Размещено на http://www.allbest.ru/

Евразийский национальный университет имени Л. Н. Гумилева

Периодические возмущения, воздействующие на космический аппарат в экваториальной орбите Марса, вызванные увеличением и уменьшением полярных шапок планеты

Шахан Мухамедали Халилуллаулы магистрант,

кафедра космической техники и технологии

Аннотация

в этой статье мы покажем, что периодические изменения коэффициента гравитации планеты вызывают на данном семействе экваториальных орбит малые периодические возмущения, и что эти возмущения можно измерить с помощью современных технологий. С этой целью мы сначала рассмотрим теорию Пуанкаре на уравнениях движений Ньютона. Затем, с помощью теории Флоке, мы показали, что в отличие от механизма возбуждения, возмущения являются непериодическими и что орбита не стабильна. Мы даем полную теорию на случай планеты Марс.

Ключевые слова: периодические возмущения, теорема Флоке, функция Якоби.

Abstract

we demonstrate in this paper that periodic variations of the gravity coefficient of a planet induce small cumulative perturbations on a given family of circular equatorial orbits, and that these perturbations could be measurable with current radiosciences technology. For this purpose, we first consider a Poincarй expansion of the Newtonian equations of motion. Then, by using Floquet's theory, we demonstrate that, unlike the excitation mechanism, the perturbations are nonperiodic,and that the orbit is not stable. We give the full theory to the case of planet Mars.

Keywords: periodic peturbations, Floquet's Theory, Jacobi function.

Основная часть. Обоснование

Чао и Рубинкам [1] показали, что гармоника Марса подвержена значительным годовым изменениям, поскольку приблизительно одна четвертая часть атмосферы углекислого газа на полярных шапках конденсируется в зимнее время и сублимируются в летнее время (рис. 1).

Рис 1 Модель песочных часов сублимации/конденсации на Марсе

где - произвольная фаза, - колебания долготы дня, - полярный момент инерции

Марса,- угловая скорость вращения Марса,- угловая орбитальная скорость Марса, М - масса планеты, - радиус Марса. В этой статье мы покажем, что эти небольшие изменения могут влиять на возмущения орбиты.

Орбитальная механика

Уравнение движения Ньютона космического зонда, вращающегося вокруг планеты, в декартовой системе координат имеет вид

где , - гравитационная постоянная Марса,- остальная часть гравитационного поля (без учета ),е - глобальный коэффициент масштабирования [3], - сумма всех сил (атмосферное сопротивление (в основном для низко полярных орбит), приливное ускорение Солнца, солнечное давление, релятивистские поправки и т.д.). Величина в данном случае отражает силы c маленькой амплитудой по отношению к центру и . Аналогичным образом обозначили величину .

Теперь рассмотрим зонд, вращающийся вокруг планеты на большой высоте (е ? 0) около экваториальной орбиты (z ? 0) без сопротивления атмосферы (з ? 0).Уравнение примет вид:

(1)

где ,.

Ясно, что третье уравнение отлично от первых двух. Решению третьего соответствуют изменения относительно плоскости орбиты, которая не интересна нам в дальнейшем исследовании.

Если рассмотреть в цилиндрической системе координат (), где ,, то получим:

(1')

Величина выражает угловой момент.

Жезевски [4], [5] показал, что если , то есть если, тогда решением уравнения (1') в эллиптической форме таким

где - эллиптическая функция Якоби. Постоянные и с задаются начальными условиями и обратно пропорциональна перицентру и апоцентру с орбиты. Остальные две постоянные задаются и . Можно сказать, что , где . Постоянная является модулем эллиптической функции Якоби, и . Функции и выражаются

через периодическую функцию t с разными периодами, и определяют «эллипсис» с линией апсиды, медленно вращающейся в экваториальной плоскости с периодом ( полный эллиптический интеграл первого рода). Приблизительное значение угловой скорости вращения линии апсид для не экваториального наклона орбиты i и большой полуоси а можно будет вывести из уравнения Лапласа путем сложения векового смещения , линии узлов и линии апсид : являющейся непрерывной случайной величиной,

гд , ограничивающейся

Функцию Гамильтона для невозмущенного движения можно записать:

(2)

Если , то по теореме Пуанкаре [6] уравнение движения , можно записать следующим образом:

(3)

где - дифференциальные уравнения(ДУ) с нулевыми начальными условиями.

Вставив уравнения(3) в уравнения(1'), и приравняв мы получаем эти ДУ.

В результате получим систему ДУ:

Эту систему можно представить в виде системы ДУ первого порядка, заменив . Мы получим

, с

Аналогичные уравнения можно получить из формулировок Хилла или Лагранжа. Приведенный здесь подход является самым простым. Рассмотрение экваториальной орбиты, позволяет получить очень простое аналитическое решение задачи.

Теория Флоке

Система уравнений (5) является аналогом теории Флоке [7], то есть коэффициент матрицы N периодичен с периодом половины орбиты. Точнее система уравнения (5) является обобщением уравнения Матье [8].

Решением системы уравнения, при , является

(6)

где - решение системы однородной матрицы.

