Обучение решению экономических задач в школьном курсе математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические основы обучению решения экономических задач в школьном курсе математики

1.1. Межпредметные связи математики и экономики

1.2. Понятие и история возникновения процента, экономической и финансовой задачи, а также основные экономические функции

1.3. Классификация экономических задач по ЕГЭ

Глава 2. Методические аспекты обучению решению экономических задач в школьном курсе математики

2.1 Анализ школьных учебников, КИМ, ЕГЭ, ОГЭ на наличие и типы

2.2 Методы решения экономческих задач

2.3 Разработка элективного курсы к подготовке по решению экономических задач

Заключение

Список использованной литературы

Приложение



Введение

Актуальность. Обучение решению экономических задач в школьном курсе математики сегодня весьма актуально как для успешной сдачи Единого Государственного Экзамена - ЕГЭ, так и в посведневной жизни.

ЕГЭ по математике содержит задачи экономического содержания на проценты, которые решаются с помощью простых и сложных процентов. Проанализировав сборники заданий по подготовке к ЕГЭ, следует вывод, что необходимо в совершенстве научиться решать задачи на проценты, чтобы сдать ЕГЭ по математике на максимально допустимый балл.

Также современная жизнь делает навык решения экономических задач актуальным, так как сфера практического приложения расширяется. Вопросы инфляции, повышения цен, снижения покупательской способности, платежей, налогов, прибыли, кредиты, начисление зарплаты, депозитные счета в Сбербанке касаются каждого человека в нашем общества. Планирование семейного бюджета невозможны без умения производить несложные финансовые вычисления.

Объект исследования - обучение решению экономических задач в школьном курсе математики.

Предмет исследования - методы обучения решению экономических задач по заданиям ЕГЭ.

Цель: обобщение, углубление и систематизация знаний по теме «Обучение решению экономических задач в школьном курсе математики», решение экономических задач по заданиям ЕГЭ.

Для решения данной цели я поставила перед собой ряд задач:

Изучить теоретические основы обучению решению экономических задач в школьном курсе математики;

Изучить межпредметные связи математики и экономики;

Рассмотреть понятия экономической задачи, процента, экономических функций и финансовых задач;

Ознакомиться с историей возникновения процентов;

Вывести формулы начисления простых и сложных процентов;

Подобрать задачи из сборников по подготовке к ЕГЭ, решаемые по формулам простых и сложных процентов.

Проанализировать школьные учебники, КИМ, ЕГЭ, ОГЭ на наличие и типы.

Изучить методы решения экономических задач;

Научиться решать задачи с процентами разных видов сложности.

Исследовать методические особенности обучения;

Разработать элективный курс к подготовке по решению экономических задач.

Материалы: пособия по подготовке к ЕГЭ.

Методы исследования - поиск необходимой информации в сети Интернет, теоретический анализ и синтез научной и учебной литературы, сравнение, систематизация информации, обобщение вывод, подбор и решение задач.

Теоретические и методические положения в области обучения школьников решению задач, в том числе с математическим содержанием, содержат работы таких авторов, как Аменд А. Ф., Иоффе А., Фридман Л.М., Логинова В.В., Михеева С. А., Монгуш А.С., Танова О.Н., Шестаков С.А., Ященко Н.Е. и другие[18].

Информационной базой исследования послужили нормативные и законодательные акты Российской Федерации, труды отечественных учёных по данной тематике, научные публикации, материалы периодических изданий.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.



Глава 1. Теоретические основы обучению решению экономических задач в школьном курсе математики

1.1 Межпредметные связи математики и экономики

Широко известно, что экономическая образованность и мышление обучающихся формируются не только при изучении курса экономики, но не в меньшей степени - на основе всего комплекса изучаемых дисциплин. В общей задаче насыщения дисциплин экономическим содержанием математике принадлежит особая роль. Это объясняется тем, что многие экономические проблемы поддаются анализу с помощью математического аппарата. Взаимодействие математики и экономики приносит обоюдную пользу: математика получает широчайшее поле для многообразных приложений, а экономика - могучий инструмент для получения новых знаний.

В современных образовательных учреждениях среднего профессионального уровня экономика преподается достаточно длительное время. При этом сразу же были обнаружены пробелы в школьных курсах математики, полностью игнорирующие многие элементарные, но очень важные для повседневной жизни, приемы анализа экономических процессов. Обучающиеся плохо понимали экономические графики, не ориентировались в том, как провести хотя бы самый простой анализ динамических, т.е. развивающихся во времени, процессов[22].

Для того чтобы познакомить обучающихся с азами коммерческой математики, необходимыми не только профессиональным экономистам, но и каждому человеку, очень важно работать над проблемой активизации познавательной деятельности обучающихся через межпредметную связь экономики и математики.

Для этого следует:

- выделять математические модели, функции, системы уравнений и неравенств, используемые в экономике и показать их практическое применение;

- повышать познавательный интерес к учебной деятельности обучающихся;

- разрабатывать систему уроков по математике с экономической направленностью;

- отслеживать результаты обученности, межпредметных умений и навыков обучающихся[3].

Объединение разрозненных частей знаний на уроке, известное как процесс установления межпредметных связей - только часть устойчивого стремления всего живого к целостности. Обращение к интеграции в широком смысле слова, как средству создания целостного восприятия учебного материала, объясняется рядом преимуществ этого достаточно нового вида образовательной деятельности на уроке, главными из которых являются:

- Мир, окружающий обучающихся, познается ими в своем многообразии и единстве.

