Комбинаторные задачи на уроках математики в начальной школе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Комбинаторные задачи на уроках математики в начальной школе



Введение

Федеральные государственные образовательные стандарты (ФГОС) второго поколения выдвигают новые требования к преподаванию в начальной школе. Одними из требований ФГОС к предмету математики являются овладение основами логического и алгоритмического мышления, пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчета, прикидки и оценки, наглядного представления данных и процессов, записи и выполнения алгоритмов. Для достижения этих требований включаются комбинаторные задачи в курс математики в начальной школе.

Требования ФГОС к результатам освоения основной образовательной программы начального общего образования курса математики и информатики:

Использование начальных математических знаний для описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, а также оценки их количественных и пространственных отношений;

Овладение основами логического и алгоритмического мышления, пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчета, прикидки и оценки, наглядного представления данных и процессов, записи и выполнения алгоритмов;

Приобретение начального опыта применения математических знаний для решения учебно-познавательных и учебно-практических задач;

Умение выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями, решать текстовые задачи, умение действовать в соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы, исследовать, распознавать и изображать геометрические фигуры, работать с таблицами, схемами, графиками и диаграммами, цепочками, совокупностями, представлять, анализировать и интерпретировать данные;

В разделе «Общая характеристика математического образования» в концепции образовательной области «Математика» Министерства образования РФ выделено, «элементы статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение».

В повседневной жизни мы часто встречаемся с такими задачами, которые имеют множество возможных вариантов решений, но тут мы сталкиваемся с проблемой выбора оптимального варианта решения. Чтобы не ошибиться в своем выборе, важно осуществить перебор всех возможных вариантов решений: проанализировать, сопоставить факты, выбрать оптимальное решение из всех имеющихся.

Вследствие репродуктивной деятельности учащиеся сталкиваются со скованностью мышления, мыслят по готовым шаблонам. Как результат, ученики не умеют анализировать, преобразовывать, не видят других возможных вариантов решения.

Перед учителями сейчас стоит задача воспитания личности, которая могла бы самостоятельно и критически мыслить, развивать такие свойства мышления как гибкость, вариативность, изобретательность. Важно развивать мышление ученика так, чтобы он сам сумел находить и отбирать нужную информацию.

Комбинаторные задачи - это задачи, требующие осуществления перебора всех возможных вариантов или подсчета их числа.

Решение таких задач на уроках математики развивает логическое мышление учащихся, позволяет разнообразить урок и сделать его интересней, дает возможность лучше понять саму задачу, процесс решения. Задачи, построенные на жизненном материале, помогают учащимся лучше ориентироваться в окружающем мире, анализировать, находить различные варианты решения и выбирать наиболее подходящий.

Комбинаторные задачи встречаются в учебниках математики начальной школы таких авторов, как Л.Г. Петерсон, Н.Б. Истоминой, М.И. Башмакова, М.И. Моро, тенденция включения такого типа задач в программы начальной школы активно реализуется на практике. Следует добавить, что такие задачи считаются задачами повышенной трудности, встречаются эпизодически.

Актуальность выбранной мной темы связаны с тем, что таких задач очень мало. Если комбинаторные задачи использовать на уроке систематически, например, связать их с темой урока, то это приведет к развитию таких мыслительных операций, как анализ, синтез, сравнение, обобщение, абстрагирование, позволит разнообразить урок, сделать его интереснее. Важно не перегружать урок дополнительной информацией, решать подобные задачи неформальными методами, не используя формулы.

Цель работы: изучение методики использование комбинаторных задач на уроках математики в начальной школе.

Задачи исследования: проанализировать функции комбинаторных задач в начальной школе опираясь на опыт включения комбинаторных задач в младших классах, рассмотреть дидактические принципы в содержании и построении процесса обучения основам комбинаторики, выявить систему комбинаторных задач для четырехлетней начальной школы, на констатирующем этапе проведения эксперимента проверить уровень развития мышления учащихся и определить эффективность включения комбинаторных задач в программное содержание курса математики начальной школы, разработать и провести уроки по развитию умения решать комбинаторные задачи, на заключительном этапе проверить уровень развития комбинаторного мышления.

Место проведения эксперимента: государственное бюджетное общеобразовательное учреждение города Москвы "Образовательный центр на проспекте Вернадского".

Класс: 4 «Б».

Структура работы: дипломная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы.



Глава 1. Развитие мышления младших школьников на уроках математики с помощью комбинаторных задач

школьный математика мышление комбинаторика

Особенности мышления младших школьников.

Понимание окружающего мира, сути предметов и явлений обусловлено познавательным психическим процессом, которым является мышление.

Как правило, под мышлением подразумевается общественно обусловленный, неразделимо связанный с речью познавательный психический процесс человека, характеризующийся обобщенным отражением связей и отношений между объектами в окружающей действительности.

Мышление- это психический процесс, который имеет свою структуру и виды.

Советский психолог Б.М. Теплов выделял теоретическое и практическое мышление. Понятийное и образное мышление он относил к теоретическому мышлению, а наглядно- действенное и наглядно-образное - к практическому мышлению. По его мнению, отличие теоретического мышления от практического состоит в том, что они по разному связаны с практикой. «Работа практического мышления в основном направлена на разрешение частных конкретных задач, тогда как работа теоретического мышления направлена в основном на нахождение общих закономерностей»[51].

Развитие мышления младших школьников рассматривали такие известные психологи и педагоги, как Л.С. Выготский, Ж.Пиаже, П.П.Блонский, Рубинштейн С.Л., ,Ф.Н. ,П.Я.Гальперин ,К.Д.Ушинский, А.А.Смирнов, Д.Б. Эльконин и др.

