Обучение решению задач на построение сечений многогранников учащихся 10-11 классов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Обучение решению задач на построение сечений многогранников учащихся 10-11 классов

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время в связи с введением Федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования (Стандарт) устанавливаются требования к результатам освоения основной образовательной программы по любому предмету, в частности, геометрии. Поэтому подготовка учителя к обучению геометрии на уровне любой учебной темы, включает конструирование соответствующих планируемых предметных и метапредметных результатов на двух уровнях: базовом и углублённом, а затем - организацию обучения, направленного на достижение этих результатов.

Задачи на построение сечений занимают в школьном курсе геометрии особое место. Их решение не только развивает пространственные представление и воображение учащихся, но и способствует развитию логической культуры мышления, приучая к полноценности аргументации с использованием теоретического содержания школьного курса геометрии. С позиций умственного развития при обучении математике важно, что лишний раз появляется возможность организации исследовательской деятельности учащихся. Задачи на построение сечений многогранников являются целью изучения в курсе геометрии 10-го класса, где на эту тему отводится от четырёх до шести уроков. Затем, при освоении следующей учебной информации и в курсе геометрии 11-го класса построение сечений включается в решение задач на доказательство и вычисление величин углов, площадей и других величин. Такие задачи входят в КИМы базового и профильного уровня ЕГЭ. Анализ результатов выполнения заданий, связанных с построением сечений, учащимися Московской области, показывает низкий уровень сформированности умений строить сечения. Вследствие этого задание базового уровня выполняют 5% учащихся, а задания углублённого уровня - 6%.

Таким образом, является актуальной тема исследования «Обучение решению задач на построение сечений многогранников учащихся 10-11 классов». Проблема исследования заключается в поиске ответа на вопрос, какой должна быть методика обучения построению сечений многогранников учащихся 10-11 классов, направленная на совершенствование результатов обучения геометрии в условиях реализации ФГОС СОО.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии учащихся 10 - 11 классов общеобразовательной школы, а предметом исследования - процесс обучения старшеклассников решению задач на построение сечений многогранников.

Цель данного исследования состоит в разработке методики обучения решению задач на построение сечений многогранников на базовом и углублённом уровнях в курсе геометрии 10-11 классов.

Гипотеза исследования: методика обучения учащихся 10-11 классов построению сечений многогранников в условиях реализации ФГОС СОО, основанная на использовании: подготовительных упражнений для построения сечений; планируемых предметных и метапредметных результатов изучения этой темы; соответствующих средств, форм и методов достижения этих результатов будет способствовать совершенствованию процесса обучения геометрии учащихся 10-11 классов.

Задачи исследования:

1) Выявить математические основы построения сечений многогранников, установить методы решения задач на построение сечений, представленные в УМК по геометрии для 10-11 классов и соотнести их с требованиями ФГОС и ПООП СОО.

2) Выявить психолого-педагогические и методические основы обучения учащихся построению сечений многогранников.

3) Разработать методические рекомендации для обучения построению сечений многогранников и их использованию при решении задач, направленные на достижение сконструированных планируемых предметных и метапредметных результатов учащимися 10-11 классов.

4) Провести частичную опытную проверку разработанных материалов.

Теоретико-методологические основы исследования:

- нормативные документы в сфере общего образования, в том числе, математического: ФГОС СОО, Концепция развития школьного математического образования в РФ; Фундаментальное ядро содержания образования;

- системно-деятельностный подход в обучении (А. Н. Леонтьев, С. Л. Рубинштейн, В. В. Фирсов и др.)

- исследования, связанные с возрастными особенностями познавательной сферы учащихся старших классов (П. Я. Гальперин, Е. С. Рабунский, Н. Ф. Талызина, Д. И. Фельдштейн и др.)

- труды в области геометрии и методики обучения геометрии (А. Д. Александров, Л. С. Атанасян, Н. М. Бескин, Л. И. Боженкова, В. Н. Литвиненко, А. В. Погорелов, Е. В. Потоскуев, В. А. Смирнов, И. М. Смирнова, Н. Ф. Четверухин, И. Ф. Шарыгин и др.).

Методы исследования: анализ психолого-педагогической, учебно- методической и математической литературы, учебников геометрии по теме исследования; наблюдение, анкетирование, опытная проверка.

Опытная проверка работы осуществлялась в ходе педагогической практики в ГБОУ "Школа № 1948 "Лингвист-М" города Москвы. Основные результаты исследования докладывались на научной студенческой конференции; по результатам исследования в 2015 году опубликована статья.

Практическая значимость исследования состоит в том, что:

1) сконструированы планируемые предметные и метапредметные результаты обучения решению задач на построение сечений многогранников на базовом и углублённом уровнях;

3) отобраны упражнения для пропедевтики построения сечений многогранников и определено место их использования при обучении первым разделам стереометрии;

2) разработаны методические рекомендации для обучения учащихся построению сечений многогранников на базовом и углублённом уровнях.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Явное выделение методов и способов построения сечений многогранников в процессе обучения учащихся 10-11 классов соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования и примерной основной образовательной программе среднего общего образования.

2. Для снижения затруднений, возникающих у учащихся при построении сечений многогранников, необходимо учитывать индивидуальные особенности познавательной сферы учащихся юношеского возраста, использовать упражнения для пропедевтики построения сечений, обобщать процесс построения сечений различными способами и методами.

3. Методические рекомендации для обучения построению сечений многогранников и их использованию при решении задач на базовом и углублённом уровнях включают: подготовительные упражнения и предписания для построения сечений; планируемые предметные и метапредметные результаты обучения этой учебной информации; соответствующие средства, формы и методы обучения. Их использование в процессе обучения геометрии учащихся 10-11 классов способствует его совершенствованию.