- Межпредметные связи развивают потенциал самих обучающихся, побуждают к активному познанию окружающей действительности, к осмыслению и нахожде-нию причинно-следственных связей, к развитию логики, мышления, коммуникативных способностей.

- Форма проведения уроков нестандартна, интересна. Использование различных видов работы в течение занятия поддерживает внимание обучающихся на высоком уровне, что позволяет говорить о достаточной эффективности уроков.

Такие занятия снимают утомляемость, перенапряжение обучающихся за счет переключения на разнообразные виды деятельности, резко повышают познавательный интерес, служат развитию у обучающихся внимания, мышле-ния, речи и памяти.

- За счет усиления межпредметных связей высвобождаются учебные часы, которые можно использовать для дополнительных уроков практической направленности.

- Интеграция дает возможность для самореа-лизации, самовыражения, творчества преподавателя и обучающихся, способствует раскрытию скрытых способностей[31].

Таким образом, работа в данном направлении положительно отражается на интеллектуальном развитии обучающихся, их воспитании, на формирование профессионально значимых качеств личности. Развиваются и общеучебные и надучебные навыки: анализ, синтез, сравнение, умение работать с научно - учебной и дополнительной литературой и т.п. умения, что еще раз подтверждает целесообразность использования экономических понятий и методов в математике.

1.2 Понятие и история возникновения процента, экономической и финансовой задачи, а также основные экономические функции

Экономические задачи - это задачи, решаемые в процессе экономического анализа, планирования, проектирования, связанные с определением искомых неизвестных величин на основе исходных данных. В отличие от математических, экономические задачи не всегда удается формализовать, свести только к расчету. Их решение сопровождается поиском недостающих данных, экспертными оценками, обсуждением, принятием решений.

История возникновения процентов.

Процент - имеет латинское происхождение: «pro centum» - это «на сто». Процентом называется сотая часть числа.

Проценты были известны в Индии ещё в V в. С давних пор счет велся в десятичной системе счисления. Также проценты были распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Они брали с должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в долг). От римлян проценты перешли к другим народам в Европе[29].

В средние века в Европе в связи с развитием торговли особо обращали внимание на умение вычислять проценты. Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов Симон Стевин - инженер из города Брюгге (Нидерланды). Это произошло в 1584 году.

Употребление термина «процент» в России начинается в конце XVIII в. Долгое время под процентами понималось исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Проценты применялись только в торговых и денежных сделках.

Происхождение знака «%». До начала 15 века символ «%» не использовался. Употреблялся итальянский термин per cento (на сотню), в том числе, в сокращённом виде: «per 100», «p 100», «p cento».

Есть несколько версий возникновения знака «%». В Италии слово cento (сто), писалось сокращенно cto.

Путем дальнейшего упрощения из буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента - /.

Есть другая версия возникновения знака «%». Предполагается, что знак произошёл в результате опечатки, которую совершил наборщик. В 1685 году в Париже была опубликована книга «Руководство по коммерческой арифметике», где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %[11].

Основной операцией в инвестиционной и экономической деятельности является операция начисления процентов.

Простые и сложные проценты.

С повторным или неоднократным вложением денег регулярно сталкиваются не только профессиональные инвесторы или рядовые вкладчики, но и те, кто работают на валютных биржах. И если, скажем, при вложении денег в банк депозит приносит прибыль через определенное время, то при инвестировании в валютной сфере прибыль или наоборот, убыток, появляются после проведения каждой операции. Поэтому и просчитывать возможную прибыль здесь необходимо более тщательно, чем при банковских вкладах.

Под простым процентом понимается прибыль, которая начисляется только на первоначальную сумму за каждый определенный промежуток времени.

Например, владелец кладет в банк депозит в размере 5000$, ставка 20% годовых. Простой процент будет приносить прибыль в размере 1000$ каждый год, независимо от того, какая сумма уже накопилась на счету за это время и независимо от того, оставляет он проценты в банке или регулярно снимает их.

То есть при схеме простого процента база начисления прибыли всегда равна первоначальной вложенной сумме.

Этот вид начисления процентов используется при специальных банковских депозитах, а также при оформлении кредита. Если инвестор намерен периодически выводить прибыль со своего счета, ему также будет предложен депозит с начислением простого процента.

Сложный процент - несколько иная форма начисления процентов по вкладу. Прибыль здесь начисляется не на первоначальный взнос, а на целую сумму, вместе с уже начисленными процентами, которая в данный момент находится на счету у вкладчика. То есть, по истечении каждого периода сумма, на которую начисляется прибыль, пропорционально увеличивается.
Возьмем тот же пример с депозитом в размере 5000$ и ставкой 20% в год.

В первый год проценты будут начисляться с 5000$, и прибыль составит 1000$. В следующем году процент уже будет начисляться с 6000$ и так далее, пока вкладчик не примет решение вывести депозит со счета.
Схема сложного процента используется на валютных и других биржах, потому что в этой области постоянно меняются суммы вложений. Также эта схема удобна, если инвестору нет необходимости выводить прибыль после окончания определенного периода[34].

При первом знакомстве кажется, что между простыми и сложными процентами не так уж много отличий. Однако, преимущество сложных процентов очевидно, и с течением времени оно становится более явным. При использовании схемы сложного процента можно увеличить сумму инвестиции в несколько раз. Приведенные ниже примеры покажут наглядно, насколько выгоднее использовать сложные проценты. А чтобы использовать их грамотно, нужно уметь считать их правильно. В этом помогут следующие формулы.

