Розв'язок задач навігації космічних апаратів з використанням нелінійних за параметрами моделей їх руху

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 621.396.968

розв'язок задач навігації космічних апаратів з використанням нелінійних за параметрами моделей їх руху

Харченко В. П. Писарчук О. О.

У статті розглянуто розв'язок задачі навігації космічних апаратів з використанням нелінійних за параметрами моделей для визначення початкових умов руху об'єкту спостереження. Запропоновано методику побудови нелінійних моделей з використанням методу рівних площин у зміщених диференціально-нетейлорівських перетвореннях. Приклад застосування розробленої методики доводить її ефективність для оперативного та точного визначення початкових умов руху космічних апаратів.

рух космічний апарат модель

Актуальність досліджень

Складно визначити прикладні сфери науки, техніки чи економіки де б не застосовувались результати, отримані в космічній галузі. Це зв'язок і навігація, дистанційне зондування Землі і метеорологія, телебачення та інше [1, 2]. Значною мірою якість розв'язку цільових задач космічними системами залежить від ефективності процесу навігації космічними апаратами (КА): спостереження за траєкторією руху, визначення його місцеположення (початкових умов руху (ПУ)) формування команд управління тощо. З огляду на зазначене, ставляться жорсткі вимоги до ефективності навігації КА і відповідно до оперативності та точності визначення ПУ їх руху. Таким чином, актуальною постає задача оперативного та високоточного визначення ПУ руху КА.

Аналіз існуючих підходів

Визначення ПУ руху КА здійснюється шляхом статистичної обробки експериментальної вибірки даних - дискретних вимірів обраної координати об'єкта спостереження. Базовим для ефективного застосування статистичних алгоритмів обробки експериментальних даних є використання адекватної математичної моделі досліджуваного процесу. З огляду на нелінійний характер руху КА, особливо на ділянках апогею, перигею, при корегуючих маневрах адекватна модель його руху, що використовуватиметься у статистичних алгоритмах обробки експериментальних даних матиме, складний, нелінійний вигляд. Задача побудови математичних моделей досліджуваних процесів за експериментальними даними розв'язувалась у роботах багатьох авторів [2-6]. При цьому відтворення нелінійності досліджуваних процесів досягається використанням високоступеневого поліноміального згладжування, нелінійних за параметрами моделей з подальшою їх лінеаризацією або числового розв'язку утворених нелінійних рівнянь. Однак поліноміальне згладжування не враховує апріорної інформації про вигляд нелінійної моделі досліджуваного процесу. Традиційним підходам щодо побудови нелінійних моделей властиві недоліки, які знижують точність вихідної інформації. Так, недостатньо уваги приділено питанню зменшення впливу випадкових та динамічних похибок лінеаризованих моделей на нелінійну за параметрами модель. Має місце значна обчислювальна складність процедур пошуку параметрів нелінійних моделей з використанням числових розв'язків та залежність точності отримуваних рішень від можливостей застосовуваних числових методів. При цьому відсутність кінцевих аналітичних алгоритмів згладжування не дозволяє сформувати уніфіковану форму побудови нелінійних математичних моделей. Крім того, існуючі підходи з побудови нелінійних за параметрами моделей складно застосовувати для моделей із значними нелінійностями, наприклад, заданих диференціальними рівняннями (ДР).

Таким чином, метою статті є розробка підходу щодо побудови нелінійних за параметрами моделей руху КА за експериментальними даними.

Виклад основного матеріалу

Загалом можна виділити два основні підходи щодо дослідження процесів методом моделювання, а саме: суто теоретичний і суто емпіричний [7]. Перший підхід використовує аналітичні методи і застосовується, коли встановлено закони, що описують зміну досліджуваного процесу. Він забезпечує високу достовірність загальних висновків, зумовлену використанням докладних математичних моделей. Однак відсутність зв'язку з реальними процесами, у тому числі через складність аналітичної форми моделей, не забезпечує їх ефективне застосування. У той же час суто емпіричний підхід прив'язує отримані результати до конкретного процесу і має гірші прогностичні властивості. Отже, найбільш доцільним для побудови математичних моделей є певний теоретико-експериментальний підхід, що враховує інформацію про аналітичний опис досліджуваного процесу й експериментальні дані для визначення параметрів моделей. Реалізувати зазначене дозволяє використання методу диференціальних перетворень (ДП) для дослідження складних нелінійних процесів.

