Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

• Содержание
• Введение
• Глава 1. Психолого-педагогические особенности школьников 5-6 классов
• 1.1 Особенности школьников возраста 10-12 лет
• 1.2 Формирование мыслительной деятельности школьников в начальном курсе математики
• Краткие выводы по первой главе
• Глава 2. Теоретические основы решения задач составлением уравнений в 5-6 классах
• 2.1 История сюжетных задач и методов их решения
• 2.2 Решение задач путем составления уравнения
• 2.3 Методика обучения решению задач в современной школе
• 2.4 Из опыта работы педагогов-исследователей о методике решения задач составлением уравнений
• Краткие выводы по второй главе
• Глава 3. Описание практической работы по изучению темы: «Методические особенности решения задач составлением уравнений в 5-6 классах»
• 3.1 Организация практической работы
• Заключение
• Список используемой литературы

Введение

Актуальность.

Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, пользоваться вычислительной техникой, находить в справочниках и применять нужные формулы, владеть практическими приемами и читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятный характер случайных событий, составлять несложные алгоритмы.

Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, в воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые. В ходе решения задач - основной учебной деятельности на уроках математики - развиваются творческая и прикладная стороны мышления.

В настоящее время материал, связанный с решением задач путем составления уравнений составляет значительную часть школьного курса математики. Велика роль текстовых задач.

Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащегося. Поэтому важно, чтобы и учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, ее структуре, умел решать такие задачи различными способами. Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения. В качестве основных способов решения задач в математике различают арифметические и алгебраические. При арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами. При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения.

В зависимости от выбора неизвестного (неизвестных) для обозначения буквой (буквами), от хода рассуждений можно составить различные уравнения по одной и той же задаче. В этом случае можно говорить о различных алгебраических решениях этой задачи.

Обучение решению задач данным методом начинают с создания положительных мотивов изучения темы. Мотив - это решение задач путем составления уравнения. Учебно-познавательный мотив - интерес к составлению уравнений. При этом используют синтетические и аналитические приемы решения задач. Предпочтение отдается синтетическому приему, так как аналитический прием в чистом виде, как правило, более труден для учащихся. Первый прием состоит в том, что условия сложной сюжетной задачи разбиваются на простые, идя от условий задачи, то есть от того, что нам известно, а второй прием разбивания задачи на простые производится, идя от вопроса задачи.

Огромный вклад в решение задач методом составления уравнения внесли ученые-математики: И.А.Арнольд, Л,Н,Статкин, Д,Пойя, А.Н.Барсуков, М.И.Змиев и многие другие.

Объект: учебный процесс.

Предмет: методические особенности решения задач составлением уравнения в 5-6 классов.

Цель: изучить особенности решения задач составлением уравнения в 5-6 классах.

Задачи:

1. Изучить научно-методическую и учебную литературу, опыт работы педагогов-исследователей.

2. Выявить методические особенности решения задач путем составления уравнений.

3. Разработать методические рекомендации студентам и педагогам по особенностям решения задач составлением уравнения в 5-6 классах.

Гипотеза: Если педагог в своей работе будет учитывать методические особенности решения задач путем составления уравнения, то результаты его работы будут более успешными.

При этом необходимо учитывать следующие обстоятельства - учет возрастных и психологических особенностей детей.

Практическая работа - исследование проводилось в г. Александровск-Сахалинском на базе средней общеобразовательной школы № 6 в 6 «Б» классе. Для подтверждения гипотезы работа проводилась в два этапа.

На первом этапе изучалась научно-методическая и учебная литература, определялись метод и теория, основы практической работы, задачи.

Второй этап - практический.

Практическая работа проводилась в средней общеобразовательной школе, делались выводы, оформлялись результата практической работы.

школьник математика уравнение обучение

Глава 1. Психолого-педагогические особенности школьников 5-6 классов

1.1 Особенности школьников возраста 10-12 лет

Достаточно долгое время в психологии господствовало мнение (например, П.П.Блонского), что элементы алгебры следует изучать в старших классах в силу особенностей младшего школьника, не способности его к образованию абстракций более высокого уровня. В последние годы исследования психологов (П.Я.Гальнерин, В.В.Давыдов, Д.Б.Эльконин и других) и педагогов (А.И.Маркушевич, А.М.Пышкало и других) было установлено, что познавательные возможности младших школьников при традиционной системе обучения значительно занижались. Дети 6-11 лет при определенной организации обучения могут полноценно усвоить содержание некоторых алгебраических понятий. При этом у них раньше, чем обычно, возникают предпосылки к теоретическому рассуждению (особенно в связи с введением буквенной символики).

Включение в содержание обучения элементов алгебры, особенно упражнений с функциональным содержанием, позволяет увидеть динамичность явлений реального мира, взаимную обусловленность и связь величин, а это оказывает большое влияние на формирование мировоззрения учащихся. Изучение алгебраического материала способствует развитию у учащихся таких логических приемов, как анализ и синтез, обобщение и конкретизация, индукция и дедукция.

Вопрос о том, как преподавать алгебру в школе, предполагает одновременную постановку еще двух вопросов: о природе самой алгебры и о природе развивающегося детского интеллекта. Преподавание алгебры должно строиться таким образом, чтобы в процессе обучения:

· отражалась роль алгебры как явления человеческой интеллектуальной культуры;

· развивались индивидуальные интеллектуальные силы ребенка.

Каким же требованиям должны удовлетворять учебные тексты, чтобы подготовить ребенка к изучению систематического курса алгебры?