Расчет сложных процентов[24].

По следующей формуле можно рассчитать конечную прибыль:

К=К0*(1+R)n (1),

Где - первоначальный размер вклада К0;

- ставка дохода R;

- количество лет, за которые нужно просчитать доход n;

- конечная сумма К.

Просчитав размер конечной суммы, легко можно установить размер прибыли - это разница между конечной и первоначальной суммами.
При помощи приведенной выше формулы всегда можно просчитать, какой результат принесет в будущем инвестиция.

Иногда возникают ситуации, когда нужно, наоборот, вычислить стартовую сумму вклада. Тогда эту формулу нужно преобразовать вот в такой вид:

K0=K/(1+R)n (2)

С помощью формулы можно узнать и такой параметр, как процентная ставка. Эта информация требуется, когда инвестор, к примеру, хочет узнать, какую ставку ему выбрать, и на какой период нужно сделать вклад, чтобы получить конкретную прибыль.

Формула вычисления сложных процентов:

R=n?K/K0-1 (3)

По этой формуле высчитывается период времени, на который нужно вложить средства, чтобы получить определенную желаемую прибыль:

n=log1+R*K/K0 (4)

При расчете срока вклада для получения определенной прибыли следует учитывать тот факт, что практически все банки используют целые периоды.

То есть, если расчет по формуле показал, что средства для получения конкретной прибыли нужно вложить на 3 года и 9 месяцев, то нужно понимать, что в реальности необходимо будет положить депозит на 4 полных года.

Итак, очевидна разница между простыми и сложными процентами. Однако, следует отметить, что и схема простых процентов при грамотном ее использовании также может принести довольно хорошие результаты в виде прибыли.

Более того, простые проценты являются единственным приемлемым вариантом, когда вкладчик нуждается в регулярном выводе средств со счета.

Тогда инвестор выводит сумму прибыли, накопившейся за месяц, полгода или год. Тогда как сложные проценты более приемлемы в случае долгосрочного вклада и повторного реинвестирования.

Экономические функции.

Наиболее часто в экономике используются следующие функции:

1. Функция полезности (функция предпочтений) - зависимость результата действия от интенсивности этого действия.

2. Производственная функция - зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3. Функция выпуска (частный случай производственной функции) - зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

4. Функция издержек (частный вид производственной функции) - зависимость издержек производства от объема продукции.

5. Функция спроса, потребления и предложения - зависимость объема спроса и предложения на отдельные товары или различные услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.)[12].

Одним из видов экономических задач являются финансовые задачи:

а) на банковские вклады;

б) выплата банковских кредитов по различным схемам;

в) выбор более выгодных условий кредитования.

Эти задачи имеют прямое отношение к нашей российской экономике, это задачи про вклады, проценты и кредиты. Именно задачи с процентами с недавних пор добавлены во вторую часть единого государственного экзамена по математике под номером 17.

За решение этой задачи согласно спецификациям ЕГЭ предлагается сразу три первичных балла, т. е. экзаменаторы считают эту задачу одной из самых сложных. Вместе с тем, для решения любой из указанных задач из ЕГЭ по математике, необходимо знать всего лишь две формулы, каждая из которых вполне доступна любому школьному выпускнику. Это формулы суммы арифметической и геометрической прогрессии[35].

Рассмотрим подробнее классификацию экономических задач.



1.3 Классификация экономических задач по ЕГЭ

В системе школьного обучения, важной составляющей является подготовка ученика к сдаче единого государственного экзамена. Структура экзамена не остается постоянной. Каждый год она претерпевает определенные изменения. Так в 2015 году, наряду с разделением экзамена по математике на базовый и профильный уровни, впервые была дана задача с экономическим содержанием. Задача эта была включена во вторую часть профильного уровня, в демоверсии 2015 года под номером 19, в демоверсиях 2016 и 2017 годов под номером 17[33].

Начиная с 2015 года, в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня появилась новая экономическая задача. В данных задачах предлагается ознакомиться с разными схемами выплаты кредита банку со стороны заемщика[22].

Кредит - это ссуда, предоставленная банком заемщику под определенные проценты за пользование деньгами.

Существует два вида платежей по кредиту: дифференцированный и аннуитетный.

Рис. 1 - Виды платежей по кредиту



Кроме задач о кредитах есть задачи на выбор оптимального решения. Эти задачи тесно связаны с практической деятельностью человека. Как добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени.

Решение задач о кредитах в настоящее время очень актуально, так как жизнь современного человека тесно связана с экономическими отношениями, в частности, с операциями в банке.

Несмотря на рост выполнения заданий повышенного уровня сложности, немногие учащиеся берутся на экзамене за решение этой задачи. Подтверждением этому является информация, размещенная на сайте ФИПИ в разделе «Аналитические и методические материалы», подготовлен-ные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2016 года по математике.

На сайте приведены следующие данные: «В 2016 году произошел заметный рост выполнения заданий повышенного уровня сложности с развернутым ответом (ненулевой балл получили свыше половины участников): алгебраического задания 13 - решение тригонометрического уравнения с отбором корней (2015 г. - 27,4%, 2016 г. - 38,9%) и практико-ориентированного задания 17 - решение текстовой задачи с экономическим содержанием (2015 г. - 2,3%, 2016 г. - 13%)[34].

