Методические разработки преподавания математики в курсе средней школы

Размещено на http://allbest.ru

1.Понятие функции, методика изучения в курсе математики средней школы

математика функция геометрический

Функция - одно из фундаментальных понятий ШКМ. Она ярко показывает изменчивость и динамичность действительного мира, взаимообусловленность реальных объектов и явлений.

Функциональная линия понятия функции является основной в ШКМ. Она определяет стиль её изучения в курсе алгебры и начала анализа и с её помощью можно установить разнообразные связи в обучении.

Понятие функции немыслимо вводить без большой подготовительной работы. Подготовительная работа проводится с 1-го по 6-ые классы. В начальных классах учитель обращает внимание учащихся на изменение результатов арифметических операций (действий) при изменении их компонентов.

Смысл понятия «соответствие» должен войти в сознание учащихся уже в начальных классах через выполнение различных упражнений и через организацию игр. В 5-6 классах функциональная пропедевтика осуществляется с помощью различных вычислений, буквенных выражений, исследования и чтения графиков.

Пример:

1)Найти значение выражения при x=0,1,2,3,4,.......

2)Заполнить таблицу:

Сделать вывод.

В 5-6 классах ученики должны усвоить то, что каждая формула выражает зависимость между переменными, входящими в неё. В этих классах - при расширении понятия числа, изучении тождественных преобразований, овладении методом решения уравнений и неравенств, и др.

В 5-6 классах учащиеся знакомятся с понятиями координат точки на числовой прямой, координатной плоскости, строят диаграммы и графики. Через выполнение различных упражнений в неявном виде проводится работа по изучению свойств графиков, ставятся вопросы по определению промежутков возрастания и убывания, определяются значения выражения по заданному аргументу, но термин функция не употребляется.

2. Функциональная линия в ШКМ является ведущей, однако в её реализации выделяются две наиболее резко различающиеся методические трактовки: генетическая и логическая.

Генетическая трактовка основана на разработке таких понятий как переменная величина; декартова система координат на плоскости; формула, выражающая какую-либо одну переменную через комбинацию других переменных.

Эти понятия вошли в математику в ходе её исторического прошлого вплоть до середины XIX века. Генетическое развертывание понятия функции обладает рядом достоинств, в котором подчеркивается Динамический аспект функциональной зависимости. Усматривается "модельный характер" понятия функции относительно изучения явлений природы. Данная трактовка увязывается с остальным содержанием курса алгебры, поскольку большинство функций, используемых в ней выражается аналитически или таблично.

Генетическая трактовка понятия функции содержит так называемые ограничительные черты. К существенным ограничениям можно отнести то, что переменная, при некотором подходе, всегда неявно (или явно) предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому понятие функции связано с функциями одного числового аргумента.

Рассмотрим пример генетического подхода:

-каждому значению х из некоторого множества чисел сопоставляется по определенному правилу одно число у, где у - функция от х ;

-зависимость переменной у от переменной х называется функцией, где каждому значению х соответствует единственное значение у.

-числовой функцией с областью определения Д называется соответствие, при котором каждому числу х из множества Д сопоставляется по некоторому правилу число у

Логическая трактовка понятия функции. Здесь функция выступает как частный случай соответствия отношения между множествами, удовлетворяющего условиям функциональности. Исходным этапом изучения понятия функции здесь является вывод из понятия отношения. Реализация логического подхода требует иллюстрации понятия функции при помощи разнообразных средств, язык школьной математики значительно обогащается. Кроме того, что функция может задаваться формулой и таблицей, она может быть задана перечислением пар, стрелками, использованием не только числового, но и геометрического материала. Основным достоинством такой трактовки понятия функции является возможность обобщения понятия и установление разнообразных связей в обучении математике. В ШКМ понятие функции связывается с числовыми функциями. Примером логического подхода трактовки понятия функции является ее определение на теоретико-множественной основе.

Определение отношение между элементами 2-х множеств, при котором каждому элементу 1-го множества соответствует не более одного элемента из 2-го множества, называется функцией (раньше использовалось слово «соответствие»).

Определение функция - это отношение, если оно не содержит пар с одинаковыми первыми элементами

- функция

- не является функцией

Рассматривая два различных подхода в понятии функции, можно сделать следующий вывод:

при формировании понятия функции генетический подход оказывается недостаточным, логический же вывод обнаруживает определенную избыточность. При введении понятия функции различия в трактовках функции проявляются с наибольшей резкостью. Затем эти различия постепенно стираются, так как в курсе алгебры и начал анализа изучается не само понятие, а в основном конкретно заданные функции и классы функций, их разнообразные приложения в задачах естесвознания и общественного производства. В обучении математике при формировании понятия функции выявляются 4 основных компонента в составе функциональной линии, а именно:

- представление о функциональной зависимости переменных

величин в реальных процессах и в математике;

- представление о функции как о соответствии, изучение области определения и области значении функции, образование пар;

- построение и использование графиков функций, исследование функций;

- вычисление значений функций, определенных различными способами.

