий, надо знать сколько рублей платили за 1 ч работы и сколько часов работал каждый рабочий. Чтобы узнать, сколько рублей платили за 1 ч работы, надо знать, сколько заплатили за всю работу (дано в условии) и сколько часов работали оба рабочих вместе. Чтобы узнать общее число часов работы, надо знать о том, сколько часов работал каждый, а для этого необходимо знать - сколько дней работал каждый и по сколько часов в день. Эти данные в условии имеются. Запишем решение по действиям с пояснением:

1) 8 • 3 = 24 (ч) - работал первый рабочий;

2) 6 • 6 = 36 (ч) - работал второй рабочий;

3) 24 + 36 = 60 (ч) - работали оба рабочих вместе;

4) 1800 : 60 = 30 (р.) - получали оба рабочих за 1 ч работы;

5) 30 • 24 = 720 (р.) - заработал первый рабочий;

6) 30 • 36 = 1080 (р.) - заработал второй рабочий.

Ответ: первый рабочий заработал 720 рублей; а второй - 1080 рублей.

Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

К задачам данного вида относятся задачи, в которых рассматривается две прямо и обратно пропорциональные величины, такие, что известны два значения одной величины и разность соответствующих значений другой величины, а требуется найти сами величины.

Величины
	Цена	Количество	Стоимость
1	Постоянная	Даны два значения	Дано одно значение, а другое является искомым
2	Постоянная	Дано одно значение, а другое является искомым	Даны два значения

Задача: Два поезда прошли с одинаковой скоростью - один 837 км, другой 248 км, причем первый был в пути на 19 ч больше второго. Сколько часов был в пути каждый поезд?

Для ответа на вопрос задачи, сколько часов был в пути тот или другой поезд, надо знать пройденное им расстояние и скорость. Расстояние дано в условии. Чтобы узнать скорость, надо знать расстояние и время, за которое это расстояние пройдено. В условии сказано, что первый поезд шел на 19 ч дольше - это первая разность между величинами в данной задаче, а пройденное им за это время расстояние можно найти - это и будет вторая разность. Используя две разности, вычислим скорость первого поезда, а уже следующими действиями - время движения поездов.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

1) 837 - 248 = 589 (км) - на столько километров больше прошел первый поезд;

2) 589 : 19 = 31 (км/ч) - скорость первого поезда;

3) 837 : 31 = 27 (ч) - был в пути первый поезд;

1) 248 : 31 = 8 (ч) - был в пути второй поезд.

Ответ: первый поезд был в пути 27 часов, второй поезд - 8 часов.

Исходя из материалов проанализированной нами методической литературы, мы можем сказать, что задачи с пропорциональной зависимостью, решаемые в младших классах, имеют следующую классификацию:

1) задачи на нахождение четвертого пропорционального;

2) задачи на пропорциональное деление:

- задачи на части, или задачи, решаемые делением пропорционально ряду данных чисел;

- задачи на нахождение чисел по сумме и кратному отношению;

- задачи, решаемые делением числа пропорционально нескольким рядам чисел;

3) задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

1.3 Методические приемы обучения младших школьников решению тестовых задач с пропорциональной зависимостью

«В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. С одной стороны, практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни. С другой - пристальное внимание учителей к текстовым задачам, которое было характерно для России, почти исключительно российский феномен.

Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное правило. [7]» - так описывает работу по обучению школьников решению задач Ю.М.Колягин. Но современное образование давно отошло от таких методов обучения, они не возможны сейчас. Рассмотрим в своей работе наиболее эффективные условия для обучения учащихся начальной школы решению задач определенного вида - задач с пропорциональной зависимостью, которые являются для детей наиболее сложными.

По мнению Н.Б.Истоминой: «Одна из причин возникающих у детей трудностей в процессе решения этих задач заключается в том, что понятие «пропорциональная зависимость» не является предметом специального усвоения» [6].

Методисты М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова, подробно раскрывая методику работы с задачами с пропорциональной зависимостью утверждают то, что «связи между пропорциональными величинами раскрываются с помощью решения простых задач на нахождение одной из величин по данным, соответствующим значениям двух других величин (например, задачи на нахождение стоимости по известным цене и количеству)» [2]. Составим такие задачи в соответствии с теми процессами и характеризующими их величинами, которые мы изложили в предыдущем параграфе исследования:

1) Ручка стоит 8 рублей. Дима купил 3 такие ручки. Сколько денег заплатил Дима за покупку?

2) Вася купил 2 пирожка с мясом, заплатив за них 18 рублей. Какова цена пирожка?