Эти изменения свидетельствуют о качественном обучении математике в старшей школе и более четкой подготовке обучающихся к обучению в вузе».

К сожалению, в данном источнике более детальный анализ успешности выполнения 17 задания не представлен.

В аналитических записках отдельных регионов указывается, что правильно решили эту задачу менее 1% экзаменуемых.

Следует вывод: если в аналитических данных ФИПИ при описании успехов выпускников в решении геометрических заданий повышенной сложности аналитики указывают, что максимальный балл за верно выполненное задание получили около 1% участников экзамена, а по задаче экономического содержания цифры приводятся только по получившим ненулевые баллы, то правильно решили данное задание в целом по стране, как и в отдельных регионах, менее 1% экзаменуемых.

Таким образом, существует проблема подготовки выпускника, связанная с решением экономических задач повышенного уровня сложности.

Сказать с полной определенностью, почему у подавляющего большинства выпускников не получается решать задачу экономического содержания, невозможно.

Для этого рекомендуется проводить социологический опрос и формировать какие-либо выводы.

В данной работе такой задачи не ставится. Возможно, это происходит по следующим причинам:

1) В школьной программе не уделяется достаточного внимания решению подобных задач.

2) При подготовке к экзамену школьник, использует интернет-сайты, на которых объем предлагаемых задач слишком велик, что даже при значительных затратах времени, нужный навык, который бы помог получить высокий балл, не формируется.

3) Отсутствие общей математической культуры.

4) Неэффективные потери времени во время экзамена, которые в итоге приводят к его нехватке.

Классификацмонная работа была проведена по следующему плану:

1) Из открытого банка заданий ФИПИ были выбраны все прототипы задач, которые имеют данную тематику.

2) Проведена их классификация с целью выявления особенностей и нумерации.

Подробнее классификацию прототипов задач можно просмотреть в таблице 1[32].



Таблица 1 - Классификация прототипов задач №17

№ группы задач	Условное обозначение	Отличительные особенности	№ задачи
		S	r	Вопрос задачи
1	"в июле планируется взять кредит."	неизвестна, но является целым числом	известна	Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше определенной суммы.	1.1.1
				Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше определенной суммы	1.1.2
				Найдите наибольшее значение S, при котором общая выплата будет определенной сум.	1.1.3
				Найдите наименьшее значение S, при котором общая сумма выплат будет больше определенной суммы.	1.1.4
		известна		Чему будет равна общая сумма dыплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит определенную сумму?	1.2.1
				Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит определенную сумму?	1.2.2
				На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения на n- ную сумму?	1.2.3
			неизвестен	Найдите r, если известно, наибольший годовой платёж кредиту составит не более, а наименьший - не менее определенной суммы.	1.2.4
2	"15-го января планируется взять кредит"	неизвестна	известен	Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась определенной сумме?	2.1.1
			неизвестен	Найдите r.	2.1.2
		известна	неизвестен, но является целым числом	Найдите наименьшее значение r,при котором общая сумма выплат будет больше определенной сум.	2.2.1
				Найдите наименьшее значение r,при котором общая сумма выплат будет больше определенной суммы.	2.2.2
3	"вклад планируется открыть..."	Неизвестна, но является целым числом	Известна	Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше определенной сум.	3

Для того чтобы познакомить обучающихся с азами коммерческой математики, необходимыми не только профессиональным экономистам, но и каждому человеку, очень важно работать над проблемой активизации познавательной деятельности обучающихся через межпредметную связь экономики и математики. В приобретении практических навыков помогает умение решать экономические задачи.

Экономические задачи - это задачи, решаемые в процессе экономического анализа, планирования, проектирования, связанные с определением искомых неизвестных величин на основе исходных данных. В отличие от математических, экономические задачи не всегда удается формализовать, свести только к расчету. Их решение сопровождается поиском недостающих данных, экспертными оценками, обсуждением, принятием решений.

В системе школьного обучения, важной составляющей является подготовка ученика к сдаче единого государственного экзамена. Структура экзамена не остается постоянной. Каждый год она претерпевает определенные изменения.

В настоящее время согласно данным, размещенным на сайте ФИПИ, существует проблема подготовки выпускника, связанная с решением экономических задач повышенного уровня сложности.

Сказать с полной определенностью, почему у подавляющего большинства выпускников не получается решать задачу экономического содержания, невозможно.

Для этого рекомендуется проводить социологический опрос и формировать какие-либо выводы.

Таким образом, решение экономических задач, в том числе о кредитах в настоящее время очень актуально, так как жизнь современного человека тесно связана с экономическими отношениями, в частности, с операциями в банке.



Глава 2. Методические аспекты обучения решению экономических задач в школьном курсе математики

2.1 Анализ школьных учебников, КИМ, ЕГЭ, ОГЭ на наличие и типы

Нами было изучено большое количество литературы для подготовки к единому государственному экзамену по математике, публикуемой как для учителей, так и для учащихся старших классов. Ежегодно публикуются сборники заданий с ЕГЭ предыдущего года, например, «ЕГЭ 2017. Математика. 30 вариантов. Профильный уровень» под редакцией В. И. Ященко [28], пособие Лаппо Л.Д. «ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. Тематические тренировочные задания», издания серии «ЕГЭ. Высший балл» - учебные пособия Лаппо Л. Д., Ериной Т.М.