Структура выпускной квалификационной работы: работа состоит из введения, основной части (две главы), заключения, списка литературы и приложения. Общий объём ВКР 103 с.; основная часть - 81 с.; список литературы (52 наименования, - 5 с.); шести приложений - 15 с. В диссертации 52 рисунка, 22 таблицы.

Во введении обоснована актуальность темы исследования, определены его проблема, объект, предмет, цель; выдвинута гипотеза, сформулированы задачи, методы исследования; указана практическая значимость исследования и положения, выносимые на защиту.

В первой главе «Теоретические основы обучения построению сечений многогранников учащихся 10-11 классов» рассмотрены математические основы построения сечений, идеи ФГОС среднего (полного) общего образования в контексте построения сечений в обучении геометрии и проанализировано наличие методов построения сечений в УМК по геометрии для 10-11 классов. Рассмотрены особенности познавательной сферы старшеклассников, причины затруднений в построении сечений и средства, позволяющие их нивелировать. В частности, показана необходимость использования подготовительных задач и предписаний для обучения построению сечений многогранников различными способами, представлены эти средства.

Во второй главе сконструированы предметные и метапредметные результаты обучения построению сечений для базового и углублённого уровней, базирующиеся на Примерной основной образовательной программе среднего общего образования (ПООП СОО), отражающей идеи ФГОС СОО. В главе представлены результаты логико-математического анализа содержания УМК по геометрии для 10-11 классов в контексте построения сечений многогранников и требований ПООП СОО. Для достижения сконструированных планируемых результатов разработаны методические рекомендации для обучения построению сечений, как в рамках изучения новой учебной информации, так и в плане использования сечений в качестве промежуточного средства решения геометрических задач. В последнем параграфе второй главы представлено описание опытной работы и её результатов.

В заключении выпускной квалификационной работы содержатся выводы и результаты исследования.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ ПОСТРОЕНИЮ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ УЧАЩИХСЯ 10-11 КЛАССОВ

Математические основы построения сечений многогранников

В большинстве задач, связанных с построениями на изображениях, требуется выполнить построение сечений заданных пространственных фигур. Существует несколько методов построения сечений многогранников, которые связаны со способами задания плоскости сечений [27], [49]. Наиболее эффективными в практике преподавания в средней школе являются следующие три метода построения сечений многогранников: 1) метод следов; 2) метод внутреннего проектирования; 3) комбинированный метод [17], [31]. Кроме этого отдельно рассматривается построение конических сечений. Рассмотрим указанные методы.

Метод следов. Метод следов включает в себя два способа: способ пересечения множеств (проекции данных точек не используются) и способ проекций (используются проекции данных точек) [18]. В общем случае плоскость сечения имеет общую прямую с плоскостью каждой грани многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани многогранника, называют следом секущей плоскости. Ясно, что секущая плоскость имеет столько следов, сколько плоскостей граней она пересекает. На практике чаще всего находят тот след секущей плоскости, который лежит в плоскости нижнего основания многогранника. Для развития пространственного представления следует решать задачи на построение сечений, в которых более целесообразным оказывается нахождение следа секущей плоскости в плоскости какой-нибудь грани, отличной от плоскости нижнего основания многогранника.

При построении сечений след секущей плоскости играет особую роль.

Так, пусть боковые ребра некоторого многогранника параллельны и прямая ХY - след плоскости, пересекающей этот многогранник. Тогда если точки К и L лежат в секущей плоскости, а точки K1 и L1 - их проекции на плоскость грани, в которой лежит след XY (причем, естественно, прямые KK1 и LL1 параллельны боковому ребру многогранника), то точка пересечения прямых KL и K1L1 лежит на следе XY.

Это утверждение и лежит в основе построения сечений многогранников методом следов.

Для нахождения определенного следа секущей плоскости необходимо, кроме указания точек, определяющих секущую плоскость, указать также (задать или найти) параллельные проекции этих точек на плоскость той грани, в которой ищется след. Так, если требуется построить след секущей плоскости на плоскости нижнего основания параллелепипеда, то, кроме точек, лежащих непосредственно в секущей плоскости, необходимо указать также параллельные проекции этих точек на плоскость нижнего основания (в направлении, параллельном боковому ребру параллелепипеда).

Отметим, что методом следов решается два типа задач: первый тип - условно используется способ пересечения множеств, второй - условно способ проекций точек.

Рассмотрим примеры [50].

Пример 1. Точка P взята на ребре AD треугольной пирамиды ABCD, а точки Q и R - на грани BCD (рис. 1). Построить сечение, проходящее через три данные точки.

Решение. Поскольку точки Q и R принадлежат одной грани BCD, мы можем провести через них прямую. Прямая QR пересекает ребра пирамиды BCиCDв точках M и Nсоответственно. Теперь точки N и P лежат в одной грани пирамиды - в грани ACD, поэтому и через них можно провести прямую. Прямая PNможет пересечь плоскость грани ABC, поэтому продлеваем прямые PN и AC до пересечения. Обозначим точку их пересечения X. Итак, мы получили, что теперь точки Xи M находятся в плоскости грани ABC, поэтому, соединив их, мы получим на ребре AB недостающую точку сечения. Обозначим ее точкой K. Таким образом, четырехугольник KMNP - искомое сечение.

При построении сечения в данном случае понятие следа секущей плоскости используется неявно, поэтому этот вариант обозначен как способ пересечения множеств в рамках метода следов.

Рис. 1. Изображение к примеру 1

Пример 2. Точки P, Q и R взяты на ребрах параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 следующим образом: точка Р лежит на ребре СС1, точка Q - на ребре DD1, точка R - на ребре A1B1 (рис. 2). Построим след секущей плоскости на плоскости АВС.