Все вышеназванные компоненты взаимосвязаны и находятся во взаимодействии. В процессе изучения в курсе алгебры ведущим является функциональный компонент, хотя в определении может быть зафиксирован иной подход. При организации работы над определением вводятся и другие компоненты, проявляющиеся в различных способах функциональной зависимости и ее графического представления.

Введение понятия функции

Это длительный процесс, совершается лишь на этапе всех введенных понятий (синтезе). Основной путь введения понятия функции идет в направлении упорядочения имеющихся у учащихся представления о функции и развертывании понятий, специфических для функциональных линий, а именно:

-способы задания;

-общие свойства функции;

-их графическое истолкование.

В реализации этого методического подхода важное место отводится усвоению учащимися существенной идеи, входящей в понятие функции. Это однозначность и соответствие аргумента и определения по его значению значения функции, поэтому на 1-е место выдвигается задание функции формулой. Все остальные способы задания функции играют подчиненную роль.

Пример: таблицы используются для расчетов, графики для наглядности. Все сказанное составляет необходимый методический прием при введении понятия.

Методические аспекты изучения отдельных функций

Наряду с раскрытием определения понятия функции и уточнением общих функциональных представлений введение понятия функции требует рассмотрения конкретных примеров функций. Приэтом учитель должен понимать, что сочетание изучения общих понятий функции с рассмотрением конкретных функций является трудным в методическом отношении. Большинство функций, изучаемых в школе, образуют классы: линейной, квадратичной, степенной функций, кроме этого изучаются функции, которые не входят в классы: . Методика изучения отдельных функций состоит в сопоставлениичерт, специфичных для функций непосредственно с общим предсиавлением о функции. Методика изучения класса функций выделяет такие аспекты:

1) изучения данной функции как члена класса;

2) изучение свойств класса на примере данных функций;

Независимо от указанного деления функций в школьном курсе математики все они изучаются по одной методической схеме:

- рассмотрение конкретной ситуации или задачи, приводящей к данной функции;

- формируется определение данной функции и дается запись функции формулой, проводится исследование входящих в эту формулу параметров;

- строится и изучается график функции, устанавливается влияние параметров на характер изображения функции;

- исследование функций проводится на следующих свойств: Д(х), Е(х), возрастание и убывание функции, нули функции и др. ;

- изучение свойств функции используется при решении задач, в частности решении уравнений и неравенств.

2.Первообразная и интеграл

Содержание

*Повторение материала по теме «Производная»

*Плавный подход к понятию первообразной

*Первообразная

*Правила нахождения первообразных

*Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление

* Вычисление площадей фигур с помощью интегралов

В этой теме рассматривается как механический, так и геометрический смысл производной. На языке функций и их графиков это раскрывается так: замена криволинейного участка графика прямолинейным означала замену неравномерного движения равномерным, а также замену некоторой дуги кривой отрезком касательной.

С точки зрения механики скорость прямолинейного движения определяется как производная пути по времени: если некоторая точка прошла путь s (t), то ее мгновенная скорость v (t) = s? (t). Если рассмотреть обратную задачу -- нахождение пути, пройденного точкой с заданной скоростью v (x), то придем к функции s (t), которую называют первообразной функции v (t), т. е. такой функцией, что s? (t) = v (t). Так как производная постоянной равна нулю, то первообразная определяется с точностью до постоянной. Например, (х2)? = 2х и (х2 + 3)? = 2х, и поэтому первообразной функции у = 2х является функция у = х2 + С, где С -- произвольная постоянная.

Если скорость меняется по закону v = v (t) и ее графиком является некоторая кривая , то путь, пройденный точкой за промежуток времени [t; t + h], приближенно равен площади (закрашенного) прямоугольника со сторонами, длины которых равны v (t) и h. Точное значение пути s (t) будет равно площади криволинейной трапеции, образованной кривой v (t), осью Ох и прямыми v (t) и v (t + h).

Если в заданную кривую v (t) вписать некоторую ломаную, то s (t) можно вычислить с лучшим приближением, заменив площадь криволинейной трапеции суммой площадей прямоугольников разбиения. Чем меньше будет основание каждого прямоугольника, тем ближе сумма площадей прямоугольников будет выражать площадь криволинейной трапеции. Так, процесс линеаризации приводит к понятию определенного интеграла.