Также издаются учебные материалы, содержащие методические рекомендации для учителей, как написанные практикующими репетиторами и учителями математики из разных школ, например «ЕГЭ-2015 по математике. Полный курс подготовки» Анны Малковой - репетитора и ведущей курсов «ЕГЭ на 100 баллов» [32], «Метод подготовки к ЕГЭ по математике «Блиц-ЕГЭ (ОГЭ)»» Сальниковой Н.В. - учителя математики московской гимназии 1576 [44], «Пособие по математике для подготовки к ЕГЭ 2017» Голубева А.А., Спасской Т.А [22], так и разработанные коллективом разработчиков КИМ ЕГЭ в составе Ященко И.В., Шестакова С.А. и др. «Я сдам ЕГЭ! Математика. Модульный курс. Методика подготовки» [29].

В методических пособиях для учителей предлагаются различные приёмы, разработанные преподавателями исходя из своего опыта работы с учениками и выявленных ими проблем. Так, Н.В. Сальникова в своём методе «Блиц-ЕГЭ» обращает внимание на неумение учащихся переключаться с заданий одного типа на задания другого, а также на проблему с контролем затрачиваемого на решение времени. Для решения этих проблем автор предлагает проводить уроки подготовки к ЕГЭ в формате «Блиц», то есть в течение 45 минут ученики решают задания семи типов из базового уровня ЕГЭ по три-пять заданий на каждую тему, причём на каждый из типов заданий отводится строго пять минут. Использование этого метода позволяет учителю наблюдать за процессом решения заданий, выявить темы, требующие повторения, а также выработать в учениках уверенность в собственных силах при решении заданий базового уровня [34].

В учебном пособии Ященко И.В., Шестакова С.А. «Я сдам ЕГЭ!» материал разбит на четыре модуля: «Базовые навыки», «Алгебра», «Функции», Геометрия», содержащие определённое число парных уроков. Первый из двух уроков посвящается повторению понятий и методов решения заданий, второй направлен на отработку и закрепление навыков.

Федеральный институт педагогических измерений (ФИПИ) опубликовал проекты контрольных измерительных материалов Единого государственного экзамена и Основного государственного экзамена 2018 года, сообщает Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки.

«Данные документы являются основой для составления экзаменационных материалов и ежегодно публикуются для экспертного обсуждения до начала учебного года. Они также дают возможность будущим участникам ЕГЭ и преподавателям составить представление о том, что их ждет на экзаменах в новом учебном году», - говорится в сообщении[35].

Проекты опубликованных документов не предполагают изменения в 2018 году структуры и содержания КИМ ЕГЭ по биологии, географии, истории, математике и иностранным языкам.

По сравнению с 2016 годом КИМ ЕГЭ по математике 2017 года профильной и базовой также не имеет изменения.

Часть 1 содержит 8 заданий общематематических знаний базового уровня. Включены по всем основным разделам математики: алгебра, началам математического анализа, геометрии (присутствуют простейшие задания планиметрии и стереометрии), задания по теории вероятности и статистики.

Часть 2 содержит 11 заданий. Из них 4 задания, это (9-12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби и 7 заданий (13-19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием ответа). Задания 13-17 повышенного уровня сложности, задания 18-19 высокого уровня сложности.

Можно сказать, что вариант по базовой математике 2017 года полностью отвечает спецификации КИМ ЕГЭ и хочу отметить, что в 2017году он соответствует программе средней школы по математике и хотелось бы, что бы в дальнейшем эта тенденция оставалась такой же.

Структура варианта, как было сказано выше, не изменилась по сравнению с 2016 годом. В основной день сдачи ЕГЭ было проверено два вида вариантов и один был намного легче (с 358), чем другой (с 425).

В резервный день вариант так же был легче, чем в основной.

Полагаю, этого быть не должно, все учащиеся должны быть в равных условиях.

КИМ ЕГЭ с 2015 года введена экономическая задача, желательно разработать и выпустить учебное пособие с типовыми задачами и рекомендациями, для их правильного оформления [32].

Сопоставляя задания КИМ, оказавшиеся наиболее «проблемными» по обоим уровням ЕГЭ по математике, а также с заданиями КИМ основного государственного экзамена 2017г., по которым выпускниками 9-х классов показан пониженный уровень выполнения, можно сделать выводы о наличии системных сбоев в освоении обучающимися ряда разделов курса математики как на основной, так и старшей ступени общего образования.



Таблица 2 - Основные УМК по предмету, которые использовались в 2016-2017 уч.г.

Название УМК	Примерный процент, в которых использовался данный УМК
Никольский С.М., Потапов М.К. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10, 11 кл.	80%
Мордкович А.Г., Семенов П.В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10, 11 кл.	9%
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа 10,11 кл.	11%
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10 - 11 кл.	88%
Погорелов А.В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10, 11 кл.	12%

Очевидно влияние на результаты ЕГЭ таких факторов, как специфика образовательной организации, содержание образовательной программы, квалификация педагога.

2.2 Методы решения экономических задач

математика экономический задача курс

Одним из важнейших потребностей современной школы является воспитание делового человека, компетентного в сфере социально-трудовой деятельности, а также в бытовой сфере. Сегодня жизнь настоятельно требует, чтобы выпускник имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений.

В связи с преобразованием России из системы централизованного планирования в экономику рыночной ориентации экономические знания стали необходимыми как в профессиональной сфере, так и в повседневной жизни. Элементарные экономические знания позволят понять роль и права человека в обществе, готовят учеников к адекватному восприятию общества и производства, помогают им определить для себя сферу деятельности, профессию в будущем.

