Определение гравитационного потенциала

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Основные сведения о гравитационном поле и фигуре планеты

Ньютон первым понял, что из-за вращения Земли её фигура должна быть не сферой, а эллипсоидом вращения, т.е. Земля сплющена у полюсов и растянута в экваториальной зоне. Ньютон впервые вычислил сжатие Земли б:

где a - экваториальный радиус, b - полярный радиус планеты. Правда, полученное им число б=1/230 (?0.00435) было ещё весьма неточным.

Заключение Ньютона о сжатии Земли оспаривалось многими учёными, в числе которых был знаменитый французский астроном Кассини Ж.Д. Для проверки того, сжата Земля у полюсов, или вытянута, в середине XVIII в. академией наук Франции были организованы экспедиции для выполнения градусных измерений на различных широтах нашей планеты. В результате проделанных измерений было подтверждено, что фигура Земли представляет собой сплюснутый сфероид, полярная ось которого примерно на 20 км меньше экваториальной. Точка зрения Ньютона о сплюснутости фигуры Земли получила экспериментальное подтверждение, благодаря чему она была признана другими учёными.

Моменты инерции планеты

Тензор инерции твёрдого тела задаётся матрицей:

- главные (диагональные) моменты инерции,

- центробежные моменты (произведения) инерции.

В системе координат главных осей инерции он приобретает диагональный вид:

По главной оси расположены осевой С и экваториальные А и B моменты инерции.

Симметричный тензор можно привести к диагональному виду, выбрав такую систему координат, определяемую формой тела, в которой все элементы вне диагоналей будут равны нулю. Соответствующие направления координатных осей называются главными осями инерции.

Пренебрегая трехосностью Земли, можно считать А=B.

Cредний момент инерции при этом даётся выражением

Очевидно, что моменты инерции зависят от распределения масс внутри Земли. Уравнение состояния (зависимость плотности от давления) планеты может быть получено на основе данных сейсмологии, информации о гравитационном и магнитном полях, на основе моделей недр.

Важным дополнительным параметром для определения соотношения между C и А, помимо J₂, является постоянная прецессии:

определяющая период прецессии оси планеты и измеряемая на основе астрономических наблюдений ().

Распределение плотности в недрах планеты существенно влияет на средний момент инерции I и, наоборот, значение I, определённое экспериментально, контролирует распределение плотности при модельных расчётах.

Введём ещё одну важную характеристику - безразмерный момент инерции

В случае планеты постоянной равномерно распределённой плотности её безразмерный момент инерции I^* равен 0.4. Легко убедиться путём непосредственных численных расчётов, что при росте плотности в недрах планеты от периферии к центру величина I? будет принимать значение, меньшее 0.4. Наоборот, если в планете происходит уменьшение плотности c глубиной, то значение I? будет превосходить предельное значение, равное 0.4 (полых планет пока не обнаружено).

В недрах планет действуют заметные гравитационные поля, и если в процессе эволюции планеты в её недрах возникают зоны пониженной плотности под областями более высокой плотности, то возникают мощные архимедовы силы, стремящиеся вытолкнуть разуплотненные области ближе к поверхности. В таком случае считается, что в планете нарушено состояние механического равновесия, возникают напряжения. Поэтому средняя плотность является возрастающей функцией глубины, и её возрастание происходит за счёт сжатия под влиянием давления вышележащих слоёв, за счёт роста с глубиной концентрации тяжёлой компоненты и иногда из-за уплотнения при фазовых переходах при высоких давлениях.

В глубинных недрах существуют и процессы, приводящие к понижению плотности. Основные из них являются: повышение температуры, плавление, частичное (или фракционное) плавление с выделением компоненты с меньшей плотностью.

Эти процессы, однако, менее эффективны и оказывают не такое серьёзное воздействие, как процессы, приводящие к росту плотности планеты с глубиной.

Гравитационный потенциал и коэффициент J2

Потенциалом принято называть работу, которую нужно совершить, чтобы переместить материальную точку единичной массы из заданной точки в бесконечно удалённую. Пусть F есть вектор силы (записан в столбец), приложенной к материальной точке, r - радиус-вектор этой точки. Тогда потенциалом в данной точке будет величина:

Выражение под интегралом в данной формуле является полным дифференциалом силовой функции, т.е.

т.к. силовую функцию в бесконечно удалённой точке можно приравнять нулю (V(?) = 0).

В геофизике под термином гравитационный потенциал понимается силовая функция.

Согласно фундаментальному закону Ньютона, две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними.

Выберем систему координат так, чтобы одна из материальных точек оказалась в начале координат этой системы. Тогда другая материальная точка будет иметь радиус-вектор r.