Диференціальні перетворення - це операційний метод, основи якого закладені академіком Національної академії наук України Г. Є. Пуховим, що базується на переведенні оригіналів в область зображень за допомогою операції диференціювання. Диференціальні перетворення в загальному випадку - це функціональні перетворення вигляду [8-9]:

, (1)

, (2)

де - значення аргументу, при якому проводиться перетворення; - дискретна функція цілочисельного аргументу ; - відрізок аргументу, на якому розглядається функція ; - відновлююча або апроксимуюча функція; - сукупність вільних коефіцієнтів .

Вираз (1) визначає пряме перетворення, яке дозволяє за оригіналом знайти зображення . Обернене перетворення, що відновлює оригінал у вигляді апроксимуючої функції, визначається виразом (2). Диференціальне зображення прийнято називати диференціальним спектром (ДС), або P-спектром, а значення функції при конкретних значеннях аргументу - дискретами ДС, або P-дискретами. У найпростішому випадку відновлююча функція має вигляд багаточлена, а відновлення оригіналу зводиться до підсумовування дискрет P-спектра у вигляді відрізка ряду Тейлора. Диференціальні перетворення в цьому випадку називають основними, або диференціально-тейлорівськими [8, 9]. Їх недоліком є невеликий інтервал точного відновлення досліджуваного процесу через обмежений радіус збіжності ряду Тейлора. Для розширення можливостей використання отриманих методом ДП рішень у [10] запроваджено відновлення оригіналів у вигляді довільних апроксимуючих функцій. У цьому випадку ДП називаються нетейлорівськими (ДНП). Для ДНП вільні коефіцієнти відновлюючої функції можуть визначатися шляхом мінімізації нев'язки між початковою й апроксимуючою функціями за обраним критерієм, що в прийнятих позначеннях має вигляд [10]:

, (3)

де характеризує ДС нев'язкі.

Для основних ДП визначення Р-спектра за виразом (1) здійснюється для нульових значень аргументу . З одного боку, це спрощує подальші перетворення, а з іншого - знижує прогностичні властивості отримуваних моделей. Для розширення властивостей отримуваних методом ДП моделей досліджуваних процесів в [11] запропоновані зміщені ДП, які забезпечують отримання точного розв'язку для довільного значення аргументу функцій. Зміщені диференціальні перетворення являють собою трансформовані базові ДП (1) і (2) вигляду

,

, (4)

, , (5)

де - відповідно прямий і обернений Р-спектри початкової функції; - локальний аргумент, значення якого обирається в межах ; , - пряма та обернена моделі.

Одночасне використання прямих та обернених Р-моделей у схемі ДНП забезпечує певну компенсацію недоліків спрощених апроксимуючих функцій. Отже, при визначенні параметрів нелінійних моделей за експериментальними даними для зниження впливу похибок вимірювання на результати моделювання доцільним є використання зміщених ДП у нетейлорівському базисі.

Сутність розв'язуваної задачі побудови математичної моделі зміни координати для визначення ПУ його руху полягає у такому. Нехай за виміряними даними обраної координати КА згідно алгоритмом класичного методу найменших квадратів (МНК) побудована експериментальна поліноміальна модель . Вважається апріорно відомою нелінійна за параметрами (теоретична) модель досліджуваного процесу у вигляді . Необхідно визначити параметри моделі за відомою експериментальною функцією .

Для розв'язку поставленої задачі застосуємо критерій методу рівних площин (МРП) у ДНП (3) [10]. Такий вибір виправданий, коли побудова нелінійної моделі досліджуваного процесу здійснюється в класі гладких функцій. Відповідно до МРП критерій мінімізації нев'язки між експериментальною та теоретичною моделями формується у такий спосіб:

.(6)

Сутність критерію МРП для побудови нелінійних за параметрами моделей досліджуваних процесів полягає у вимозі рівності площин, обмежених кривими експериментальної та теоретичної моделей на певному обмеженому інтервалі. Для спрощення операції інтегрування переведемо критерій (6) в область зображень, використовуючи основні ДП (1):

,(7)

де - ДС оригіналів і відповідно.

