Вплив змінності аеродинамічного моменту на рух гравітаційно-стабілізованих космічних апаратів відносно центру мас

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ІМ. С.П. ТИМОШЕНКА

УДК 629.78

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ВПЛИВ ЗМІННОСТІ АЕРОДИНАМІЧНОГО МОМЕНТУ НА РУХ ГРАВІТАЦІЙНО-СТАБІЛІЗОВАНИХ КОСМІЧНИХ АПАРАТІВ ВІДНОСНО ЦЕНТРУ МАС

01.02.01 - теоретична механіка

МАСЛОВА АННА ІВАНІВНА

Київ - 2011

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті технічної механіки НАН України і НКА України.

Науковий керівник:

Пироженко Олександр Володимирович, доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник, провідний науковий співробітник Інституту технічної механіки НАН України і НКА України.

Офіційні опоненти:

Онищенко Сергій Михайлович, доктор фізико-математичних наук, професор, провідний науковий співробітник Інституту математики НАН України;

Ткаченко Олександр Іванович, доктор технічних наук, старший науковий співробітник Міжнародного науково-навчального центру інформаційних технологій та систем НАН та МОН України.

Захист дисертації відбудеться "26" квітня 2011 р. о 10.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. Несторова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. Несторова, 3.

Автореферат розісланий "18" березня 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради доктор фізико-математичних наук Жук О.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Робота присвячена дослідженню закономірностей руху відносно центру мас гравітаційно-стабілізованого супутника під дією збурюючого аеродинамічного моменту (АМ). Дослідження проводяться з урахуванням наступних причин змінності АМ:

1) змінність щільності атмосфери (ЗЩА), що обумовлена орбітальним рухом супутника. Розглядаються три основних причини ЗЩА по орбіті:

- добовий ефект здуття атмосфери на сонячній стороні Землі;

- зміна висоти орбіти через несферичність Землі;

- зміна висоти орбіти через еліптичність орбіти;

2) залежність АМ від орієнтації супутника відносно набігаючого потоку;

3) обертання атмосфери, що обумовлене обертанням Землі.

Розглядається рух супутника в режимі гравітаційної стабілізації, тобто в такому режимі, при якому амплітуди коливань супутника невеликі, а його поздовжня вісь рухається поблизу місцевої вертикалі.

Актуальність теми. Визначення закономірностей руху супутника відносно центру мас у гравітаційному полі під дією збурюючих моментів є важливою задачею динаміки твердого тіла. Особливий внесок у розвиток теорії руху супутника відносно центру мас зроблено радянською школою механіки. У роботах В.В. Белецького, В.А. Саричева і їх колег отримано фундаментальні результати, що визнано в усьому світі та стали класичними. Багато досліджень присвячено вивченню руху супутника під дією гравітаційного і аеродинамічного моментів. У роботах В.А. Саричева, В.В. Сазонова, В.М. Ковтуненка та ін. вказувалося на необхідність враховувати в кутовому русі космічних апаратів (КА) як змінності щільності атмосфери при орбітальному русі, так і змін орієнтації КА відносно набігаючого потоку. Однак до теперішнього часу системних досліджень цих питань не було проведено.

Підвищення точності стабілізації кутового руху є важливою задачею створення платформ КА. Її вирішення передбачає ретельний аналіз умов функціонування супутників і прийняття обґрунтованих конструктивних рішень, що необхідні для забезпечення потрібної точності. Тому при розробці систем стабілізації є важливим аналіз дії одного з основних збурюючих моментів на орбітах з висотами до 800 км - аеродинамічного моменту.

Особливий інтерес до впливу змінності АМ пов'язано з розробкою КА для дистанційного зондування Землі. Досить невисокі орбіти руху таких апаратів призводять до суттєвого впливу АМ на їх орієнтацію. Вимоги до освітленості місцевості, за якою проводяться спостереження, обумовлюють проходження КА поблизу так званого атмосферного горба (здуття атмосфери на сонячній стороні Землі), що приводить до суттєвої змінності щільності атмосфери при орбітальному русі супутника.

У теперішній час, у зв'язку з розвитком нових класів малих КА, у тому числі, класу так званих "університетських" мікросупутників спостерігається підвищення інтересу до систем гравітаційної стабілізації (СГС). СГС є одними з найбільш простих і часто застосовуваних систем стабілізації КА. Переваги цих систем, у першу чергу, полягають у простоті їх виконання, надійності і можливості тривалого функціонування без витрат енергії супутника. Зазначені якості СГС пояснюють їх широке використання з початку розвитку космонавтики і до наших днів.

Всі причини актуальності досліджень, що перераховано вище, зберігаються і для українських розробок КА. Загальнодержавна цільова науково-технічна космічна програма України на 2008-2012 рр. передбачає розвиток космічних систем дистанційного зондування Землі. СГС у вигляді прикріпленої до КА штанги з вантажем на кінці застосовувалися на українських космічних апаратах "Січ-1М" і мікросупутнику "МС-1-ТК", що були запущені в 2004 р. Передбачається використання СГС і в запланованих проектах КА ДП "КБ "Південне".

Таким чином, задача визначення закономірностей руху супутника відносно центру мас з урахуванням змінності АМ є актуальною як для розвитку теоретичних знань про рух супутників, так і для підвищення точності стабілізації руху КА.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота є узагальненням результатів досліджень, проведених в Інституті технічної механіки НАН України і НКА України за темою

№ III-43-06 "Розвиток методів дослідження та вивчення руху багатоелементних механічних систем, що функціонують у космічному просторі" (номер держреєстрації 0106U001390, затверджена Бюро відділення механіки НАН України на 2006-2010 роки, протокол №4 від 13.07.05).

Мета і задачі дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає у визначенні основних закономірностей руху відносно центру мас класу КА з СГС з урахуванням впливу змінності АМ.