Согласно статистике, почти каждая семья берет кредит на приобретение того или иного товара. В сегодняшние дни потребительские кредиты, кредитные карты, автокредиты, ипотека, вклады, банковские карты и другие финансовые услуги очень распространены и играет важную роль в экономике страны и каждой семьи.

Семья выполняет важнейшую экономическую функцию. Совместно проживающие супруги, их дети и родители не просто объединяются для совместного проживания, но и решают важные экономические задачи. Семья находится в постоянных связях с государственными учреждениями, предприятиями и фирмами. Она является важнейшим поставщиком рабочей силы для предприятий и фирм, которые в свою очередь выплачивают им заработную плату, различные социальные пособия, пенсию. Домашние хозяйства являются основными потребителями товаров и услуг, поставляемых предприятиями и частными лицами.

Эффективному постижению азов экономики поможет решение задач, в содержании которых идет речь о процентах.

Понятие «проценты» буквально вошло в нашу жизнь, оно атакует нас в пору утверждения рыночных отношений в экономике, в пору банкротств, инфляций, финансовых кризисов. Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

Многие школьники не в состоянии воспринимать и понимать речевые обороты взрослых, испытывают затруднения при решении задач экономического характера, а также определить для себя сферу деятельности, профессию в будущем.

Если задача на расчёт платежа по кредиту является злободневной и достаточно интересной, возможно, заинтересовавшиеся ученики самостоятельно или под руководством учителя, изучив предлагаемую работу, разбирая решения примеров задач, освоят предложенные методы решения задач с экономическим содержанием.

В этом году в экзаменационную работу ЕГЭ по математике добавлена текстовая задача (№19) экономического профиля.

Рассмотрим основные подходы к решению нового типа задач ЕГЭ по математике - задач с «экономическим содержанием» [30].

Решение задач по формуле.

Мы знаем, что если число А увеличить на р %, станет А(1+).Если число А уменьшить на р %, станет А(1-.)

Цена товара А руб. была повышена на 25%. На сколько процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену товара.

Решение: Цена товара после повышения стала А(1+). Допустим надо снизить на р %, тогда цена товара после снижения станет А(1+)(1-) и получим первоначальную цену товара: А(1+)(1-) = А. Откуда получим ответ: 20%

2.Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Но банк увеличил процент годовых на 40%. К концу следующего года накопленая сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?

Решение: Положим в банк А рублей под р% годовых. Через год сумма на счету станет равной А(1+)рублей. Сняв четверть данной суммы, получим А(1+). Теперь на эту сумму начисляют новый процент А(1+)(1+), который стал 1,44А. Решив данное уравнение, получим ответ р=20%, тогда новый процент равен 60%.

3.Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых. Через год фермер в счёт погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а ещё через год счёт полного погашения кредита он внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение: Допустим фермер получил А рублей под р% годовых. Через год долг будет А(1+)руб. Т.к. фермер вернул долга, то осталось А(1+). После 2-го года долг вырос на р% и стал А(1+)А(1+)= А(1+)2 .Теперь, чтобы погасить долг, фермер внес сумму на 21% большую, т.е. А(1+) и погасил кредит, т.е. А(1+)2 - А(1+)=0. Решив данное уравнение, получим р=120%.

II. Некоторые задачи лучше решать в общем виде, не подставляя первоначальные данные, так как можно запутаться в вычислениях.

4. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму.

К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение: пусть первоначальный вклад составил А рублей и вкладчик ежегодно добавлял х рублей.

К началу 2-года величина вклада составила А (1+)= 1,5А рублей;

К началу 3-года величина вклада составила (1,5А +х)1,5+х рублей;

К началу 4-года величина вклада составила ((1,5А +х)1,5+х)1,5+х рублей;

К началу 5-года величина вклада составила (((1,5А +х)1,5+х)1,5+х)1,5+х рублей;

К концу 5-года величина вклада составила((((1,5А +х)1,5+х)1,5+х)1,5+х)1,5 рублей. По условию задачи размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725% , т.е. стал А(1+).

Раскрыв скобки, получим следующее выражение:

()5А+()4х+()3х+()2х+()х=А=А

х=А

Отсюда, подставив вместо А=3900 тысяч, получим х=210000.

III. Применение свойства степеней

5.За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере , затем , потом и, наконец,  в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад 
находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на . Определите срок хранения вклада.

Решение: Пусть первоначальная сумма вклада будет А рублей то через месяц эта сумма станет А(1+ )руб. Если ставку не менять, то сумма увеличится опять на 5% и станет А(1+ )2 и т.д. Пусть первая ставка продержалась k, вторая - m, третья - n, последняя - t месяцев.

Тогда сумма увеличилась в А(1+ )к(1+ )m(1+ )n(1+ )t раз. И по истечении срока хранения первоначальная сумма стала А (1+)

А(1+ )к(1+ )m(1+ )n(1+ )t= Применяя свойства степеней, получим 2 -3.3-1.50.72

приравнять показатели при одинаковых основаниях и решить систему:

Откуда k=m=1. n=3, t=2. Тогда срок хранения вклада 1+1+3+2=7 месяцев.

IV. Решение задач с помощью математического анализа

6.В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х % годовых, тогда как в январе 2001 года -- y % годовых, причем известно, что x+y=30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение x при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

Решение:Пусть в январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке на сумму А руб. Тогда через год при х % годовых на счету окажется сумма А (1 +) руб.