Чтобы выдержать содержательный аспект в конструировании учебного текста, необходимо учитывать следующий базовые элементы алгебраического знания:

· алгебраический язык как универсальный абстрактный язык описания реальности;

· алгебраическая операция в контексте всех ее основных свойств;

· алгебраические структуры как специфическая форма представления (кодирования) информации;

· семантика алгебраических понятий как предпосылка создания основных аспектов реальности, которые связаны не только со сферой «возможного» (обычного) опыта человека, но и со сферой его «невозможного» опыта.

Усвоение алгебры - это освоение нового языка, новых способов познания, новых форм организации информации, нового видения реальности.

Однако для того, чтобы алгебра была усвоена ребенком именно в этих своих важнейших аспектах, необходимо, чтобы он был психологически подготовлен к такому ее усвоению. В частности, еще до начала изучения собственного курса алгебры должны быть сформированы интеллектуальные механизмы, которые смогут «принять на себя» сложный алгебраический учебный материал. Следовательно, при конструировании учебных текстов следует принимать во внимание собственно психологическую линию.

Обеспечить интеллектуальный рост ребенка - значит расширять, обогащать и перестраивать его индивидуальный познавательный опыт. В том числе:

длительно и постепенно «выстраивать» понятийный опыт каждого ребенка, помогая ему при этом понять значение, как отдельных знаков, так и знаковых выражений;

в максимальной мере подключать и развивать в направлении общения его образный опыт, поскольку способность к визуализации позволяет «схватывать» смысл математических понятий, минуя развернутое словесно-логическое доказательство;

усложнять опыт работы с объектами, включая как основные мыслительные операции, так и эвристические приемы и прогнозы мыслительного эксперимента;

формировать опыт ребенка;

опираться на индивидуальный интуитивный опыт детей через актуализацию конкретных жизненных впечатлений, интеллектуальных предчувствий и верований, эмоциональных оценок и так далее;

выстраивать многомерное ментальное пространство осмысления учебного материала, в рамках которого возможны мысленные переходы от монолога к полилогу, от одной точки зрения к их разнообразию, от аргументации - к контраргументации и так далее.

Постепенное ознакомление детей 10-12 лет с буквенными знаками в темах, посвященных изучению числовых множеств, преследует вполне определенную цель, а именно: ребенок должен осмысленно оценить роль алгебраического языка как интеллектуального инструмента, позволяющего в компактном и образном виде фиксировать и выражать соотношение между любыми числовыми объектами, приходить к общему способу решения аналогичных задач, исследовать скрытые закономерности в области своего предметного и числового опыта.

Осмыслив полезность буквенного знака, ученик должен овладеть навыком описания различных соотношений между объектами на геометрическом, обыденно-житейском, физическом, числовом материале - в виде тех или иных алгебраических выражений. Фактически речь идет о формировании способности осуществлять обратимые переводы визуального, житейского и числового опыта ребенка на алгебраический язык.

Важно подчеркнуть, что одним из условий, влияющих на успешное использование алгебраических выражений в будущем, является опыт ребенка с числовыми выражениями. Главное требование здесь - это гибкость в преобразованиях числовых выражений.

Наблюдая за изменениями числовых значений алгебраических выражений, ученики приходят к пониманию связей между самими алгебраическими выражениями.

Введение алгебраической символики на этапе пропедевтики курса алгебры, безусловно, не может быть сведено только к осознанию учеником роли алгебраического языка как особого языка описания реальности. Необходимо, чтобы он научился использовать алгебраический язык как инструмент собственной интеллектуальной деятельности в условиях решения разнообразных задач. Таким образом, встает методическая задача формирования определенного стиля мышления учащихся. Указанная задача может быть реализована в 5-6 классах в содержательном плане (в процессе знакомства учащихся с методом решения текстовых задач с помощью уравнений) и в психологическом плане (в процессе формирования интеллектуальных навыков исследовательской работы).

Для того, чтобы учащиеся успешно овладели одним из методов решения текстовых задач с помощью особого набора заданий их знакомят с основными элементами метода решения задач с помощью уравнений. Они учатся выбирать:

переменную;

основание для составления уравнения;

информацию, необходимую для решения задачи в условиях избыточности или недостаточности данных.

Таким образом, школьники учатся соотносить результаты решения уравнений с реальными условиями задачи, по которым составлены эти уравнения; строить (создавать) различные образные представления условия задачи (в виде рисунков, схем, таблиц и т.д.). Учащиеся также подводятся к осознанию того факта, что одна и та же реальная ситуация может быть математически выражена с помощью различных уравнений, что иногда внешне различные задачи могут быть решены с помощью одного и того же уравнения.

В вопросе развития психологической деятельности ребенка готовность к изучению алгебры предлагает формирование умения видеть закономерность, догадываться, задавать вопросы, строить гипотезы, доказывать и опровергать.

1.2 Формирование мыслительной деятельности школьников в начальном курсе математики

В начальном курсе математики предусматривается постепенная подготовка учащихся к усвоению понятия переменной (сам этот термин в начальных классах не используется).

Начинается эта работа еще в первом классе, где рассматривается так называемые примеры «с окошком» (с пропуском, который должен быть заполнен тем или иным числом). В учебнике представлены примеры такого рода, связанные как с равенствами, так и с неравенствами (вида: 6+=10; +=7; 5, 3). Начиная с первого класса, дети встречаются и с простейшими уравнениями, где буква обозначает пока лишь определенное неизвестное число. Во втором классе буква выступает уже в соответствующих выражениях как переменная, которая может приобретать различные числовые значения. Дети должны научиться понимать смысл простейших буквенных выражений, находить их значения при заданных числовых значениях входящих в них букв, выяснять, при каких значениях переменной будет верным равенство вида: 3+а=7.