Досягнення мети передбачає вирішення наступних задач:

- побудова обґрунтованої і зручної для проведення аналітичних досліджень динаміки КА математичної моделі АМ, що враховує основні причини його змінності;

- побудова розрахункової моделі просторового поступально-обертального руху КА на майже колових орбітах з урахуванням несферичності Землі для проведення чисельних досліджень і перевірки результатів якісних аналітичних досліджень;

- визначення основних закономірностей впливу змінності АМ на рух КА у площині орбіти (на зміни кута тангажу);

- визначення основних закономірностей просторового руху КА відносно центру мас з урахуванням обертання атмосфери.

Об'єктом досліджень є динаміка гравітаційно-стабілізованих супутників.

Предметом досліджень є вплив змінності АМ на динаміку гравітаційно-стабілізованих супутників.

Методи дослідження. Для вирішення поставлених задач було використано методи теоретичної механіки, механіки космічного польоту, аеродинаміки, ефемеридної астрономії, теорії коливань, метод усереднення, методи аналітичного та чисельного інтегрування диференціальних рівнянь.

Наукова новизна отриманих результатів пов'язана з тим, що вперше досліджується задача визначення основних закономірностей кутового руху КА в режимі гравітаційної стабілізації з урахуванням змінності АМ, що обумов-лена, зокрема, добовим ефектом здуття атмосфери на сонячній стороні Землі.

1. Побудовано нові математичні моделі залежності АМ від основних факторів його змінності, що придатні для якісних досліджень динаміки супутників:

- запропоновано модель, що описує залежність АМ від орієнтації КА відносно набігаючого потоку;

- побудовано модель, що описує короткоперіодичні ЗЩА при русі КА по майже коловим орбітам, і проведено оцінки її параметрів.

2. Розвинено методи дослідження руху супутника в режимі гравітаційної стабілізації, у тому числі:

- розроблено нову методику дослідження коливань супутника, що описуються певним класом рівнянь типу Хілла з періодичною правою частиною;

- використано нетрадиційний підхід до побудови рівнянь просторового руху осесиметричного супутника, який є зручним для дослідження його коливань відносно зміщенного положення осі симетрії під дією гравітаційного і аеродинамічного моментів;

- при побудові моделі поступально-обертального руху супутника використано нові уточнені форми рівнянь збуреного кеплерового руху по майже коловим орбітам.

3. Визначено нові закономірності руху супутника відносно центру мас. Уперше для розглянутої постановки задачі:

- показано суттєвий вплив змінності АМ на точність стабілізації супутника, і побудовано аналітичні вирази амплітуд вимушених аеродинамічних коливань супутника в нерезонансних випадках руху;

- визначено вплив інерційних і аеродинамічних характеристик супутника на його рух в режимі гравітаційної стабілізації і дано якісні механічні інтерпретації отриманих результатів;

- показано можливість виникнення параметричного резонансу в коливаннях супутника вздовж площини орбіти, що обумовлений змінністю коефіцієнта АМ;

- визначено закономірності взаємовпливу вимушених ексцентриситетних і аеродинамічних коливань КА;

- показано можливість виникнення параметричних резонансів у поперечних коливаннях супутника, що обумовлені як зміщенням середнього положення його осі симетрії, так і власними коливаннями супутника вздовж площини орбіти.

Практичне значення отриманих результатів полягає в наступному: показано, що для розглянутих висот ЗЩА при орбітальному русі КА може призводити до суттєвої зміни (на порядок) АМ і тим самим суттєво впливати на точність стабілізації КА; отримано аналітичні вирази, що з високою точністю описують амплітуду вимушених аеродинамічних коливань КА в залежності від його конструкторських параметрів і характеристик орбіти руху центру мас; побудовано розрахункову модель просторового поступально-обертального руху КА, що зручна для досліджень динаміки КА в режимі гравітаційної стабілізації та дозволяє побудову ефективних розрахункових схем руху КА при дії на нього гравітаційного і аеродинамічного моментів.

Результати дисертаційних досліджень впроваджено у ДП "КБ "Південне" і використано при розробці систем управління орієнтацією та стабілізацією КА (затверджено акт впровадження на підприємстві КБ-3 ДП "КБ "Південне").

Особистий внесок здобувача. Основні результати роботи, що виносяться на захист, отримано дисертантом самостійно. У роботах, що опубліковані у співавторстві, автору належать наступні результати: апроксимація АМ, що діє на прості тіла і на складений КА [1-3, 9, 10]; побудова розрахункових моделей для оцінок щільності атмосфери та проведення оцінок ЗЩА по орбіті [3, 4, 10, 11]; побудова лінеаризованих рівнянь руху, знаходження аналітичного розв'язку і аналіз малих коливань КА [6, 12-15]; побудова лінеаризованої системи рівнянь просторового руху супутника та її аналіз, визначення можливості виникнення резонансних режимів руху КА [8, 16]. Загальний план досліджень і постановка задачі належать науковому керівнику д.ф.-м.н. О.В. Пироженку, він також брав участь у виборі та розробці методів дослідження, обговоренні отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на наступних конференціях: IX, X, XI Міжнародних науково-практичних конференціях "Людина і космос" (м. Дніпропетровськ, 2007-2009 рр.); 2-ій Міжнародній науково-практичній конференції "Университетские микроспутники - перспективы и реальность" (м. Євпаторія, НЦУВКЗ, 2007 р.); Міжнародній конференції "Классические задачи динамики твердого тела" (м. Донецьк, 2007 р.). Результати роботи доповідалися та обговорювалися на наукових семінарах в Інституті прикладної математики і механіки НАНУ (м. Донецьк, 2009 р.), Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАНУ (м. Київ, 2009 р., 2010 р.), а також семінарах Інституту технічної механіки НАНУ і НКАУ.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 8 статей (2 без співавторів), 8 тез доповідей на конференціях. Чотири статті надруковано в журналах з переліку, що затверджено ВАК України.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із введення, п'яти розділів, висновків, списку використаних джерел і двох додатків. Загальний обсяг роботи становить 190 сторінок, 47 малюнків (з них 15 на окремих 5 сторінках), 6 таблиць. Список використаних джерел включає 141 найменування і займає 15 сторінок. Додатки займають 5 сторінок.