Учебный материал строится так, что сначала определяется операция интегрирования как операция, обратная дифференцированию, далее вводится понятие первообразной, при этом не вводится ни определение неопределенного интеграла, ни его обозначение. Таблица правил интегрирования (т. е. таблица первообразных), естественно, в этом случае получается из таблицы производных. Формулируется утверждение, что все первообразные для функции f (x) выражаются как F (х) + С, где F (х) -- первообразная, найденная в таблице. Этот факт строго не доказывается, а только поясняется.

Связь между первообразной и площадью криволинейной трапеции устанавливается формулой Ньютона -- Лейбница. Далее возникает определенный интеграл как предел интегральной суммы; при этом формула Ньютона -- Лейбница также оказывается справедливой. Таким образом, эта формула является главной: с ее помощью вычисляются определенные интегралы и находятся площади криволинейных трапеций.

Желательно, чтобы учащиеся усвоили основные идеи интегрального исчисления. Не следует усложнять и без того трудный для школьников учебный материал. Система упражнений не содержит действительно трудных задач по теме, так как цель данного курса -- ознакомить с основами интегрального исчисления: сформировать первичные умения применять теоретический материал, дать представление о возможности применения интеграла в простейших случаях. Более глубокое изучение данной темы -- задача вуза, где рассматривается интеграл под тем углом зрения, который необходим в соответствующей сфере деятельности.

Первообразная

Изучение материала параграфа полезно начать с повторения понятия производной и ее физического смысла на примере задачи о мгновенной скорости. Далее, нужно поставить задачу о нахождении закона движения по данному закону изменения скорости и перейти к определению первообразной. Сформулированное замечание фактически представляет собой определение первообразной на отрезке. Задания способствуют формированию первых представлений учащихся о первообразной.

Выполнение заданий упражнения подготовит учащихся к нахождению первообразной для степенной функции, которая в общем виде формулируется в задаче. Остальные задания упражнения позволят повторить таблицу производных, правила нахождения производных и послужат пропедевтикой формирования представления о неоднозначности первообразной.

Тот факт, что если F? (x) = 0 на некотором интервале (а; b) и функция F (х) непрерывна на отрезке [а; b], то F (х) = С на отрезке [а; b], где С -- постоянная, был доказан в предыдущей главе. В общеобразовательных классах это утверждение поясняется, опираясь на геометрический смысл производной (для большей наглядности можно использовать рисунок учебника). Опираясь на него, в профильных классах доказывается теорема, которая и показывает, что первообразные для одной и той же функции могут отличаться лишь на постоянную величину. Теперь можно говорить о нахождении всех первообразных функций.

Правила нахождения первообразных

Изучая материал параграфа, учащиеся продолжают знакомиться с таблицей первообразных для элементарных функций и учатся применять правила интегрирования. Повторение формул и правил нахождения производных полезно провести при проверке таблицы первообразных и тех правил, по которым они будут находить первообразную для каждой функции. При этом следует сразу обратить внимание учащихся на тот факт, что первообразная и функция во всех рассмотренных примерах определены на одном и том же промежутке, т. е. функция F (х) является первообразной для функции f (x) на том промежутке, где они обе определены. Это важно, в частности, для правильного понимания того, что первообразная для функции f(x)= 1/x лишь для х > 0 равна ln x + С.

Если речь идет о всех действительных значениях х, кроме нуля, т. е. и о случае отрицательных значений x, то применяется общая формула и первообразная равна ln | x | + С.

Вторая таблица первообразных сложнее для применения и для запоминания, поэтому вполне возможно при решении упражнений учащимися общеобразовательных классов пользоваться учебником или вынести таблицу на плакат. Учащиеся профильных классов должны знать правило нахождения первообразной для функции от линейной функции, т. е. для функции f (kx + b), которое требует вынесения коэффициента 1/k . Таблицу первообразных заучивать не нужно.

Желательно вновь обратить внимание учащихся на функцию f (x) = ех и пояснить, что тот факт, что функция, ее производная и первообразная для нее имеют один и тот же вид, предопределяет важную роль данной функции в решении многих практических задач.

На конкретных примерах можно показать, что правило нахождения первообразной для функции, представленной в виде суммы функций, верно не только для суммы двух слагаемых, но и трех и более. Примеры:

найти первообразные для следующих функций: 1) 3х3 + 2х2 ? х + 1; 2) 2 + 3ех + 4 cos x; 3) 4 x + sin 2x ? х4 ? 3.

Результат решения упражнений можно проверить дифференцированием. Полезно периодически проверять результат выполнения аналогичных заданий дифференцированием: при этом учащиеся не только повторяют изученный материал, но и глубже осознают связь двух операций.

Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление

Материал дается на наглядно-интуитивном уровне, поэтому учителю не следует требовать от учащихся воспроизведения каких-либо рассуждений, приведенных в тексте учебника.

Представление о криволинейной трапеции учащиеся должны получить, изучая рисунки учебника (кодопленка, таблица). Каждый раз, распознавая на этих рисунках график функции, непрерывной и неотрицательной на отрезке [a; b], положительной на интервале (a; b), и прямые х = а и х = b, у = 0, учащиеся еще и еще раз выявляют особенности криволинейной трапецией. Возникает вопрос о возможности вычисления площади полученной фигуры.

Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью площади многоугольника, представляющего собой объединение прямоугольников (рисунок). Важно, чтобы ученик увидел следующий алгоритм в рассуждениях: 1) разбиваем [a; b] на n частей (необязательно равных); 2) составляем суммы, которые называют интегральными; 3) находим предел, к которому стремятся интегральные суммы и который в результате и является площадью трапеции.

Это и назовем определенным интегралом.

Далее вводим формулу Ньютона -- Лейбница, которая помогает вычислять интегралы. При решении задач на нахождение площади криволинейной трапеции важно, чтобы учащиеся грамотно делали чертеж и могли его использовать для иллюстрации решения: на этом этапе вычисление интеграла вторично, главное -- вычисление площади.

Начать решение задач целесообразно с выяснения, является ли данная фигура криволинейной трапецией, затем по рисункам только записать формулу Ньютона -- Лейбница для нахождения площади и далее перейти к упражнениям.

Прежде чем переходить к изучению данного материала, целесообразно повторить построение графиков некоторых элементарных функций (можно напомнить по готовым чертежам).

В качестве упражнений для актуализации знаний можно использовать работу по готовым чертежам, используя рисунки тех фигур, площади которых предстоит находить на уроке, не указывая конкретные пределы интегрирования. Это позволит тратить меньше времени на выявление пределов при выполнении упражнений и будет способствовать формированию умений в нахождении оптимальных путей решения задач. Рисунки используются при выполнении упражнений.

3. Методика изучения геометрических величин

Понятие величины является одним из основных понятий. Однако как показывает практика работы учителей в школе термин «величина» не всегда используется правильно. «Величина» используется как понятие термина «количество», термину «величина» и значению «величина» придают один и тот же смысл. В школьном курсе математики изучение величины осуществляется концентрически:

-пропедевтический - на этом этапе складываются интуитивные представления о величинах и их практическом значении (непосредственное измерение длин отрезков, взвешивание, измерение температуры), упоминают о так называемых «именованных» числах и вводятся простейшие единицы измерения(1-6 классы);

-изучение методов косвенного измерения величин - проводится в курсе геометрии (7-9 классы) на этом этапе формируются знания, умения и навыки, связанные с прикладной стороной вопроса.

Пример: теорема Пифагора - на этом этапе появляются такие элементы пропедевтики строгого введения понятия величины и ее измерений, так в курсах алгебры и геометрии говорится о величинах и числах, об отношениях величин и их взаимосвязях, вводятся понятия площади и способы их измерения. В старших классах измерение площади и объема ставится на вполне современную основу, то есть даются определения этих понятий с точки зрения общих методов вычисления (в частности, вычисление с помощью определенного интеграла). При проведении пропедевтической работы о величинах необходимо, чтобы учащиеся понимали, что общей особенностью длины, площади, объема, массы, температуры является то, что для каждой из этих величин существуют отношения равенства и неравенства, которые устанавливаются практическим путем, причем для каждой из величин по-своему. Каждую из этих величин можно измерять своим собственным способом измерения, сущность которого тем не менее всегда одинакова, т.е. некоторая единица измерения и с ней необходимо сравнивать, это называется измерением.

Изучение косвенного способа измерения величин требует отчетливого представления о сущности процесса непосредственного измерения. Учителю необходимо подчеркнуть, что измерение величины тесно связано с понятием числа. Измерение величины, как было сказано выше, это сравнение с выбранной единицей, оно состоит из следующих этапов:

-из данного рода величины выбирается единица измерения (е)

-осуществляется процесс измерения (сравнение данной величины с единицей измерения), в результате измерения получают некоторое х, которое называется числовым значением данной величины (а), а=х-е

Говоря о геометрических величинах следует четко различать саму геометрическую фигуру, величину, относящуюся к этой фигуре и числовое значение этой величины, когда мы говорим о длине отрезка и о числовом его значении, нужно иметь в виду следующее:

1)длина отрезка - это расстояние между точками А и В, которое остается неизменным;

2)зависит от выбора единицы измерения.