Рис. 2. Изображение к примеру 2

Решение: Построим точки P1, Q1 и R1- проекции точек P, Q и R на плоскость АВС. Т.к. по условию точка Р лежит на ребре СС1, то, проектируя ее в направлении, параллельном боковому ребру параллелепипеда, получим точку P1, совпадающую с точкой С. Аналогично получим Q1, которая совпадает с D. Проведем далее в плоскости АA1B1 через точку R прямую r|| АA1 и найдем точку R1- точку пересечения прямых r и АВ.

Теперь, когда найдены проекции точек P, Q и R, построим точки, лежащие на искомом следе. Т.к. РР1|| АA1 и RR1|| АA1, то РР1|| RR1, т.е. прямые PR и P1R1 лежат в одной плоскости (она определяется прямыми РР1 и RR1). Найдем точку Х - точку пересечения этих прямых. Ясно, что т.к. точка Х лежит на прямой PR, то она лежит и в секущей плоскости, а т.к. она лежит на прямой P1R1, то она лежит и в плоскости АВС - плоскости нижнего основания. Итак, точка Х принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания, т.е. она принадлежит искомому следу. Аналогично находим точку Y - точку пересечения прямых PQ и P1Q1. Точка Y, как и точка Х, принадлежит искомому следу. Таким образом, искомым следом является прямая ХY.

Мы нашли след секущей плоскости как прямую XY. Если, например, вместо точки Y найти точку Z (точку пересечения прямых RQ и R1Q1), то, т.к. и точка Х, и точка Z обе принадлежат и секущей плоскости, и плоскости основания, то прямая XZ будет также следом секущей плоскости PQR. Возникает вопрос, совпадают ли прямые XYи XZ?

Ясно, что т.к. точки P, Q и R принадлежат одной плоскости, и точки P1, Q1 и R1 также принадлежат одной плоскости, и точки X, Y и Z лежат на линии пересечения этих плоскостей. Другими словами, двумя своими точками след секущей плоскости определяется однозначно. (Учителю в связи с этим можно напомнить частный случай теоремы Дезарга, из которого следует, что т.к. прямые РР1, QQ1 и RR1 параллельны между собой, то указанные точки X, Y и Z принадлежат одной прямой).

При построении сечения в этом случае понятие следа секущей плоскости используется явно, поэтому этот вариант обозначен как способ проекций точек в рамках метода следов.

Метод внутреннего проектирования.

В некоторых учебных пособиях этот метод называется также методом соответствий или методом диагональных сечений [31]. Этот метод удобен при построении сечений в тех случаях, когда почему-либо неудобно находить след секущей плоскости, например, след получается очень далеко от заданной фигуры. Рассмотрим применение этого метода на примерах [28].

Пример 3. Точки P, Q и R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 следующим образом: точка Р лежит на грани СC1D1D, точка Q - на ребре B1C1, точка R - на ребре A1B1 (рис. 3). Построим сечение параллелепипеда плоскостью PQR.

Рис. 3. Изображение к примеру 3

Решение. Пересечение секущей плоскости с плоскостью АВС (т.е. след секущей плоскости на плоскости АВС) не помещается на нашем изображении. Можно было бы найти след секущей плоскости на плоскости какой-нибудь другой грани, например на плоскости BB1C1. (Для этого нужно было бы найти проекции точек P и R на плоскость BB1C1, а затем найти точку Х - точку пересечения прямых PR и P1R1. Тогда прямая XQ - искомый след.) Мы, однако, применим здесь метод внутреннего проектирования. При построении сечения этим методом не требуется находить след секущей плоскости. Выполним нужные построения в следующем порядке:

1. Построим плоскость AA1PP1, определяемую параллельными прямыми AA1 и PP1, и плоскость DD1QQ1, определяемую параллельными прямыми QQ1 и DD1.

2. Найдем прямую ММ1, по которой пересекаются две построенные плоскости.

3. Найдем точку М2, в которой пересекаются прямые PR и ММ1.

4. В плоскости DD1QQ1 проведем прямую QМ2 и найдем точку S - точку ее пересечения с прямой DD1.

Итак, на ребре DD1 найдена точка, принадлежащая секущей плоскости. Далее легко находятся точки пересечения других ребер с секущей плоскостью.

5. В плоскости СС1D1 проведем прямую SP и найдем точку L, в которой пересекаются прямые SP и СС1.

6. В плоскости ВВ1С1 проведем прямую QL и найдем точку N, в которой пересекаются прямые QL и BB1.

7. В плоскости AA1B1 проведем прямую RN и найдем точку K, в которой пересекаются прямые RN и A1B1.

8. Соединим точки К и Q, R и S. Многоугольник RSLQK- искомое сечение.

Пример 4. Точки P, Q и R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 следующим образом: точка Р лежит на грани СC1D1D, точка Q - на грани АА1D1D, точка R - в плоскости грани АА1В1В (рис. 4). Построим сечение параллелепипеда плоскостью PQR.



Рис. 4. Изображение к примеру 4

Решение. Найдем точку пересечения секущей плоскости с каким- нибудь ребром параллелепипеда, например, с ребром СС1.Выполним построение этой точки следующим образом:

1. Построим плоскость PP1R1R, определяемую параллельными прямыми PP1 и RR1, и плоскость CC1QQ1, определяемую параллельными прямыми QQ1 и CC1.

2. Построим прямую ММ1, по которой пересекаются две построенные плоскости.

3. Найдем точку М2, в которой пересекаются прямые PR и ММ1.

4. В плоскости СС1QQ1 проведем прямую QМ2 и найдем точку S - точку ее пересечения с прямой СС1.

Теперь построим искомое сечение.

5. В плоскости СС1D1D проведем прямую SP и найдем точки L и N, в которых прямая SP пересекает прямые С1D1 и DD1.

6. В плоскости AA1D1D проведем прямую NQ и найдем точку V, в которой прямая NQ пересекает прямую АА1.

7. В плоскости AA1В1В проведем прямую VR и найдем точку W, в которой пересекаются прямые VR и A1B1.