Автор висловлює щиру вдячність науковому керівнику О.В. Пироженку за постановку задач і постійну увагу до досліджень.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі наведено аналіз літератури, що присвячена тематиці дисертаційної роботи, і поставлено задачі досліджень. У вступній частині обґрунтовано актуальність досліджень впливу АМ на рух КА з СГС. Далі наведено аналіз публікацій, що присвячені дослідженню руху супутника відносно центру мас з урахуванням аеродинамічного впливу. Описано основні принципи моделювання аеродинамічного впливу в динаміці розріджених газів, моделі щільності верхньої атмосфери Землі та підходи до описання щільності атмосфери при аналітичних дослідженнях динаміки КА. Сформульовано постановку задачі, у якій виділено першочергову проблему досліджень - відсутність обґрунтованих моделей АМ, що придатні для аналітичних досліджень динаміки; виділено клас КА, для яких будуть проводитися дослідження, та їх орбіти; зазначено традиційні для подібних задач методи досліджень і окреслено очікувані результати.

У другому розділі проведено апроксимацію моменту аеродинамічних сил і отримано вирази АМ, що придатні для досягнення мети досліджень.

Побудовано спрощені аналітичні вирази залежності АМ від кута атаки для класу КА з СГС, поверхню яких можна представити набором простих тіл (гравітаційний вантаж моделюється сферою, штанга - циліндром, корпус КА - сферою, циліндром, конусом). Ці вирази отримано на основі відомих в динаміці розріджених газів наближених аналітичних виразів аеродинамічних характеристик для простих тіл. Показано, що АМ можна представити у вигляді:

,

;

, - коефіцієнти, що залежать від молекулярного складу і температур верхніх шарів атмосфери та КА, масо-геометричних параметрів КА; - кут між віссю симетрії КА і вектором швидкості набігаючого потоку (для режиму гравітаційної стабілізації 80є90є); - щільність атмосфери;

; , .

- орт осі симетрії КА, спрямований від Землі.

В багатьох випадках при русі КА в режимі гравітаційної стабілізації АМ з великою точністю може бути представлений у вигляді:

, (1)

де , - сталі коефіцієнти; - малий кут. Похибка виразу (1) не перевищує одиниць відсотків у порівнянні з вихідними виразами АМ.

Апроксимація моделі АМ, що наведена в ескізному проекті на КА "Січ-1М", показала, що при русі КА в режимі гравітаційної орієнтації вираз (1) досить добре описує залежність АМ від кута атаки і прийнятний, принаймні, у першому наближенні для дослідження закономірностей динаміки класу КА, що розглядається. аеродинамічний момент космічний стабілізація

Проведено аналіз і побудовано оцінки короткоперіодичних ЗЩА, що виникають при орбітальному русі КА. На основі розрахунків щільності верхньої атмосфери за ДСТ 25645.115-84 ГОСТ 25645.115-84 Атмосфера Земли верхняя. Модель плотности для баллистического обеспечения полетов искусственных спутников Земли; Введ. 24-08-1984. - М.: Издат-во стандартов, 1984. - 44 с. і ДСТ Р 25645.166-2004 ГОСТ Р 25645.166-2004 Атмосфера Земли верхняя. Модель плотности для баллистического обеспечения полетов искусственных спутников Земли. - Принят 2004-03-09. - М.: ИПК Издат-во стандартов, 2004. - 24 с. показано, що для розглянутих висот нагрівання атмосфери Сонцем може призводити до зміни її щільності в 5,3 рази для однієї й тієї ж висоти. При врахуванні ще й змін висоти орбіти через несферичність гравітаційного поля Землі і через слабку еліптичність орбіти максимальні значення щільності атмосфери можуть перевищувати мінімальні в 12 разів. Таким чином, показано, що ЗЩА при орбітальному русі КА можуть приводити до суттєвих змін АМ.

На основі спектрального аналізу розглянутих ЗЩА показано, що, принаймні, на інтервалі часу близько 3-х діб (~50 обертів по орбіті) щільність атмосфери при орбітальному русі КА, як функція часу , з високою точністю може бути розкладена в ряд Фур'є по орбітальній частоті. В результаті аналізу амплітуд такого розкладу щільність атмосфери при русі супутника по орбіті запропоновано описувати наступною залежністю:

, (2)

де , - відповідно амплітуда і зсув фази -ої гармоніки, ; - частота орбітального руху супутника. Похибка апроксимації ЗЩА виразом (2) на одному витку орбітального руху КА не перевищує 2,5 %.

Запропоновані моделі (1), (2) є розвиненням існуючих моделей описання АМ для якісних досліджень закономірностей динаміки супутників. Вони опираються на відомі в динаміці космічних систем і аеродинаміці розріджених газів підходи до моделювання АМ і дають досить високу точність у розглянутих випадках. Отримані моделі АМ є досить простими і придатними для теоретичного аналізу і визначення основних закономірностей динаміки КА та передпроектної оцінки впливу аеродинамічної дії.

У третьому розділі розроблено розрахункову модель поступально-обертального руху КА для проведення чисельних досліджень і перевірки результатів аналітичних досліджень руху супутника. Ця модель складається з рівнянь збуреного кеплерового руху по майже коловим орбітам і рівнянь руху КА відносно центру мас.

Вводяться наступні праві системи координат (СК): 1) інерціальна СК - з початком у центрі мас Землі, вісь спрямована в точку весняного рівнодення, вісь - по осі обертання Землі; 2) орбітальна СК - з початком у центрі мас КА, вісь спрямована уздовж місцевої вертикалі, вісь знаходиться в площині миттєвої орбіти і спрямована у бік руху КА; 3) зв'язана СК - з початком в центрі мас КА і осями, що співпадають з головними центральними осями інерції КА. Положення зв'язаної СК в орбітальній СК визначається кутами , і , відповідно тангажа, крену і рискання.

