Исследование функций с помощью производной

Размещено на http://www.allbest.ru

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НИЖНЕВАРТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет естественных и точных наук

Отделение математики и информатики

032100 - «Математика с дополнительной специальностью информатика»

Методика обучения учащихся рациональным способам решения задач по алгебре и началам анализа

по теме «Исследование функций с помощью производной», 11 класс.

Дипломная работа

ТЫЩУК Светлана Михайловна

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Обучение учащихся рациональным способам решения математических задач

§1. Роль, место и функции задач в обучении математике

§2. Математические задачи. Классификация задач

§3. Методика обучения учащихся решению математических задач§4. Рациональность. Обучение учащихся рациональным способам решения задач

Глава 2. Методика обучения учащихся рациональным способам решения задач по теме: «Исследование функций с помощью производной»…

§1. Цели и содержание темы «Исследование функций с помощью производной»

§2. Система заданий по теме «Исследование функций с помощью производной», направленная на отработку навыков нахождения рациональных способов решения задач

§3. Методика обучения учащихся рациональным способам решения задач по теме «Исследование функций с помощью производной»

Глава 3. Эксперимент

§1. Введение

§2. Программа эксперимента

§3. Описание этапов эксперимента

§4. Заключение по эксперименту

Заключение

Глоссарий

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. В настоящее время происходит интенсивная смена государственной парадигмы образования, согласно которой обучение математике должно быть развивающем, ориентированным на личность.

Задача современной школы - формирование человека, совершенствующего самого себя, способного самостоятельно принимать решения, отвечать за эти решения, находить пути их реализации.

В Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г., отмечено, что российское образование способно конкурировать с передовыми странами, при условии формирования у молодого поколения современного мышления, характеризующегося мобильностью, динамизмом, конструктивностью [8]. Российскому обществу нужны образованные, нравственные, предприимчивые люди, которые могут самостоятельно принимать ответственные рациональные решения в ситуации выбора, прогнозируя их возможные последствия. Одним из способов повышения образовательных достижений российских школьников и является обучение рациональным способам решения задач.

Каждый день человек стоит перед выбором и от того, какое решение он примет, зависит его жизнь.

Цели образования ЮНЕСКО: «научить получать знания (учить учиться)» и «научить работать и зарабатывать» (учение для труда), т. е. необходимо научить учащихся самостоятельно добывать знания, проводить исследования, находить различные пути решения задач и из них выделять наиболее рациональные. Рациональный подход к решению жизненных ситуаций и проблем, говорит о том, что человек способен и готов к самостоятельной, профессиональной деятельности. Обучая рациональным способам решения задач, мы учим учащихся трудиться и зарабатывать.

При изучении математики решение задач занимает большую часть учебного времени. За период обучения учащиеся в школе решают несколько десятков тысяч задач. Но это не способствует развитию умений выбирать рациональные способы решения.

В практике обучения математике решение задач чаще всего рассматривается лишь как средство сознательного усвоения школьниками программного материала. Даже задачи повышенной трудности имеют целью отработать умения и навыки решения стандартных задач. Таким образом, задачи выполняют в основном обучающие и контролирующие функции. Развивающие же функции задач практически отсутствуют. Одним из способов достижения этих функций является обучение учащихся рациональным способам решения задач.

Возникает проблема, разработать методику обучения учащихся рациональным способам решения задач.

Над данной проблемой работали Мазиник А. А., Колягин Ю. М., Кострикина Н. П., Оганесян А. В., Рощина Н. Л., Хилькевич А. П., Коменский Я. А. и др.

Пак И. И., исследуя данную проблему, показал каким образом, осуществляется обучение учащихся рациональным способам решения задач [21].

Объект исследования - это процесс обучения учащихся решению задач.

Предмет исследования - методика обучения учащихся рациональным способам решения задач при изучении темы «Исследование функций с помощью производной».

Цель - разработать методику обучения учащихся рациональным способам решения задач при изучении темы «Исследование функций с помощью производной».

Достижение цели предполагает решение ряда задач: 1) изучить и проанализировать психолого-педагогическую и методическую литературу по теме исследования; 2) подобрать систему заданий по теме «Исследование функций с помощью производной», решаемых различными способами; 3) разработать методику обучения учащихся решению задач, представленной системы, используя различные приемы отыскания рациональных способов; 4) экспериментально проверить эффективность разработанной методики.

Гипотеза: разработанная методика позволит повысить уровень умений учащихся выполнять решения задач рациональными способами.

Для решения поставленных задач использованы следующие методы исследования: изучение и теоретический анализ психолого-педагогической и методической литературы, анализ учебников и учебно-методических пособий по математике для 10 - 11 классов, беседы, интервью с учителем математики, анкетирование учащихся, наблюдение за процессом обучения математике в школе, экспериментальная проверка и оценка основных положений исследования.

Практическая значимость: разработана методика обучения учащихся рациональным способам решения задач; спроектированы цели, выбраны методы, разработаны средства контроля (3 самостоятельные работы), разработаны тематическое и поурочное планирование (фрагменты 8 уроков), составлены анкеты для учащихся и вопросы для интервью с учителем.

Разработанная методика обучения учащихся рациональным способам решения задач может быть использована в работе учителей математики, студентов.

Апробация и внедрение материалов исследования осуществлялась в ходе экспериментальной работы в школе № 12 г. Нижневартовска учитель математики Репина Анна Борисовна.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, глоссария и 17 приложений.

Список литературы представлен 31 наименованием.

Глава 1. Обучение рациональным способам решения математических задач

§ 1. Роль, место и функции задач в обучении математике

Жизненная деятельность человека (и общества) состоит из каждодневного решения различных задач. Большинство из этих, ставящихся жизнью задач, решается человеком (и обществом) в процессе направленной и планомерной деятельности. Решение многих задач требует от человека хорошо развитой способности к творческой деятельности или, по крайней мере, способности и умения отыскать в данных условиях более или менее оптимальное решение.