8. В плоскости A1B1С1D1 построим прямую WL. В итоге мы получаем четырехугольник NVWL- искомое сечение.

Комбинированный метод

При построении сечений этим методом на каких-то этапах решения применяются приемы, изложенные в методе следов или в методе внутреннего проектирования, а на других этапах применяются теоремы из раздела «Параллельность прямых и плоскостей» [31]. Для иллюстрации этого метода рассмотрим следующий пример.

Пример 5. Точки P, Qи R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 следующим образом: точка Р лежит на диагонали А1С1, точка QS - на ребре ВВ1, точка R - на ребре DD1. Построим сечение параллелепипеда плоскостью PQR.

Решение. Построив прямую XY - след секущей плоскости (рис. 5), заметим, что точка Р лежит в плоскости A1B1C1, параллельной плоскости АВС. Тогда секущая плоскость пересекает плоскость A1B1C1 по прямой, проходящей через точку Р и параллельной прямой XY. Пусть эта прямая пересекает рёбра A1B1 и A1D1 соответственно в точках Е и F. Тогда прямая FQ - это прямая, по которой секущая плоскость пересекает грань AA1D1D, прямая ER - это прямая, по которой секущая плоскость пересекает грань AA1В1В.

Т.к., далее, плоскость СC1D1 параллельна плоскости АА1В1, то секущая плоскость пересекает граньСС1D1D по прямойQS, параллельной прямой ER.

Т. о. многоугольник EFRSQ - искомое сечение.

Итак, рассмотрены три метода построения сечений многогранников.

построение сечение многогранник задача



Рис. 5. Изображение к примеру 5

Сечения круглых тел

Рассмотрим произвольную плоскость б и окружность, лежащую в этой плоскости. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная прямыми, перпендикулярными к плоскости б, проведенными через каждую точку окружности, лежащей в этой плоскости.

Цилиндр - это тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L1. Круги называются основаниями цилиндра, отрезки образующих, заключенных между основаниями, - образующими цилиндра, а образованная ими часть цилиндрической поверхности - боковой поверхностью цилиндра. Ось цилиндрической поверхности называется осью цилиндра (рис. 6) [7].

Рис. 6. Цилиндр и его элементы

Сечения цилиндра плоскостью. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого - образующие, а две другие - диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым (рис. 7).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 7. Сечения цилиндра

Все осевые сечения цилиндра - это равные между собой прямоугольники. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом, причём такая плоскость отсекает от данного цилиндра тело, также являющееся цилиндром, одним из оснований которого является рассматриваемое сечение (рис. 7) [7].

Если секущая плоскость пересекает ось цилиндра и не перпендикулярна к ней, то в сечении может получиться эллипс или некоторая его часть (рис. 8) [30].

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 8. Сечения цилиндра плоскостью, не перпендикулярной к его оси

Рассмотрим окружность и прямую, перпендикулярную к плоскости б этой окружности. Конической поверхностью называется поверхность, образованная прямыми, проходящими через точку, лежащую на прямой, перпендикулярной к плоскости б, и каждую точку окружности, лежащей в этой плоскости (рис. 9а).

Конусом называется тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L. Круг называют основанием конуса, вершину конической поверхности - вершиной конуса, отрезки образующих, которые заключены между основанием и вершиной, - образующими конуса, а боковая поверхность конуса - это образованная ими часть конической поверхности. Ось конической поверхности называют осью конуса, а отрезок оси, заключённый между вершиной и основанием, - высотой конуса (рис. 9б) [7].

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 9. Конус и его элементы

Сечения конуса плоскостью. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечением является равнобедренный треугольник, основание которого - диаметр основания конуса, а боковые стороны - образующие конуса. Такое сечение называется осевым (рис. 10). Все осевые сечения конуса - равные равнобедренные треугольники.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 10. Сечения конуса

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг (рис. 10) [7].

Если секущая плоскость не перпендикулярна к оси конической поверхности и пересекает все её образующие, то сечением является эллипс (рис. 11а); если секущая плоскость параллельна только одной образующей конической поверхности, то сечение - парабола (рис. 11б); если секущая плоскость параллельна оси конической поверхности, то сечение - гипербола (рис. 11в); если секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности, то сечение - пара пересекающихся прямых (рис. 11г).

Рис. 11. Сечения конической поверхности плоскостью, не перпендикулярной к её оси.

Невырожденные кривые второго порядка - эллипс (окружность), парабола и гипербола называются коническими сечениями или коротко кониками [30]. Стереометрическое определение конического сечения можно заменить планиметрическими определениями этих кривых как множеств точек на плоскости.

Требования ФГОС СОО в контексте обучения построению сечений многогранников

Требования ФГОС среднего (полного) общего образования. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования (Стандарт) утверждён в 2012 году [42]. Стандарт представляет собой систему требований, необходимых для реализации основной образовательной программы с учётом региональных, национальных потребностей народов РФ. Методологической основой Стандарта является системно-деятельностный подход в обучении, наиболее полно описывающий структуру учебной деятельности учащихся [42]. В результате обучающийся становится субъектом собственной учебной деятельности. Субъект учения - ученик, который: 1) не только активно усваивает (или даже «присваивает») новые знания и умения, но и соотносит их с содержанием собственного опыта, накопленного как в процессе предшествующего обучения, так и в жизненной практике; 2) регулирует процесс своей познавательной деятельности, контролирует и корректирует её результаты на основе рефлексии причин собственных успехов, ошибок, сомнений; 3) регуляция и рефлексия направлены как на рационально- логические операциональные, так и на личностно-смысловые аспекты этой деятельности [2].