Таким образом, в данном случае в зависимости от выбранной единицы измерения длина отрезка АВ может быть 4 см, 0, 04 м, 40 мм. Таким образом длина - это объективная реальность, значение длины - это отражение этой реальности в человеческом мире. Отметим следующие свойства величины, которые появляются в процессе их измерения:

а) равным величинам при одной и той же единице измерения соответствуют равные числовые значения;

б) числовое значение суммы величин при одной и той же единице измерения равно сумме числовых значений слагаемых величин. В школьном курсе геометрии изучаются длина, площадь, объем, которые являются скалярными, аддитивными, непрерывными величинами и обладают рядом свойств:

І. Отношение равенства обладает свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности (отношение меньше)

ІІ . (существование суммы величин)

ІІ . Сложение величин обладает свойствами:

а) (коммутативности)

б) (ассоциативности)

в) a (монотонности).

возможность неограниченного деления на части если дана неубывающая последовательность, то среди величин не меньших существует наименьшая величина а(аксиома непрерывности).

Формирование понятия «величина» должно осуществляться на всем протяжении школьного курса математики и физики, все характерные признаки этого понятия необходимо все время подчеркивать и останавливать на них внимание учащихся.

Измерение длины

Перед тем как прийти к вопросу об измерении длины необходимо предварительно показать, что отрезки обладают свойствами скалярной аддитивности величины. В 4-м школьники получают наглядное представление об отрезке, учатся измерять их, знакомятся с отрезками как носителями величины, одновременно с этим проводятся элементарные операции над отрезками: сложение и вычитание отрезков, умножение отрезков на натуральное число, деление отрезка на части. В 5 классе учащиеся имеют дело с такими геометрическими величинами как площадь, объем (площадь прямоугольника, объем прямоугольного параллелепипеда), они знакомятся и с величинами угла. В 5 классе вводится формула длины окружности. В результате проведения некоторых измерений и решения соответствующих задач на вычисление у учащихся складываются представления о величине как о неотрицательном числе. Учащиеся знакомятся со свойствами геометрических величин . В процессе измерения отрезков учащиеся убеждаются в том, что их длины не всегда выражаются целым числом. Этот факт используется в 5 классе как один из источников получения дробных чисел .

4. Измерение площадей фигур

Содержание

1.как происходит изучение данной темы в 4-м, 5-м классах?;

2.с помощью каких определений можно прийти к выводу о том, что нет единого подхода к определению понятия функции?;

3.что можно сказать об этих определениях?

4.как вводится понятие площади в курсе геометрии 8-го класса?

5.учебник геометрии 8 класса (авторыИ.Бекбоев, А. Абдиев, Ж.Кайдасов, Г.Хабарова) ;

6.какой материал еще можно включить в ходе изучения темы «Площади фигур»?

Первое представление о площадях фигур учащиеся получают в 5-м классе, они знакомятся с двумя основными свойствами:

-равные фигуры имеют равные площади;

-если фигура разбита на части, то площадь всей фигуры равна сумме площадей этих частей.

В 4-м классе вводится понятие площади квадрата, прямоугольника, площадь фигуры здесь определяется с помощью палетки: считается число единичных квадратов, покрывающих фигуру.

Более строгое представление о площадях плоских фигур учащиеся получают в 8-м классе. Однако в учебной и методической литературе нет единого подхода к определению понятия площади:

-площадь фигуры есть часть плоскости,занимаемой этой фигурой;

-площадью простого многоугольника называется число, определяющее размер части плоскости, ограниченной этим многоугольником;

-площадью замкнутой фигуры называется величина части плоскости, заключенной внутри многоугольника или какой-нибудь другой плоской замкнутой фигуры.

1.определение неудобно тем, что под него подходит понятие площади и понятие многоугольника;

2.определение в методическом отношении наиболее близким и понятным учащимся;

3.в определении употреблено понятие «величина», поэтому прежде чем дать это определение, нужно ознакомить с понятием «величина».

В 8-м классе понятие площади вводится аналогично тому как в 5-м классе вводится понятие длины отрезка. Выводятся формулы площадей многоугольников, опираясь на следующие свойства площадей:

- равные многоугольники имеют равные площади;

- если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь

равна сумме площадей слагаемых многоугольников:

В учебнике геометрии 8 класса (авторыИ.Бекбоев, А. Абдиев, Ж.Кайдасов, Г.Хабарова) приводятся следующие основные свойства измерения плоской фигуры:

1. равные фигуры имеют равные площади;

2. если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей этих частей (простой фигурой называется такая фигура, которую можно разбить на конечное число треугольников);

3. площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

Дается определение равновеликих фигур: фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.