Знакомство с элементами буквенной символики, помимо задачи подготовки детей к усвоению понятия переменной и использованию алгебраического способа решения задачи, используется в целях обобщения того арифметического материала, который составляет основы программы. В связи с этим во II-III классах специальное внимание уделяется решению задач с буквенными данными, составлению разнообразных буквенных выражений, их сравнению и прочее.

Постепенно, в связи с рассмотрением соответствующих арифметических вопросов, усложняется работа, связанная с решением уравнений. В программе приведены образцы, характеризующие характер и сложность уравнений, решаемых при изучении каждой темы. Решение уравнений в течение всех трех лет начального обучения основывается на использовании знаний зависимости между компонентами и результатами действий.

Умение решать уравнения применяется при решении текстовых задач.

Введение элементов алгебры в начальный курс математики позволяет с самого начала обучения вести планомерную работу, направленную на формирование у детей таких важнейших математических понятий, как выражение, равенство, уравнение. Ознакомление с использованием буквы как символа, обозначающего любое число из известной детям области чисел, создает условия для обобщения многих из рассматриваемых в начальном курсе вопросов арифметической теории, является хорошей подготовкой к ознакомлению детей в дальнейшем с понятием переменной, функцией. Более раннее ознакомление с использованием алгебраического способа решения задач позволяет внести серьезные усовершенствования во всю систему обучения детей решению разнообразных текстовых задач.

Как видно из сказанного, алгебраическая часть программы имеет существенное значение. Работа над всеми перечисленными вопросами алгебраического содержания, в соответствии с тем, как это намечено в учебниках, должна вестись планомерно и систематически в течение всех трех лет начального обучения. При этом усвоение ни одного из вводимых понятий в данном случае не должно доводиться до уровня формального определения. При обучении в следующих классах соответствующие понятия будут уточняться, трактовка некоторых из них претерпевать более или менее существенные изменения. Учитывая это, при обучении в начальных классах не следует забегать вперед, требовать каких бы то ни было формулировок, раскрывающих сущность рассматриваемых понятий и даже способов действий. Это не только преждевременно, но и вредно, поскольку способствует закреплению в сознании детей знаний, которые в дальнейшем пришлось бы перестраивать.

Определяя методику работы над вопросами алгебраического содержания, нужно поэтому особенно четко представлять себе цель этой работы, задачу, которая должна быть решена на начальном этапе обучения. Рассмотрим это требование применительно к каждому из вопросов, относящихся к алгебраической пропедевтике. Следовательно, хорошее овладение умением составлять выражение по тексту любой простой задачи, а также составить выражение по тексту несложной составной задачи является важнейшим элементом в подготовке детей к использованию алгебраического способа решения задачи. Без такой подготовки составление уравнения при решении относительно трудной задачи, рассматриваемых в III классе, стало бы невозможным.

Введение в начальный курс обучения элементов буквенной символики предполагает, что дети уже в младшем школьном возрасте должны подняться еще на одну чрезвычайно важную ступень на пути к овладению абстрактными понятиями математики. Переход от действий с числами, от рассмотрения числовых выражений, равенств к выражениям, содержащим переменную, обозначенную буквой, сложная и ответственная задача.

Этот переход должен быть тщательно подготовлен. Система соответствующей подготовительной работы, намеченная в учебниках для I-III классов, обеспечивает накопление достаточного запаса знаний в ходе изучения чисел и арифметических действий с ними; она предусматривает и специальные упражнения, постепенно подводящие детей к осознанию переменной.

Учителю важно разобраться в этой системе и целенаправленно использовать каждое такое упражнение, чтобы не «перескочить», работая с детьми, ни через одну из намеченных в этой «лесенке» ступеней.

Так, впервые дети встречаются с использованием переменной уже в теме «Десяток» (I класс), когда им предлагаются так называемые примеры с “окошечком” (или с “перевернутой карточкой “).

Подготовкой к рассмотрению переменной является и вся система упражнений по заполнению таблиц, в которых представлены, например, различные значения слагаемых, а требуется найти соответствующее каждой паре таких значений значение суммы. Среди таких таблиц встречаются и таблицы, которые дают возможность познакомить детей практически со случаем, когда значение одного слагаемого (или уменьшаемого, вычитаемого и предприятие.) остается постоянным, а значение другого слагаемого изменяется.

К сожалению, наблюдения за практикой работы школ показывают, что довольно часто учителя недооценивают значения этих упражнений и используют их лишь как упражнения в вычислениях и для закрепления знания связи между компонентами и результатами действий. Это ослабляет подготовку детей к осознанию смысла буквы, которая во II классе будет введена для обозначения переменной.

Чтобы использование таблиц такого вида было полноценным, важно обращать внимание на то, меняется ли значение уменьшаемого, вычитаемого, разности, спрашивать, какое значение разности соответствует тому или иному значению уменьшаемого и соответствующего значения вычитаемого и т.п.

Во II классе в начале года вводятся буквенные обозначения переменной, и начинается работа над выражениями с переменной.

Основные направления в работе, связанной с использованием буквенной символики, в дальнейшем состоят в нахождении значения выражения, содержащего переменные, при заданных числовых значениях входящих в него букв, в записи в общем виде некоторых усвоенных ранее арифметических закономерностей, в решении задач с буквенными данными.

При характеристике содержания обучения в начальных классах отмечалось, что первое знакомство с уравнением происходит в I классе, где оно вводится как название записей вида:

3 + х = 8,9-х=2, 6-х=2.

Итак, в ходе решения этих уравнений у детей должно быть постепенно сформировано понимание уравнения как равенства, содержащего неизвестное число, обозначенное буквой. Они должны понять, что всякий раз, как мы встречаемся с уравнением, задача заключается в том, чтобы найти значение этого неизвестного числа, при котором равенство будет верным. Значение неизвестного при решение уравнений в I-III классах, как правило, находится на основании знания связи между компонентами и результатами действий.