Стандарт устанавливает требования к трём видам результатов освоения учащимися основной образовательной программы: личностным, предметным и метапредметным. Согласно Стандарту, требования к предметным результатам освоения предметной области «Математика» включают в себя предметные результаты освоения курса математики на двух уровнях: базовом и углублённом. В контексте построения сечений многогранников к требованиям базового уровня относится следующее: «владение алгоритмами решения и умение их применять при решении задач; владение методами доказательств и проведение доказательных рассуждений; владение основными понятиями о геометрических фигурах и их основных свойствах; умение распознавать геометрические фигуры; применение свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием» [42, С. 23]. Требования углублённого уровня обязательно включают требования к результатам освоения базового курса и дополнительно отражают результаты освоения углублённого курса. В контексте построения сечений многогранников к требованиям углублённого уровня относится следующее: сформированность понятийного аппарата по основным разделам курса математики; знаний основных теорем, формул и умения их применять; умений доказывать теоремы и находить нестандартные способы решения задач; умений моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели и интерпретировать полученный результат [42]. Построение сечений может внести свой вклад в реализацию идей ФГОС.

Среди личностных результатов, например, можно выделить навыки сотрудничества со сверстниками, которые формируются за счёт участия старшеклассников в групповой исследовательской деятельности, предусмотренной на уроках по теме «Задачи на построение сечений». Изучение этой темы способствует достижению и метапредметных результатов, а именно используются и продолжают формироваться универсальные учебные действия (УУД): регулятивные - использование предписаний для самостоятельного решения задач; первая группа коммуникативных УУД - сотрудничество в групповой работе, а также вторая группа их группа - формирование средств общения, развитие устной и письменной речи. Большой вклад вносит построение сечений в развитие познавательных УУД: логических - использование анализа, синтеза, сравнений, выведение следствий, выдвижение гипотез, доказательство при решении задач; общеучебных - конструирование предписаний; участие в исследовательской деятельности предполагает обязательную постановку и решение проблем, посредством выдвижения гипотез. Всё это способствует осмысленному обучению, внося вклад в личностные результаты.

Кроме метапредметных результатов, которые формулируются для всех учебных дисциплин, в Стандарте установлены для каждого учебного предмета, в достаточно общем виде, предметные результаты освоения ООП на двух уровнях: базовом и углублённом.

Анализ содержания ФГОС СОО, к предметным результатам изучения геометрии, связанным с построением сечений, позволяет сказать, что они включают на базовом и углублённом уровнях следующее: “Владение методами доказательств и алгоритмами решения; умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач” [42, С. 23].

Кроме этого, построение сечений многогранников внесёт большой вклад в овладение основными о свойствах пространственных фигур (аксиомы и теоремы стереометрии, связанные с взаимным расположением прямых и плоскостей, их параллельностью и перпендикулярностью); для успешного построения сечений необходимо распознавать фигуры; для вычисления углов между плоскостями, прямыми и плоскостями, для нахождения расстояний от точки до плоскости также используются сечения [42].

Некоторые авторы учебников приводят примеры практического применения сечений, что также отражает требования Стандарта. Например, на топографических картах применяется изображение горизонтальных сечений земной поверхности. Для изготовления деталей делают чертежи, где указываются сечения деталей, проведённые в необходимых местах этих деталей [22]. Интересным является факт построения сечений в камнях для получения в разрезе нужных узоров, место которых устанавливается с помощью спектрального анализа [45].

Примерная основная образовательная программа среднего общего образования (ПООП СОО) разработана на основе следующих нормативных документов: Федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования (ФГОС СОО), Конституции Российской Федерации и Конвенции ООН о правах ребенка [33]. Она обеспечивает достижение обучающимися образовательных результатов в соответствии с требованиями, установленными ФГОС, а также определяет цели, задачи, планируемые результаты, содержание и организацию образовательной деятельности на уровне среднего общего образования.

Так как статус этой программы - “одобрена решением федерального учебно-методического объединения по общему образованию (протокол от 28 июня 2016 г. № 2/16-з)”, она может служить основой для организации обучения, полностью отражая и детализируя содержание ФГОС СОО [33].

Организация образовательной деятельности основана на дифференциации содержания с учётом образовательных потребностей и интересов обучающихся, обеспечивающих изучение учебных предметов всех предметных областей основной образовательной программы среднего общего образования на базовом или углублённом уровнях (профильное обучение) основной образовательной программы среднего общего образования [33].

Планируемые предметные результаты представлены не двумя группами «Выпускник научится» и «Выпускник получит возможность научиться», а четырьмя группами с учётом двух уровней - базового и углублённого. Таким образом результаты разделяются на четыре группы:

«Выпускник научится - базовый уровень», «Выпускник получит возможность научиться - базовый уровень», «Выпускник научится - углублённый уровень», «Выпускник получит возможность научиться - углублённый уровень».

Группа результатов «Выпускник научится» представляет собой результаты, которые должны быть достигнуты всеми обучающимися, выбравшими данный уровень обучения. Группа результатов «Выпускник получит возможность научиться» относится к наиболее мотивированным и способным обучающимся.

Принципиальной разницей между результатами базового уровня и результатами углублённого уровня является их целевая направленность. Результаты базового уровня ориентированы на общую функциональную грамотность, получение компетентностей для повседневной жизни и общего развития и в основном характеризуются пониманием предмета, умением решать основные практические задачи и осознанием границ изучаемой предметной области.

Результаты углублённого уровня ориентированы на получение компетентностей для последующей профессиональной деятельности, причём не только в рамках данной предметной области, но и в смежных с ней областях. Характеризуется данная группа результатов овладением ключевых понятий и закономерностей, являющихся фундаментом для данной предметной области; выявлением взаимосвязей; умением решать практические и теоретические задачи; демонстрацией различных подходов к изучению явлений; а также наличием представлений о данной предметной области как целостной теории, связанной со смежными науками и другими предметными областями.