В ходе изучения темы «Площади фигур» полезно включать исторические сведения и применение этой темы на практике (сведения можно взять в учебнике «Геометрия-8» - авторыИ.Бекбоев, А. Абдиев, Ж.Кайдасов, Г.Хабарова, а также в учебнике «Основы математики в начальной школе» - на казахском языке - авторы Абдрахманов К.К., Ермекбаева А.Е.

5. Первые уроки стереометрии

Построение в курсе стереометрии связано с преодолением значительных методических трудностей

1.Введение новой аксиоматики резко отличается от аксиоматики планиметрии, поэтому необходимо установить взаимосвязь с аксиомами планиметрии и стереометрии;

2.Усвоение материала стереометрии связано с формированием пространственных фигур в сознании учащихся. Плохое пространственное представление обрекает учащихся 10-11 кл. к непониманию стереометрического материала.

Во всех учебниках, изданных по стереометрии, методическая обработка новой аксиоматики оставляется для учителя. Подход изучения стереометрического материала для классов гуманитарных и естественно-математических - разный. В учебниках геометрии для 9 класса общеобразовательной школы введена глава «Элементы стереометрии». На её изучение (Главы №5) отводится 8 часов:

§1. Аксиомы стереометрии;

§2. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве;

§3. Перпендикулярность прямых и плоскостей;

§4. Многогранники;

§ 5. Тела вращения

Аксиомы стереометрии

С1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие ей и не принадлежащие;

С2. Через три различные точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну;

С3. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости;

С4. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, содержащей эту точку.

В планиметрии основными геометрическими фигурами являеттся точка и прямая, а в стереометрии - точка, прямая, плоскость.

Введение аксиом требует особого внимания, рекомендуется вводить аксимы по следующей схеме:

1.Иллюстрация аксирмы на модели;

2.Дать фомулировку аксиом;

3.Сделать схематический чертёж на доске;

4.Выполнить символическую запись.

В качестве примера возьмём аксиому С4.

В данной аксиоме сказано о существовании пересекающихся плоскостей, необходимо познаомить учащихся с неперескающимися плоскостями.

В процессе изучения стереометрии ученики легко замечают аналоги изложения материала планиметрии и стереометрии, но приэто сходстве используются различия в толкованиях и представлениях в таких образах, как точка (на плоскости и в пространстве).

Методика преподавания темы «Тела вращения»

Значение изучения в школе свойств тел вращения трудно переоценить. Важную роль играет знакомство с ними в связи с подготовкой школьников к практической жизни, к труду. Учителю следует подчеркнуть, что форму тел вращения имеют многие детали машин, приборов. При обработке металла или дерева на токарном станке в промышленности очень быстро и с высокой степенью точности изготавливают детали, имеющие форму цилиндра, конуса или шара. Телами вращения являются и изделия гончарного производства; так, гончар помещает кусок глины на середину вращающегося рабочего стола и, прижимая к нему деревянный или металлический шаблон, придаёт этому куску глины нужную форму.

Обычно теоретический материал раздела о телах вращения по объему бывает невелик. Однако тут вводится много новых понятий, способы их введения, методы изучения тоже весьма различны.

При изучении фигур вращения очень велико значение чертежа. Чертеж является основным средством иллюстрации, развития пространственного воображения. При этом необходимо помнить, что чертеж, который появляется на доске постепенно и сопровождается комментариями учителя, имеет большую педагогическую ценность. Учитель должен показать учащимся, не вдаваясь в подробности, как изобразить на плоскости фигуру вращения, то или иное её сечение. Для изображения каждого из изучаемых в школе тел вращения, их отдельных элементов, сечений необходимо напомнить учащимся об изображении окружности (учащиеся знакомы с этим из курса черчения).

В ходе решения некоторых задач возникает необходимость в решении планиметрической задачи. На примере нескольких, специально подобранных задач учитель убеждает в целесообразности изображения в ряде случаев не всей фигуры вращения, а лишь её осевого сечения. В других случаях планиметрический чертеж будет дополнять изображение тела вращения.

Задача. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найти угол между диагональю её боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

Задача сводится к определению угла б между пересекающимися прямыми MN и OO1. Полезно перейти к рассмотрению осевого сеченияAA1D1D. Правильно выполненный чертеж (АО = OO1) подсказывает, что а = 45о. в этом нетрудно убедиться, рассмотрев треугольник ОРМ.

Хорошим подспорьем в работе учителя служат различные шаблоны, штампы и др. для изображения тел вращения или их частей - эллипсов, овалов. Они удобны для быстрой подготовки материалов к самостоятельной работе учащихся.