Л.С. Выготский [59] писал о том, что как раз в младшем школьном возрасте развитие мышления происходит наиболее интенсивно. У ребенка появляется внутренняя интеллектуальная деятельность, набор собственно умственных действий. Развитие восприятия и памяти происходит под влиянием интеллектуальных процессов идет развитие восприятия и памяти.

Способность мыслить развивается на протяжении всей жизни.

А.А. Смирнов считает: «Мышление младшего школьника - это обобщенное, осуществляемое посредством слова и опосредованное имеющимися знаниями отражение действительности, тесно связанное с чувственным познанием мира». [50]

Мышление предполагает наличие у ребенка способности к выполнению основных логических операций: сравнения, анализа, синтеза, абстрагирования, обобщения, классификации. С помощью мыслительных операций находится решений различных проблем задач, они являются средствами выполнение мыслительной деятельности, являются основой для таких логических форм мышления, как понятие, суждение и умозаключение. Включение этих операций учебно-познавательную деятельность данных логических операций - важное условие обучения.

Сравнение- это логическая операция, в ходе которой осуществляется сопоставление явлений и предметов между собой с целью найти сходство или различия между ними. К.Д. Ушинский считал сравнение главным логическим приемом, утверждая, что без сравнения нет понимания, а без понимания нет суждения. «Все в мире мы узнаем не иначе, как через сравнение, и если бы нам представился какой-нибудь новый предмет, которого мы не могли бы ни к чему приравнять и ни от чего отличить, то мы не могли бы составить об этом предмете ни одной мысли и не могли бы сказать о нем ни одного слова»[52].

Анализ и синтез - важнейшие мыслительные операции, которые тесно связаны меж собой. Вместе они дают возможность в полной мере понять действительность.

Анализ-это логическая операция разделения предмета на отдельные части и элементы. Приведем пример: в процессе игры, ребенок сравнивает между собой такие фигуры, как треугольник и квадрат. Сначала, для того чтобы сравнить геометрические фигуры, он выделяет определенные элементы, из которых состоят эти фигуры, это и есть анализ.

Синтез-это объединение отдельных частей предметов в целое, или мысленное сочетание отдельных их свойств. Примером синтеза на практике может служить мозаика, когда ребенок собирает детали в единое целое, к слову, Звонкин А.К. в своей книге «Малыши и математика подчеркивал: «Мозаика-это не игра, а настоящий клад всевозможных задач по геометрии, комбинаторике, логике, угадыванию закономерностей»[20].

Абстрагирование, или абстракция-это выделение существенных свойств и признаков объектов или явлений, эти свойства и признаки становятся самостоятельными объектами мышления.

Обобщение- это объединение объектов или явлений на основе общих существенных признаков.

Конкретизация- выделение единичного свойства или признака, присущее объекту или явлению. Например, в ходе учебной деятельности, учитель конкретизирует свои объяснения на основе примера, иллюстрации, конкретного частного случая.

Мышление подразумевает индивидуальный характер. Особенности индивидуального мышления проявляются в разных соотношениях видов и форм, операций и процедур мыслительной деятельности. Важнейшими качествами мышления являются гибкость, глубина, вариативность, последовательность, быстрота и самостоятельность мышления.

Гибкость мышления подразумевает умение приспосабливаться к любым жизненным обстоятельствам, мыслить нестандартно, отказываться от стереотипного способа действия, находить новые пути решения различных задач. Эта способность пересматривать существующие способы действия зависит от умения выделять новые способы и отношения, и применять их в различных ситуациях.

Глубина мышления характеризует умение понимать сущность вопроса, выяснять причины возникновения событий, предвидеть развитие явлений или событий.

Последовательность мышления выражается в соблюдении логического порядка в рассмотрении вопроса, в умении логически обосновывафь свои рассуждения. Человек с последовательным мышлением придерживается строгой логики мышления, при рассмотрении вопроса четко излагает свою мысль, придерживаясь определенной последовательности своих рассуждений, признав их истинность, делает выводы.

Быстрота мышление проявляется в тех случаях, когда нужно принять скорое решение, отличается от торопливости, при быстроте мышления человек обдумывает и приходит к верному решению, учитывает все существенные данные при решении вопроса за короткое время.

Самостоятельность мышления - умение самому увидеть вопрос, который требует решения, умение самостоятельно находить ответы к интересующим вопросам. Самостоятельность мышления связана с критическим мышлением, с умением не поддаваться внушающему влиянию чужих мыслей, а строго и правильно оценивать их, видеть их сильные и слабые стороны, вскрывать ценное, что в них имеется, и те ошибки, какие допущены в них.

В преддошкольном возрасте преобладает наглядно-действенное мышление, реб?нок не владея речью, познает окружающий мир путем восприятия и действия. Наглядно- действенное мышление появляется у ребенка в возрасте 2 лет, начинается с решения простейших задач.

На следующем этапе развития ребенка преобладает наглядно-образное мышление

.Наглядно-образное мышление появляется в возрасте 3-4 лет. Ребенок познает предметы не действуя на них, а путем разглядывания, рассматривания изображения предметов (размеры, формы, цвета).

Логическое мышление осваивается детьми в возрасте 5-6 лет. В этом возрасте ребенок уже должен уметь делать логические выводы, из множества предметов убрать лишний, находить общий признак, через игру дети учатся простым логическим заключениям.

Возраст 6-7 лет тесно связан с практической деятельностью: игра, рисование, изготовление различных поделок и т.д. В этом возрасте реб?нок может решать простые задачки на сравнивание в уме, также мысленно представляет себе ситуацию или картинку, с помощью чего решают задачи.

К восьми годам у детей преобладает словесно-логическое мышление, рассуждение и слова

- основа этого вида мышления.