3) Таня купила блокноты, заплатив 24 рубля. Сколько блокнотов купила Таня, если цена каждого - 6 рублей?

При решении подобных простых задач с пропорциональными величинами целесообразно использовать такие методические приемы обучения решению текстовых задач, которые способствуют формированию у учащихся представлений о пропорциональной зависимости величин. Некоторые из них мы уже указывали в первом параграфе исследования.

В числе приемов, которые советуют применять математики Л.Н.Скаткин, Т.К.Жикалкина можно назвать:

- - изменение одного из данных задачи;

- - сравнение результатов решения задач, в которых изменяется одно из данных;

- - интерпретация задачи в виде схемы, запись задачи в таблице;

- - анализ текстов задач с недостающими и лишними данными [6].

Например, учащимся можно предложить задачи с недостающими данными, при анализе которых они, пользуясь житейскими представлениями, сами употребляют термин «зависит».

Задача: Маша купила 5 тетрадей в клетку и 2 блокнота. За что она заплатила денег больше, за тетради или за блокноты?

Анализируя текст этой задачи, учащиеся могут обнаружить, что в них не хватает данных, и что ответить на вопрос задачи они не могут. Учащиеся ответят: «Это зависит от того, сколько стоит 1 тетрадь и 1 блокнот» и т. д. Для разъяснения учащимся смысла понятия «зависит», по нашему мнению, необходимо проследить, как изменяется одна величина в зависимости от изменения другой при постоянной третьей. Для этой цели можно воспользоваться приведенной задачи, дополнив ее условие.

Задача: В палатку привезли 6 ящиков апельсинов. Сколько килограмм апельсинов привезли в палатку?

Учащиеся быстро обнаруживают, что ответить на вопрос задачи нельзя, так как неизвестна масса одного ящика. Выделенные величины полезно зафиксировать в таблице, т.е. задачу мы будем моделировать, интерпретируя ее в виде таблице :

Масса ящика (кг)	Количество ящиков (ящ.)	Общая масса (кг)
	6	?

Дети могут дополнить условие и решить задачу. Затем надо проследить, как будет изменяться общая масса в зависимости от изменения массы одного ящика при постоянном их количестве или в зависимости от изменения количества ящиков при постоянной массе одного ящика. Для этого также целесообразно использовать таблицу:

Масса одного ящика (кг)	Количество ящиков (ящ.)	Общая масса (кг)
3	6	18
6	6	36
9	6	54
12	6	72

Рассматривая предлагаемую таблицу, стоит обсудить вопросы:

1) Какая величина не изменяется?

2) Какие величины изменяются?

3) Во сколько раз масса шести ящиков больше, чем масса двух ящиков?

4) Во сколько раз масса четырех ящиков меньше, чем масса двенадцати ящиков?

Аналогичные наблюдения следует провести при условии изменения количества ящиков, но при постоянной массе одного.

Затем полезно рассмотреть обратную ситуацию, предложив школьникам такую задачу:

24 кг помидоров разложили в 2 ящика, в 4 ящика, в 6 ящиков, в 3 ящика, в 8 ящиков. Сколько килограммов помидоров в одном ящике?

Масса одного ящика (кг)	Количество ящиков (ящ.)	Общая масса (кг)
?	2	24
?	4	24
?	6	24
?	3	24
?	8	24

При анализе данной таблицы выясняется:

1) Какая величина не изменяется?

2) Какие величины изменяются?

3) Как они изменяются?

Зависимость между количеством ящиков и массой одного ящика при постоянной общей массе можно смоделировать с помощью схемы. Для этого в тетради ученики могут изобразить 5 отрезков по 24 клетки, каждый из которых они делят на 2, на 4, на 6, на 3, на 8 одинаковых частей.

Анализ схемы позволит детям осознать зависимость между количеством ящиков и массой одного ящика при постоянной общей массе.

Использование перечисленных нами методических приемов (изменение одного из данных, интерпретация задачи в виде таблицы) при решении простых задач подготовит учащихся к решению составных задач с пропорциональными величинами.

Для того чтобы дети не подходили формально к решению этих задач, необходимо варьировать в их сюжетах постоянную величину. Тогда запись задачи в таблице и ее схематическая интерпретация будут восприниматься ребенком с необходимостью, и активизировать его мыслительную деятельность. В противном случае он будет ориентироваться на образец.

