а = f М/г² (11)

Сравнивая выражения (10) и (11), получаем

a = - dU/dr. (12)

Знак "минус" означает, что вектор-ускорение направлен по геоцентрическому радиусу r в противоположном направлении.

Формула (10) определяет потенциал притяжения Земли, представляющей собой шар однородной плотности. Для реальной Земли с ее сложной формой и неоднородной плотностью потенциал притяжения U будет представлять собой интеграл элементарных масс dM, в совокупности составляющих массу Земли:

U = ?fdM/r_i, (13),

^M

где

r_i - расстояние от центра элементарной массы dM до i-й точки, для которой вычисляется потенциал.

Потенциал центробежной силы Ui на геоцентрической широте ц равен

U₁ =0,5 щ²r²cos² ц (14),

Тогда потенциал силы тяжести Земли W равен сумме потенциалов силы притяжения U и центробежной силы U₁, т.е.

W = ?fdM/r_i + 0,5 щ²r²cos² ц (15),

^M

Производная от W по направлению нормали n к уровненной поверхности (поверхности, во всех точках которой W имеет одно и то же значение) является полной силой тяжести:

G = dW/dn. (16)

Величина W непосредственно не измеряется. Измерению подлежат только ускорение g, численно равное dW/dn, и производные второго порядка от потенциала.

В СИ ускорение g измеряется в метрах на секунду в квадрате (м/с2). Ранее применялась единица, называемая галом (Гал) в честь великого итальянского ученого Галилея, впервые измерившего величину g (1 Гал = 1 см/с²).

Вторые производные потенциала силы тяжести имеют размерность градиента силы тяжести [dg/dn] = [с ^{- 2}]. Наибольшей для Земли является вторая производная Wzz, она равна около 3*10^-6с^-2.

Гравитационное поле, так же как и поле силы тяжести, потенциально. Это значит, что можно ввести потенциальную энергию гравитационного притяжения пары тел, и эта энергия не изменится после перемещения тел по замкнутому контуру. Потенциальность гравитационного поля влечёт за собой закон сохранения суммы кинетической и потенциальной энергии и при изучении движения тел в гравитационном поле часто существенно упрощает решение. В рамках ньютоновской механики гравитационное взаимодействие является дальнодействующим. Это означает, что как бы массивное тело ни двигалось, в любой точке пространства гравитационный потенциал зависит только от положения тела в данный момент времени.

Нормальное гравитационное поле и его аномалии

Гравитационное поле Земли имеет сложную структуру, обусловленную неоднородностью вещества земной коры и мантии. Гравитационное поле Земли принято разделять на две части: нормальное гравитационное поле и остаточное аномальное поле. Нормальное гравитационное поле характеризуется четырьмя параметрами: общей массой Земли; формой и размерами эллипсоида, наиболее близко соответствующего геоиду в глобальном масштабе; скоростью вращения Земли. Его определение вытекает из условия, что поверхность эллипсоида - это уровенная поверхность в нормальном гравитационном поле, а поверхность геоида представляет собой уровенную поверхность в действительном гравитационном поле (нормальное поле объясняет также существование негравитационной центробежной силы, которая возникает вследствие вращения Земли вокруг своей оси). При этом предполагается, что центр нормального эллипсоида совпадает с центром масс Земли. В любой точке разность высот геоида и нормального эллипсоида, называемая ондуляцией геоида, прямо пропорциональна возмущающему потенциалу (потенциал силы тяжести - одна из важнейших характеристик гравитационного поля Земли). Нормальное поле изменяется строго по широте. От экватора к полюсам его напряженность увеличивается почти пропорционально квадрату синуса широты на

5,5·10^-2м/с². Таким образом, определение аномального гравитационного поля (путем гравиметрических измерений) позволяет определить положение поверхности геоида по отношению к эллипсоиду и отсюда - форму Земли. Если нам известна форма геоида, то известно и направление силы тяжести, которое в каждой точке перпендикулярно к поверхности геоида. Следовательно, можно найти уклонение отвесной линии, т.е. угол между направлением силы тяжести и перпендикуляром к поверхности эллипсоида. Аномальное поле не регламентируется никаким законом и изменяется незначительно (в пределах нескольких единиц ·10^-3 м/с²).

Нормальное гравитационное поле

Земной эллипсоид наилучшим образом аппроксимирует основную уровенную поверхность Земли - геоид. У него большая экваториальная полуось а_э, полярное сжатие б, масса М и угловая скорость осевого вращения щ совпадают с соответствующими параметрами Земли. Этот эллипсоид называют уровенным эллипсоидом (нормальной Землей). Его параметры определяют из совместной обработки данных астрономо-геодезических и гравиметрических работ и спутниковых наблюдений, выполняемых в планетарном масштабе.