Начало младшего школьного возраста определяется моментом поступления ребенка в школу. К началу школьного возраста у ребенка должны быть сформированы все виды мышления, описанные ранее.

Во время обучения в начальной школе у детей преобладает наглядно-образное и наглядно- действенное мышление, что напоминает мышление детей дошкольного возраста. Исходя из этого, можно сказать, что важную роль в младших классах играет принцип наглядности. При дальнейшем обучении в школе у учащихся появляется формально - логическое мышление. Ученики соотносят предметы по видовым признакам, также осваивается моделирование.

У детей младшего школьного возраста перестраиваются мыслительные процессы, от интеллектуальных способностей зависит развитие других психических функций. Происходит переход от наглядно-образного мышления к словесно-логическому мышлению.

Словесно-логическое мышление формируется не сразу, а постепенно. Учение играет весомую роль в развитии мышления детей, что расширяет кругозор у детей и формирует определенные знания. Также формируются мыслительные операции.

Мышление детей 6-7 лет основывается на непосредственном наблюдении, на личном опыте, их рассуждения соотносятся с конкретными фактами или событиями, поэтому отвлекаться от конкретного им еще сложно. Умение абстрагироваться предполагает взвешивать все «за» и «против», сравнивать предметы или явления, обобщать факты, делать выводы, понимание отвлеченных понятий дается им не очень легко. По словам писателя В. Г. Короленко, дети «слишком сильно живут непосредственными впечатлениями, чтобы устанавливать между ними те или иные широкие связи»[13].

К 8-9 годам совершается переход к стадии формальных операций. Ко второму и третьему классу, основываясь на знаниях, полученных в школе, ученики могут назвать общим словом предметы, имеющие общий существенный признак, так, к понятию «растение» могут соотнести ель, розу, сирень и т.д. У детей развивается способность к абстрагированию. Они умеют отличать существенные признаки предметов от их второстепенных признаков и обобщать.

Учащиеся третьего класса должны уметь выстраивать иерархию понятий. Это подразумевает умение выделять более широкие и более узкие понятия. Дети должны понимать, какие из понятий являются родовыми, а какие - видовыми.

Ребенок учится видеть связи и отношения между различными объектами.

Учащиеся третьего класса овладевают таким умением, как установление отношений между понятиями. Они должны различать такие отношения, как противоположность, целпе и часть. Примеры противоположностей: высокий - низкий, красивый - безобразный, толстый - тонкий. Целое и часть: яблоко - огрызок, человек - рука, дом - крыша и тому подобное. Дети должны видеть функциональные связи, например, лес и птицы, сад и фруктовые деревья, школа и ученики.

У некоторых младших школьников имеются проблемы в овладении мыслительной операцией сравнение. Дети вообще не понимают, что значит , что такое сравнивать. Если у них спрашивают, можно ли сравнивать арбуз и глобус, можно услышать такой ответ: «Нельзя, арбуз вкусный, а глобус - круглый». Можно сформулировать вопрос по-другому и получить правильный ответ. С помощью правильно подобранной системы вопросов учащихся можно подвести к правильному ответу. Для этого следует провести с детьми беседу о том, чем объекты похожи, а чем отличаются.

Нередко у детей младшего школьного возраста возникают проблемы с пониманием причинно-следственных связей. Детям легче определить связь причины к действию, чем от действия к причине, потому что действие может быть вызвано различными причинами. Реб?нок этого возраста легко ответит на вопрос: «Что произойдет с растением, если за ним не ухаживать, не поливать его?», обратный же вопрос может вызвать затруднение при ответе.

При организации учебной деятельности должны учитываться возрастные и индивидуальные особенности школьников. Знание и учет особенностей мышления младших школьников необходимы для интеллектуального развития детей.

Я.А.Коменский, основоположник педагогической науки, неоднократно подчеркивал в своих трудах важность учета возрастных особенностей детей в учебно-воспитательной деятельности. В процессе воспитания все должно происходить в строгой последовательности и с учетом возраста. Детям следует давать для обучения только то, что им доступно .

Также Я.А.Коменский настаивал на систематичности обучения. Он считал ,что в обучении, надо идти от фактов к выводам, от примеров к правилам, которые систематизируют, обобщают эти факты и примеры, идти от конкретного к абстрактному, от легкого к трудному, от общего к частному).

Роль математики в развитии мышления младших школьников.

Обучение математике в 1-4 классе направлено на реализацию следующих задач:

- формирование элементов самостоятельной интеллектуальной деятельности на основе овладения несложными математическими методами познания окружающего мира (умения устанавливать, описывать, моделировать и объяснять количественные и пространственные отношения);

- формирование пространственного воображения;

- развитие математической речи;

- формирование системы начальных математических знаний и умений их применять для решения учебно-познавательных и практических задач;

- формирование умения вести поиск информации и работать с ней;

- развитие познавательных способностей;

- воспитание стремления к расширению математических знаний;

- формирование критичности мышления;

- развитие умений аргументировано обосновывать и отстаивать высказанное суждение, оценивать и принимать суждения других.

Главная задача школы - подготовить учеников к жизни в обществе. Педагог должен не просто дать ученику знания, умения и навыки, но и научить его применять их в реальной жизни. Необходимо развивать неординарность мышления, отойти от способа решения задач с помощью «подражания». Именно в младшем школьном возрасте, согласно исследованиям психологов, необходимо формировать логическое и критическое мышление.

Мышление у детей младшего школьного возраста развивается на основе знаний, полученных в школе, но когда организация учебной деятельности осуществляется по образцу, ребенок мыслит готовыми шаблонами, не может находить новые варианты решения задач.