Сложность рассматриваемых уравнений от класса к классу, от года к году повышается в соответствии с требованиями, зафиксированными в программе.

Краткие выводы по первой главе

Учитывая возрастные особенности учащихся при решении задач путем составления уравнений, мы изучив научно-методическую литературу пл особенностям школьников возраста 10-12 лет считаем, что , включая в содержание элементы алгебры, особенно упражнений с функциональным содержанием, позволяет увидеть динамичность явлений реального мира, взаимную обусловленность и связь величин, а это оказывает большое влияние на формирование мировоззрения учащихся.

Преподавание алгебры должно строиться таким образом, чтобы в процессе обучения отражалась роль алгебры, развивались индивидуальные и интеллектуальные силы ребенка.

Глава 2. Теоретические основы решения задач составлением уравнений в 5-6 классах

2.1 История сюжетных задач и методов их решения

Еще на заре цивилизации, в школе Пифагора (571 - 479 до н.э.), возник дерзкий замысел сделать математические методы универсальным средством для решения всех естественно-научных задач. Но тогда этот замысел был обречен на провал в силу недостаточного уровня развития как естествознания, так и самих математических методов, так как алгебра и анализ находились лишь в зачаточном состоянии.

В Средние века этот замысел с новой силой был возрожден Р.Бэконом (1214-1294) «предвестником опытной науки новых времен». В центре опытной науки, по Бэкону, находятся физико-математические знания. Вообще, все науки основаны на математике и их истины имеют ценность лишь постольку, поскольку они выражены числом и мерой, то есть в математической форме. Математика в философских воззрениях Бэкона является «азбукой всей натуральной философии, то есть всего естествознания».

Взгляды Р.Бэкона оказали огромное влияние на мыслителей последующего столетия, формируясь как механико-математическая концепция, в трудах Н.Кузанского (1401-1464), Леонардо да Винчи (1452 - 1519), Гоббса (1588 - 1679), Декарта (1596 -- 1650), Спинозы (1633 - 1677), Локка (1632 - 1704), Ньютона (1648 - 1723), Лейбница (1646 - 1716), Эйлера (1707 - 1783), Канта (1724 -1804).

Эту концепцию хорошо иллюстрируют слова Канта: «Я утверждаю, что в каждой отдельной естественной науке можно найти собственную науку лишь постольку, поскольку в ней можно найти математику Л.М.Фридман.Сюжетные задачи по математике.».

Лишь Гегель (1770-1831) сумел преодолеть крайности этой концепции, подчеркивая ограниченность сферы применения современных ему математических методов. Но уже к тому времени сфера применения этих методов была довольно обширной и благодаря развитию алгебры и анализа дерзкий замысел древних был частично осуществлен, причем Декарт и Ньютон придали идеям древних более четкую форму.

Исходя из положения Р.Бэкона о том, что математика - азбука естествознания, и близкая мысль Галилея о том, что природа говорит математическим языком, в своих «Правилах для руководства ума» Декарт стремился дать универсальных метод решения задач. Он считал, что ко всем задачам может быть применена следующая схема:

Первое - задачи любого вида сводятся к математическим задачам.

Второе - математические задачи любого вида сводятся к алгебраическим.

Третье - любая алгебраическая задача сводится к решению одного единственного уравнения.

С течением времени сам Декарт должен был признать, что имеются случаи, когда его схема является непригодной. Но тем не менее в намерении, положенном в основу схемы Декарта, можно усмотреть нечто глубоко правильное. Однако претворить это намерение в жизнь оказалось очень трудно… Проект Декарта потерпел неудачу, однако это был великий проект и, даже оставаясь нереализованным, он оказал большее влияние на науку, чем тысячи мелких проектов, в том числе таких, которые удалось реализовать. Хотя схема Декарта и неприменима во всех без исключения случаях, она пригодна для огромного множества их, которое включает неисчерпаемое разнообразие случаев.

И когда ученик средней школы собирается решать «словесную задачу» при помощи «системы уравнений», он следует схеме Декарта и готов к серьезному применению лежащей в ее основе универсальной идеи.

Следует отметить, что идея решения задач с помощью уравнений связана не только с именем Декарта. По этому поводу уместно привести слова В.Ф.Кагана: «Вообще, всякая тенденция связать глубокую идею, широкий замысел с одним определенным лицом как с родоначальником этой идеи обычно по меньшей мере рискованна. Идеи широкого замысла не родятся из головы Юпитера - легендарного бога - или даже знаменитого философа Л.М.Фридман. Сюжетные задачи по математике.».

Рассмотрим суть аналитического метода решения задач по Декарту.

Приступая к решению задачи, тщательно проанализируйте ее. Что требуется найти и доказать? Что дано? Какая зависимость между данным и искомым? Пусть перечень данных и зависимостей будет полным и детальным, пусть в нем ничего не будет упущено из виду. Принимай за истинно данное лишь интуитивно ясное и логически доказанное, если же условие довольно сложно, дели его на части до тех пор, пока оно не станет ясным для тебя. Чтобы затем воссоздать в своем представлении условие задачи в целом, соблюдай порядок в рассуждении, иди от простого к сложному, от легкого к трудному, от интуиции к логике. А если задача не поддается анализу, не приступай к ее решению, не действуй вслепую. Но мобилизуй все свои знания, весь свой опыт для проникновения в суть задачи, сосредоточь все свое внимание на фактах, о которых в ней говориться до тех пор, пока не достигнешь ясного их понимания и при этом исследуй все по порядку, не опуская «мелочей».