«Примерные программы учебных предметов построены таким образом, что предметные результаты базового уровня, относящиеся к разделу

«Выпускник получит возможность научиться», соответствуют предметным результатам раздела «Выпускник научится» на углублённом уровне. Предметные результаты раздела «Выпускник получит возможность научиться» не выносятся на итоговую аттестацию, но при этом возможность их достижения должна быть предоставлена каждому обучающемуся» [33].

В результате анализа ПООП СОО составлена таблица планируемых предметных результатов, связанных с построением сечений (Таблица 1).

Таблица 1

Планируемые предметные результаты, связанные с построением сечений многогранников и конуса

	Базовый уровень «Проблемно-функциональные результаты»	Углубленный уровень «Системно-теоретические результаты»
Разде л	I. Выпускник научится	III. Выпускник получит возможность научиться	II. Выпускник научится	IV. Выпускник получит возможность научиться
Цели	Для использования в	Для развития	Для	Для обеспечения
осво-	повседневной жизни	мышления,	успешного	возможности
ения	и обеспечения	использования в	продолжения	успешного
пред-	возможности	повседневной жизни	образования	продолжения
мета	успешного	и обеспечения	по	образования по
	продолжения	возможности	специальностя	специальностям,
	образования по	успешного	м, связанным	связанным с
	специальностям, не	продолжения	с прикладным	осуществлением нау-
	связанным с	образования по	использование	чной и исследовате-
	прикладным	специальностям, не	м математики	льской деятельности
	использованием	связанным с		в области
	математики	прикладным		математики и
		использованием		смежных наук
		математики
	Требования к результатам
Гео-	извлекать информацию о	строить	Владеть	владеть понятиями
мет- рия	пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах и	сечения многогра нников	геометрическими понятиями, в том числе понятием	центральное и параллельное проектирование и
	рисунках; в том числе, связанную	плоскость	«сечение» при	применять их при
	с сечениями (распознавать	ю,	решении задач и	построении сечений
	сечения); строить сечения	проходящ	проведении	многогранников
	многогранников плоскостью,	ей через 3	математических	различными методами;
	проходящей через три данные	данные	рассуждений; уметь	и с использованием
	точки, принадлежащие рёбрам,	точки,	строить сечения	условия
	выходящим из одной вершины;	методом	многогранников с	перпендикулярности;
	проводить осевые сечения	следов	использованием	иметь представление о
	цилиндра и конуса; сечения,		методом следов	конических сечениях
	параллельные основанию		(пересечение
			множеств); с
			условием
			параллельности

Планируемые предметные результаты изучения темы «Задачи на построение сечений» конструируются на основе результатов изучения школьного курса геометрии. В таблице 1 перечисляются адекватные умения, соответствующие базовому и углублённому уровням освоения школьного курса геометрии, характеризующие достижение планируемых результатов.

Особенности познавательной сферы учащихся юношеского возраста и их учёт при обучении построению сечений многогранников

Особенности познавательной сферы учащихся юношеского возраста. В юношеском возрасте наблюдается бурное развитие всех познавательных процессов. Процесс запоминания постепенно сводится к мышлению, к установлению логических отношений внутри запоминаемого материала, а припоминание заключается в восстановлении материала по этим отношениям (так называемая «логическая» или «смысловая» память) [34]. При этом развитие механической памяти (при условии отсутствия ее специальной тренировки) замедляется. Юношеский возраст характеризуется взаимопроникновением мышления и речи. Юноши и девушки стремятся мыслить логически, заниматься теоретическими рассуждениями и самоанализом, относительно свободно размышляют на нравственные, религиозные, политические и другие темы, у них появляется потребность спорить на отвлеченные темы, о которых они имеют весьма смутные представления. Старшеклассникам легко даётся способность делать общие выводы на основе частных посылок и, наоборот, переходить к частным умозаключениям на базе общих посылок (индуктивный и дедуктивный тип мышления).

В старшем школьном возрасте связь между познавательными и учебными интересами становится постоянной и прочной. Проявляется большая избирательность к учебным предметам и одновременно -- интерес к решению самых общих познавательных проблем, проявляется тяга к обобщениям и поиску закономерностей. Меняется отношение и к отметке, которая перестает быть основным побуждающим мотивом к учению. Старший школьник перестает учиться «за отметку», ему становятся важны знания сами по себе. Возникает желание и потребность разобраться как в окружающем мире, так и в себе.

Таким образом, мышление в юности приобретает личностный эмоциональный характер, активно развиваются интеллектуальные чувства. Эмоциональность проявляется в особенностях переживаний по поводу собственных возможностей, способностей и личностных качеств.

Юношеский возраст характеризуется повышенной эмоциональной возбудимостью. С одной стороны, повышается уровень контроля и самоконтроля, а с другой стороны происходит сочетание ряда полярных качеств, выступающих попеременно. Развитие эмоциональности в юности тесно связано с индивидуально-личностными свойствами человека, его самосознанием, самооценкой. Перестройка эмоциональной сферы проявляется в появлении самостоятельности, решительности, критичности и самокритичности [47].

Психологическое содержание юношеского этапа развития личности в большей степени связано именно с развитием самосознания как психического образования, с решением задач профессионального самоопределенияи со вступлением во взрослую жизнь. В юности активно формируются познавательные и профессиональные интересы, потребность в труде, способность строить жизненные планы, общественная направленность личности [10], [15].

На данном этапе возрастают концентрация внимания, объём памяти, производится «логизация» усваиваемой информации. Восприятие, память, воображение и другие психические процессы всё больше приобретают черты произвольности. Внимание становится более управляемым и старший школьник уже может довольно длительное время концентрировать его при решении абстрактных задач. Активно формируется абстрактно-логическое мышление, бурное развитие и становление которого приводит к тому, что в юношеском возрасте начинает доминировать потребность оперировать абстрактными категориями, которые в этом возрасте легко усваиваются [34]. Психика начинает проявляться целостно, что приводит к становлению индивидуального стиля интеллектуальной деятельности.