Усвоение материала по точно описанным алгоритмам, реализация шаблонных, типовых и неоднократно повторенных действий в прошлом (репсодуктивная деятельность), может привести к скованности мышления, в таких условиях будут недостаточно развиваться такие качества мышления, как гибкость, глубина, последовательность, быстрота и самостоятельность.

Известный психолог А. М. Матюшкин обращал внимание на то, что «запоминание и упражнение -- два основных способа, обычно применяемые в школе для усвоения учебного материала. Они не требуют от ученика творческого мышления. ... И каким бы знаниям и навыкам мы не учили детей, в том числе и навыкам рассуждения, в результате такого обучения ребенок становится как бы интеллектуальным иждивенцем, постоянно обслуживаемым учителем»[36].

Репродуктивная учебная деятельность должна сочетаться с продуктивной. Репродуктивная деятельность имеет важнейшее значение в развитии мышления человека.

Подражая другим, человек приобретает определенные навыки, усваивает общекультурные ценности. Но именно продуктивная деятельность всегда дает возможность найти что-то новое, осуществить творческий, уникальный процесс.

Уже младшие школьники должны приучатся самостоятельно находить ответы на различные вопросы. Вначале учитель советует ребенку подумать самому. Затем дает необходимые разъяснения.

Важно, чтобы была постепенность в нарастании трудностей, должна осуществляться преемственность в обучении, ребенок должен быть подготовлен к обучению в начальной и в средней школе.

Эффективное обучение и воспитание можно вести только при правильной оценке и учете возрастных и индивидуальных особенностей детей, поэтому занятия выбираются такие методы и приемы, которые соответствуют психологическим особенностям детей этого возраста.

Поэтому одной из важнейших задач, стоящих перед учителем начальных классов, является развитие всех качеств и видов мышления, которые позволили бы детям строить умозаключения, делать выводы, обосновывая свои суждения, и, в конечном итоге, самостоятельно приобретать знания и решать возникающие проблемы.

Важнейшую роль во вс?м этом играет предмет математика. Именно математика позволяет развить мышление младшего школьника. Ведь математика - самая теоретическая наука из всех изучаемых в школе. Выдающийся отечественный математик А.Н. Колмогоров писал:

«Математика - не просто один из языков. Математика - это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика - орудие для размышления…»[27].

Школьный курс математики направлен на формирование вычислительной культуры, на развитие логического и алгоритмического мышления и творческих способностей учащихся.

Безусловно, все уроки из курса начальной школы в той или иной степени способствуют развитию логического мышления учеников, но именно математика является тем учебным предметом, где можно в большей степени реализовать все виды логических универсальных действий.

Перед учителями сейчас стоит задача воспитания человека, способного мыслить самостоятельно и критически , развивать гибкость, вариативность и изобретательность мышления. Важно развить мышление ученика так, чтобы он сам сумел находить и отбирать нужную информацию.

Для развития всех качеств и видов мышления недостаточно задач, которые опираются на теоретический материал. Повысить возможность уроков математики, с точки зрения развития мышления младших школьников, можно с помощью нестандартных задач.

А. Зак - известный специалист по развитию интеллекта у детей считает, что первостепенное внимание следует уделять особенности понимания условия задачи. Наиболее полно и конкретно различия в понимании задач выражаются при решении детьми комбинаторных, лабиринтных и логических задач.

Под нестандартными задачами подразумевают задачи на осуществление мыслительного процесса, связанное с использованием понятий, операций над ними, различных логических конструкций. Предлагая учащимся такие задачи, мы формируем у них способность выполнять логические операции и одновременно развиваем их.

Наиболее четко сформулированное определение дает российский советский ученый, специалист в области педагогической и математической психологии Л.М. Фридман:

«Нестандартные задачи - это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения»[53]. Они рассчитаны на наличие исследовательского характера. Также под нестандартной понимается задача, при решении которой учащийся заранее не знает способ ее решения. Учащемуся не известен также учебный материал, который целесообразно использовать при ее решении.

Классификаций нестандартных задач большое количество, но более удачной классификацией считается классификация, данная Е.Ю. Лавлинской, где она классифицирует нестандартные задачи по способу действия, выполняемого в процессе решения. К этим задачам относятся:

комбинаторные задачи;

задачи на активный перебор вариантов отношений;

задачи на упорядочивание элементов множества;

задачи на вливания и переливания;

задачи на взвешивания;

логические задачи;

задачи на определение функциональных, пространственных и временных отношений.

К нестандартным задачам можно также отнести: магические квадраты, задачи в стихах, логические цепочки, головоломки, лабиринты, математические задачи, геометрические задачи со счетными палочками.

При включении нестандартных задач в учебный процесс, учитель должен учитывать:

возрастные особенности развития мышления младших школьников;

задачи не должны иметь уже известных детям алгоритмов, но в то же время, например при решении комбинаторных задач, используются такие методы, как метод перебора, табличный метод, граф-схема, построение дерева возможностей;

задачи должны подбираться так, чтобы они были поняты все учащимся;

они должны быть интересными по содержанию, что будет способствовать дальнейшему интересу к занятиям математикой;

при решении нестандартных задач, у учащихся должно хватать знаний по усвоенной ими по программе.

Задачи должны быть приближены к жизненным ситуациям.

В учебниках по математике начальной школы различных программ встречаются разнообразные нестандартные задачи, что дает не только разнообразить систему задач, но и познакомить учащихся с вопросами, не сформулированными в программе, но имеющими большое значение для развития мышления младших школьников.