«Почти всегда изучение любой человеческой деятельности - в труде или игре - можно проводить как изучение ситуаций, в которых приходиться принимать решения, т. е. таких ситуаций, когда один человек или группа людей сталкивается с необходимостью выбора какого-нибудь одного из нескольких действий (хотя бы из двух). Поэтому изучение человеческой деятельности можно в основном свести к изучению поведения человека в условиях производимого им выбора, т. е. в условиях ситуаций, в которых нужно принимать решения», т. е. в процессе решения человеком различных задач [13].

Задачи играют огромную роль в жизни человека. Задачи, которые ставит перед собой человек, и задачи, которые ставят перед ним другие люди и обстоятельства жизни, направляют всю его деятельность, всю его жизнь. Мышление человека главным образом и состоит из постановки и решения задач.

Особенно большую роль играют задачи в обучении математике. Эта роль определяется, с одной стороны, тем, что конечные цели обучения сводятся к овладению учащимися методами решения определенной системы математических задач. С другой стороны, она определяется и тем, что полноценное достижение целей обучения возможно лишь с помощью решения учащимися системы учебных и математических задач. Таким образом, решение задач в обучении математике выступает и как цель и как средство обучения [30].

Зачем решают задачи в школе

При решении задач в процессе обучения математике наряду с реализацией одной из основных целей обучения математике - формированием знаний, умений и навыков эффективно использовать задачи для реализации воспитательных целей.

Одной из важнейших воспитывающих функций задач является формирование у школьников диалектико-материалистического мировоззрения. В процессе решения задач имеется возможность наиболее ярко продемонстрировать учащимся политехнический характер математики, ее прикладную направленность. Иллюстрируя применение математики к решению практических задач, можно показать, что математика, отражая явления реальной действительности, является мощным средством ее познания.

Ориентируя школьников на поиски красивых, изящных решений математических задач, учитель тем самым способствует эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры [14].

Задачи и упражнения могут служить разным целям обучения: мотивации изучения нового материала и его введения, возбуждения и развития интереса к математике, подведения к идее доказательства теоремы или решения другой задачи, приобщения к поисковой и творческой деятельности математического характера, иллюстрации математических фактов, самостоятельного изучения нового, осмысления и углубления теоретического материала, выработки необходимых умений и навыков, развития математического мышления, контроля и самоконтроля в знаниях, т. е. приобщения учащихся к практической деятельности [7].

На основе вышеизложенного можно выделить следующие функции задач:

1. Дидактическая. Задачи с дидактическими функциями (вводные, тренировочные) предназначены для облегчения введения или закрепления изучаемых теоретических сведений, эти задачи на непосредственное применение (определений, теорем, правил, алгоритмов, фактов).

2. Познавательная. Задачи с познавательными функциями содержат новую для учащихся учебную информацию, ориентированы на более глубокое усвоение основного материала и знакомство с новыми в познавательном отношении теоретическими сведениями (новые понятия, факта).

3. Развивающая. К ним относятся задачи содержащие вопросы отступающие от программы, это задачи на сообразительность, интуицию, воображение, логическое мышление [18].

Таким образом, предлагая школьникам задачу, учитель должен четко представлять, зачем ее решают, какова ее функция в обучении, какие мыслительные умения могут и должны быть сформированы у учащихся в процессе решения той или иной задачи.

§ 2. Математические задачи. Классификация задач

Леонтьев А. Н. дает следующее определение задачи. Задача - это цель, данная в определенных условиях. Под целью, здесь понимается предвосхищаемый субъектом результат будущего действия, ее роль состоит в регуляции хода выполнения действия и при необходимости его корректировки. Это широкое определение, подходящее к любым задачам (двигательным, перцептивным, мнемическим, учебным, математическим и др.) [20].

Математической задачей принято считать предложение, содержащее некоторые математические условия и требования [11].

О. Б. Епишева дает следующее определение математической задачи - это математический вопрос, ответ на который не является непосредственным и не может быть получен путем прямого применения известных схем [7].

Нами была выделена следующая классификация задач.

По характеру требования: задачи на доказательство; задачи на построение; задачи на вычисление.

По функциональному назначению: задачи с дидактическими функциями; задачи с познавательными функциями; задачи с развивающими функциями.

По величине проблемности: стандартные (известны все компоненты задачи); обучающие (неизвестен один из четырех компонентов задачи); поисковые (неизвестны два из четырех компонентов задачи); проблемные (неизвестны три из четырех компонентов задачи).

По методам решения: задачи на геометрические преобразования; задачи на векторы и др.

По числу объектов в условии задачи и связей между ними: простые; сложные.

По компонентам учебной деятельности: организационно-действенные; стимулирующие; контрольно-оценочные.

Кроме того, различают задачи: стандартные, нестандартные; теоретические и практические; устные и письменные; одношаговые, двушаговые и др.; устные, полуустные, письменные и т. д. [27].

Д. Пойа выделил следующие виды задач, это задачи на нахождение и задачи на доказательство.

Задачи на нахождение. Цель задачи на нахождение - это нахождение определенного объекта, неизвестного этой задачи, удовлетворяющего условию задачи, которое связывает неизвестное с данными этой задачи.

Задачи на доказательство - это задачи, в которых необходимо доказать или опровергнуть какое-то математическое утверждение [23].

Также существуют сюжетные задачи. Сюжетные задачи - это такие задачи, в которых описан некоторый жизненный сюжет (явление, событие, процесс). Эти задачи имеют и другие названия: текстовые, практические, аналитические и т. д. [31].