Учитель должен хорошо знать, с каким запасом представлений о телах вращения учащиеся приступают к их изучению. При организации повторения он в необходимом объеме включает соответствующий материал в урок, заранее планирует формы и методы повторения.

При изучении тел вращения закрепляются и развиваются полученные знания об основных фигурах на плоскости, особенно об окружности, круге, многоугольнике, вписанном и описанном, их основных свойствах.

Тема «Тела вращения» усваивается учащимися неплохо. Однако анализ состояния знаний учащихся показывает, в частности, недостаточно сформированные навыки в решении стереометрических задач, ошибки и недочеты как в выполнении графической части задания (неумение выполнить чертеж рассматриваемого тела вращения), так и в неумении проводить теоретические обоснования отдельных этапов решения, не всегда корректное использование теоретического материала, неаккуратно выполненные записи. Отрицательно сказывается на результатах работы отсутствие прочных вычислительных навыков у учащихся, утрата основных знаний и умений по курсу планиметрии.

Всё это требует от учителя постоянного внимания к организации систематического повторения при изучении цилиндра, конуса и шара (тем более что это одна из итоговых тем курса геометрии), к организации вычислений в ходе решения задач и др.

Отдельные сведения о цилиндре, конусе, шаре, полученные учащимися из повседневной практики, предшествующего обучения математике, изучения других школьных дисциплин, синтезируются, оформляются логически, систематизируются.

Включенные в рассматриваемый раздел вопросы дают возможность учителю показать применение полученных результатов при решении часто встречающихся практических задач.

Весь круг вопросов по теме «Тела вращения» можно условно разделить на две группы:

1) Цилиндр и конус:

a) Определение, поверхность, симметрия, касательная плоскость, сечение осевое и перпендикулярное оси, вписанные и описанные многогранники;

b) Объем;

c) Площадь боковой поверхности.

2) Шар и сфера:

a) Определение, симметрия, сечение, касательная плоскость;

b) Объем шара;

c) Площадь сферы.

При планировании следует учитывать, что цилиндр и конус изучаются по единому плану и общий подход при рассмотрении основных понятий один о тот же. Подчеркивая общее и выявляя различия в свойствах цилиндра и конуса, учитель добивается осознанного усвоения материала учащимися.

Обычно цилиндр, конус, шар и сфера изучаются в курсе стереометрии после многогранников. При этом такие понятия, как «тело», «поверхность», «ограниченность» и т.п., вводится в теме «Многогранники». И сама трактовка фигур вращения (тело или поверхность) согласуется с тем, как понимается многогранник. В пробном учебнике по геометрии Л.С. Атанасяна и др. [3], например цилиндр - это тело, а многогранник - поверхность, хотя авторы и отмечают, что «…тело, ограниченное многогранником, часто называют также многогранником». Последовательность изучаемых тел вращения: цилиндр, конус, шар - соответствует обычно последовательности: призма, пирамида, правильные многогранники. Цилиндр (цилиндрическая поверхность) и призма (поверхность призмы) имеют очень много общих свойств. Аналогичное замечание можно сделать и относительно понятия пирамиды и конуса. Во всех школьных учебниках выделяется для изучения поверхность фара - сфера. Цилиндрическая поверхность рассматривается только в учебнике Л.С. Атанасяна и др. [3].

Возможны и другие варианты изложения теории как по организации учебного материала, расстановке акцентов при рассмотрении понятий, так и по методам изложения отдельных вопросов.

Если сравнить трактовки цилиндра (конуса) в школьных курсах геометрии, то видно, что:

1) Строгого определения цилиндра (конуса) в школьных курсах нет, дается лишь его описание;

2) Во всех учебниках под цилиндром (конусом) понимается геометрическое тело, то есть ограниченная пространственная область с границей. При этом можно выделить три основных различных методических подхода к понятию цилиндра (конуса).

В учебном пособии А.В. Погорелова [4] цилиндр трактуется как тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих круг в одной из плоскостей.

В курсе геометрии Л.С. Атанасяна и др. [3] сначала вводится граница - цилиндрическая поверхность и два круга, расположенным определенным образом относительно этой поверхности - ограниченной пространственной области, а уже затем цилиндр как тело, ограниченное рассмотренной поверхностью.

Каждый из путей имеет свои преимущества: при наглядности первого второй более «рабочий» в том смысле, что в дальнейшем широко используется понятие боковой поверхности цилиндра. Трактовка цилиндра как тела вращения обязательно должна быть рассмотрена при любом изложении темы. Именно этот путь представляет широкие возможности для показа связи теории с практикой.