Вектор напряжённости гравитационного поля в точке с радиус-вектором r равен силе, которая действует на материальную точку единичной массы. Вектор этой силы можно записать следующей формулой:

Где - гравитационная постоянная. Абсолютная величина вектора F равна:

Соответственно, гравитационный потенциал точки (силовая функция) равен:

где - расстояние между притягивающимися точками (скалярная величина).

Исходя из принципа суперпозиции, гравитационный потенциал точек равен сумме их гравитационных потенциалов:

Пусть точек бесконечно много, а массы их бесконечно малы. Тогда:

где - расстояние между фиксированной точкой P, в которой измеряется потенциал, и элементом притягивающей единичной массы .

Пусть - координаты точки P, а о, з, ж - координаты текущей точки с массой dm; тогда гравитационный потенциал можно переписать в виде следующей формулы:

Большинство крупных небесных тел имеет форму, близкую к сферической. Поэтому важно определить гравитационный потенциал шара. Для упрощения задачи предполагаем, что плотность шара зависит только от расстояния до его центра. Такой шар имеет силу притяжения точно такую же, как и материальная точка с массой, равной массе шара и находящаяся в его центре. Потенциалом шара будет:

где r - расстояние от центра сферы, GM - планетоцентрическая постоянная.

Однако, поскольку наша планета не является строго сферической, ограничиться при записи её гравитационного потенциала только потенциалом шара можно лишь на больших расстояниях. Основная составляющая отклонения гравитационного поля планеты от сферического вызвано её сжатием у полюсов. Роль играют и другие неоднородности фигуры планеты - её грушевидность и т.д. В данном исследовании мы сосредоточимся именно на сжатии, вносящим наиболее значительный вклад.

Отклонение внешнего гравитационного поля Земли от потенциала шара достаточно мало, порядка одной трёхсотой и меньше. Несмотря на это, его стоит учитывать и изучать, так как оно содержит ценную информацию о колебаниях плотности в недрах планеты, различии моментов инерции планеты относительно её полярной и экваториальной осей и об отклонении планетарных недр от состояния гидростатического равновесия.

С учётом неоднородностей фигуры планеты, разложение гравитационного поля в ряд Лапласа с последующим переходом к полиномам Лежандра даёт для гравитационного потенциала осесимметричного тела формулу:

Нечетные члены отсутствуют, поскольку поле такой планеты симметрично относительно экватора (теорема Лихтенштейна).

Ограничиваясь первым членом суммы, получаем

- гравитационный момент, a - экваториальный радиус Земли,

- второй полином Лежандра, A и С - главные моменты инерции, и - полярный угол, равный дополнению широты до , т.е. .

До запусков ИСЗ за счёт наземных измерений удалось определить первый поправочный член J₂ к основной части гравитационного потенциала Земли. В спутниковую эпоху точность определения существенно возросла.

2. Характеристики планет Солнечной системы

Значение гравиметрии для изучения внутреннего строения планет очень велико. Для планет Солнечной системы пока отсутствуют сейсмические данные и масштабные геофизические измерения. Однако наблюдения за естественными спутниками, имеющимися у большинства планет, позволяют получить сведения об их гравитационном поле и, таким образом, указания о распределении масс в её недрах. Долгое время при построении моделей внутреннего строения планет использовались только наблюдательные данные об их гравитационном поле совместно со значением средней плотности.

С запуском искусственных спутников к планетам Солнечной системы человечеству стало доступно гораздо больше данных о гравитационном поле небесных тел. Наблюдение за траекторией полёта космического аппарата позволяет с достаточно высокой точностью оценить возмущения, оказываемые на неё гравитационным полем планет.

За последние годы благодаря космическим аппаратам, совершавшим пролёты мимо планет Солнечной системы, были получены уточнённые данные об особенностях их гравитационного поля и фигуры. Так, к примеру, автоматическая межпланетная станция «MESSENGER», вышедшая в 2011 году на орбиту Меркурия, позволила уточнить данные о гравитационном поле этой планеты, которые имелись у учёных на тот момент.

Таблица 1. Данные о коэффициенте гравитационного потенциала J2, безразмерном моменте инерции I* и сжатии планет Солнечной системы и Луны [6], [7], [8], [9]

Значения сжатия планеты, равное 0, означает, что на современном уровне точности его определения планету можно считать сферической.

3. Расчёт сжатия б по формуле Клеро и сравнение с наблюдаемыми значениями

Теория фигуры планет во многом ведёт своё начало от работы французского математика А.К. Клеро «Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики», опубликованной в 1743 г. Основываясь на законе всемирного тяготения, Клеро показал, что ускорение силы тяжести на поверхности Земли как функция широты изменяется по закону:

где ? - широта места, - ускорение силы тяжести на экваторе, (- отношение центробежной силы к силе тяжести на экваторе, - угловая скорость вращения Земли, a - её экваториальный радиус).