Далее вкладчик снимает со счета пятую часть первоначальной суммы. То есть на счету оказывается сумма . В банке меняется процентная ставка и составляет теперь у %, т.е (30-х)%. Тогда еще через год у вкладчика на счету окажется Нас интересует значение х, при котором значение f(x) = будет максимальным. Исследуем данную функцию методами математического анализа.

f/(x)=0 при

или Максимальное значение функция f(x) примет в точке х0 (вершина параболы), то есть в точке =25.

Рис. 1

Ответ: 25%.

V. Задачи на сравнение[18].

7.В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена баррели сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти?

Решение:

1 сентября	руководство края положило А рублей под 26% в месяц	цена баррели сырой нефти уменьшается на 10% ежемесячно
1 октября	сумма составит А(1+) руб	Вложенная сумма уменьшится и станет А(1-)руб
1 ноября	А(1+) 2 руб.	станет А(1-)2 руб

Тогда сумма увеличится в =1,96 , т.е. на 96%

Ответ: на 96%.

Задачи с экономическим содержанием являются практическими задачами. А их решение, бесспорно, способствует более качественному усвоению содержания курса математики средней школы, позволяет осуществлять перенос полученных знаний и умений в экономику, что в свою очередь, активизирует интерес к задачам прикладного характера и изучению математики в целом [12].

Такие задачи позволяют наиболее полно реализовывать прикладную направленность в обучении и способствуют более качественному усвоению самого учебного материала и формированию умения решать задачи данного типа.

2.3 Разработка элективного курса к подготовке по решению экономических задач

Математические задачи с практическим содержанием, главным образом экономическим, являются весьма эффективным средством формирования экономических понятий, обучения применению математического аппарата для решения практических задач, построению математических моделей. Правильно выбранная методика обучения решению прикладных математических задач играет важную роль в усвоении учащимися знаний и выработке навыков, необходимых как в учебе, так и в жизни.

Прежде, чем приступать к решению задач с экономическим содержанием повышенной сложности, необходимо тщательно проработать решение простых задач на проценты, чтобы ученик имел чёткое представление о том, что такое процент от числа, умел из условия задачи понимать, какую величину следует принимать за 100 процентов, легко переходил от дробей к процентам и обратно, мог найти число по его части, выраженной в процентах.

После решения простых задач на проценты ученик должен знать, что один процент от числа - это его сотая часть, что за сто процентов принимается величина, с которой сравнивают.

Также следует повторить методы решения неравенств, систем уравнений, отработать формулы нахождения суммы нескольких первых членов арифметической, геометрической прогрессии, нахождения производной и исследования с ее помощью функций.

При чтении условий любой задачи можно встретить такие величины как сумма кредита, процентная ставка, периодическая выплата по кредиту, стоимость ценной бумаги и другие. Попробуем в них разобраться.

Прежде всего, нужно разложить условия задачи на последовательные действия.

Например:

Взял кредит - сумма на количество лет.

Банк начислил проценты

Внес периодическую плату по кредиту

Дальше пункты 2 и 3 могут повторяться в зависимости от количества лет.

Внес остаток долга - погасил кредит.

Теперь нужно математически выразить каждое наше действие, и очень важно соблюсти порядок, в котором эти действия происходят.

Пусть размер кредита равен S, процент банка p, а ежегодная выплата по кредиту K.

Формулы для подсчета процентов:

а) если величину S увеличить на p% получится S•(1+p/100);

б) если величину S уменьшить на p% получим S•(1-p/100);

в) если величину S дважды увеличить на p% получим S•(1+p/100)І;

г) если величину S увеличивать на p% не два раза, а три раза, получится S•(1+p/100)і;

д) если величину Х увеличивать на p% п раз, то степень п S•(1+p/100)n

Рассмотрим теперь, если заемщик выплачивает сумму K по кредиту. Тогда через год после начисления процентов и выплаты суммы K, размер долга равен S•(1+p/100)-K.

Так как каждый год сумма будет умножаться на выражение в скобках, введем замену переменных.

Обозначим: Р =1+p/100, тогда S•Р-K.

Через два года размер долга будет выглядеть следующим образом: (SР-K)•Р-K;

Через три года: ((SР-K)•Р-K)•Р-K;

Через четыре года: (((SР-K)•Р-K)•Р-K) Р-K;

Через n лет: SР?-K(Р?+ Рn-1+Рn-2+Рі+РІ+Р+1).

В скобках мы видим геометрическую прогрессию. Для подсчета величины в скобках иногда применяется формула суммы Р членов геометрической прогрессии, где В1 равен 1, а q равен Р.

Формула для суммы п членов геометрической прогрессии:

Kn= 

В нашем случае размер долга через n лет равен:

SР?-K

Итак, мы видим в нашей формуле следующие четыре переменные:

размер денежной суммы - S

процент банка - p,

периодическая выплата банку (транш) - K

временной период происходящих действий (года, месяцы) - n

В зависимости от того, какая из этих переменных неизвестна, можно выделить типы экономических задач[19].

Когда ученик хорошо освоил весь перечисленный материал и легко справляется с опорными задачами на проценты (приложение), следует сосредоточиться на задачах, содержащих в условии много данных, часть из которых может быть лишними или представленными в неявном виде, а их решение производится в несколько действий.

Для того чтобы учащиеся внимательно прочитали текст задачи и поняли условие, используются приёмы «чтение с остановками» и «ключевые слова».