Для опису орбітального руху супутника використано нові форми рівнянь збуреного кеплерового руху по майже коловим орбітам. Виведено та уточнено рівняння збуреного орбітального руху:

де - аргумент висхідного вузла; - нахил орбіти;

- різниця між аргументом широти збуреної орбіти і аргументом широти опорної незбуреної колової орбіти ; , і - малі величини;

,

- додаткові параметри; - гравітаційна стала; - фокальний параметр опорної незбуреної колової орбіти;

, , ;

, , - проекції збурюючих прискорень на відповідні осі орбітальної СК. Визначено збурюючі прискорення, що обумовлені нецентральністю гравітаційного поля Землі.

Введено кутові змінні, що описують орієнтацію супутника, які є зручними для досліджуваної задачі. Рух супутника відносно центру мас моделюється за допомогою динамічних і кінематичних рівнянь Ейлера. Визначено проекції гравітаційного і аеродинамічного моментів на осі зв'язаної СК.

У четвертому розділі представлено дослідження закономірностей руху супутника відносно центру мас у площині майже колових орбіт (ексцентриситет 0,002). Аналітичні дослідження проводяться у рамках обмеженої постановки задачі, тобто розглядається рух супутника відносно центру мас на заданій кеплеровій орбіті.

Рівняння руху супутника з урахуванням змінності АМ має вигляд:

(3)

де - кут між поздовжньою віссю КА і місцевою вертикаллю;

, , , , ()

- інтегральні параметри, що характеризують інерційні і аеродинамічні властивості КА та орбіти його руху; , , - головні центральні моменти інерції супутника; - фокальний параметр орбіти;

; (),

- значення дійсної аномалії при 0; штрихом позначено похідні по дійсній аномалії , залежність якої від часу визначається рівнянням:

.

На основі аналізу залежності інтегральних параметрів від інерційних і аеродинамічних властивостей КА з СГС визначено клас КА, для якого проводяться дослідження динаміки: 0,5 1; 0,5; 0,01 м/кг.

Параметр характеризує усереднений по орбіті, приведений до квадрату кутової швидкості, швидкісний напір, а коефіцієнти характеризують ЗЩА на орбіті. На основі розрахунків щільності атмосфери при русі супутників по орбітах, що розглядаються, при зміні індексу сонячної активності від F₀=75*10^-22 Вт/м ²Гц до F₀=250*10^-22 Вт/м ²Гц і врахуванні нецентральності гравітаційного поля Землі, отримано оцінки параметрів щільності атмосфери. Для колових орбіт: 0,4 кг/м 110 кг/м, 0,83, 0,23, 0,02; для слабоеліптичних: 0,4 кг/м 130 кг/м, 0,98, 0,31, 0,04.

Показано, що рух КА в режимі гравітаційної стабілізації можна розглядати як коливання відносно деякого, зміщенного відносно місцевої вертикалі, квазістаціонарного положення поздовжньої осі КА (середнє положення або кут зсуву). Середнє положення визначається рівністю гравітаційного і аеродинамічного моментів при постійній, що рівна середній, щільності атмосфери:

, (4)

0,43

- безрозмірний коефіцієнт.

Досліджено залежність кута зсуву від параметрів супутника і орбіти його руху. Показано, що при малих змінність коефіцієнта АМ слабо впливає на . Для розглянутого класу КА зсув середнього положення поздовжньої осі КА може перевищувати 35є. Можливість настільки великого зсуву поздовжньої осі КА обумовлена в першу чергу широтою діапазону зміни щільності атмосфери (широтою діапазону зміни ). Далі дослідження руху супутника в режимі гравітаційної стабілізації проводяться в припущенні, що конструкція супутника відповідає очікуваній щільності атмосфери (для запланованої висоти і сонячної активності) і кут не перевищує декількох градусів. Для визначеності прийнято, що 0,1, тоді <6,08є. Побудовано рівняння малих коливань супутника:

(5)

, , .

Рівняння (5) представляє собою рівняння типу Хілла (з періодичними коефіцієнтами) з періодичною правою частиною, яке можна віднести до наступного загального виду:

, (6)

де - шукана величина; - сталий коефіцієнт; 1 - малий параметр; - незалежна змінна; , - функції, які можуть бути представлені у вигляді лінійної комбінації синусів і косинусів із частотами (), () відповідно; крапки означають похідні по . Виділення малого параметру в (6) припускає, що інші параметри системи є величинами порядку одиниці, тобто , , , , ~1, де , - початкові умови; , - амплітуди функцій і при відповідних частотах. Рівняння (6) відрізняється від більшості розглянутих у літературі тим, що його права частина не містить малого параметру (не мала).

Запропоновано методику побудови наближеного розв'язку задачі Коші для рівняння (6) з початковими умовами , в нерезонансних випадках, яка опирається на метод усереднення. Без втрати загальності припускається, що вільні члени , дорівнюють нулю.

Зменшення порядку правої частини рівняння (6) здійснюється заміною змінних, що основана на виділенні в розв'язку вимушених коливань системи при 0. Для цього проводиться заміна змінних

,

де - частинний розв'язок рівняння:

, ,

де - зсув фази гармоніки з частотою при представленні в ряд по синусах.

Наступною заміною змінних

,

,

,

а - вільний член, видаляється вільний член у правій частині. Одержуємо рівняння, аналогічне рівнянню (6), але з правою частиною, що пропорційна ,

,

.

Початкові умови для мають вигляд:

, .

Для побудови системи порівняння вводяться нові змінні і - амплітуда і фаза коливань :

, .

. (7)

Осереднюючи систему (7) уздовж породжуючого рішення ,

,

у випадку, коли система не близька до лінійного і головного параметричного резонансів, отримаємо, що амплітуда коливань не змінюється в першому наближенні по . Таким чином, показано, що в нерезонансних випадках розв'язок рівняння (6) з точністю порядку співпадає з розв'язком рівняння:

на інтервалі часу порядку 1/.