Если цилиндр и конус изучаются по единой схеме, то шар (сфера) занимает особое место среди тел вращения. Именно при изучении шара и его поверхности наиболее полно используются знания учащихся о круге и окружности, полученные из курса планиметрии и других школьных дисциплин. В связи с этим основная роль учителя состоит в такой организации учебного процесса, когда ученики сами формулируют необходимые утверждения.

В отличие от понятий цилиндра и конуса понятия шара и сферы трактуются как пространственные аналоги круга и окружности. Шар определяется как тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Сфера вводится как поверхность шара.

Первые уроки стереометрии

Цель: вспомнить со студентами первые занятия по стереометрии (геометрия, 10 класс), выяснить какие были трудности были при прохорждении первых тем стереометрии, найти рациональные способы преподнесения теоретического материала.

Ход занятия - 2 мин

1.Организационный момент

2.Подготовка студентов к восприятию нового материала

3.Изучение нового материала

4.Закрепление материала вопросно-ответным способом

5.Домашнее задание.

Организационный момент - 3 мин

1.Выяснение отсутствующих студентов

2.Знакомство студентов с ходом занятия

3.Знакомство с целью, темой занятия

Подготовка студентов к восприятию нового материала - 5 мин

1.На ваш взгляд, какие трудности испытывают отдельные учащиеся при первоначальном изучении стереометрии?

2.Что необходимо для успешного изучения данной дисциплины ?

3.Какие аксиомы нужно знать для доказательства теоремы ?

4.Приведите пример по доказательству теоремы (см учебник)

Изложение новой темы - 28 мин

Изучение стереометрии занимает одно из центральных мест при изучении геометрического материала. Но встречаются отдельные трудности, которые должен принять учитель Только при преодолении этих трудностей изучение намного облегчается. После того как дается определение стереометрии, выясняются отличия фигур, изучаемых в планиметрии и стереометрии, можно приступить к аксиомам. Например аксиомы можно дать в виде следующей таблицы:

Планиметрия

Словесная формулировка математического факта Передача математического факта на языке чертежа.Математический факт на языке символов.

І1 Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие ей и не принадлежащие.

І2 Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Кроме данных аксиом существуют и другие аксиомы, но эти аксиомы применяются очень часто при доказательстве теорем стереометрии.

Словесная формулировка математического факта Передача математического факта на языке чертежа.Математичес-кий факт на языке символов.

С1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие ей и не принадлежащие.

С2 Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только однуА,В,С а

С3 Если две различные точки прямой принадлежат плоскости, тои вся принадлежит данной плоскости А , В .

(AB)=a

С4 Если две раз-личные плоскости имеют од-ну общую точ-ку,то они пересекаются по прямой, содержащей эту точку

Помимо знания аксиом планиметрии и стереометрии у учащихся должно быть развито пространственное представление, для выработки чего необходимо на начальной стадии применять наглядность. При доказательстве первых теорем используется метод от противного. Надо в классе выяснить суть данного метода. Приведем доказательство теоремы с применением данного метода и тех аксиом, которые были рассмотрены на данном занятии:

1-ая теорема: через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и притом только одну.

Доказательство: на прямой а возьмем точки А,В, а точка Д по условию теоремы не принадлежит этой прямой - это мы утверждаем на основе аксиомы I1.

Так как три точки А,В,Д не принадлежат одной прямой, то через можно провести плоскость б - это утверждение сделано на основе аксиомы С2.

Используя метод от противного, предположим, что кроме плоскости б существует и плоскость в, проходящая через прямую а и точку Д. Тогда, плоскости б и в пересекаются по прямой а, содержащей точки А,В,Д - это утверждение мы сделали на основе аксиомы С4 .

Мы пришли к противоречию, так как все три точки не принадлежат одной прямой. Следовательно, наше предположение о существовании плоскости неверно. Значит, плоскость б - единственная. Теорема доказана.

К данному доказательству приведем опорную схему

Проводимая таким образом работа способствует развитию логического мышления, формирует культуру математической речи, призывает учащихся к совместной творческой деятельности, повышает знания и интерес к изучаемому предмету.

Контрольные вопросы - 7 мин

1.Что называется стереометрией?

2.Различие между стереометрией и планиметрией.

3.Какие методические трудности встречаются?

4.Знакомство с аксиомами стереометрии (приведите геометрическую

интерпретацию)

5.Методика изучения темы, относящейся к стереометрии(темы главы , число часов)

6. Доказательство теорем

Вывод по проведенному занятию - 5 мин

1.Ваши мнения по занятию ?

2.О чем, на Ваш взгляд, не было сказано на занятии ?

3.Что Вы взяли для себя полезного

Размещено на Allbest.ru

...