Когда предварительный анализ закончен, «когда мы хорошо понимаем вопрос, надо освободить его от всех излишних представлений, свести его к кратчайшим элементам», сведя сложную задачу к ряду простых. Для создан7ия таких моделей надо перевести зависимость между реальными величинами на язык четырех арифметических действий, для чего нужно хорошо знать их предметную основу - операции над отрезками. Проделывая всю эту работу, надо «испытывать правильность каждого шага, принимая лишь то, что усматривается с полной ясностью или выводится с полной достоверностью».

Символическая буквенная модель задачи, таким образом, будет сведена к системе уравнения, смысл каждого из которых сводится к выражению одного и того же значения некоторой величины двумя разными способами. Чтобы задача имела определенное решение, нужно иметь столько уравнений, сколько в задаче неизвестных.

Исследуй решение задачи, если хочешь извлечь из нее пользу. Пройдя путь, брось «взгляд назад», интуитивный и дедуктивный.

Таким образом, мы видим, что уже в трудах Декарта имеется целая система методических указаний по решению аналитических задач. К сожалению, эти указания, за небольшим исключением, долгое время оставались неизвестными широкому кругу учителей, так как о них ничего не говорилось в методических руководствах. Только после выхода книг Д.Пойя эти указания в его пересказе стали известны учителям и методистам.

Положение Декарта о том, что для уяснения данных и их зависимостей надо дробить задачу на более мелкие и простые части, Б.Паскаль (1623-1662) дополнил указанием: «Заменяй термины их определениями».

И. Ньютон в своей «Всеобщей Арифметике» посвящает методике решения аналитических задач две главы: «О проведении вопроса к уравнению» и «О приложении уравнений к геометрическим вопросам». В первой из них он выдвигает следующие методические идеи:

К решению задач на составление уравнений можно приступать, лишь имея солидный опыт по тождественным преобразованиям алгебраических выражений и решению уравнений.

Приступая к решению задачи, надо предварительно выяснить: аналитична ли она, то есть возможно ли все данные и зависимости задачи перевести на алгебраический язык.

Задачи делятся на две большие группы: а) допускающие синхронный перевод с естественного языка на алгебраический; б) не допускающих синхронного перевода. В последнем случае бывает необходимо перефразировать текст задачи, придерживаясь больше смысла слов, чем их буквы.

Изучение задач - искусство; главный метод обучения здесь - показ; «искусство гораздо легче изучать при помощи примеров, чем при помощи предписаний». И. Ньютон показывает, как решать задачи, почти на восьмидесяти примерах.

Решение задач по общей части «тем быстрее и искуснее, чем меньше вы вводите неизвестных величин».

Для решения задач «трудно дать общие предписания, каждый должен… следовать указаниям собственного разума, я пытаюсь все же указать путь начинающим. Это последовать правилам Декарта».

Мы видим, что Ньютон дополняет методические указания Декарта пятью новыми положениями. К сожалению, широкому кругу учителей они до сих пор мало известны.

В течение двух столетий методика решения аналитических задач почти исчерпывалась указаниями, которые можно найти у Декарта и Ньютона, причем разные авторы ограничивались лишь отдельными указаниями великих мыслителей, игнорируя другие указания или выступая против них.

Методические особенности решения задач составлением уравнений можно предложить в следующей схеме:

Обозначь искомое буквой.

Допустив, что эта буква - ответ на вопрос задачи, производи над ней и над данными те же действия, которые мы производили бы, проверяя уже решенную задачу.

Это первое общее правило - «Правило проверки Лапруа».

При этом мы всегда должны иметь в виду, что цель наших действий - выразить одно и то же значение некоторой величины двумя различными способами.

Это второе общее правило - «Правило уравнения».

Наряду с этим нужно помнить, что научить решению задач можно путем показа многочисленных образцов неродственных задач - методы показа.

Нетрудно видеть, что первое общее правило - следствия правила Декарта. Второе общее правило - часть правила Декарта, а метод показа - это пятое положение Ньютона, даже взятые все вместе эти правила не исчерпывают Декарта и Ньютона. Но именно так поступали авторы большинства методических пособий.

Первое и второе правила и метод показа являются производными из метода Декарта - Ньютона.

Исходными характеристиками этого метода являются:

перевод описания реального явления с естественного языка на аналитический, независимый от того, какие значения величин, описывающих это явление, известны, а какие - нет;

свертывание аналитической модели задачи к оптимальному виду - уравнению - и его решение;

обратный перевод с аналитического языка на естественный.

Наряду с общими правилами, вытекающих из этих указаний Декарта и Ньютона, в их трудах имеются и явно ошибочные методические указания. Так, в условиях Декарта: чтобы задача имела определенное решение, надо иметь столько уравнений, сколько в задаче неизвестных, не является ни необходимым, ни достаточным, так как задача может иметь определенное решение даже тогда, когда число неизвестных больше числа уравнений. Несостоятельна также рекомендация Ньютона вводить минимальное число неизвестных, особенно на первых порах формулирования умения решать аналитические задачи.

Не будучи едиными в использовании производных характеристик метода Декарта-Ньютона, методисты алгебры были едиными в игнорировании его исходных положений и в признании правильными вышеуказанных ошибочных указаний. Методисты стали искать выход из создавшегося тупика.

После 50-х гг. методисты начинают обращать больше внимания на исходные указания метода Декарта-Ньютона. «Трудностью для учащихся является процесс перевода условия на язык алгебры», - пишет М.Змиева. На этом вопросе акцентирует свое внимание С.С.Бронштейн, Д.Майергойз, И.К.Браун и другие. Наиболее полно этот вопрос позднее был рассмотрен в работах Д.Пойя. Пойя использовал указания, содержащиеся в трудах Декарта, Паскаля, Ньютона, Панна и даже народные пословицы.