На основі запропонованої методики побудовано вираз, що наближено описує рух повздовжньої осі супутника у площині орбіти, у нерезонансних випадках:

(8)

де , - початкові умови;

- амплітуда вимушених коливань з частотою , що обумовлені ЗЩА;

-амплітуда вимушених коливань, що обумовлені еліптичністю орбіти.

Вираз (8) в аналітичному вигляді визначає залежність амплітуд вимушених аеродинамічних коливань від параметрів супутника і орбіт його руху. З (8) видно, що вплив першої гармоніки ЗЩА на точність стабілізації КА може бути достатньо суттєвим. Це пов'язано з низькою динамічною жорсткістю гравітаційно-стабілізованих супутників при гармонійному збурюванні руху з орбітальною частотою (динамічна жорсткість для розглянутого класу КА при збурюванні руху з орбітальною частотою змінюється від 0,4 до 2,1). З виразу (8) також випливає, що вимушені коливання КА на слабоеліптичних орбітах можна розглядати як просту суму ексцентриситетних і аеродинамічних коливань.

Велику увагу приділено чисельному аналізу впливу АМ на відносний рух КА і перевірці результатів якісних аналітичних досліджень цього впливу. Порівняння розрахунків руху КА з використанням повної і спрощених моделей АМ, які розроблено у другому розділі, показало, що запропоновані моделі придатні для дослідження основних закономірностей динаміки КА з урахуванням змінності АМ і можуть бути використані на етапі проектування супутника для оцінки впливу АМ на рух КА відносно центру мас.

Розрахунки показали, що нецентральність гравітаційного поля Землі викликає додаткові коливання КА відносно центру мас, амплітуда яких для розглянутих майже колових орбіт слабо змінюється і приблизно не перевищує 0,6є. Коливання, що обумовлені нецентральністю гравітаційного поля, можуть бути як меншими, так і більшими, ніж коливання, що викликані змінністю АМ, але не змінюють основних закономірностей впливу змінності АМ. Розрахунки показали високу точність побудованих наближених розв'язків при русі центру мас КА по кеплеровим орбітам.

На основі аналітичних і чисельних досліджень встановлено і показано що:

- для всіх розглянутих КА з СГС існують орбіти, для яких амплітуда вимушених коливань буде більшою, ніж кут зсуву , а при 0,5 амплітуда вимушених коливань може перевищувати модуль кута зсуву в декілька разів;

- вплив положення площини орбіти відносно горба атмосферного здуття на амплітуду вимушених аеродинамічних коливань значно більший, ніж вплив еліптичності орбіти при 0,002; амплітуда аеродинамічних коливань може майже в 80 разів перевершувати амплітуду ексцентриситетних коливань;

- можливе взаємне гасіння вимушених ексцентриситетних і аеродинамічних коливань у випадках, коли їх амплітуди близькі за значенням.

Проведений аналіз можливості виникнення резонансів у русі розглянутого класу КА показав, що можливе виникнення тільки головного параметричного резонансу, що обумовлений близькістю подвоєної частоти власних коливань з потроєною частотою орбітального руху (третьою гармонікою ряду (2) для щільності атмосфери) 23. Цей резонанс виникає через спільний вплив ЗЩА і змінності коефіцієнта АМ. У розглянутому випадку врахування еліптичності орбіти не впливає на можливість виникнення резонансів.

Розроблено методику дослідження властивостей розв'язків рівнянь типу Хілла (6) при головному параметричному резонансі:

,

де - одна із частот (). Ця методика співпадає з методикою побудови наближеного розв'язку в нерезонансних випадках, що викладено вище, до побудови системи порівняння: шляхом виділення основної складової вимушених коливань зменшується порядок правої частини рівняння, а потім вводяться нові змінні, що описують амплітуду і фазу власних коливань.

Для побудови системи порівняння в резонансному випадку у рівняння (7) вводиться нова повільна змінна

,

швидкою змінною залишається тільки час . Застосовуючи процедуру усереднення, не складно бачити, що при ( - відсутності лінійного резонансу) доданки, що вказують на неоднорідність рівняння руху (містять ), обнуляться. Система порівняння має вигляд:

. (9)

де , - амплітуда і зсув фази гармоніки із частотою при розкладанні функції в ряд по косинусах;

- зсув фази між подвоєною усередненою фазою власних коливань і фазою зміни параметра.

Таким чином, у випадку головного параметричного резонансу розв'язок рівняння (6) у першому наближенні є сумою вимушених коливань неоднорідного рівняння з постійними коефіцієнтами , малої константи і розв'язку наступного рівняння Матьє зі зміненими початковими умовами:

.

Тобто неоднорідність рівняння (6) позначається в першому наближенні тільки на зміні початкової амплітуди резонансних коливань.

Аналіз системи (9) показав, що для будь-яких співвідношень частот, при , де - початкове значення зсуву фаз, на початковому інтервалі часу буде спостерігатися зменшення амплітуди коливань - випадок "протифазної" зміни параметру, а характер розв'язку системи (9) залежить від співвідношення величин і .

При такому співвідношенні частот, що , спостерігається режим довгоперіодичної зміни амплітуди власних коливань :

, ,

де , - початкові значення амплітуди і зсуву фаз відповідно; - сталий коефіцієнт (). У випадку, коли 2, існують такі значення , що амплітуда коливань може зростати в декілька разів. Зростання ампулі-туди може бути настільки значним, що порушиться можливість використання рівнянь малих коливань. Тобто у режимі руху, стійкому з математичної точки зору, існує область параметрів, у якій можливими є рухи з настільки великою амплітудою, що втрачається фізична і технічна стійкість системи.

При такому співвідношенні частот, що , зсув фаз прагне до свого стійкого положення рівноваги , і при амплітуда коливань зростає по експоненті:

,

де - значення амплітуди в початковий момент часу .