В сборнике научных педагогических статей под редакцией Г.В. Павленко приведен анализ учебников математики по трем программам начальной школы: «Начальная школа 21 века»(автор В. Н. Рудницкая), «Школа 2000» (автор Л.Г. Петерсон), «Школа России» (автор М.И. Моро). На основе этого анализа, представленного в виде таблицы, можно увидеть виды нестандартных задач, соответствующие определенной программе, а также можно проследить за тем, как часто они используются в этих программах, так как расположены от часто используемых задач в данной программе к менее используемым:

№	«Начальная школа21 века»	«Школа 2000»	«Школа России»
1	Комбинаторные задачи	Комбинаторные задачи	Задачи на соответствие
2	Теория вероятности	Логические задачи	«магический квадрат»
3	Задачи на соответствие	Задачи на соответствие	головоломки
4	Логические задачи	Задачи «со спичками»	«занимательные рамки»
5	Задачи на взвешивание	Задачи на вместимость	Комбинаторные задачи
6	Задачи на вместимость	Задачи на взвешивание	Логические задачи
7	Задачи «со спичками»	Теория вероятности	Задачи на вместимость
8			Задачи на взвешивание
9			Теория вероятности

Из таблицы мы видим, что программы «Начальная школа 21 века» и «Школа 2000» делают акцент именно на комбинаторных задачах, этот вид является наиболее доступным для восприятия детей, т.к. он менее абстрактный по отношению к другим нестандартным задачам. Программа «Школа России» делает упор на задачи на соответствие, так же в этой программе присутствуют такие виды задач, как «магические квадраты», головоломки, «занимательные рамки» [41].

Комбинаторные задачи как средство развития мышления младших школьников.

В жизни нам часто приходится сталкиваться с задачами, при решении которых нужно выбрать оптимальный вариант решения из множества различных возможных вариантов, комбинаций. Раздел математики о том, сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов и как из них выбрать оптимальную, принято называть комбинаторикой.

При этом нужные комбинации подчиняются определенным условиям, что приводит к различным методам решения комбинаторных задач.

С подобными задачами, в которых нужно подсчитывать число различных комбинаций, выбирать объекты, располагать их в некоторой последовательности, выбирать из них наилучшие в определенном смысле, люди имели дело еще в доисторическую эпоху. Располагая стандартные детали для украшения одежды, жилища различным образом, люди получали орнаменты. Расположение перьев в оперении стрелы содержало информацию о владельце этого оружия. По мере усложнения производственных и общественных отношений усложнялись представления людей об иерархии. В том же направлении действовало развитие ремесел и торговли.

Комбинаторные задачи появлялись также в процессе формирования правил досуговых игр. Первоначально рассматривались задачи, связанные в основном с азартными играми. Эти задачи были связаны со всевозможными лотереями. А в шестнадцатом веке итальянский математик Н.Тарталья занялся подсчетом числа возможных комбинаций при игре в кости.

В восемнадцатом веке стала развиваться теория вероятностей. Для решения задач этого раздела математики требовалось уметь подсчитывать число различных комбинаций объектов. Это стало стимулом для развития комбинаторики как науки. Первые научные труды по комбинаторике создали итальянские ученые Дж. Кардано, Н.Тарталья, Г.Галилей и французские ученые Б.Паскаль (1623-1662) и П.Ферма.

О комбинаторике как самостоятельном разделе математики впервые заговорил немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц в своей работе "Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 году. Ему же принадлежит идея назвать соответствующий раздел математики «комбинаторика».

Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «cпmbina», что в переводе на русский означает - «сочетать», «соединять».

Комбинаторика имеет широкую практическую направленность в различных сферах жизнедеятельности. С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: химику, биологу, программисту, архитектору и т.д.

Как это ни удивительно, но комбинаторика встречается в литературе, математике, музыке. В таких настольных играх, как шахматы, шашки, нарды приходится рассматривать различные сочетания фигур. Выигрывает тот, кто их лучше изучает, умеет создавать выигрышные комбинации и избегать проигрышных, что и подразумевает комбинаторика.

Люди, плохо владеющие комбинаторным мышлением, часто испытывают затруднения при решении жизненных задач. Таким людям тяжело ожидать успеха во многих видах профессиональной деятельности. Это профессии, где необходимо уметь собирать и анализировать данные, планировать, осуществлять прогноз, уметь выделять структурные связи в сложных системах.

В повседневной жизни каждый человек должен уметь читать расписания. Кому-то придется такие расписания составлять. Многим людям понадобятся умения читать таблицы, графики, собирать и обрабатывать нужную информацию.

Целесообразность включения комбинаторных задач в программное содержание начального образования объясняется еще и тем, что современным школьникам требуются не просто задачи на вычисление, а задачи, требующие в своем решении участия логического мышления. В современный курс математики начальной школы необходимо также включать задачи, наиболее приближенные к жизненным ситуациям.

Как раз такими и являются комбинаторные задачи.

Комбинаторные задачи имеют большую пропедевтическую ценность.

1.Комбинаторные задачи способствуют формированию логико-алгоритмического и критического мышления.

Учащиеся младших классов обычно не воспринимают правила, сформулированные в лаконичной форме, как алгоритмы. Необходимо научить учащихся выделять элементарные шаги своих действий. Здесь вовсе не идет речь о том, что при решении задач нужно опираться на уже готовые шаблоны.

Логико-алгоритмическое мышление подразумевает последовательность действий при решении задач различного происхождения, составление плана для достижения желаемого результата. В то же время оно включает и некоторые общие мыслительные навыки, полезные и в более широком контексте. К таким относится, например, разбиение задачи на подзадачи.

Алгоритмический подход к решению наблюдается во многих типах задач. Большинство из них в начальной школе имеет алгоритмическую структуру, и очень часто достижение результата действий зависит от того, как ученик решает задачу, осознает ее. Поэтому важно определить пути решения проблемы.