Для визначення параметрів нелінійної моделі необхідно скласти систему з (за кількістю невідомих параметрів теоретичної моделі) рівнянь, керуючись критерієм (6). Для отримання системи рівнянь, розв'язком якої є шукані параметри нелінійної моделі, інтервал інтегрування розбивається на підінтервалів. Так, якщо розглядається загальний інтервал , то підінтервали становлять , , … . Розбиття на підінтервали межі побудови нелінійної моделі дозволяє застосувати технологію і переваги зміщених ДП. Відповідно до зазначеного отримаємо систему рівнянь вигляду

(8)

У системі (8) ДС функцій , подані у припущенні використання основних ДП (1). При цьому збільшення точності відтворення одержуваних аналітичних розв'язків забезпечується використанням нетейлорівського базису у вигляді нелінійної моделі . Для реалізації можливостей зміщених ДП застосуємо ряд послідовних дій. Нехай інтервал спостереження досліджуваного процесу дорівнює , визначимо пряму та обернену моделі функцій і . Згідно зі зміщеними ДП (4) Р-спектр моделей , в початковій точці дорівнює

, . (9)

Використовуючи ДС модельних функцій (9) для початкової точки з урахуванням перетворення (4) можна записати їх прямі й обернені аналоги відповідно в точках .

(10)

Тут поняття прямих й обернених моделей застосовується до пояснення напрямку зміни аргументів функцій, що розглядаються: пряма модель - із зміною аргументу зліва направо; обернена - із зміною аргументу в зворотному до прямої моделі порядку. Отримані таким чином прямі моделі , характеризують досліджуваний процес на інтервалі його спостереження. Властивості зміщених ДП дозволяють сформувати аналітичні функції досліджуваних процесів поза інтервалом спостереження певного процесу у вигляді їх обернених аналогів , . Сумісне використання в розрахунках прямих та обернених моделей дозволяє розширити загальний інтервал відновлення параметрів досліджуваних процесів та компенсувати похибки кінцевих рішень. Застосування обернених моделей аналогічне використанню додаткового інформаційного каналу. Для об'єднання властивостей зміщених і нетейлорівських ДП, з урахуванням отриманих Р-спектрів моделей (10), система (8) трансформується до вигляду

(11)

Розв'язуючи систему (11) відносно , визначимо шукані параметри нелінійної моделі . З урахуванням викладеного можна сформулювати методику побудови нелінійних за параметрами моделей досліджуваних процесів з використанням МРП у зміщених ДНП.

1. Визначення прямої й оберненої Р-моделі вигляду (10), експериментальної і нелінійної моделей згідно з виразами (1), (4).

2. Формування системи рівнянь вигляду (11) шляхом прирівнювання значень інтегралів для функцій , на (за кількістю невідомих параметрів нелінійної моделі ) підінтервалах спостереження досліджуваного процесу. При формуванні системи (11) використання прямих та обернених моделей для підінтервалу чергується послідовно.

3. Розв'язання сформованої в п. 2 методики системи рівнянь відносно шуканих параметрів нелінійної моделі.

Приклад застосування розробленої методики стосується розв'язку задачі визначення ПУ руху КА і демонструє практичний бік використання отримуваних результатів. У практиці навігації КА визначення ПУ їх руху здійснюється в наземних пунктах прийому сигналу з борту КА - командно-вимірювальних системах за результатами обробки вимірюваних масивів, наприклад частоти Доплера прийнятого сигналу, перерахованої в радіальну швидкість. Нехай за результатами обробки вибірки вимірів радіальної швидкості, що характеризує рух КА по коловій орбіті, з використанням МНК отримано поліноміальну модель:

(12)

Відомо, що в межах інтервалу спостереження модель зміни радіальної швидкості можна описати нелінійною за параметрами теоретичною моделлю вигляду

,(13)

де - невідомі параметри, що характеризують зміну досліджуваного процесу.

Необхідно визначити параметри нелінійної моделі . Відповідно до запропонованої методики, з урахуванням уведених позначень, маємо.