Теорема Клеро позволяет определить сжатие б независимо от определения геометрических элементов путём градусных измерений. Согласно теории Клеро, чтобы определить сжатие планеты б, достаточно определить гравитационной потенциал на её поверхности.

Соответственно, сжатие земного сфероида б простым образом связано с J₂, угловой скоростью вращения Земли щ, полной массой M и экваториальным радиусом a:

где - период обращения планеты.

Для проверки выполнения теории Клеро нами были проведены расчёты по формуле (1) с использованием известных на сегодня значений параметров планет. Для расчётов потребовались величины из таблицы 2:

Таблица 2. Экваториальный радиус, планетоцентрическая постоянная и наблюдаемый период обращения планет Солнечной системы и Луны

Полученные значения таковы:

Таблица 3. Вычисленное значение q, а также сравнение расчётной и наблюдаемой величины сжатия планет Солнечной системы и Луны

Видно, что для всех планет Солнечной системы результат вычислений практически совпал с наблюдаемым значением сжатия. Единственное отличие есть только в случае с Луной.

4. Расчёт периода обращения по формуле Дарвина-Радо и сравнение с наблюдаемыми значениями

Единственно устойчивой равновесной фигурой жидкости в состоянии покоя является сфера (теорема Ляпунова). Из-за этого форма планет Солнечной системы приближена к сферической. Планеты приобретают форму, как если бы они находились в жидком состоянии (при этом поверхность равного потенциала была бы очень близка с поверхностью планеты). Однако чаще всего это не так, что свидетельствуют об отклонениях от состояния гидростатического равновесия.

Исследования показали, что потенциал притяжения гидростатически равновесной планеты содержит лишь чётные зональные гармоники:

Отсутствие нечётных коэффициентов J_2k связано с симметрией такого вращающегося гидростатически равновесного тела не только относительно оси вращения, но и относительно экватора (теорема Лихтенштейна).

Соотношение Дарвина-Радо связывает коэффициент J2, сжатие планеты, параметры её вращения и безразмерный момент инерции. При выведении этого соотношения считалось, что небесное тело находится в гидростатически равновесном состоянии. Следовательно, эту формулу можно использовать, чтобы оценить, как отличается современное наблюдаемое вращение планет от вращения, которое было бы, если бы она находилась в состоянии гидростатического равновесия.

Формула Радо-Дарвина относительно периода:

Таблица 4. Средняя плотность планет Солнечной системы (включая Луну), а также сравнение наблюдаемых периодов вращения и периода вращения планеты в равновесном состоянии

Получено, что в состоянии гидростатического равновесия планеты вращались бы гораздо быстрее, чем они вращаются в своём нынешнем состоянии. В случае с планетами земной группы такое соотношение полностью оправдано: они имеют твёрдую поверхность, сформированную в результате метеоритных бомбардировок и тектонической активности; в недрах этих планет действуют неравномерные напряжения.

Интересно отметить, что период обращения планет-гигантов также существенно отличается от периода их гидростатически равновесного состояния. Это может говорить о том, что в их недрах также присутствуют плотностные неоднородности.

5. Современные наблюдения за J2. SLR-метод

Лазерная локация спутников (SLR, Satellite Laser Ranging) - это широко применяемая в геодезии методика определения орбит. На основе изменений расстояний до спутника с установленными на его борту лазерными отражателями со множества станций на Земле определяются координаты спутника. Наносекундные импульсы лазера позволяют осуществить за один сеанс миллиарды измерений дальности, и на основе обработки таких измерений точность определения координат спутника достигает нескольких сантиметров и даже миллиметров.

Неоднородности фигуры Земли вызывают возмущения в движении космических аппаратов. Эти возмущения можно приблизительно вычислить на базе теории, и сравнить в дальнейшем с наблюдаемым положением спутника. Полученное значение рассогласования позволяет уточнить величины возмущений, вносимого неоднородностями фигуры планеты.

Таким образом, чем точнее были определены координаты спутника, тем точнее можно определить параметры гравитационного поля, в том числе коэффициент гравитационного потенциала J₂.

На данный момент на орбите Земли работает несколько спутников, осуществляющих лазерную локацию планеты. На базе их наблюдений, находящихся в открытом доступе [10], [11], был составлен временной ряд для отклонений коэффициента J₂ от базового значения (рис.):

Вариации коэффициента гравитационного потенциала J2, полученные методом лазерной локации за период с 1976 по 2016 год

Размещено на Allbest.ru