С целью выявления способов действия полезны комбинаторные задачи. Особенностью этих задач является то, что у них есть не одно, а много решений. При решении комбинаторных задач должен осуществляться перебор вариантов в рациональной последовательности.

Комбинаторные задачи способствуют развитию математического мышления младших школьников.

Математическое мышление является не только одним из важных компонентов процесса познавательной деятельности учащихся, но и таким компонентом, без целенаправленного развития которого невозможно достичь эффективных результатов в обучении системе математических знаний, умений и навыков.

При решении комбинаторных задач задействованы мыслительные операции: анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение и классификация.

Рассмотрим такой пример. Из цифр числа 246, нужно составить всевозможные двузначные числа так, чтобы цифры в записи числа не повторялись: 24, 26, 42, 62, 64, 42, 46.

В процессе его решения задействованы:

• Анализ-расчленение целого на части, выделение отдельных элементов в объекте.

• Синтез-соединение элементов, сторон объектов в целое.

• Сравнение- установление сходства или различия объектов изучения.

• Классификация- соотношение признаков объектов.

• Аналогия- подобие, равенство отношений; сходство (явлений объектов) в каких- либо свойствах, а также познание пут?м сравнения.

• Обобщение- выделение существенных признаков объектов, а также объединение объектов на основе этих признаков.

На первом этапе решения данной задачи учащиеся анализирует условие, выделяют части, составляют комбинации из заданного числа, в каждой комбинации по две цифры (двузначные числа), при этом ученики следят за тем, чтобы при составлении чисел не повторялись цифры(синтез и сравнение). В процессе установления сходства или различия, ребенок соотносит числа по существенным признакам и объединяет их в группы: сначала можно составить комбинацию, которая начинается с цифры 2( 24,26),потом с цифры 4(42,46) и с цифры 6(62,64), согласно условию, цифры повторяться не должны, следовательно чисел 22,44,66 быть не должно.

Кроме того, в процессе выполнения таких заданий с цифрами школьники повторяют устную и письменную нумерацию, работают над разрядным составом чисел, обращают внимание на поместное значение цифр, постоянно различают понятия «число» и «цифра». Из приведенного примера можно сделать вывод, что систематическое использование комбинаторных задач при изучении тех или иных математических понятий одновременно будет способствовать реализации развивающих и образовательных функций курса «Математика в начальной школе».

В результате добавления комбинаторных задач в программное содержание будет повышаться качество знаний учащихся и формироваться умение решать комбинаторные задачи. В начальной школе такие задачи решаются неформальными способами. Это означает, что при решении комбинаторных задач младшие школьники не используют специальные формулы. Включая комбинаторные задачи в процесс усвоения программного содержания, важно учитывать индивидуальные особенности учеников, заранее проанализировать, смогут ли они решить определенные задачи, не возникнут ли у них затруднения при решении этих задач, а также важно не перегружать учащихся дополнительной информацией.

Решение комбинаторных задач способствует развитию индивидуальных качеств мышления. В частности, при решении комбинаторных задач развивается такое качество, как вариативность, то есть направленность мыслительной деятельности ученика на поиск различных решений задач.

При решении комбинаторных задач учащиеся должны находить варианты решения, они должны видеть разнообразные способы реального преобразования объекта. Таким образом, школьники должны проявить креативность, гибкость и глубину мышления. Кроме того, вариативность здесь выступает как важнейшая характеристика поисковой деятельности, которая является основой продуктивной деятельности в учении.

Учащиеся также знакомятся с таким метод решения задач, как метод перебора. Они учатся решать задачи с помощью таблиц, графов, схемы-дерева.

Решая комбинаторные задачи, учащиеся расширяют свои знания о самой задаче и о процессе решения. Они узнают, в частности, что задача может иметь не только одно , но и несколько решений - ответов или вовсе не иметь решения .

Решение комбинаторных задач приучает младших школьников рассуждать четко, последовательно, логично.

Комбинаторные задачи зачастую составляются на жизненном материале. Это помогает младшим школьникам лучше ориентироваться в окружающем мире. Ведь при их решении учащиеся должны учиться самостоятельно находить новые способы решения проблем, находить и отбирать необходимую информацию. А это, безусловно, пригодится им в обыденной жизни.

В результате многократных изменяющихся и усложняющихся логических упражнений ум ребенка становится острее, а сам он - находчивее и сообразительнее. Это связано с тем, что у детей меняется сам подход к решению задач, с помощью комбинаторных задач, они учатся самостоятельно находить различные варианты решения. Рассуждение у учащихся становится последовательным, доказательным, логичным, а речь четкой, убедительной и аргументированной. Повышается интерес к предмету, формируется неординарность мышления, умение анализировать, сравнивать, обобщать и применять знания в нестандартных ситуациях. Ведь в творческом поиске легких побед не бывает, поэтому развивается упорство в достижении поставленных целей и, что очень ценно, развиваются навыки самоконтроля и самооценки.

Роль комбинаторных задач в начальной школе состоит в создании условий для формирования у учащихся таких приемов умственной деятельности, как анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, а также для развития произвольного внимания, образного мышления и наиболее эффективного усвоения содержания программы.

Глава 2. Комбинаторные задачи в программном содержании курса математики начальной школы

История включения комбинаторных задач в школьный курс математики.

В середине 70-х годов в программное содержание младшей ступени средних школ Японии, наряду с разделами «Числа и алгебраические выражения», «Функции»,

«Геометрические фигуры», был включен раздел «Вероятность и статистика». В процессе изучения данного раздела японские школьники учатся целенаправленно собирать данные, располагать их в виде таблиц, чтобы усмотреть закономерность в их поведении.