Интересна классификация задач, учитывающая характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников: алгоритмические задачи; полуалгоритмические задачи; эвристические задачи.

Алгоритмические задачи - задачи, которые решаются с помощью непосредственного применения определения, теоремы, т. е. для решения которых имеется алгоритм.

Полуалгоритмические задачи - задачи, правила, решения которых носят обобщенный характер и не могут быть полностью сведены к объединению элементарных актов.

Эвристические задачи - задачи, для решения которых необходимо выявить некоторые скрытые связи между элементами условия и требования или найти способ решения [28].

Более наглядно классификация задач представлена в приложении 1.

Виды задач

1. Задачи как средство обучения.

Задачи как средство обучения это задачи, которые являются вспомогательным материалом (средством) для введения какой-либо теории, фактов. В этом случае часто встречаются термины: обучение через задачи; обучающая цепочка задач; метод подготовительных задач; метод целесообразно подобранных задач. Такие задачи используются для мотивации и закрепления теории, для обучения алгоритмизации.

2. Задачи как цель обучения.

В этом случае задача сама является объектом изучения, задачи решаемые методом уравнений, задачи на построение, на исследование функции с помощью производной, задачи на вычисление. Основная цель таких задач - образовательная, т. е. научить учащихся решать задачи данного класса [26].

Основные компоненты задачи

В задаче выделяют следующие компоненты:

1) Условие - начальное состояние; 2) Базис решения - теоретическое обоснование решения; 3) Решение - преобразование условия задачи для нахождения, требуемого заключением искомого; 4) Заключение - конечное состояние.

Если все компоненты задачи - математические объекты, то задача называется чисто математической; если математическими являются только компоненты решение и базис решения, то задача называется прикладной математической задачей.

Стандартной называется задача, в которой четко определено условие, известны способ решения и его обоснование, а также даны упражнения на воспроизведение известного. Задача называется обучающей, если в ней неизвестен или плохо определен один из компонентов. Если неизвестны два компонента, задача называется поисковой, а если три - проблемной [28].

В любой задаче, как известно, есть неизвестное, т. е. то что необходимо найти и условие, т. е. то о чем говорится в задаче, но при рассмотрении задачи Д. Пойа вводит и такие понятия как двухэлементное или двухкомпонентное неизвестное, трехкомпонентное и т. д. Например, если задача заключается в том, чтобы построить окружность и ее радиус. Возможно, что будет полезно расчленить нашу задачу: вместо того чтобы сразу искать оба интересующих нас элемента - центр и радиус, можно попытаться найти сначала один, а затем другой [23].

В задачах на нахождение удобнее разделить условие на несколько частей или пунктов. Например, при решении геометрической задачи на построение условие можно разбить на две части так, чтобы каждая из этих частей порождала геометрическое место для искомой точки.

В задачах на доказательство, удобнее подразделять условия (предпосылки), или заключения, или как того, так и другого, на соответствующие части или пункты.

Рассмотренные классификации задач дают более полное представление о многообразии математических задач, которые рассматриваются в школе. Необходимо четко разделять между собой задачи, так как каждый вид предназначен для решения разного класса задач.

§ 3. Методика обучения учащихся решению математических задач

Решение задачи осуществляется в несколько этапов.

1) Изучение содержания задачи, для чего используют выделение в явном виде условия и требования задачи, краткую запись, геометрическую и графическую иллюстрацию, вопросы по содержанию задачи и другие методические приемы.

2) Поиск решения задачи, для чего используют специальный анализ (геометрический, алгебраический и т. д.), общий или частный анализ как прием поиска, решение вспомогательных задач, догадку, интуицию, сравнение или аналогию с уже решенной задачей, эвристический поиск, метод проб и ошибок. Поиск решения (или анализ) заканчивается планом решения задачи.

3) Решение задачи по составленному плану и его запись с обучением использованию принятых для данного типа задач обозначений, символов, терминов и обоснованием отдельных шагов решения.

4) Проверка решения или его исследование (в зависимости от характера задачи), запись ответа.

5) Анализ и оценка информации, полученной в процессе решения задачи, выделение наиболее важного и полезного из того, чему учащиеся научились на данной задаче или серии задач [7].

При решении задач, зачастую бывает достаточно сложно найти решение задачи, мы ставим цель, которую стремимся достичь и пытаемся наглядно ее представить, но сталкиваемся с препятствием, которое нам непременно необходимо преодолеть. В связи с этим Д. Пойа писал: «Если вы не в состоянии решить предложенную задачу, то попробуйте найти близкую ей легкую задачу». Конечно, в этом случае задача облегчается, мы находим более легкую задачу, решаем ее и из этого вытекает и решение более сложной задачи [23].

Задачи на уроках математики решаются, в основном, фронтальным образом. Фронтальное решение задач - решение одной и той же задачи всеми учениками класса в одно и то же время. Организация фронтального решения задач может быть различной.

Устное решение задач наиболее распространено в среднем звене общеобразовательной школы, несколько реже в старших классах. Это, прежде всего, выполняемые устно упражнения в вычислениях и тождественных преобразованиях и задачи-вопросы, истинность ответов на которые подтверждается устными доказательствами. Такое решение задач может проходить в форме «пятиминутки» устных упражнений.

Письменное решение задач с записью на классной доске самим учителем или учащимся на уроках применяют: при решении задач по ознакомлению с новыми понятиями и методами; при решении задач, самостоятельно с которыми могут справиться не все ученики класса; при рассмотрении различных вариантов решения одной и той же задачи; при разборе ошибок, допущенных несколькими учениками класса при самостоятельном решении задач и т. д.

Письменное самостоятельное решение задач - наиболее эффективная форма организации решения математических задач, при которой ученики обучаются творчески думать, самостоятельно разбираться в различных вопросах теории и приложений математики. Письменное самостоятельное решение задач значительно повышает учебную активность учащихся, возбуждает их интерес к решению задач, стимулирует творческую инициативу.