Одним из приёмов изучающего чтения (чтения, позволяющего проникнуть в смысл текста путём его анализа) является выделение в тексте ключевых слов. Такие слова позволяют составить определение некоего понятия или выделить из текста основную информацию.

На уроках, проводимых по предлагаемой методике, даются определения терминов, слова из которых послужат ключевыми при решении задач.

После выработки навыков осмысленного чтения задачи и умения анализировать текст для выявления всех необходимых данных, можно переходить непосредственно к решению математических задач с экономическим содержанием, с которыми предстоит встретиться на ЕГЭ.

Решение любой текстовой задачи происходит по следующей схеме:

1. Условие задачи необходимо «перевести» на математический язык (составление математической модели).

Найти решение задачи, используя знание математических формул (работа с составленной моделью).

Объяснить полученный для математической модели результат в терминах первоначальной задачи.

Как показывает практика, самый сложный этап решения задачи - это составление математической модели.

Трудности с составлении модели возникают у большинства учащихся.

Согласно анализу результатов ЕГЭ по математике «ненулевые баллы за задание 17 получили около 15%, максимальные - около 8% участников экзамена[36].

Типичные ошибки связаны в первую очередь с неверным составлением модели задачи (непонимание взаимосвязи величин) и вычислительными ошибками [17].

При этом в критериях оценивания задачи 17 в ЕГЭ, представленных в таблице 3[10], отмечено, что только за верно составленную модель ученик получает один балл, а построение модели и сведение решения к ней, даже при получении неверного результата из-за вычислительной ошибки, принесет уже два балла.

Таблица 3 - Критерии оценивания задачи 17

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: ? неверный ответ из-за вычислительной ошибки; ? верный ответ, но решение недостаточно обосновано	2
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Резюмируя вышесказанное, наша задача сводится к разработке методики, которая позволит учащимся повторить и систематизировать формуля, необходимые для решения задач с экономическим содержанием, встречающихся в ЕГЭ, обучить детей анализировать условие и сводить задачу к решённым ранее, сформировать навыки построения математической модели.

Итак, опираясь на тематику задач из различных сборников и пособий для подготовки к ЕГЭ, можно сказать, что чаще задание 17 содержит задачу на вклады, кредиты или оптимизацию. Любая из таких задач отличается довольно длинным условием, содержащим большое количество данных.

Итак, чтобы верно составить математическую модель, ученик должен уметь работать с текстом. Условие задачи номер 17 из ЕГЭ чаще всего представляет собой текст из нескольких строк, содержащий большое количество данных, часть из которых представлена в неявном виде. Поэтому очень важно уметь внимательно читать текст задачи, извлекать, анализировать и критически оценивать полученную из условия задачи информацию.

Требования нашего государства и общества к воспитанию делового, конкурентоспособного человека, имеющего развитое экономическое мышление и подготовленного к жизни в условиях рыночной экономики, делают необходимым изучение основ экономической и финансовой грамотности в школе. Под термином «экономическая грамотность» понимается определенный спектр понятий, информации и знаний из экономической области, а также обладание некоторыми навыками решения практических задач, главным образом в потребительской сфере.

Математические задачи с экономическим содержанием являются весьма эффективным средством формирования понятий и изучения моделей и методов математики, а также других дисциплин. В рамках школьного курса математики нет возможности уделить достаточно внимания решению задач с экономическим содержанием.

Тем не менее, такие задачи включаются в ЕГЭ и вызывают у учащихся трудности при решении, обусловленные отсутствием практики решения подобных задач, неимения навыков систематичного и последовательного анализа задачи, построения необходимой модели решения, непониманием встречающихся терминов и т.д.

Разработанный нами элективный курс «Решение задач с экономическим содержанием», предназначенный для учащихся 10 классов средней общеобразовательной школы, направлен на формирование у учащихся общего подхода к решению задач с экономическим содержанием. При предлагаемом нами подходе задача рассматривается как модель какого-либо явления, процесса, ситуации, и её решение требует применения математических знаний, логики, понимания понятий из области экономики для преобразования условий задачи в такую модель, которая позволит получить ответ.

Элективный курс предназначен не только для учеников, решивших связать свою будущую профессию с экономикой и банковским делом, но и для тех, чья профессия в дальнейшем не будет связана с математикой и экономикой, так как те задачи, которые представлены в данном курсе демонстрируют практическую ценность математики, позволяют активизировать учебную деятельность, формируют знания и способности к деятельности, которые актуальны и востребованы практикой, рынком труда, а также призваны способствовать профессиональному самоопределению старшеклассников.

Этот курс поддерживает изучение основного материала из курса алгебры, давая возможность повторить, систематизировать и применить на практике полученные знания, и в тоже время позволяет изучить экономические термины и понятия, сформировать навыки использования полученных в школе знаний в жизни. Правильно построенная система упражнений формирует у учащихся активное мышление и познавательный интерес, приучает к преодолению посильных трудностей, вырабатывает умение справляться с ними.

Данный курс предусматривает испоьзование лекционно-практической системы, а также личностно-ориентированных педагогических технологий.

На всех практических занятиях должна проводится самостоятельная работа учащихся: индивидуально, в парах, в группах.

Критериями эффективности предлагаемой методики обучения старшеклассников решению задач с экономическим содержанием служат: качество овладения учащимися предметным содержанием элективного курса и способность применять имеющиеся знания для решения задач. Качество определяется по результату тестирования и решения самостоятельных работ, содержащих в числе прочих задачу с экономическим содержанием из материалов для подготовки к ЕГЭ.

...