Визначено область нестійкості руху, яка у першому наближенні по співпадає з областю нестійкості рівняння Матьє відомою в теорії коливань.

На основі викладеної методики і чисельного аналізу руху супутників встановлено, що для розглянутого класу КА прояв параметричного резонансу, що обумовлений близькістю подвоєної частоти власних коливань до потроєної частоти орбітального руху, вкрай незначний: область нестійкості коливань дуже вузька, і інтервал нестійкості лежить у границях похибки визначення частоти власних коливань КА, що пов'язані, наприклад, з неточністю задання моментів інерції КА; зміни амплітуди коливань при параметричному резонансі не перевершують одиниць відсотків від амплітуди вимушених коливань на розглянутому проміжку часу близько 50 витків по орбіті.

У п'ятому розділі розглянуто просторові коливання осесиметричного КА відносно центру мас під дією гравітаційного і аеродинамічного моментів на кеплеровій коловій орбіті з урахуванням обертання атмосфери. Дослідження просторових малих коливань КА, на відміну від класичних робіт, проводяться з урахуванням зміщенності квазістаціонарного положення осі симетрії супутника.

Для побудови скалярних рівнянь просторового руху осесиметричного супутника відносно центру мас рівняння зміни кінетичного моменту проектується не на осі зв'язаної СК (як при виводі динамічних рівнянь Ейлера), а на осі напівзв'язаної СК (одна вісь якої співпадає з віссю симетрії КА, інша лежить у площині орбіти). При цьому використовується відома властивість осесиметричного тіла, що осі будь-якої прямокутної СК, одна вісь якої лежить на осі симетрії, будуть головними осями інерції тіла. Такий підхід до побудови рівнянь руху відомий у теорії динаміки твердого тіла і застосовувався, зокрема, при дослідженні руху твердого тіла у випадку Лагранжа. У розглянутому випадку руху цей підхід особливо зручний, оскільки гравітаційний і аеродинамічний моменти не впливають на обертання КА відносно осі симетрії і не залежать від повороту супутника відносно цієї осі. Врахування цього факту дозволило досить просто побудувати скалярну форму рівнянь руху:

що зручні для проведення лінеаризації у випадку зміщенності квазістаціонарного положення супутника (, - проекції зовнішніх моментів на відповідні осі напівзв'язаної СК).

Для руху КА в режимі гравітаційної стабілізації показано, що зсув квазістаціонарного положення осі симетрії супутника відбувається тільки в площині орбіти. Рівняння для визначення кута зсуву практично співпадає з рівнянням (4) для випадку колових орбіт. Залишаються справедливими і висновки четвертого розділу щодо кута зсуву.

Побудовано рівняння малих коливань КА біля зміщенного положення , 0.

(10)

; ; ;

; ; ;

;

- стала для заданої орбіти величина, що близька до одиниці;

- мала величина; - кутова швидкість обертання Землі; штрихи означають диференціювання по безрозмірному часу

.

З (10) видно, що в лінійному наближенні коливання вздовж площини орбіти не залежать від поперечних коливань КА. Рівняння для аналогічне рівнянню руху супутника в площині колових орбіт (див. рівняння (5) при 0). Підставляючи розв'язок рівняння для у перше рівняння (10), отримаємо рівняння поперечних коливань КА, яке також, як і рівняння коливань у площині орбіти, є рівнянням типу Хілла.

На основі запропонованої методики побудовано наближений розв'язок рівняння малих поперечних коливань при відсутності резонансів:

де , - початкові умови;

- амплітуда вимушених коливань з частотою ;

; ; - значення аргументу широти в початковий момент часу 0; , 2, 3;

; .

Із цього розв'язку видно, що в нерезонансних випадках амплітуда поперечних коливань значно менша, ніж амплітуда коливань вздовж площини орбіти (1).

Чисельні дослідження вихідних рівнянь руху показали достатньо високу точність отриманих наближених розв'язків і підтвердили вірність висновків.

Розглянуто можливість виникнення резонансів у поперечних коливаннях, що обумовлені змінністю АМ. Показано, що можливі лінійний і параметричні резонанси, виникнення яких може бути викликано як коливаннями супутника вздовж площини орбіти, так і обертанням атмосфери і зміщенністю квазістаціонарного положення осі симетрії супутника. Лінійний резонанс 2, що має місце при 1, обумовлений спільним впливом обертання атмосфери і змінності щільності атмосфери. Такий резонанс відомий в динаміці космічних тросових систем. Врахування зміщенності квазістаціонарного положення осі симетрії КА показало, що у випадку, коли 1, виникає не тільки лінійний, але й параметричний резонанс. Цей резонанс обумовлений вимушеними аеродинамічними коливаннями КА вздовж площини орбіти з подвоєною орбітальною частотою. Показано, що один з параметричних резонансів, що обумовлений власними коливаннями КА вздовж площини орбіти, може мати місце практично при будь-якому співвідношенні моментів інерції КА.

ВИСНОВКИ

1. У дисертаційній роботі розв'язано задачу визначення основних закономірностей впливу змінності АМ на рух супутників у режимі гравітаційної стабілізації, яка є важливою задачею динаміки твердого тіла.

2. Побудовано математичну модель АМ, що враховує змінність щільності атмосфери на орбіті і залежність АМ від орієнтації супутника відносно набіжного потоку. Ця модель дозволяє проводити аналітичні дослідження динаміки КА і підвищує точність описання АМ у порівнянні з моделями АМ, що раніше використовувалися при аналітичних дослідженнях відносного руху супутників.