Комментирование решения математических задач: все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, а один из них последовательно поясняет (комментирует) решение. Ученик-комментатор объясняет, на каком основании он выполняет то или иное преобразование, проводит то или иное рассуждение, построение. При этом каждый шаг должен быть оправдан ссылкой на известные математические предложения.

Индивидуальное решение задач: учитель должен выяснить подготовку, возможности и способности к изучению математики каждого ученика и в соответствии с этим организовать решение математических задач.

Исключительное значение имеют самостоятельные работы учащихся по устранению пробелов в знаниях. Такие пробелы могут быть выявлены с помощью проверочных и контрольных работ, при решении задач на уроке или дома. Положительные результаты по устранению пробелов в знаниях дают работы над ошибками, коррекционные самостоятельные уроки.

Содержание задач и упражнений, предлагаемых для домашней работы учащихся, должно быть подготовлено предшествующей работой на уроке. Домашнее задание имеет целью не только повторение, но и дальнейшее совершенствование математических знаний, умений и навыков [28].

При решении задач учитель должен строго следовать методической схеме, выделять шаги решения. Необходимо особое внимание уделять второму этапу решения, так как именно поиск плана решения способствует развитию мышления учащихся, т. е. учащимся прививается алгоритмическая культура решения задач.

§ 4. Рациональность. Обучение учащихся рациональным способам решения задач

Рациональность. Рациональные способы решения математических задач

Огромная значимость нахождения школьниками различных способов решения задач по математике не раз отмечалась на страницах методической литературы. Однако наблюдения показывают, что на уроках, как правило, рассматривается лишь один из способов решения задачи, причем не всегда рациональный. Приводимая в таких случаях аргументация в виде отсутствия достаточного количества времени на решение одной задачи различными способами не имеет под собой основы: для математического развития учащихся гораздо полезнее одну задачу решить несколькими способами (если это возможно) и не жалеть на это времени, чем несколько однотипных задач одним способом. Из различных способов решения одной и той же задачи необходимо предложить учащимся выбрать наиболее рациональный, красивый, простой [14].

По мнению Фрейда, рационализация возникает, когда человек, не осознавая истинную причину своих действий, заменяет ее на другую, достаточно логичную и нетравмирующую, а потому более приемлемую для Эго. Ярким примером рационализации является известная басня Крылова «Лиса и виноград». Лиса, желающая полакомиться виноградом, наталкивается на непреодолимое препятствие - «висят они высоко: хоть видит око, да зуб немеет». Чтобы снять конфликт, Лиса прибегает к рационализации: «Ну что ж! На взгляд-то он хорош, да зелен - ягодки нет зрелой: тотчас оскомину набьешь» [20].

С точки зрения философии рациональность трактуется, как разумный, отправляющийся от разума, осуществляющий благодаря разуму, целесообразный, практический, вполне осмысленный [29].

Д. Пойа писал, что действие или суждение является рациональным, если оно основано на ясных, обозримых доводах, а не возникает из таких туманных источников, как привычка, впечатления, ощущения или «вдохновения». Утверждение, которое мы возводим в ранг математической теоремы после кропотливого и критического изучения его доказательства, - вот прототип рационального суждения. С известной точки зрения главная польза изучения математических доказательств состоит в том, что они ближе всего подводят нас к той идеальной рационалистической манере, мыслить, которая более всего приличествует человеку, homo sapiens, «разумному существу» [23].

Неясно, однако, в чем именно должна заключаться рациональность действий решающего. Практика показывает, что имеются хорошие шансы на то, что предварительное продумывание строго формулируемых соображений может оказать благотворное влияние на его интуицию, на смутные его ощущения, - и описанный образ действий, видимо, надо считать наиболее рациональным.

Как бы там ни было, решающий должен научиться сохранять равновесие между смутными ощущениями и ясными доводами. Возможно, что это - самое важное из того, чему он должен научиться. Д. Пойа сформулировал правило, которым должен руководствоваться решающий:

Никогда не идите наперекор своим ощущениям, но старайтесь также трезво взвесить все аргументы за и против ваших планов [23].

Из этого высказывания можно сформулировать некоторые пожелания (напутствия) ученикам при решении задач:

никогда впопыхах, сходу не пытайся решить задачу, это может привести к нежелательному результату;

сначала подумай, найди другие варианты решения задачи;

выбери наиболее рациональный, оптимальный для тебя [см. приложение 2.]

Рациональные способы решения задач - это наиболее простые, красивые способы решения [14].

При отыскании различных способов решения задач у школьников формируется познавательный интерес, развиваются творческие способности, вырабатываются исследовательские навыки [12]. После нахождения очередного способа решения задачи учащийся, как правило, получает большое моральное удовлетворение. Поэтому учителю важно поощрять поиск различных способов решения задач, а не стремиться навязывать свое решение.

Самое сложное в организации решения задач разными способами - это помощь учителя в нахождении этих способов. При этом учитель должен выступить не с идеей нового варианта решения, а с вопросом или серией вопросов, инициирующих появление соответствующей идеи или идей. Это не простое дело, и ему нужно учиться. Сложность связана с тем, что эта деятельность учителя направлена не на применение некоторого знания или приема, а на развитие воображения или интуиции ученика [5].

Бонтянский В. Г. и Груденов Я. И. работали над проблемой поиска различных способов решения задач и написали статью «Как учить поиску решения задач» [3], они показали основные затруднения, которые возникают у учащихся и предложили некоторые рекомендации, которые способствуют более быстрому отысканию способов решения задач.

Также над данной проблемой работала Зайцева Г. Д., которая написала статью «О решении задач различными способами» [9], Крайзман М. Л. его статья называется «Решение задач различными способами» [15] и др.