1. Пряма й обернена Р-моделі поліноміальної та нелінійної функцій мають значення, наведені виразами

(14)

(15)

2. Для пошуку параметрів нелінійної моделі - , з урахуванням загального вигляду системи рівнянь (11) та Р-спектрів (14), (15), маємо

(16)

3. Розв'язуючи сформовану у такий спосіб систему відносно шуканих параметрів нелінійної моделі, визначено Ідеальні значення параметрів нелінійної моделі вважались відомими і становлять

Результати оцінювання величини динамічної та випадкової похибки відтворення досліджуваного процесу зміни радіальної швидкості КА наведені у табл. 1. Перши три рядки табл. 1 містять абсолютні значення зміни досліджуваного процесу (радіальної швидкості руху КА), отримані з використанням різних підходів до побудови моделей - класичного МНК, запропонованого підходу на базі МРП та еталонні значення. Четвертий та п'ятий рядки характеризують динамічну похибку використання МНК і МРП порівняно з еталоном.

Таблиця 1

Зазначені результати отримані за відсутності випадкових похибок вимірювання експериментальних даних. Для реальних умов визначення радіальної швидкості за вимірами частоти Доплера були проведені розрахунки з величиною середньоквадратичного відхилення похибки визначення радіальної швидкості км/с. Значення випадкової похибки відтворення досліджуваного процесу за моделями, отриманими згідно із запропонованою методикою порівняно з класичним МНК, наведені в останніх двох рядках табл. 1.

Аналіз результатів досліджень показує, що порівняно з традиційним підходом використання запропонованої методики для моделювання змін нелінійного процесу дозволяє підвищити точність його відтворення як за динамічною, так і за випадковою складовими похибок. Отримання виграшу в динамічній точності згладжування пояснюється використанням нелінійної моделі для апроксимації виміряних значень, що є більш адекватним поданням досліджуваного процесу. Підвищення точності згладжування за випадковою складовою похибки пояснюється застосуванням прямих й обернених моделей у ДНП, що забезпечує часткову компенсацію випадкових похибок.

Висновки

Таким чином запропонована методика базується на використанні МРП при наближенні експериментальних та теоретичних функцій. Відзнакою даної методики є поєднання у межах розв'язку єдиної задачі побудови нелінійних за параметрами моделей досліджуваних процесів позитивних можливостей нетейлорівських та зміщених ДП.

Результати застосування розробленої методики для розв'язку практичної задачі визначення ПУ руху КА довели її ефективність за критерієм точності кінцевих результатів. У свою чергу, підвищення точності визначення ПУ забезпечує підвищення якості розв'язку цільової задачі навігації КА.

Список використаних джерел

1. Конин В. В., Xарченко В. П. Системы спутниковой радионавигации. - К. : Холтекс, 2010. - 520 с.

2. Беляевский Л. С., Новиков В. С., Олянюк П. В. Обработка и отображение радионавигационной информации. Под ред. проф. П. В. Олянюка. - М. : Радио и связь, 1990. - 232 с.

3. Кузьмин С. З. Цифровая радиолокация. Введение в теорию. - К. : Издательство “КВІЦ”, 2000. - 428 с.

4. Сейдж Э., Мелс Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении / Пер с англ. под ред. проф. Левина Б.Р. - М. : Связь, 1976. - 496с.

5. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. - М.: Сов. радио, 1978. - 384 с.

6. Кунцевич В. М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в задачах управления и идентификации. - К. : Наук. думка, 2006. - 264с.

7. Борисов Ю. П. Цветков В. В. Математическое моделирование радиотехнических систем и устройств. - М. : Радио и связь, 1985. - 346 с.

8. Пухов Г. Е. Дифференциальный анализ электрических цепей. - К. : Наук. думка, 1982. - 496 с.

9. Пухов Г. Е. Диференциальные преобразования и математическое моделирование физических процессов. - К. : Наук. Думка, 1986. - 159 с.

10. Пухов Г. Е. Приближенные методы математического моделирования, основанные на применении дифференциальных Т - преобразований. - К.: Наук. думка, 1988. - 216 с.

11. Пухов Г .Е. Дифференциальные спектры и модели. - К. : Наук. думка, 1990. - 184 с.

Размещено на Allbest.ru