По стандартизируемым международным соглашениям, в качестве параметров нормальной Земли вычисляют нормальный потенциал U, нормальную силу тяжести g₀, вторые производные нормального потенциала силы тяжести и другие элементы нормального поля.

Величину g_o будем определять как градиент потенциала U, т.е. g₀=dU/dn, где n - направление нормали к уровенной поверхности нормального гравитационного поля. Величина g_o изменяется по закону, установленному итальянским геодезистом Сомильяна:

g₀ = (a_эg_эcos²В + bg_п sin²B) /v a_э² cos² В + b²sin² В, (17)

где а_э и b - соответственно большая и малая полуось эллипсоида; g_э и g_п - нормальная сила тяжести соответственно на экваторе и на полюсе эллипсоида; В - геодезическая широта точки.

Формула (17) неудобна для вычислений. Если ее разложить в ряд, то можно получить приближенную зависимость,

g_o = g_э (l+вsin² B - в₁ sin²2B) (18)

носящую название "формула Клеро" - по имени французского математика и астронома.

Числовые коэффициенты в и в₁ связаны между собой соотношениями и определяются по экспериментальным данным о гравитационном поле Земли:

в = (g_п - g_э) /g_э; в₁ = (1/8) a² + (1/4) б в

Формула (18) позволяет определять нормальную силу тяжести или нормальное гравитационное поле Земли с точностью до малых значений второго порядка. На полюсе (B = 90°)

g_п = g_o= g_э (l, + в). (19)

Тогда нетрудно заметить, что коэффициент в определяет относительный избыток силы тяжести на полюсе. Так как g_э?9,78 м/с² и g_п ?9,832 м/с², то изменение g₀ от экватора к полюсу составляет 0,052 м/с². Коэффициент в примерно равен 0,0053. Значение

g_э в? 0,052 м/с² складывается из гравитационной и центробежной составляющих нормальной силы тяжести. На экваторе центробежная сила для единичной массы

1 = щ ²а = 0,034 м/с², или 0,35 % полного значения g_o.

Имеется ряд формул для определения нормальной силы тяжести на поверхности эллипсоида и на высоте z над ним. Например, в СССР и ряде других стран при изучении закономерностей распределения масс в теле Земли используют формулу Гельмерта, которая для z= 0 имеет вид

g_o = 978,030 (1 + 0,005302 sin² В - 0,0000070 sin²2B). (20)

Вертикальный градиент нормальной силы тяжести вычисляют по формуле

dg₀/dn = - 0,30855 (1 + 0,00071 cos2B) z, (21)

где n - направление внешней к уровенному эллипсоиду нормали.

Из формулы (21) видно, что dg₀/dn слабо зависит от широты В точки. Поэтому при малых высотах второй член выражения (21) можно не учитывать. В этих случаях нормальная сила тяжести (см/с²) в точке на высоте 2 (м) над эллипсоидом будет равна

g_z = g_o - (dg_o/dn) z = g₀ - 0,0003086z. (22)

Тогда с учетом выражения (20) и (22) нормальная сила тяжести (см/с²) будет равна

g_z = 978,030 (1 + 0,005302 sin²В - 0,0000070 sin²2В) - 0,0003086z. (23)

Гравитационные аномалии

Горные породы имеют различную плотность и образуют разнообразные геологические структуры. В результате возникают аномалии величин, характеризующих гравитационное поле Земли, т.е. отклонения от нормальных значений, которые наблюдались бы, если бы земная кора была однородной или состояла из однородных концентрических слоев иной плотности. Поэтому реальные значения силы тяжести g, измеряемые в различных частях земной поверхности, отличаются от нормального значения, теоретически рассчитанного по формуле (20). Разность g-g₀ называют аномалией силы тяжести, или аномалией ускорения свободного падения (гравитационной аномалией). Величина g_a обусловлена залеганием на глубине тяжелых или легких горных пород и руд. Аномалии бывают положительными "избыток масс", обычно присущими глубоководным впадинам океанов, и отрицательными "недостаток масс" - в высокогорных областях материков и в районах залегания легких горных пород и руд.

Для соблюдения корректности определения Дg необходимо, чтобы уровень (высота) и условия наблюдения соответствовали нормальному полю. Поэтому в наблюденные значения силы тяжести вводят поправки (редукции), снижающие эти расхождения и приводящие наблюденные и теоретические значения к одной поверхности. Существуют три основные поправки: поправка за свободный воздух, за промежуточный слой и за окружающий рельеф.

Поправочный член - 0,3086 м/с² учитывает изменение по высоте земного притяжения, а не силы тяжести, так как не учитывает эффект вращения Земли и ее сжатие. Однако с достаточной для практики точностью он применяется до высоты в несколько километров.