Рассматривая решение задач несколькими способами, учитель на уроке должен ориентировать учащихся на поиски красивых, изящных решений. Тем самым учитель будет способствовать эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры.

Рощина Н. Л. в своей статье «Решение задач различными способами - первый шаг к эстетическому восприятию геометрии» [25], показала эффективность решения задач различными способами. Она сделала вывод, что благодаря различным способам решения задач у учащихся повышается интерес к предмету: «никто из учеников не остается равнодушным, дети начинают смотреть на геометрию не как на сухую скучную науку, а видят, что и здесь нужны выдумка, фантазия, творчество».

Решая с учащимися ту или иную задачу, учитель должен стремиться к достижению двух целей. Первая - помочь ученику решить именно данную задачу, научить его решать задачи, аналогичные рассматриваемой; вторая - так развить способности ученика, чтобы он в будущем смог решить любую задачу школьного курса самостоятельно. Поэтому, преследуя вторую цель, при решении задач несколькими способами следует обратить внимание учащихся на наиболее рациональный, красивый способ решения данной задачи.

Решение одной задачи несколькими способами, и нахождение рационального способа, имеет большое значение для математического развития учащихся, чем решение однотипных задач.

Методика обучения учащихся рациональным способам решения математических задач.

Обучение рациональным способам решения задач нужно вести таким образом, чтобы обучить учащихся общим приемам рациональных решений.

Пак И. И. в статье «Приемы рационализации вычислений как средство развития мышления учащихся» [21], рассказывает, что существуют общие приемы рациональных решений, на основе которых решаются многие задачи и благодаря которым у учащихся развиваются различные формы мышления.

Рассмотрим наиболее общие приемы рациональных способов решения математических задач.

Прием отыскания рациональных способов решения, используя теоретический материал и систему предшествующих упражнений.

Например. Преобразовать в произведение выражение .

Данный пример можно решить так:

.

Но если перед решением данного примера, ввести формулу , то первый пример можно решить гораздо проще:

. Т. е. на выбор решения влияет система упражнений, предшествующих решаемому примеру или задаче.

Готман Э. Г. в статье «Поиск рационального решения задачи на экстремум» показал, что на выбор решения влияет ранее изученный теоретический материал. Например, при нахождении экстремумов функций, не всегда рационально использовать производную, гораздо проще находить экстремумы на основе свойств функций [4].

Все основные положения о влиянии теоретического материала и системы предшествующих упражнений на выбор способа решения предложенной задачи имеют место и при решении геометрических задач.

Если, например, при изучении теоремы Пифагора предложить задачу на вычисление длины некоторого элемента прямоугольного треугольника, то учащиеся ищут решение только с применением этой теоремы, т. е. отсутствует связь с предыдущим материалом.

Решая задачи и примеры определенного типа, учащиеся постепенно создают себе правила о едином подходе к их решению. В результате появляется формальный, почти механический подход, что снижает ценность решения соответствующих задач и примеров [17].

Например, при решении квадратных уравнений ах2 + bx + c = 0, когда а есть дробное число, учащиеся всегда предварительно приводят к общему знаменателю, ибо решение уравнения с целыми коэффициентами для них легче, чем с дробными, хотя коэффициенты при этом усложняются. Но если 4ас будет целым числом, то значительно проще решать уравнение без освобождения от знаменателя.

Поэтому необходимо не только поощрять, но и разъяснять с помощью специально подобранных примеров целесообразность отступления в конкретных случаях от схемы решения. Надо приучать учащихся указывать из нескольких возможных решений то, которое скорее и проще других ведет к цели.

Например, нередки случаи, когда учащиеся для отыскания корней квадратного уравнения (х - а)(x - b) = 0 раскрывают скобки и применяют формулу корней квадратного уравнения. Мы считаем, что в подобных недочетах виноват учитель. Если бы с учащимися основательно разобрали решение уравнений методом разложения на множители, то таких нерациональных решений учащиеся не допускали бы [17].

Необходимо показать учащимся метод устного нахождения корней квадратных уравнений по теореме Виета, который значительно облегчает и решение уравнений, сводящихся к квадратным, а также решение задач на составление квадратных уравнений.

Иногда, учитель сам того не замечая, приучает учащихся к нерациональным методам решения. Например, изучая системы уравнений, в которых неизвестные входят в знаменатели дробей и , делается вывод, что проще такую систему решить методом введения вспомогательных неизвестных.

Этот вывод ошибочен, так как, например, системы вида

проще всего решать устно, складывая и вычитая почленно эти уравнения.

Введение вспомогательных неизвестных оправдано при решении более сложных систем, где применение устных вычислений для большинства учащихся затруднительно.

Прием отыскания рациональных способов решения алгебраических задач составлением уравнений.

Обычно в таких задачах за исходные неизвестные принимают те величины, которые требуется определить. Но решение многих задач упрощается при более удачном выборе неизвестных величин.

Многие задачи по алгебре могут быть решены как составлением одного уравнения с одним неизвестным, так и составлением системы уравнений с несколькими неизвестными. В большинстве случаев составление системы уравнений значительно проще, чем составление уравнения с одним неизвестным, но решение системы сложнее, чем решение уравнения. Поэтому при оценке простоты решения нужно сравнивать, насколько составление системы уравнений проще, чем составление уравнения, и в какой степени это упрощение компенсирует усложнение вычислений.

Кроме того, существует ряд задач, решение которых чисто арифметическими методами изящнее и проще, чем с помощью уравнений.

В качестве примера рассмотрим задачу: «Два мотоцикла выехали одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу и встретились в 50 км от В. Прибыв в пункты А и В, мотоциклы сразу же повернули назад и встретились вновь в 25 км от А. Сколько километров между А и В?»