Обучение не только ускоряет переходы детей от низших структур интеллектуальной деятельности к высшим, но и является необходимым условием формирования новых структур [9]. Причём эти структуры не приходят извне, а по образцам вырабатываются из ранее сложившихся.

Учёт особенностей познавательной сферы учащихся юношеского возраста при обучении построению сечений многогранников. Учет возрастных особенностей учащихся позволяет выделить основные методические рекомендации к обучению теме «Задачи на построение сечений»:

1. Предоставление учащимся возможности выбора уровня и целей изучения темы «Задачи на построение сечений».

2. Предоставление учащимся самостоятельности в поиске и осмыслении учебной информации, связанной с построением сечений многогранников.

3. Использование продуктивных методов обучения для организации самостоятельного «открытия» способов решения задач на построение сечений многогранников.

4. Организация делового сотрудничества, взаимооценки и самооценки при решении задач на построение сечений многогранников.

5. Создание положительной мотивации и интереса к изучению темы: подготовка к ЕГЭ, возможность развития пространственного и логического мышления при решении задач на построение сечений многогранников и др.

6. Организация исследовательской работы при обучении теме «Задачи на построение сечений».

Причины затруднений, возникающих у учащихся при построении сечений многогранников. Важно учитывать, что решение задач на построение сечений многогранников традиционно вызывает у учащихся значительные затруднения, которые Л.И. Боженкова [2] условно делит на три взаимосвязанных группы.

Первая группа затруднений связана с обученностью учащихся. А именно, часть учеников недостаточно хорошо знают теоретический материал, необходимый для решения задач на построение сечений. В данном случае объем необходимой базовой теории достаточно большой (Таблица 2).

Таблица 2

Базовая теория для построения сечений многогранников

Название аксиом, определений, теорем в учебниках
1. Аксиома прямой для пространства
2. Аксиома плоскости
3. Аксиома прямой и плоскости
4. Аксиома о пересечении плоскостей, имеющих общую точку
5. Определение секущей плоскости
6. Определение сечения
7. Определение пересекающихся прямой и плоскости
8. Определение пересекающихся прямых
9. Утверждение о расположении прямых на плоскости
10. Понятия тетраэдра
11. Понятие параллелепипеда
12. Понятие пирамиды (формальная стадия)
13. Понятие призмы
14. Центральное проектирование
15. Ортогональное проектирование
16. Параллельная проекция
17. Понятие основной плоскости
18. Понятие следа секущей плоскости
19. Определение параллельных прямых
20. Определение прямой параллельной плоскости
21. Определение параллельных плоскостей
22. Следствия из аксиом плоскости
23. Теорема о пересечении двух параллельных плоскостей третьей
24. Признак параллельности двух плоскостей
25. Теорема о линии пересечения плоскостей, из которых одна проходит через прямую, параллельную другой плоскости
26. Определение скрещивающихся прямых
27. Признак скрещивающихся прямых
28. Теорема о существовании плоскости, содержащей одну из скрещивающихся прямых, и параллельной другой прямой
29. Определение перпендикулярных прямых
30. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
31. Признак перпендикулярности двух плоскостей

В таблицу включен перечень теории, которая содержится в учебниках, основанных на концепциях изучения планиметрии, тесно связанной с элементами стереометрии. Из содержания таблицы 2 видно, что определенная информация в зависимости от учебников предлагается учащимся 5, 6, 7 классов. Таким образом, ученикам 10 классов известен весь теоретический материал, требующийся для корректного решения задач этого вида, по какому бы учебнику геометрии они не занимались.

Для построения сечений многогранников способом пересечения множеств, требуется знание теории пунктов 1-13; для использования способа проекций необходима теория пунктов 1-19. Проверить точность выполнения построений сечений обоими способами позволяет использование теории пунктов 20-25. Для построения сечения многогранника, удовлетворяющего условию параллельности, добавляется знание теории, перечисленной в пунктах 20-28, а условию перпендикулярности - в пунктах 29-31.

Очевидно, что для решения задач каждого следующего вида ученикам требуется все большее количество теоретических сведений, а в целом - для решения задач на построение сечений многогранников учащиеся должны иметь достаточно серьезную подготовку [2].

Вторая группа затруднений сопряжена с особенностями развития у учащихся пространственных представлений. И. С. Якиманская, И. Я. Каплунович утверждают, что у учащихся в возрасте 12-13 лет способности к развитию пространственных представлений выше, чем во все следующие годы. Процесс развития, по И. С. Якиманской, включает в себя создание образов и оперирование ими, соответственно задачи на развитие пространственных представлений делятся на два типа. И. Я. Каплунович отмечает, что в рамках развития пространственного мышления необходим ещё один тип задач - на ориентацию в пространстве [11]. Л. И. Боженкова подчеркивает, что в том случае, когда задачи на построение сечений являются целью обучения, они относятся к задачам на оперирование образами и на ориентацию в пространстве. Но им должны предшествовать задачи на создание образов, связанных с сечениями [2].

Третья группа затруднений связана с тем, что обучение решению задач организуется учителем без учета особенностей познавательного процесса, связанных с переработкой информации [20]. Процесс переработки сложной информации должен быть разбит на элементарные шаги [5], которые после сформированности, объединяются в предписания.

Таким образом, необходимы специальные подготовительные упражнения (таблица 3), использование которых нивелирует затруднения учащихся и позволит успешнее решать задачи на построение сечений многогранников [12], [44].