Естественно, такой подход к решению задач с пропорциональными величинами пишут С.А.Зайцева и И.Б.Румянцева, возможен в том случае, «если с самого начала знакомства с задачей велась целенаправленная работа по формированию у младших школьников умений анализировать текст задачи, выявлять в нем математические отношения, устанавливать взаимосвязь между данными и искомыми величинами и соотносить текстовую и схематическую модель задачи» [5].

Кроме этого, авторы советуют «при решении задач на нахождение четвертого пропорционального использовать различные способы ее решения.

1. Способ прямого приведения к единице»[5].

Этот способ состоит в том, что сначала узнают значение единицы одной из пропорциональных величин, затем значение указанного в условии количества. К единице приводят величину, для которой даны оба значения. Рассмотрим на примере. учитель обучение учащийся решение

Задача: На 6 одинаковых платьев израсходовали 30 м ткани. Сколько ткани потребуется на изготовление 3 таких платьев?

В этой задаче известны два значения количества и одно значение общего расхода. При решении способом прямого приведения к единице сначала находим расход на 1 платье: (30 : 6) • 3 = 15 (м).

В качестве тренировочных учащиеся выполняют творческие задания на составление задач по выражениям, например 84 : 6 • 10, после того как учитель предложит тему, т. е. укажет, о каких величинах пойдет речь.

2. Способ обратного приведения к единице.

Среди задач на нахождение четвертого пропорционального (на тройное правило) встречаются те, которые наиболее рационально решать способом обратного приведения к единице. С ним также следует познакомить детей. Он сводится к нахождению соответствующего значения единицы той величины, для которой в условии указано лишь одно данное (одно значение). Она выявляется при записи в виде таблицы.

Сопоставим два способа решения одной и той же задачи.

Производительность	Время работы	Объем работы
Одинаковая	6 ч ?	60 пл. 80 пл.

Из таблицы видно, что дано одно значение времени, и два числа, обозначающих объем работы, т.е. сшитых детских платьев.

Решая способом обратного приведения к единице нужно узнать, сколько за один час можно сшить таких платьев.

Сравним два способа решения.

Способ прямого приведения к единице	Способ обратного приведения к единице
1) За какое время мастер сошьет одно детское платье. 6 ч = 360 мин 360 : 60 = 6 (мин) 2) 6 • 80 = 480 (мин) 480 мин = 8 ч.	1) 60 : 6 = 10 (пл.) - сошьет мастер за один час. 2) 80 : 10 = 8 (ч) - время, за которое мастер сошьет 80 детских платьев.

Задача: Для засолки 12 кг огурцов разложили в 6 одинаковых банок. Сколько потребуется таких банок, чтобы разложить 24 кг огурцов?

Масса огурцов в 1 банке	Количество банок	Масса огурцов
Одинаковая	6	12 кг
	?	24 кг

Ученики могут пытаться решить эту задачу способом обратного приведения к единице: узнать массу огурцов в 1 банке (12 : 6 = 2 (кг)), а затем определить число банок, которое потребуется, чтобы засолить 24 кг (24 : 2 = 12 (б.))

Анализируя условие задачи, учащиеся убеждаются, что нельзя узнать, сколько требуется банок для засола 1 кг огурцов. Дети, более внимательные, вместе с учителем устанавливают зависимость между величинами: с увеличением массы возрастает и количество необходимых банок. Школьники определяют, сколько раз по 12 содержится в 24 кг, т. е. во сколько раз 24 больше 12, значит и банок получится во столько же раз больше.

Решение: 6 • (24 : 12) = 12 (б.)

Проанализируем способ решения задачи на пропорциональное деление на примере следующей задачи.

Задача: Двум семьям нужно уплатить в месяц за газ 70 рублей. В одной семье 4 человека, а в другой 3 человека. Сколько должна уплатить в месяц каждая семья?

В ходе решения этой задачи требуется 70 рублей представить в виде суммы двух слагаемых пропорционально числу людей каждой семьи. После того как будет вычислено, что всего в двух квартирах проживают 3 + 4 = 7 человек, предстоит ответить на следующие вопросы:

1) 7 человек должны уплатить 70 руб. Сколько должны уплатить 4 человека?

2) 7 человек должны уплатить 70 руб. Сколько должны уплатить 3 человека?

Составлены две задачи на нахождение четвертого пропорционального.

Подвести учащихся к самостоятельному решению задач на пропорциональное деление можно через преобразование задач на нахождение четвертого пропорционального или в результате составления задачи по рисунку:

- Что могут обозначать квадраты? (Ящики.)

- Что обозначает число 70 кг? (Массу продуктов.)

- Составьте задачу.