Решение этой задачи с помощью уравнения представляет для учащихся определенные трудности: не случайно в школьном учебнике аналогичная задача помещена в разделе «Задачи повышенной трудности».

Гораздо легче решить эту задачу, не составляя уравнения, а рассуждая так. От начала движения до первой встречи оба мотоциклиста проехали вместе расстояние, равное АВ, а к моменту второй встречи проехали вместе втрое большее расстояние. Таким образом, каждый из них до второй встречи проехал втрое больше, чем до первой. Мотоциклист, выехавший из пункта В, до первой встречи проехал 50 км. Следовательно, до второй встречи он проехал 150 км (50•3=150). Поэтому расстояние от А и В равно 125 км (150-25=125).

При таком походе эту задачу могут решить учащиеся не только VIII, но и V класса.

Прием отыскания рациональных способов решения задач, используя тождественные преобразования.

В таких заданиях обычно требуется упростить выражение или же найти его значение, при этом рациональность решения зависит от формулировки самого задания.

Например, если в задании сначала сказано упростить выражение, а затем найти его числовое значение, то не всегда решение будет рациональным, т. к. иногда удобнее сразу подставить числовые значения.

Но есть задания без указания на необходимость предварительного упрощения исходного алгебраического выражения, то в этом случае нужно выяснить, следует ли преобразовывать алгебраическое выражение или же сразу заменить все буквы их числовыми значениями.

Для упрощения тождественных выражений используются формулы сокращенного умножения, тригонометрические формулы, метод вынесения общего множителя за скобки, метод группировки и др.

Решение большинства задач сводится к последовательному решению отдельных простых задач. Ответы на промежуточные задачи используются как данные величины при решении последующих задач, что значительно упрощает решение данной задачи. Таким образом, можно выделить еще один прием нахождения рациональных способов решения, который основывается на промежуточных задачах.

Например, определить объем конуса, зная его высоту Н и боковую поверхность S. Для решения этой задачи не обязательно находить радиус основания конуса, достаточно найти его квадрат, что несколько упрощает решение. Так как в задаче исходные величины заданы в общем виде, то нет необходимости в ответе и в промежуточных вычислениях заменять р его числовым значением. Иногда в задачах гораздо проще в промежуточных выкладках выражать определяемые величины через р, не подставляя его числовое значение.

Рациональность зависит от формы записи решения арифметических и алгебраических примеров. Рассмотрим два способа записи решений: 1) отдельно по действиям; 2) последовательными преобразованиями, цепочкой.

Решение цепочкой состоит в том, что решение представляется в виде последовательно расположенных тождественных преобразований, причем действия, требующие громоздких выкладок, выполняются отдельно от основных записей, а все остальные выполняются устно. Такое решение будет рациональным, если почти все действия можно выполнить устно. Если же, например, для выполнения каждого действия нам понадобиться переписать весь пример, то даже и в случае отсутствия действий, требующих записей в стороне от основных, решение цепочкой будет менее рациональным, чем решение по действиям [17].

Для упрощения решений большое значение имеют формулы. Более того, введение некоторых из них мотивируется необходимостью упрощения вычислений и преобразований. Поэтому следующий прием рациональных решений, который мы рассмотрим, основывается на применении формул.

Например, квадратное уравнение можно решить выделением полного квадрата, но такие решения довольно сложны и громоздки. Так для уравнения x2 + px + q = 0 целесообразней применять общую формулу для нахождения корней уравнения:

Аналогичные примеры можно привести и из других разделов школьного курса математики.

Каждую из формул cos2x=cos2x - sin2x=1 - 2sin2x=2cos2x - 1 учащиеся всегда могут вывести, но знание этих формул в готовом виде не только упрощает выполняемые преобразования, но и сокращает время, а в некоторых случаях помогает найти план решения.

Большое значение имеет, и умение устно преобразовывать известную формулу, чтобы получить вспомогательные формулы, т. к. очень часто решение упрощается при применении несколько преобразованной формулы. Например, применение известной формулы куба суммы двух чисел в виде (а + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) значительно упрощает решение многих алгебраических и тригонометрических упражнений.

В действующих учебниках алгебры и начала анализа можно заметить, что основные формулы представлены на форзацах, это значительно облегчает восприятие и запоминание формул учащимися. В учебнике «Алгебра и начала анализа 10-11», Мордковича А. Г. после каждой главы выделяется отдельный параграф, в котором представлены все основные формулы и понятия, для структурирования и обобщения изученного материала.

Благодаря формулам решение многих задач значительно упрощается, но существуют и такие утверждения, которые способствуют отысканию рациональных способов решения задач. Такие утверждения называются вспомогательными, которые в большей степени используются на уроках геометрии.

Рассмотрим, лемму о подобии треугольников. На основании этой леммы доказываются все признаки подобия треугольников, она используется и при изучении темы «подобные многоугольники».

Так же при решении геометрических задач нередко значительно рациональнее установить подобие треугольников ссылкой на лемму, чем на один из признаков подобия треугольников.

Нужно обращать внимание учащихся на те утверждения, которые в учебнике даже не выделены в виде отдельной леммы, но знание, которых имеет большое значение в отыскании рациональных решений.

Рассмотрим еще один прием рациональных решений, в основе которого лежит метод вспомогательных неизвестных.

Очень часто выбор вспомогательных неизвестных достаточно сложен и непонятен, и от того какую величину мы обозначим за неизвестную, зависит рациональность решения задач. В этом случае учителю необходимо просто подсказать учащимся, какую величину целесообразно принять за неизвестное.

Например, найти четыре последовательных целых числа, произведение которых равно а.