Методические указания по решению задач Д.Пойя относятся к решению задач любым способом, а не только аналитическим.

После 60-х гг. аналитический способ решения сюжетных задач прочно вошел в практику обучения не только средней школы, но и начальной.

Многие учителя и методисты пытались совсем изгнать из начальных классов арифметические способы решения задач и, начиная с первого класса, решать их исключительно с помощью уравнений. Весьма четкую оценку этим методическим новшествам дал академик А.Н.Колмогоров: «…Сейчас можно наблюдать, что использование «икса» применяется и тогда, когда это необходимо, и тогда, когда это попросту не нужно. Порой считают, что детям будет проще решать, если даже выполнение простейшей арифметической операции записывать с «иксом». На мой взгляд, это скорее анекдот, чем серьезная методическая идея».

Таким образом, мы видим, что все проблемы методики аналитических задач пока еще не получили какого-то обоснованного решения, но накоплен большой арсенал различных мнений и разных подходов к решению этих проблем. Для того, чтобы обоснованно решить эти весьма непростые вопросы, необходимо опираться на логико-психологическую теорию сюжетных, в том числе и аналитических задач.

2.2 Решение задач путем составления уравнения

Как же решаются задачи путем составления уравнения?

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса).

В условии сообщаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекты, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.

Требование задачи - это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной форме (Найти площадь прямоугольника) или в вопросительной форме (Чему равна площадь прямоугольника?).

Иногда задачи формулируются таким образом, что часть условия или все условие включены в одно предложение с требованием задачи.

Одна и та же задача может рассматриваться как задача с избыточными (недостающими) данными и как задача с достаточным числом данных в зависимости от имеющихся у решающего знаний.

Решить задачу - это значит через логически верную последовательность действий и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числовыми величинами, отношениями выполнять требования задачи (ответить на ее вопросы).

Исходя из этого, кроме арифметических и алгебраических способов решения текстовых задач, в математике используются и другие способы (графический, практический).

Классифицировать задачи очень сложно. При решении задач алгебраическим методом берут классификацию по фабуле: движение, покупка, на проценты и так далее.

Когда люди говорят о математике, они обычно вспоминают не только числа и фигуры, но также формулы и уравнения. И в самом деле, в математике без формул и уравнений не обойтись! А в них обязательно участвуют выражения с буквами, которые называют буквенными выражениями. Нужно хорошо понимать, что в каждом таком выражении за буквами скрываются числа. Как же возникают и используются при решении задач буквенные выражения, формулы и уравнения.

Как возникают буквенные выражения при решении задач.

Задача 1. Когда родился Игорь, его отцу было 24 года. Сколько лет было Игорю, когда отцу было: а) 25 лет; б) 26 лет; в) 27 лет; г) 28 лет; д) 29 лет и так далее?

Ответ можно дать таблицей:

Возраст отца	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34
Возраст Игоря	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Но Игорь и отец собираются жить долго, что же обязательно писать данную таблицу дальше? Нельзя ли выразить ответ покороче? Можно. И очень просто. Обозначим возраст отца буквой n. Тогда возраст Игоря будет n-24. Вот и возникло буквенное выражение. Какое число скрывается в нем за буквой n? Число лет отца.

Вот еще примеры буквенных выражений: n+1; n-1; a+b; 2d-5; (a+30):7.

Буквенным выражением называют запись, в которой числа и буквы соединены знаками действий и скобками. Если в буквенное выражение вместо букв подставить числа, то получится числовое выражение. Значит, из одного буквенного выражения возникает много числовых выражений. Все они похожи. Чем именно? В них одни и те же действия надо выполнить в одном и том же порядке. Только числа вместо букв могут быть разные. При каждом наборе чисел можно вычислить значение полученного числового выражения. Его называют числовым значением буквенного выражения при данных значениях букв.

Например, в выражении n-24, подставляем вместо n число 33, получаем числовое выражение 33-24. Его значение число 9. Из задачи 1 - это возраст Игоря, когда отцу было 33 года. Говорят: «При n=33, выражение n-24 принимает значение 9».

Итак, буквенные выражения возникают при решении задач, когда какие-то данные в их условиях могут меняться.

Но буквенные выражения могут появляться и в других случаях, когда без обозначения чисел буквами не обойтись.

Буквы необходимы для записи свойств и правил, которые выполняются для любых чисел:

1). Нахождение неизвестного слагаемого: «Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из известной суммы вычесть известное слагаемое».

2). Нахождение неизвестного уменьшаемого: «Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к известному вычитаемому прибавить известную разность».

3). Нахождение неизвестного вычитаемого: “Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из известного уменьшаемого отнять известную разность”.



4). Нахождение неизвестного множителя: «Чтобы найти неизвестный множитель, надо известное произведение разделить на известный множитель».

5). Нахождение неизвестного делимого: «Чтобы найти неизвестное делимое, надо известный делитель умножить на известное частное».

6). Нахождение неизвестного делителя: “Чтобы найти неизвестный делитель, надо известное делимое разделить на известное частное”.

Буквенное выражение, указывающее, как зависит какая-то одна величина от какой-то другой величины, называется формулой. Формула может указывать зависимость какой-то величины и от нескольких других величин. Так что и букв в формуле может встретиться несколько. С помощью формул можно также записывать свойства действий над числами.

В математической задаче тоже какие-то числа известны, а какое-то число (пока неизвестное) надо найти. Условие задачи обычно записывают словами. Но можно написать его, используя только математические знания. Тогда известное число легко будет найти.

Рассмотрим задачу.