(7)

с являющейся единичной матрицой. Из за единственности решения мы получаем

, .Так как матрица N периодична с периодом T, то есть , теореме Флоке утверждает, что решение явялется псевдопериодичной, и можно записать уравнение в виде , где периодична с . - характеристика константы системы, которой соответствует равенство . Ограничения в решении системы (5) и (7) определяются константой матрицы , точнее спектральным радиусом (наибольшее собственное значение [9]).Следовательно, если 1, однородная система (7) имеет неограниченное множество решений, так же как и неоднородная система, только если заданы специальные (нефизические) начальные условия [10].

Длительные изменения орбиты

Если периодична с несколькими периодами Т, мы имеем ряд изменений геометрических параметров [11].

(8)

где и

Это соотношение показывает, что величина взаимосвязано с изменениями в этой системе за «длительный» период, как ограничивает . Совершенно очевидно, что если отклоняется при , тогда отклоняется тоже, за исключением (и тогда будет периодичностью периода Т). Это не значит, что возмущенное движение является безграничным, однако действие расширения Пуанкаре(3) будет прерван на каком-то периоде. Для того, чтобы получить общий период для N и w, мы просто должны немного изменить высоту космического аппарата для того, чтобы получить целое число орбитальных периодов в течение марсианского года, который затем станет общим периодом T.

Заключение

Численные результаты и выводы

Давайте рассмотрим решение для планеты Марса и его экваториальной орбиты. Период Т экваториальной орбиты радиуса d получена из уравнения(1')

Мы возьмем числовые значения из [15] [16].

атмосфера марс космический ньютон

Также рассчитаем 1 1 10^, или 10 относительно к.

Рассмотрим теперь круговую орбиту за пределами атмосферы на высоте 1000.629961 км (большая полуось равна 4394.829961 км), чтобы в результате получить 6716 орбит/марсианский год равного периоду орбиты 147.266 мин.

Рассчитаем 100 для спектрального радиуса в течение марсианского года исходя из Жорданова формы матрицы С.

В течение первого года, проводим наблюдение за возмущениями на высоте до 172.58 м, со скоростью до 122,69 мм/с. Они измеримы современной технологией, с помощью лазера и эффекта Доплера [17], и постепенно увеличивается со временем(рис. 2 и рис. 3), так как спектральный радиус больше чем в первом и не равно нулю(мы имеем ₀ 112смРазмещено на http://www.allbest.ru/

и ₀ 49 10 ³мм/с). Для наблюдения за этим методом поместим подобный спутник LAGEOS с лазерным кубом [18], оснащенный «активным» лазерным приемником [19] вместо пассивных светоотражателей, в такую орбиту и понаблюдаем в течение длительного времени.

Рис. 2 График изменения возмущений на марсианский год

Рис. 3 График изменения скорости возмущений на марсианский год

Мы полагаем, что эта теория, описанная в этой статье, применима к любому типу орбиты, включая полярные орбиты. Результату исследований препятствует присутствие вековых возмущений.

Литература

1. Chao B. F. and Rubincam D. P. Variations of Mars Gravitational Field and Rotation Due to Seasonal CO2 Exchanges.Journal of Geophysical Research, 1990. P. 95. 14755-14760.

2. Karatekin O., Duron J., Rosenblatt P., Van Hoolst T., Dehant V. and Barriot J. P. Ma 's imeVariableGravity and Its Determination: Simulated Geodesy Experiments. Journal of Geophysical Research-- Planets, 2005. P. 110.

3. Mioc V. and Stavinschi M. (2004) Stability of Satellite Orbits around Nonspherical Planets. Artificial Satellites, 2004. P. 39, 129-133.

4. Jezewski D. J. A Noncanonical Analytic Solution to the J2 Perturbed Two-Body Problem. Celestial Mechanics, 1983. P. 30. 343-361.

5. Jezewski D. J. An Analytical Solution for the J2 Perturbed Equatorial Orbit. Celestial Mechanics, 1983. P. 30, 363-371 http://dx.doi.org/10.1007/BF01375506.

6. Chazy J. Mйcanique Cйles e. P esses Uni e si ai es de F ance, Pa is. 1953.

7. Dieudonnй J. Calcul Infini йsimal. He mann Ed. Paris, 1980.

8. Angot A. Complйmen s de Ma hйma iques. Masson e Cie Ed., Paris, 1972.

9. Walter W. Ordinary Differential Equations. Springer, New-York, 1998.

10. Roseau M. Equa ions diffй en ielles. Masson. Paris, 1976.

11. Vijayaraghavan A. An Analytic Solution for the Orbital Perturbations of the Venus Radar Mapper Due to GravitationalHarmonics. AIAA/AAS Astrodynamics Conference, 1984. P. AIAA-84-1995.

12. Mioc V. and Stavinschi M. Stability of Satellite Motion in the Equatorial Plane of the Rotating Earth. Proceedings of he Jou nйes des Sys иmes de Rйfй ence Spa io-Temporels, N. Capitaine Ed., 1998. P. 257261.

13. Mioc V. and Stavinschi M. Effec s of Ma s' Ro a ion on O bi e Dynamics. P oceedings of he Jou nйes des Sys иmes de Rйfй ence Spa io-Temporels, N. Capitaine Ed, 2001. P. 120-125.

Размещено на Allbest.ru