Можно за неизвестное х принять наименьшее из них, тогда получим уравнение:

х(х + 1)(х + 2)(х + 3) = а, т. е. х4 + 6х3 + 11х2 + 6х - а=0.

Если же обозначить буквой х среднее арифметическое искомых чисел, то получим биквадратное уравнение , которое решается легко.

В таких случаях нужно подсказать учащимся, какую величину целесообразно принять за неизвестное, чтобы получить более простое решение.

В геометрии аналогом вспомогательных неизвестных являются вспомогательные (дополнительные) построения. Иногда достаточно построить вспомогательную прямую, отрезок или другую какую-либо фигуру, чтобы найти простейшее решение предложенной задачи.

Также следует отметить не только рациональные способы решения задач, но и рациональную запись решения. Далингер В. А. в своей книге «Обучение учащихся доказательству теорем» [6], показывает две формы рациональной записи доказательства теорем. Одна из них состоит в том, что в начале записывается вывод, а рядом аргументы, на основе которых был сделан вывод. Другая форма предполагает заполнение таблицы, состоящей из двух столбцов: шаги доказательства и обоснование шагов.

Рассмотренные нами примеры дают более общие представления о рациональных способах решения задач. Но нельзя конкретно говорить, что именно данный прием относится к этому классу задач, так как многие задачи решаются по-своему, могут сочетать в себе несколько приемов. Поэтому жесткие границы между приемами поставить нельзя, так же как не следует забывать, что существует множество частных приемов рациональных решений, которые подходят только для отдельных задач, некоторые из них основываются на знаниях из смежных дисциплин.

Глава 2. Методика обучения учащихся рациональным способам решения задач по теме «Исследование функций с помощью производной»

§ 1. Цели и содержание темы «Исследование функций с помощью производной»

Цели изучения темы «Исследование функций с помощью производной»

Образовательные - научить учащихся проводить исследования функций с помощью дифференциального исчисления, т. е. исследование функции новым методом - методом математического анализа, схематически строить график функции, показать новую форму представления исследований (таблица или с помощью числовой прямой); научить учащихся находить рациональные способы исследования функций с помощью производной и строить графики, подготовить учащихся к практической деятельности [24].

Развивающие - развить логическое мышление (анализ, синтез, обобщение, индукция, дедукция и др.), кругозор, мировоззрение, познавательный интерес.

Воспитательные - воспитать математическую культуру, культуру общения, самостоятельность, ответственность, активность.

Содержание темы «Исследование функций с помощью производной»

В данной теме рассматриваются следующие вопросы: «Построение графиков функций», «Наибольшее и наименьшее значение функции», «Применение производной к исследованию функций», «Выпуклость графика функции. Точки перегиба». Тема рассчитана на 12 уроков.

Ниже представлено тематическое планирование, которое отражает содержание данной темы, более полное планирование рассмотрено в приложении 3.

Тематическое планирование работы на II четверть по алгебре и началам анализа 11 класс (12 часов).

Тема «Исследование функций с помощью производной»

Учебник Алимов Ш. А. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. - 12-е изд.-М.: Просвещение, 2004

Дополнительная литература:

1. Звавич Л. И. Алгебра и начала анализа 11 класс: экзаменационные задачи. - 2-е изд.- М.: Дрофа, 2000.-192с.

2. Алгебра и начала анализа 10 - 11 класс. Под ред. Колмогорова А. Н. М.: Просвещение, 1991.

3. Сканави М. И. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. - 6-е изд.

4. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа за 10-11 кл. 3-е изд., исп.-М.: Мнемозина, 2002.- 375с.

5. Шабунин М. И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса.-М.: Просвещение, 2005.-142с.

6. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс: Часть 1. - М.: Изд-во Мнемозина, 2005. - С. 182 - 209.

№	Дата	Тема	Тип урока	Цель	Упражнения в классе	Упражнения дома	Самост. работа	Наглядность	Исслед. по дип.раб.	Литер.
1-4	22.11-25.11	Построение графиков функций	закрепления обобщ. и систем.	научить строить гарафики	926, 928(1), 5, 971(3),930,969,932,969	927, 928(2),931,933,935	+	таблица, дидакт.материалы	устные упр., самост. раб.	1,3,4 16
5-8	29.11-2.12	Наибольшее и наименьшее значение функции	изуч. нов. материала закрепления	ввести понятие наиб. и наим. зн. и науч. наход.	936, 1,3, 938(2,3), 940, 1, 3, 942, 945, 947	938(1),939 943,937	- +	- дидакт.материалы	- устные упр., самост. раб., реш.задач	1,3 5,2
9-10	6.12	Исследование функций с помощью производной	обобщения и систематизации	системат.изуч. материал	948,971	951,962 963	-	дадакт.материалы	устные упражнения, реш. задач	1-6 3,5
11.	9.12	Контрольная работа №2	контроля	проверить уровень усвоения знаний	-	-		дидакт.материалы	реш. задач	3,5
12.	9.12	Выпуклость графика функции. Точки перегиба	Изучения нового материала	Ввести понятие выпуклости функции	953(1,3),954(1,3) 955(4)	-	-	карточки	-	5

Анализ действующих учебников алгебры и начала анализа по вопросу обучения учащихся рациональным способам решения задач

Для разработки методики обучения учащихся рациональным способам решения задач нами были проанализированы действующие учебники алгебры и начала анализа Алимова Ш. А., Колмогорова А. Н. и Мордковича А. Г. Результаты данного анализа представлены в следующей таблице.