Покупая бублик, Вася подал 20 копеек и получил сдачу 14 копеек. Сколько стоит бублик? Обозначим неизвестное число копеек буквой x. Что такое сдача? Это такое неизвестное число, которое дополняет х до 20. Тогда условие задачи говорит нам, что х+14=20. Вот мы и записали условие математическими знаками. Мы получили равенство.

Равенство, содержащее вывод, называется уравнением, если требуется найти неизвестное число, обозначенное этой буквой. Неизвестное число, обозначенное этой буквой и содержащееся в этом равенстве, называется переменной.

Понятие переменной - одно из важнейших понятий математики. Определение переменной учащимся не дается, а разъясняется на конкретных примерах. В тексте рассматриваются различные переменные. В дальнейшем чаще всего будут встречаться числовые переменные, значениями которых являются числа. В курсе математики 5-го класса довольно часто представляются возможности рассматривать переменные, значениями которых являются точки. К сожалению, на эти переменные учителя не обращают внимания, сосредотачивая его на числовых переменных. Причина ясна. Числовая переменная обычно обозначается строчной буквой латинского алфавита (полезно было бы и ее чаще обозначать прописными буквами, как это делается в физике), а ее значение - цифрами. Переменная на множестве точек, как и сами точки, обозначается прописной буквой. Учащимся трудно самим заметить, где буквой обозначена точка, а где переменная.

Перед изложением объяснительного текста учитель может заранее написать на доске ряд предложений:

К доске пойдет Иванов.

К доске пойдет Сидоров.

К доске пойдет Петров

При чтении этих предложений учащиеся замечают, что слова «К», «доске», «пойдет» повторяются во всех предложениях. Они не изменяются при чтении предложений одного за другим. Последнее слово - фамилия, изменяется. Все эти предложения, если бы их было и значительно больше, можно выразить и другим предложением: К доске пойдет х.

Если в это предложение вместо буквы х подставить слово «Иванов», то получится первое предложение. Заменяя букву х словом «Сидоров», получаем второе предложение и так далее.

Букву х называют поэтому переменной.

Рассмотрим числовые выражения (10-5)*7, (6-5)*7, (8-5)*7. Можно записать еще сколько угодно числовых выражений в такой же форме. Воспользовавшись переменной, все их можно выразить одной записью (R-5)*7, которая не является числовым выражением, но обращается в числовое выражение всякий раз, когда вместо переменной подставляют ее значение. Такие записи как (R-5)*7, называют выражениями с переменной.

Переменная может входить в выражение несколько раз. Например, переменная х входит в выражение (х+2)*х два раза. Тогда при нахождении значения выражения вместо одинаковых букв подставляют одно и то же число. Начинать надо с выражений, в которые входит лишь одна переменная и только один раз.

При изложении объяснительного текста учитель может предложить детям рассмотреть несколько числовых выражений одной и той же формы, отличающихся друг от друга каким-нибудь одним числом. Учащиеся заметят, что изменяется при переходе от одного выражения к другому и что остается неизменным. Они сами предложат использовать переменную для краткой записи всех этих выражений. Написав выражение с переменной, учитель подчеркнет, что из него можно получить любое из написанных числовых выражений, если только вместо переменной подставлять по очереди ее значения. Учащиеся должны понять, что значение выражения с переменной зависит от значения переменной.

Несмотря на то, что с выражениями, содержащими переменные, учащиеся встречались еще в начальных классах, решение задач с буквенными данными у части учащихся вызывает серьезные затруднения. Поэтому и предлагается начать упражнения с задачи, имеющей лишь числовые данные, а затем рассмотреть три подобные задачи с переменными. Всякий раз, как только решение задачи с буквенными данными вызывает затруднение, надо вместо буквы подставлять числовое значение, формулировать и решать получающиеся задачи до тех пор, пока учащийся не сделает необходимого обобщения. С уравнениями учащиеся 5_6 классов знакомы уже с первого класса, в объяснительном тексте они впервые встретятся с уравнением, имеющим два вхождения одной переменной (буква х в одном уравнении написана два раза). К тому же переменная содержится как в левой, так и в правой частях уравнения. Учащиеся должны понять, что при испытании числа на корень уравнения это число надо подставить вместо каждой буквы х, сколько бы раз она не входила в уравнение. Так, например, число 2 является корнем уравнения 5х=3х+4, потому что равенство 5*2=3*2+4 истинное, а число 3 не является корнем того же уравнения, так как равенство 5*3=3*3+4 ложное.

Чтобы создать у учащихся более полное представление об уравнении, им показывают уравнения, которые имеют более одного корня, а также уравнения, которые не имеют корней. Однако в 5 классе было бы преждевременным требовать, чтобы каждый учащийся умел приводить примеры таких уравнений. Важно, чтобы он знал, что не всякое уравнение имеет только один корень.

При изучении уравнений внимание учащихся сосредотачивается не на способе решения уравнений, а на понимании корня уравнения и множества его корней, на понимание постановки задачи о решении уравнения. Решить уравнение - это значит найти множество его корней. Для усвоения учащимися это мысли полезно при решении уравнений в ответе писать чаще множество корней. Для уравнения 5х=3х+4 в ответе можно указать лишь число 2.

Итак, при изучении переменной в V-VI классах учащиеся должны знать и уметь правильно употреблять термины «переменная» и «значение переменной», подставлять в предложение вместо переменной ее значения. Уметь составлять простейшие выражения с одно переменной по условию задачи, находить значение выражения при различных значениях переменной, записывать в виде таблицы значения переменной и соответствующие им значения выражения. Кроме того, учащиеся должны приобрести знания и умения при решении текстовых задач алгебраическим путем.

2.3 Методика обучения решению задач в современной школе

Каждому учителю хорошо известно, какое большое место в начальном обучении математике занимали всегда, да и сейчас продолжают занимать задачи.