3. Визначено нові закономірності руху супутника відносно центру мас. Показано, що в лінійному наближенні коливання вздовж площини орбіти (по куту тангажу) не залежать від поперечних коливань КА (по куту крену). Коливання вздовж площини орбіти відбуваються відносно зміщеного квазістаціонарного положення поздовжньої осі супутника, яке визначається рівністю гравітаційного і аеродинамічного моментів при постійній, рівній середній, щільності атмосфери. Кут зсуву і амплітуди вимушених аеродинамічних коливань КА в розглянутому режимі руху практично не взаємозалежні. Розглянутий клас КА характеризується низькою динамічною жорсткістю при гармонійному збурюванні руху з орбітальною частотою, що може приводити до вимушених аеродинамічних коливань КА з великою амплітудою і до суттєвого зниження точності їх стабілізації; амплітуда коливань в площині орбіти може в декілька разів перевищувати величину кута зсуву. Вимушені коливання КА на слабоеліптичних орбітах можна розглядати як просту суму ексцентриситетних і аеродинамічних коливань; амплітуда аеродинамічних коливань може майже в 80 разів перевершувати амплітуду ексцентриситетних коливань; за певних умов можливе взаємне гасіння ексцентриситетних і аеродинамічних коливань. У русі КА вздовж площини орбіти може спостерігатися головний параметричний резонанс, що обумовлений близькістю подвоєної частоти власних коливань до потроєної частоти орбітального руху; інші лінійні і головні параметричні резонанси в розглянутому випадку неможливі; область нестійкості коливань при резонансі дуже вузька; зміни амплітуди резонансних коливань на проміжку часу біля 50 витків по орбіті не перевершують одиниць відсотків від амплітуди вимушених аеродинамічних коливань. При певних частотах власних коливань КА, що в першу чергу залежать від співвідношення моментів інерції, можливе виникнення лінійного і параметричних резонансів у поперечних коливаннях КА. Їх причинами можуть бути як коливання КА вздовж площини орбіти (по куту тангажу), так і змінність щільності атмосфери, її обертання і зсув квазістаціонарного положення осі симетрії КА. Зміщенність середнього положення осі симетрії КА, що раніше не враховувалася, призводить до появи при 1 не тільки лінійного, а й параметричного резонансу.

4. Розвинено методи дослідження руху супутника в режимі гравітаційної стабілізації. Розвинено методи дослідження властивостей розв'язків рівнянь типу Хілла. Показано, що в області стійкості розв'язку існує область параметрів, в якій можливими є рухи з настільки великою амплітудою, що втрачається фізична і технічна стійкість руху системи. Розвинено метод побудови скалярних рівнянь просторового руху осесиметричного КА відносно центру мас під дією гравітаційного і аеродинамічного моментів. Побудовано модель поступального-обертального руху супутника, що використовує нові уточнені форми рівнянь збуреного кеплерового руху по майже коловим орбітам.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Маслова А.И. Построение аналитических приближений аэродинамического момента, действующего на гравитационно-стабилизированный КА / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // Вісник Дніпропетровського університету. Серія "Ракетно-космічна техніка". - 2007. - № 9, Вип. 11. - С. 72-77.

2. Маслова А.И. Аппроксимация момента аэродинамических сил, действующих на космический аппарат с гравитационной системой стабилизации / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // Техническая механика. - 2008. - № 1. - С. 9-20.

3. Маслова А.И. К моделированию аэродинамического момента, действующего на спутник / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // Космические исследования. - 2010. - Т. 48, № 4. - С. 371-379.

4. Маслова А.И. Изменения плотности атмосферы при движении космических аппаратов на низких околоземных орбитах / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // Космічна наука і технологія. - 2009. - Т. 15, № 1. - С. 13-18.

5. Маслова А.И. Модель поступательно-вращательного движения КА для исследования влияния переменности плотности атмосферы на относительное движение / А.И. Маслова // Вісник Дніпропетровського університету. Серія "Ракетно-космічна техніка". - 2009. - № 4, Вип. 13. - С. 40-48.

6. Маслова А.И. Влияние переменности аэродинамического момента на динамику гравитационно-стабилизированного КА в плоскости круговой орбиты / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // Техническая механика. - 2009. - №. 3. - С. 87-97.

7. Маслова А.И. Влияние переменности аэродинамического момента на динамику гравитационно стабилизированного КА в плоскости слабоэллиптической орбиты / А.И. Маслова // Техническая механика. - 2009. - №. 4. - С. 68-76.

8. Маслова А.И. Пространственное движение КА относительно центра масс с учетом переменности аэродинамического момента / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // Техническая механика. - 2010. - №. 3. - С. 51-62.

9. Маслова А.И. Аппроксимация момента аэродинамических сил, действующих на гравитационно-стабилизированный космический аппарат / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // IX Міжнародна молодіжна науково-практична конференція "Людина і Космос": збірник тез. - Дніпропетровськ, 2007. - С. 128.

10. Маслова А.И. Моделирование аэродинамического момента для космического аппарата с гравитационной системой стабилизации / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // Международная конференция "Классические задачи динамики твердого тела": тезисы докладов. - Донецк: ИПММ НАНУ, 2007. - C. 54.

11. Маслова А.И. Изменения плотности атмосферы при движении космических аппаратов по орбите / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // II Международная научно-практическая конференция "Университетские микроспутники - перспективы и реальность": сборник материалов конференции. - Днепропетровск, 2007. - С. 43-46.

12. Маслова А.И. Колебания КА в плоскости круговой орбиты с учетом переменности аэродинамического момента / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // Х Міжнародна молодіжна науково-практична конференція "Людина і космос": збірник тез. - Дніпропетровськ, 2008. - С. 139.

13. Маслова А.И. Движение КА в плоскости слабоэллиптической орбиты с учетом переменности аэродинамического момента / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // Международная научно-практическая конференция "Информационные технологи в управлении сложными системами": сборник докладов и тезисов. - Днепропетровск, 2008. - С. 99.

14. Маслова А.И. Либрационное движение КА в плоскости орбиты с учетом переменности аэродинамического момента / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // 10 Международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела": тезисы докладов. - Донецк, 2008. - С. 63-64.