обучение рациональный математика производная

Тема «Исследование функций с помощью производной»

Учебник Критерии	Алимов Ш. А.	Колмогоров А. Н.	Мордкович А. Г.
1. количество решенных задач предложенных: а) в теории; б) из них рационально решенных.	11	10	13
	7	8	11
2. количество задач на закрепление: а) всего; б) предложено выбрать рациональный способ решения; в) предложено решить рациональным способом.	58	47	62
	-	-	-
	-	-	-

Проанализировав действующие учебники алгебры и начала анализа, мы пришли к выводу, что учебники не предполагают обучения учащихся рациональным способам решения задач. Решения большинства задач сразу даются в рациональном виде. Например, при построении графика функции , Алимов Ш. А. исследует данную функцию с помощью производной, как конечно и предполагает изучаемая тема, при этом не оговаривается, что есть более простое построение графика этой функции. Можно заметить, что хотя о рациональности ничего не говориться в учебнике, Алимов Ш. А. при построении графика данной функции использует некоторые элементы рациональности. Так, например, график сначала строиться на положительной оси, а затем симметрично отображается относительно начала координат. В учебнике Колмогорова А. Н., автор сразу рассматривает построение графика сложной функции, в данном случае исследование функции с помощью производной является рациональным решением. Но в упражнениях, которые рассматриваются в учебнике, даются такие функции, графики которых проще строить, не используя производную. Например, построить график функции f(x)=x2 - 2x + 8, здесь рациональнее поступить так: выделить полный квадрат, т. е. f(x)=(x - 1)2 + 7, а затем построить график. Графиком в данном случае является парабола, которая получается путем смещения ее вершины. В учебнике Мордковича А. Г., так же рассматриваются квадратичные функции, и строятся их графики на основе исследования с помощью производной. В учебниках в основном приводятся функции, которые даются в «готовом виде», т. е. не требуют никаких преобразований, нет необходимости приводить функцию к более рациональному виду. В таких случаях сразу начинают находить производную, либо проводить исследование функции и строить график, но когда дается функция, требующая предварительного преобразования, учащиеся по образцу с предыдущими заданиями также начинают выполнять задание, не видя рационального пути решения, что очень часто приводит к громоздким вычислениям. Поэтому целесообразно включать в школьные учебники такие задания, которые не являются аналогами предыдущих, а они должны содержать в себе как можно больше связей с ранее изученными темами. Например, найти производную функции , здесь конечно можно сразу находить производную, но лучше сначала упростить данную функцию, при этом учащиеся вспомнят тождественные преобразования выражений, а затем найти производную, при этом вероятность допустить ошибку при вычислении производной снижается. Алимов и Колмогоров в своих учебниках, при построении графиков функций, используют таблицу, в которую заносятся результаты исследования функции, в этом проявляется рациональность оформления решения задачи, так как таблица является более наглядной, с ее помощью можно легко построить график функции. В учебнике Мордковича при исследовании функции таблицы не используются, а дается лишь краткое описание шагов построения. Итак, в действующих учебниках не заостряется внимание на рациональных способах решения задач, но предлагаются задания, решения которых уже представлены в рациональном виде.

§2. Система заданий по теме «Исследование функций с помощью производной», направленная на отработку навыков нахождения рациональных способов решения задач

Нами была разработана система задач трех уровней, которая предполагает обучение учащихся рациональным способам решения задач.

1 уровень. Задачи на распознавание.

Задание 1. Какое из приведенных решений является наиболее рациональным и почему?

Исследовать функцию у = х2 - 2х + 1 и построить график

1 способ	2 способ
у = х2 - 2х + 1 = (х - 1)2 D(y) = R E(y) = R графиком является парабола, ветви направлены вверх. график сдвигается на 1 по оси х вправо.	D(y) = R E(y) = R нули функции у=0, х2 - 2х + 1=0 х=1, (1, 0) - с осью оу х=0, у=1, (0, 1) - с осью ох монотонность y`=2x - 2, у`=0, 2x - 2=0, x=1 у(х) на (- ?; 1) у(х) на (1; +?) экстремумы х = 1 - точка минимума у(1) = 0 - минимум функции график

Задание 2. Какое из приведенных оформлений записей решений при исследовании функции у = х3 - 9х, является наиболее наглядным и рациональным.

1 способ.

у`=3x2 - 9, y` = 0: x1=v3, x2= - v3.

у`(- v3)=0

у`(v3)=0

монотонность:

у(х) на (-?;- v3)U(v3; +?)

y(x) на (- v3; v3)

экстремумы:

x = -v3 - точка максимума, у(- v3)=6 v3 - максимум функции,

x = v3 - точка минимума, у(v3)= - 6 v3 - минимум функции,

2 способ.

х	x < - v3	- v3	- v3 < x <v3	v3	x > v3
у`(х)	+	0	-	0	+
y(x)		6 v3		- 6 v3

Задание 3. Какое из приведенных решений является наиболее рациональным и почему?

Найти наибольшее значение функции у = на отрезке [2; 4]

1 способ	2 способ
D(y) = R, x?0 E(y) = R найдем критические точки у`=0, =0, x4+3=0 - нет корней, х4=0, х=0 - не является критической точкой, т. к. х=0D(y) найдем значение функции на концах отрезка у(2)=15/8 у(4)=255/64 - наибольшее значение функции	D(y) = R, x?0 E(y) = R y`= заметим, что данная функция критических точек не имеет, т. к. х=0D(y) найдем наибольшее значение функции. Ясно, что в точке х=4 функция будет принимать наибольшее значение т. е. у(4)=255/64 - наибольшее значение функции

Уровень 2. Задания - реконструктивные.

Задание 4. Дан алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, путем удаления некоторых шагов, сделать данный алгоритм наиболее рациональным.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Найти область определения функции.

Найти множество значений функции.

Найти нули функции.

Найти производную функции, стационарные точки, выделить промежутки, на которые стационарные точки разбивают область определения, определить знак производной на каждом промежутке.

Найти экстремумы функции и значения функции в данных точках

Найти значения функции на концах отрезков.

Сравнить полученные значения.

...