Следует иметь в виду, что центробежная сила действует только на предметы, связанные с Землей и участвующие с ней в общем вращении вокруг земной оси. Предметы, удаленные от Земли (например, ИСЗ), не участвуют в этом вращении, а движутся по законам притяжения вокруг Земли. В таких случаях законы движения определяют поле тяготения, а не поле силы тяжести.

При точных вычислениях g значение g₀ определяют по формуле (22). Тогда так называемая аномалия в свободном воздухе

g_a = g- (g_o-0,0003086z). (24)

Обычно на поверхности Земли значение g_a составляет несколько десятых долей сантиметра на 1 с², достигая иногда и целых единиц в горах и глубоководных впадинах. Так, аномалии силы тяжести в свободном воздухе г. Мауна-Кеа (о. Гавайи) на высоте

z = 4214 м составляет +0,669 см/с² (Гал), а в Марианской впадине на глубине 8740 м g_a= - 0,244 см/с² (Гал). Обычно значения g_a отражают изменение гравитационного поля при переходе от одного типа земной коры к другому; они не коррелируют с положением материков и океанов; знак g_a не меняется на протяжении тысяч километров.

Чаще всего наблюдается неравенство g>g_o над морскими и океаническими пространствами, а над материками, g < g_o. Подобные соотношения между реальными (g) и теоретическими (g₀) значениями ускорения свободного падения объясняются тем, что сравнительно малая масса воды океанов и морей компенсируется массой горных пород большой плотности (базальт, перидотит, имеющие плотность около 3,310³ кг/м³). На материках под горными хребтами залегают, видимо, породы пониженной плотности. Все это означает, что на изменения g влияет геологическое строение района, т.е. неравномерное распределение плотностей масс внутри Земли.

При продвижении вглубь Земли сила тяжести уменьшается, и в центре Земли доходит до нуля. Это является следствием двух причин. С одной стороны, к центру Земли сила притяжения возрастает обратно пропорционально квадрату радиуса, с другой - убывает пропорционально уменьшению массы, так как внешние массы вышерасположенных слоев на данную продвигающуюся вглубь точку не действуют.

Общее (суммарное) изменение силы притяжения с глубиной, по Н.П. Грушинскому и А.Н. Грушинскому, можно описать законом

?F = 0,3086z - 0,0838рz, (25)

где z - углубление точки в земные недра.

Из выражения (25) следует, что изменение силы притяжения под земной поверхностью материков происходит пропорционально не только глубине, но и плотности среды. При этом в слоях небольшой плотности (р = (2,1….2,4) *10³ кг/м³) первый член выражения (25) больше второго, и потому при углублении возрастает сила тяжести. Но по мере роста z плотность р увеличивается и тем самым уменьшается сила тяжести.

Из выражения (25) можно найти значение р, при котором изменение силы притяжения прекратится (?F = 0). Простой расчет показывает, что этому условию отвечает плотность около 3,68*10³ кг/м³. Это означает, что в случае р<3,68*10³ кг/м³ углубление в земные недра ведет к увеличению силы тяжести, при р>3,68*10³кг/м³ она уменьшается пропорционально глубине. Плотность 3,68*10³ кг/м³, по так называемой опорной модели Земли PREM, свойственна мантии Земли на глубине около 400 км.

Однако глубже изменения силы тяжести усложняются, так как эти слои находятся за пределами тех верхних слоев, которые можно приближенно принимать за пластину с притяжением 2рfpz. Значения ускорения свободного падения на различных глубинах, определенные по сейсмическим данным, приведены в табл. 3.

Из данных табл. 3 видно, что плотность в земных недрах изменяется с глубиной неравномерно. Такая особенность внутреннего строения приводит к тому, что на границе мантии и ядра значение g достигает максимума (10,68 м/с²). Само ядро более однородное, и в нем плотность плавно растет с глубиной. Поэтому в центре земного шара сила притяжения по всем радиусам одинакова и g==0.

Направления реальной и нормальной сил тяжести между собой не совпадают. Это отличие характеризуется уклонением (отклонением) отвеса. Его максимальное значение составляет около 1'.

Таблица 3. Плотность р и ускорение свободного падения g внутри Земли (модель PREM)

* Плотность в земной коре зависит от того, какая кора имеется в виду; континентальная, океаническая или промежуточная.

Список литературы

1. С.А. Чечкин - Основы геофизики

2. А.Н. Павлов - Геофизика. Общий курс о природе Земли

3. В.Е. Хаин, Н.В. Короновский - Планета Земля от ядра до ионосферы

4. http://rudocs. exdat.com/docs/index-27312.html? page=7

5. http://krugosvet.ru/enc/earth_sciences/geografiya/geodeziya.html? page=0,10

6. http://mining-enc.ru/g/gravitacionnoe-pole-zemli/

7. http://ru. wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D1%8F

Размещено на Allbest.ru