Дети способны предложить, например, такой вариант: «С одной грядки собрали 4 одинаковых ящика огурцов, а с другой 3 таких же ящика. Всего собрали 70 кг огурцов. Сколько огурцов собрали с каждой грядки?»

Решение задачи можно записать в виде выражений:

70 : (4 + 3) • 4

70 : (4 + 3) • 3

Также можно использовать данные способы и при решении задач на нахождение неизвестного по двум разностям.

При решении задач на пропорциональное деление, в содержание которых входят цена, количество, стоимость, приходится сумму двух значений количества предметов распределять прямо пропорционально двум числам. Если в каждом из рассмотренных случаев заменить сумму двух количеств их разностью, можно получить четыре различных вида задач с пропорциональными величинами. Одним из данных в них будет разность двух значений какой-либо из указанных выше величин. Таким образом, мы получили задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

Покажем на конкретном примере взаимосвязь задач на пропорциональное и деление и задач, имеющих в качестве одного из данных разность двух значений определенной пропорциональной величины.

Задача: Купили 7 м шелка и 5 м шерстяной ткани по одинаковой цене. За всю ткань заплатили 360 рублей. Сколько денег заплатили за шелк и за шерстяную ткань отдельно?

В беседе целесообразно выяснить, что в задаче известно, что требуется узнать, и записать ее текст кратко:

7 м шелка ?

360 руб.

5 м шерстяной ткани ?

Можно и предлагать начертить схему.

Решение записывается в виде выражений:

360 : (7 + 5) • 7

360 : (7 + 5) • 5

Ответ: 210 рублей заплатили за 7 м шелка,

150 рублей заплатили за 5 м шерстяной ткани.

Чтобы установить связь между условием задачи и способом решения, обычно проводится анализ решения.

- Что означает число 360? (Сумму стоимости двух различных групп предметов.)

- Что получаем в результате деления суммы стоимости на сумму предметов? (Цену.)

- Цену умножаем на число предметов, что получаем? (Стоимость.)

Используя текст данной задачи, под руководством учителя учащиеся могут составить обратную.

Вместо знаков вопроса ставят полученные ответы, число 360 стирают, получают такую запись:

7 м шелка 210 р.

5 м шерстяной ткани 150 р.

Вначале целесообразно выяснить, почему же за 7 м шелка заплатили больше, чем за 5 м шерстяной ткани, и на сколько больше. Заносят данные в таблицу, преобразуют ее и получают такую:

7м шелка на 60 рублей больше ?

5 м шерстяной ткани ?

По полученной краткой записи дети составляют задачу: «Купили 7 м шелка и 5 м шерстяной ткани по одинаковой цене. За шелк уплатили на 60 рублей больше, чем за шерстяную ткань. Сколько денег уплатили за шелк и шерстяную ткань отдельно?»

Решение записывается в виде выражений:

60 : (7 - 5) • 7

60 : (7 - 5) • 5

Выяснение того, что обозначает каждое число в этих выражениях необходимо для осознанной работы. Далее учащиеся вычисляют их значения и дают ответ на вопрос задачи.

Следовательно, как мы узнали, для наиболее успешной работы над формированием у младших школьников навыка решения задач с пропорциональной зависимостью целесообразно вести систематическую, целенаправленную методическую деятельность при которой важно применять систему методических приемов.

Выводы к I главе

Таким образом, опираясь на источники, можно смело утверждать, что задачи, решаемые школьниками в младших классах, занимают одну из важнейших ступеней в их обучении. Существует множество различных определений понятию текстовой задачи, огромное количество классификаций и методов их решения.

Итак, текстовая задача - это математическая задача, которая по своей структуре имеет условие и вопрос. Она представляет собой словесную модель ситуации, явления, события, процесса и т. п. Как в любой модели, в текстовой задаче описывается не все событие или явление, а лишь его количественные и функциональные характеристики.

Существуют различные виды задач. Среди этого многообразия выделяются наиболее сложные задачи - задачи с пропорциональной зависимостью между величинами.

В задачах с пропорциональной зависимостью, включенных в начальный курс математики рассматриваются, в основном, три процесса - купля - продажа, движение и работа. Первый процесс характеризуется такими величинами, как цена, количество, стоимость; второй - скоростью, временем и расстоянием; а третий - производительностью, временем, объемом работы.

При обучении младших школьников решению задач с пропорциональной зависимостью можно выделить три основных вида:

- на нахождение четвертого пропорционального,

- на пропорциональное деление,

- на нахождение неизвестного по двум разностям.

...