В американских школах в содержательную часть стандарта (1989г.) начальной школы (1-4 классы) включен раздел «Элементарные основы статистики и вероятностей»; средней ступени (5-8 классы) - «Статистика и вероятность», старшей школы (9-12 классы) -

«Статистика. Вероятность. Дискретная математика».

Во французских школах большое значение уделяется изучению теории вероятностей и статистики, которая не содержит ни формальной теории, ни технически сложных задач. Все понятия в этом курсе вводятся естественным образом при рассмотрении соответствующих примеров из реальной жизни, задачи решаются неформальными способами, то есть преподавание ведется на доступном ученику уровне.

В 1973 году венгерский ученый Томас Варга доказал в своих экспериментальных исследованиях, что ученики начальных классов способны решать комбинаторные задачи. Более чем в ста школах Венгрии им был проведен эксперимент по обучению младших школьников начальным понятиям вероятности и комбинаторики. Результатом данного эксперимента стало убеждение автора в том, что идея обучения комбинаторике и теории вероятностей может быть реализована в начальной школе.

Вопрос о включении комбинаторных, вероятностных и статистических задач в школьный курс математики рассматривался неоднократно, в России данный вопрос ставился с середины 19 века, что было обусловлено идеями и периодами реформирования математического образования.

Целесообразность включения элементов комбинаторики, теории вероятности и математической статистики рассматривали такие выдающиеся математики, как А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, С.Н. Бернштейн, Б.В. Гнеденко, это обосновывалось необходимостью систематического развития у учащихся идеи наличия в природе закономерностей более широкой природы, а именно статистических закономерностей.

А.Н. Колмогоров разработал возможные подходы к изложению понятия вероятности для факультативного курса в старших классах, а также содержание и методику самого курса, также высказал надежду, что «этот материал в значительной своей части в будущем войдет в основной школьный курс математики. Желательно, чтобы при ведении факультативных занятий в школах выработалась определенная традиция его изложения, которая потом могла бы быть перенесена на работу со всеми учащимися».

В 1967 году в факультативный курс X класса были включены следующие вопросы:

Начала комбинаторики и вычисление вероятностей при помощи подсчета числа благоприятствующих случаев.

Операции над событиями, теорема сложения вероятностей, условные вероятности и независимость событий.

Независимые повторные испытания с постоянной вероятностью, теорема Бернулли (без доказательства), заключительная беседа о различных областях науки и практической деятельности.

Попытки изложения для школьников основных идей теории вероятностей были предприняты И.Г. Журбенко. Построить отдельный курс основ теории вероятностей предлагали Б.В. Велиев, И.М. Гайсинская, В.Г.Потапов.

Выделению вероятностно-комбинаторной линии в школьном курсе математики посвящены исследования Л.М. Кабековой, А.Я. Дограшвили, З.П. Самигулиной, Л.Бычковой. В работах данных авторов приводятся аргументы в пользу совместного изучения элементов комбинаторики и теории вероятностей, связанных как обособленностью элементов комбинаторики от других тем, так и особенностью их содержания. В связи с этим, на усвоение комбинаторики тратится много времени, что не позволяет глубоко изучить вопросы теории.

По мнению Л.М. Кабековой, изучение элементов комбинаторики внутри раздела «Элементы теории вероятностей» позволит отказаться от решения искусственных задач по комбинаторике и тем самым сэкономить время для более глубокого курса теории вероятностей. Этот путь дает возможность комбинаторику - самостоятельную область математики со своими задачами и со своими методами - рассматривать как составную часть теории вероятностей с вероятностными выводами основных формул. При этом учащиеся знакомятся и с комбинаторными методами.

А.Я. Дограшвили полагал, что задачи вероятностного и комбинаторного характера разбросаны по всему курсу математики восьмилетней школы и не приведены в систему[14].В его работе, которая посвященная формированию у учащихся восьмилетней школы умений и навыков решения комбинаторных задач, была предпринята попытка привести задачи комбинаторного и вероятностного характера к определенному единству по классам и создать определенную систему задач указанного типа соответствующую действующей в то время программе по математике. Основу этой системы составляют этапы, учитывающие, прежде всего возрастные особенности учащихся.

Автор полагает, что в классах уровень знания учащихся в указанном направлении определяется тем, что не превышает их сферу чувств. В старших же классах от учеников требуется уже логическое мышление, которое опирается на метод неполной индукции: ученики высказывают гипотезы, а затем производят их проверку.

Изучение понятий комбинаторики и теории вероятностей в четвертом классе согласовано с изучением множеств, при этом процесс делится на два этапа. На первом рассматривается одно множество, содержащее небольшое число элементов, устанавливается связь между количеством элементов и количеством выделенных пар. На втором этапе рассматриваются два разных множества, содержащие малое число элементов, и составленные из них всевозможные пары.

В четвертом и пятом классах учащиеся уже решают комбинаторно-вероятностные задачи, используя предложенные правила, закрепляют знания

пройденного материала по вопросам: множества, часть и дроби, их свойства, отрезок, луч, ломаная и т. д

В шестом классе ученики пользуются для решения комбинаторных задач уже известными им правилами. Задачи, требующие применения общих формул, автор предлагает включить в 7-8 классы.

Большинство исследований того времени были адресованы теории вероятностей и комбинаторики, в меньшей степени рассматривались элементы математической статистики. Несмотря на большое количество разработок, раздел «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» был исключен из проекта программы общеобразовательных школ, предлагаемые экспериментальные программы использовались как факультатив, либо в специальных классах с углубленным изучением математики.

В последующие годы, в связи с потребностями смежных дисциплин, постепенно стал проявляться акцент на усиление практической и прикладной направленности вероятностно-статистического материала.