Методика обучения детей решению задач претерпела серьезные изменения в связи с введением в начальный курс математики работы над числовыми и буквенными выражениями, равенствами и уравнениями.

По-новому стала оцениваться роль, которую играют задачи в процессе обучения математике, в связи с этим изменилось содержание соответствующей работы (отбор задач, предназначенных для рассмотрения с младшими школьниками, отбор тех способов их решения, с которыми должны быть ознакомлены дети). Коренным образом изменилась система расположения соответствующих упражнений во времени. Совершенно ясно, что в этих условиях существенной перестройке должны подвергнуться и методы обучения детей решению задач.

Отбор задач и тех методов их решения, с которыми учитель должен познакомить учащихся, определены программой. Соответствующие требования программы реализованы в учебниках. В учебниках, благодаря поурочному их построению в основных чертах, намечена, и система распределения соответствующих упражнений во времени и некоторые основные методические направления работы над задачами. И все же, как показывает анализ опыта массовой школы, перестройка в этом отношении проходит с большим трудом.

Учитывая сказанное, представляется важным рассмотреть более подробно, что представляют собой задачи, решаемые в начальных классах школы, в чем заключается специфика этого вида учебных упражнений по сравнению со всеми другими видами математических упражнений, что может и должно дать включение их в курс для достижения тех общих целей, которые он преследует.

Задача - это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий. Рассмотрим основные элементы, из которых состоит каждая задача, и выясним, что значит решить задачу.

Из самого определения задачи вытекает, что в ней обязательно должен быть заключен какой-то вопрос. Без вопроса задачи нет. Поскольку ответ на вопрос задачи должен быть получен в результате арифметических действий, очевидно, в ней должно заключаться требование узнать то или иное число (или числа) - искомое и, кроме того, в задаче должны быть указаны те числа, с помощью действий над которыми, может быть найдено искомое. Поэтому обязательными элементами всякой арифметической задачи являются неизвестное (искомое) число (или несколько искомых чисел) и данные числа (их должно быть не меньше двух).

Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие (действия) должно быть выполнено над данными числами для получения искомого. Текст задачи должен, поэтому содержать какие-то косвенные указания на эту связь, которая существует между данными числами и искомым и которая определяет выбор нужных арифметических действий и их последовательность. Это условие задачи. Условие, которое призвано раскрыть связь между данными числами и искомым, естественно включает числовые данные задачи.

Итак, основные элементы задачи - условие и вопрос. Числовые (или буквенные) данные представляют собой элементы условия. Искомое всегда заключено в вопросе. Однако в некоторых случаях задача формулируется так, что вопрос может включать в себя часть условия или вся задача излагается в форме вопроса.

Все это необходимо учитывать при обучении детей решению задач. Один из важных моментов обучения состоит в том, чтобы дети научились самостоятельно выполнять первичный анализ текста задачи, отделяя известное от неизвестного. Существенно, чтобы они умели не только вычленить из задачи числовые данные, но и объяснить, что обозначает каждое из содержащихся в ней чисел в контексте самой задачи, что сказано про то число, которое нужно найти, и т.п. Важно, чтобы при первичном анализе внимание обращалось не только на выделение данных и искомого, но и на связи между ними, описанные в тексте задачи.

Рассмотрим теперь вопрос о том, что значит решить задачу. На первый взгляд может показаться, что этот вопрос ясен, что он не нуждается в обсуждении. Однако это не совсем так.

Термин «решение задачи» употребляется в методике и в живой речи учителя и учащихся в разных смыслах, и на этой почве в процессе обучения возникают иногда определенные трудности, которые учителю следует заранее иметь в виду.

Вообще говоря, решить задачу - это значит ответить на поставленный в ней вопрос. Именно так чаще всего понимают требование решить задачу сами дети. Среди учителей распространено мнение, что если ученик не может объяснить, как он получил ответ на вопрос задачи, значит, он не решил ее. Дети внутренне никогда не могут с этим согласиться. Возникает своего рода конфликтная ситуация, которая в данном случае совсем не полезна. Причина ее заключена в том, что учитель понимает требование решить задачу значительно шире, чем просто дать ответ на ее вопрос.

Для того, чтобы не возникало такого взаимонепонимания между учителем и учащимися, необходимо разъяснить детям смысл требования «решить задачу». Думается, что полезно сказать детям примерно следующее: задачи, которые вы будете решать на уроках математики, - это не загадки, которые нужно разгадать.

Таким образом, решить задачу - это значит объяснить (рассказать), какие действия нужно выполнять над данными в ней числами, чтобы после вычислений получить число, которое в ней нужно узнать. Записать решение задачи - значит с помощью цифр и знаков действия показать, что нужно сделать, чтобы найти неизвестное число, выполнить вычисления и дать ответ на вопрос задачи.

Особенности текстовых задач и их решение во многом определяют их роль и место в процессе обучения.

Так, в частности, если бы целью обучения математике можно было считать лишь ознакомление детей с числами, арифметическими действиями, их свойствами, существующими между ними связями и отношениями, то есть только с математической стороной дела в чистом виде, то, вообще говоря, можно было бы и вовсе отказаться от рассмотрения сюжетных задач и ограничиться изучением этих зависимостей и отношений в общем плане, с использованием абстрактной математической формы их выражения. Текстовые задачи сами по себе ничего нового в раскрытие этих общих математических фактов не вносят и внести не могут. Текстовые сюжетные задачи, отражающие конкретные, хорошо понятные детям жизненные ситуации, могут оказаться полезным средством ознакомления учащихся с теми понятиями, отношениями, закономерностями, которые составляют предмет начального курса математики.

...