Таблица 3

Виды упражнений для пропедевтики построений сечений многогранников

Виды подготовительных упражнений,
способствующих разви- тию пространственных представлений	способствующих повышению уровня обученности	учитывающих особенности переработки информации
1. на создание образов; 2. на оперирование образами;	1. на распознавание сечений с обоснованием (рис. 11а); 2. «элементарные» упражнения, обеспечивающие принцип доступности.	1. на восприятие информации; 2. на создание представлений; 3. на «открытие» общих методов решения задач.

Рис. 11а). Примеры заданий на распознавание сечений

ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ В КЛАССАХ ЕСТЕСТВЕННО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ

Задачи на построение сечений в школьных учебниках геометрии

Анализировались учебники авторских коллективов под руководством: А. Д. Александрова [1]; Л. С. Атанасяна [7], В. В. Козлова и др. [22], [23],

А. В. Погорелова [26]; Е. В. Потоскуева и Л. И. Звавича [29], [30], [31], [32]; И. М. Смирновой и В. А. Смирнова [36]; И. Ф. Шарыгина [51].

Так как в ПООП СОО предметные результаты на всех уровнях включают методы построения сечений, то целью логико-математического анализа учебников (ЛМА) было выявление наличия в учебниках методов, способов, и приёмов решения задач на построение сечений. Под приёмами построения сечений понимаются общие рекомендации, позволяющие ученику управлять собственной деятельностью при решении задач определённого типа [2]. Н. Ф. Талызина отмечает, что приём (умственный) - система интеллектуальных действий, специально организованная для решения задач определённого типа разной степени обобщённости [40]. В нашем случае тип задач - задач на построение сечений многогранников. Необходимость таких приёмов обоснована особенностями познавательной сферы учащихся и, в частности, трудностями, которые возникают у учащихся при решении этих задач (п.1.3.3, 1.3.3). ЛМА показал, что в соответствии со всеми учебниками эта тема изучается в первом полугодии, и на её изучение отводится от четырёх до шести уроков с учётом школьного компонента.

Таблица 4

Представленность темы «Построение сечений многогранников» в школьных учебниках геометрии

Определение понятия «сечение»	Метод «следов»
	способ пересечения множеств	способ проекций точек
[1], [7],	[22],	[26],	[30],	[1]: с.31, №2.5	[1]: с.31, №2.5
[36], [51]				[7]: №71,	[7]: №87, 105, 106
				[26]: с.83 №8	[26]: с.83 №7,
				[36]: с.49 №9, 11, 12	[36]: с.50 №10
				[51]: с.54 №1	[51]: с.54 №1

В учебнике «Геометрия 10-11» А.Д. Александрова и др. определение понятия сечения рассматривается с первой главе «Основания стереометрии», поэтому построение сечений многогранников начинается с первых уроков [1]. В этой главе представлены задачи: на распознавание сечения; построение сечения тетраэдра и пирамиды плоскостью, проходящей через три точки. Задача на сечение включена в контрольную работу.

Учебник авторского коллектива под руководством Л. С. Атанасяна предполагает изучение учащимися главы «Параллельность прямых и плоскостей», в рамках которой рассматриваются задачи на построение сечений [7]. При изучении темы: «Задачи на построение сечений» учащиеся знакомятся с понятием секущей плоскости и сечения тела на примере тетраэдра и параллелепипеда. Рассматриваются следующие задачи: построение сечения тетраэдра и параллелепипеда через три точки (№79, №85, №87, №105, №106); на вычисление (нахождение отношения площадей сечения (№72)). После изучения соответствующей главы проводится контрольная работа, включающая задачу на построение сечения многогранника.

Учебник «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровень)» авторского коллектива: Козлов В. В., Никитин А. А., Белоносов В. С. и др. предполагает отказ от традиционного разделения математики на несколько дисциплин: арифметику, алгебру, геометрию, основы математического анализа и тригонометрию и предлагает изучать перечисленные предметы в общем курсе. В данном учебнике представлены три уровня изложения материала, которые отличаются не только объёмом, но и уровнем сложности и глубиной изложения. Первый уровень содержит сведения и умения, которыми необходимо овладеть каждому обучающемуся. Второй уровень содержит тот математический материал, который необходим для поступления в технические ВУЗы, а третий уровень - для желающих продолжать обучение на математическом факультете университета. Изучение сечений многогранников предполагается в 10 классе. В Главе 2 «Начала стереометрии» происходит знакомство обучающихся с понятием пирамиды и примерами построения их сечений. В Главе 9 под названием «Сечения» рассматриваются различные методы построения сечений многогранников на конкретных примерах (названия методов в явном виде не выделяются); построение сечения, проходящего через три точки; примеры задач на построение сечений, параллельных прямым и плоскостям, а также практические приёмы использования сечений на практике [22].

Учебник А.В. Погорелова предусматривает изучение построения сечений многогранников в курсе стереометрии в первом полугодии 11 класса - раздел: «Многогранники» (17 уроков) [26]. Изучая материал по темам: «Многогранник. Призма. Поверхность призмы. Сечение призмы плоскостью» (4 урока), «Пирамида. Поверхность пирамиды. Усеченная пирамида» (4 урока) учащиеся знакомятся с построением сечения призмы и пирамиды плоскостями, параллельными боковым ребрам (диагональные сечения), а также с построением сечения плоскостью, проходящей через данную прямую на плоскости одного из оснований многогранника (след секущей плоскости на плоскости основания). Для закрепления теоретического материала приводятся контрольные вопросы (Как строится сечение призмы плоскостью, параллельной боковым ребрам, в частности диагональное сечение? Что представляют собой сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину? и др.). Учащимся предлагаются следующие задачи: на построение (построение сечений четырехугольной призмы и пирамиды плоскостью, проходящей через три данные точки; построение сечения треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и данную точку на противолежащем ребре); на вычисление (отыскание площади сечения; боковой поверхности многогранника при известной площади диагонального сечения и др.). После изучения раздела проводится контрольная работа, которая включает одну задачу на построение сечения многогранника [6].

...