Новый этап исследований, связанный с возможностью включения комбинаторных и вероятностных задач в программу отечественной общеобразовательной школы, относится к последнему десятилетию прошлого века.

Начиная с 1990 года, появляется ряд работ, в которых комбинаторные задачи рассматриваются как средство развития мышления учащихся.

Первая попытка включения раздела «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» была предпринята в учебнике математики для 5-го класса (Учебник «Математика 5 кл.» / под редакцией Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина). В этот учебник включены разделы

«Перебор возможных вариантов», состоящий из тем «Комбинаторные задачи» и «Дерево возможных вариантов», раздел «Случайные события», включающий в себя темы: «Возможно или невозможно» и «Достоверные, возможные и невозможные случайные события». На изучение этих тем отводится соответственно 6 и 8 часов[8].

На данный момент Изучение элементов комбинаторики является обязательным, так как входит в государственный стандарт и определены требования к знаниям и умениям учеников по прохождению этой темы. В стандарте отмечается, что учащиеся должны уметь решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора и с использованием правила умножения, а также с использованием известных формул (старшие классы). В начальной школе такие задачи решаются без использования формул(методом перебора, с помощью таблицы, графов и с помощью построения дерева возможностей).

В начальной школе комбинаторные задачи присутствуют в учебниках и тетрадях по математики различных программ и рассматриваются обзорно, в большинстве случаев такие задачи решаются на факультативах, в процесс обучения учителя включают комбинаторные задачи как задачи повышенной трудности. Комбинаторные задачи включены в ЕГЭ и ОГЭ, в различные математические олимпиады и в итоговую аттестацию, которую пишут ученики четвертых классов, следовательно, учащиеся начальной школы должны быть подготовлены к решению так задач.

Анализ современных учебников математики программ начального образования на предмет содержания комбинаторных задач.

В соответствии с федеральным законом «Об образовании в Российской Федерации» школа может использовать учебники только из федерального перечня. В федеральный перечень учебников включаются учебники, рекомендованные Научно- методическим советом по учебникам, создаваемым Министерством образования и науки Российской Федерации

На данный момент, в федеральный перечень учебников включены следующие учебники математики для начальной школы:

Автор/авторский коллектив	Наименование учебника	Название программы	Класс
Моро М.И., Волкова С.И., Степанова С.В.	Математика. В двух частях. Издательство «Просвещение»	«Школа России»	1-4
Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.	Математика. В двух частях. Издательство «Просвещение»	«Перспектива»	1-4
Рудницкая В.Н., Юдачева Т.В.	Математика. В двух частях. Издательство «ВЕНТАНА- ГРАФ»	«Начальная школа 21 века»	1-4
Чекин А.Л.	Математика. В двух частях. Издательство «Академкнига/Учебник»	«Перспективная начальная школа»	1-4
Башмаков М.И.,	Математика. В двух частях.	«Планета знаний»	1-4
Нефtдова М.Г.	Издательство «Астрель»
Александрова Э.И.	Математика. Учебник в двух книгах. Издательство «ВИТА- ПРЕСС»	«Система Д.Б.Эльконина- В.В.Давыдова»	1-4
Давыдов В.В., Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В.	Математика. Учебник в двух книгах. Издательство «ВИТА-ПРЕСС»	«Система Д.Б.Эльконина- В.В.Давыдова».	1-4
Муравин Г.К., Муравина О.В.	Математика. В двух частях. Издательство «Дрофа»	«РИТМ»	1-4



В перечень не вошли учебники УМК "Школа 2100" и УМК "Школа 2000..." (математика Л.Г. Петерсон). УМК "Диалог"( Математика. Авторы: Ивашова О.А.,Подходова Н.С) и УМК "Гармония"( Математика. Автор: Истомина Н.Б.) были исключены из федерального перечня учебников.

Важно отметить, что на все не вошедшие в Перечень и исключенные из него учебники, распространяется право использования в течение пяти лет в образовательной деятельности ранее приобретенных учебников (до вступления в силу соответствующих приказов).

Анализ некоторых учебников математики различных программ начального образования на наличие в них комбинаторных задач: 1. «Школа России». Авторы учебно-методического комплекта: Моро М.И., Волкова С.И., Степанова С.В., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В.

Особенности программы: курс направлен на реализацию целей обучения математике в начальном звене, сформулированных в Федеральном государственном стандарте начального общего образования. Обучение младших школьников математике по программе М.И Моро направлено на формирование у детей основных понятий, отношений, взаимосвязей и закономерностей, раскрывающихся на системе текстовых задач. Важным аспектом этой программы является желание научить детей самостоятельно находить пути решения предлагаемых программой текстовых задач, применять простейшие общие подходы к их решению, также большое внимание уделяется формированию умений работать с информацией (текст, рисунок, схема, символическая запись, модель, таблица, диаграмма);

В программе учитывается принцип целостности, что способствует установлению межпредметных связей внутри программы, принцип преемственности с дошкольным периодом и основной школой, индивидуальные потребности школьников и обеспечение возможностей развития математических способностей учащихся.

Активно используются элементы опережающего обучения на уровне отдельных структурных единиц курса: отдельных упражнений, отдельных уроков, целых тем: наблюдения над свойствами геометрических фигур, формулирование выводов (сначала с помощью учителя, а позже самостоятельно), проверка выводов на других объектах. Значительное место в курсе отводится развитию пространственных представлений учащихся. В учебниках развитие пространственных представлений реализуется через систему графических упражнений (1 класс), широкое использование наглядных моделей при изучении основного учебного материала, обучение моделированию условий текстовых задач, повышенному вниманию к геометрическому материалу.

Один из центральных принципов организации учебного материала в данном курсе- принцип вариативности (реализуется через деление материала учебников на инвариантную и вариативную части).

...