15. Маслова А.И. О влиянии аэродинамического момента на точность ориентации КА с гравитационной системой стабилизации / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // ХІ Міжнародна молодіжна науково-практична конференція "Людина і космос": збірник тез. - Дніпропетровськ, 2009. - С. 125.

16. Маслова А.И. Модель пространственного движения КА для исследования влияния переменности аэродинамического момента на относительное движение / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // ХІІ Міжнародна науково-практична конференція "Людина і космос": збірник тез. - Дніпропетровськ, 2010. - С. 135.

АНОТАЦІЇ

Маслова А.І. Вплив змінності аеродинамічного моменту на рух гравітаційно-стабілізованих космічних апаратів відносно центру мас. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 - теоретична механіка. - Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ, 2011.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню руху в навколоземному просторі гравітаційно-стабілізованого супутника, як твердого тіла, відносно центру мас. Враховано змінність аеродинамічного моменту в залежності від орієнтації супутника відносно набіжного потоку та змінність щільності атмосфери на орбіті, що обумовлена: здуттям атмосфери на сонячній стороні Землі; змінністю висоти орбіти через несферичність гравітаційного поля Землі; змінністю висоти орбіти через еліптичність орбіти.

Побудовано та використано при дослідженнях руху супутників математичну модель аеродинамічного моменту, що враховує його змінність та придатна для аналітичних досліджень динаміки супутників. Розвинено методи дослідження руху супутника в режимі гравітаційної стабілізації. Визначено нові закономірності руху супутника відносно центру мас та показано, що змінність аеродинамічного моменту може суттєво погіршити точність орієнтації розглянутого класу супутників.

Ключові слова: гравітаційно-стабілізований космічний апарат, аеродинамічний момент, рух відносно центру мас, змінність щільності атмосфери, рівняння Хілла, параметричний резонанс.

Маслова А.И. Влияние переменности аэродинамического момента на движение гравитационно-стабилизированных космических аппаратов относительно центра масс. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 - теоретическая механика. - Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 2011.

Диссертационная работа посвящена исследованиям движения относительно центра масс в околоземном пространстве гравитационно-стабилизированного спутника, как твердого тела. Учитывается переменность аэродинамического момента в зависимости от ориентации спутника относительно набегающего потока и изменений плотности атмосферы на орбите, которые обусловлены: вздутием атмосферы на солнечной стороне Земли; изменениями высоты орбиты из-за несферичности Земли; изменениями высоты орбиты из-за эллиптичности орбиты.

Построена и использована при исследованиях движения спутников математическая модель аэродинамического момента, которая учитывает его переменность и пригодна для аналитических исследований динамики спутников. Эта модель согласована с положениями динамики разреженных газов и моделями аэродинамического момента, используемыми разработчиками космических аппаратов.

Развиты методы исследования движения спутника в режиме гравитационной стабилизации. Показано, что малые колебания спутника описываются уравнением типа Хилла с периодической правой частью и разработана методика исследования свойств решений таких уравнений. Использован нетрадиционный подход к выводу уравнений пространственного движения осесимметричного спутника, удобный для исследования его колебаний относительно смещенного положения оси симметрии под действием гравитационного и аэродинамического моментов. Построена модель поступательно-вращательного движения спутника с использованием новых уточненных уравнений возмущенного кеплерова движения по почти круговым орбитам.

Определены новые закономерности движения спутника относительно центра масс в околоземном пространстве. Показано, что переменность аэродинамического момента может оказывать существенное влияние на движение спутников относительно центра масс и значительно ухудшать точность их ориентации. Найдены аналитические выражения, описывающие в нерезонансных случаях амплитуды вынужденных аэродинамических колебаний спутника, обусловленных переменностью плотности атмосферы на орбите. Проанализировано влияние инерционных и аэродинамических характеристик спутника на амплитуды вынужденных колебаний и даны качественные механические интерпретации полученных результатов. Показано, что амплитуды вынужденных аэродинамических колебаний могут почти на два порядка превосходить амплитуды вынужденных эксцентриситетных колебаний; показана возможность взаимного гашения вынужденных эксцентриситетных и аэродинамических колебаний при сравнимых амплитудах этих колебаний. Проведен анализ возможности возникновения резонансных режимов движения. Показано, что в движении спутника вдоль плоскости орбиты возможен главный параметрический резонанс, обусловленный переменностью коэффициента аэродинамического момента и переменностью плотности атмосферы на орбите. Показано, что в поперечных колебаниях спутника возможны линейный и параметрические резонансы, возникновение которых может быть вызвано как колебаниями спутника вдоль плоскости орбиты, так и вращением атмосферы и смущённостью квазистационарного положения оси симметрии спутника.

Ключевые слова: гравитационно-стабилизированный космический аппарат, аэродинамический момент, движение относительно центра масс, переменность плотности атмосферы, уравнение Хилла, параметрический резонанс.

Maslova A.I. Influence of the aerodynamic moment variability on the gravity stabilized spacecraft motion relative to the center of mass. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree in specialty 01.02.01 - theoretical mechanics. - S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2011.

The thesis is devoted to research of gravity stabilized spacecraft motion relative to the center of mass in near-Earth space. Spacecraft is taken as a solid body. Aerodynamic moment variability is taken into account depending on spacecraft orientation relative to incident flow and atmospheric density changes in orbit caused by: swelling of atmosphere on the Earth solar side; changes of orbital height due to the Earth nonsphericity; changes of orbital height due to orbit ellipticity.

A mathematical model of the aerodynamic moment taking into account its variability and suitable to spacecraft dynamic analytical research is developed and used at spacecraft motion research. Methods to investigate spacecraft motion under gravitational stabilization are developed. New regularities of spacecraft motion relative to the center of mass are determined and it is shown that aerodynamic moment variability can significantly deteriorate orientation accuracy of considered class of satellites.

Keywords: gravity stabilized spacecraft, aerodynamic moment, motion relative to the center of mass, atmosphere density change, Hill equation, parametric resonance.

Размещено на Allbest.ru

...