Г.С. Заславский, А.В. Чернов

В работе рассматриваются вопросы высокоточного анализа движения системы спутников Земли, которые устанавливаются на круговую опорную орбиту. Представлен простой "инструмент", позволяющий для таких систем без сложных расчетов а) выделить возможные системы для обеспечения связи России с заданными регионами Земли, б) анализировать системы спутников и в) для каждого спутника системы находить начальное положение, при котором в пассивном его полете (без маневров) максимально долго не нарушаются условия связи.

Задача выбора системы ССЗ обоснована и представлена в [1]. Здесь для удобства приводится идентичная формулировка этой задачи.

Движение спутника вне атмосферы Земли с высокой точностью определяется естественными силовыми воздействиями на него от Земли, Солнца, Луны и планет Солнечной системы и описывается соответствующей системой дифференциальных уравнений. При этом Солнце, Луна и планеты рассматриваются как точечные тела. Гравитационное воздействие Земли на движение спутника носит сложный характер. Геопотенциал Земли, вообще говоря, разлагается в ряд по сферическим функциям [2] с коэффициентами (гармониками) c_ij, d_ij, i=0,1,…, j=0,1,… и ограничиваются теми членами ряда для которого i n, j n, n - некоторое фиксированной целое число. При этом говорят, что учитывается поле притяжения Земли порядка [nn].

Решение указанной системы дифференциальных уравнений осуществляется высокоточным численным методом Рунге-Кутта 8-го порядка. При этом затраты времени прямо зависят от набора учитываемых сил, действующих на спутник. Для анализа систем ССЗ необходимо проводить массовые расчеты параметров их движения на интервалах порядка года и, следовательно, сокращение времени этих расчетов является существенным.

Расчеты показывают, что гравитационное воздействие планет на движение ССЗ относительно поверхности Земли малы и им можно пренебречь. На рис. 2.1. представлены результаты расчетов с учетом притяжения планет зависимостей от времени t географических координат , и расстояния R (от центра Земли) ССЗ, находящегося в начальный момент времени (t = 0) на опорной стационарной орбите ( = 0 град). На рис. 2.2 представлены результаты тех же расчетов, но без учета притяжения планет. Зависимости на рис. 2.1 и соответствующие зависимости на рис. 2.2 практически неразличимы.

Результаты расчетов зависимости R(t), (t), (t) в полях притяжения Земли порядка [77] и [88] для того же ССЗ приводятся, соответственно, на рис. 2.3 и рис. 2.4. Зависимости одноименных величин на рисунках практически совпадают. Поэтому, гарантированно для целей прогнозирования движения ССЗ можно ограничиться учетом поля притяжения Земли порядка [88].

Исходя из сказанного выше расчеты параметров положения ССЗ относительно Земли проводились в рамках точной модели движения в поле притяжения Земли порядка [88] без учета гравитационного притяжения планет Солнечной системы.

Значения текущих географических координат ССЗ зависят не только от положения спутника на орбите, но и от текущего положения оси вращения и нулевого меридиана Земли.

Известно [3], что ось вращения Земли с течением времени изменяет направление в инерциальном пространстве и относительно Земли как твердого тела. Изменение направления указанной оси из-за прецессии и нутации не превосходит нескольких угловых минут за столетие, а положение ее относительно тела Земли испытывает малые изменения как периодические (полюсы планет при этом отклоняются от среднего положения на 10-15 м), так и вековые (со скоростью 11 см/год).

Угловая скорость вращения Земли _З вокруг своей оси изменяется крайне медленно - период вращения Земли вокруг оси увеличивается в среднем только лишь на несколько мс за столетие.

С учетом сказанного расчеты параметров положения ССЗ относительно Земли (без потери необходимой точности) проводятся в предположениях, что

в инерциальном пространстве направление оси вращения Земли остается неизменным;

географический полюс Земли лежит на оси ее вращения;

угловая скорость вращения Земли _З - константа.

Направление оси вращения Земли в инерциальном пространстве для всех расчетов фиксировано на начало 2000 года.

3. Анализ влияния сил, действующих на стационарный спутник

В настоящем разделе приводятся полученные численными методами результаты исследований изменения с течением времени t положения q=(R, , ) ССЗ относительно Земли в зависимости от учета сил действующих на спутник.

Во всех разделах полагалось, что спутник в начальный момент времени, t=0, находится на опорной стационарной орбите и имеет географическую долготу, равную =0, q=(R_и, 0, 0). Расчеты проводились с использованием точной модели движения ССЗ, рассмотренной в разделе 2 настоящей работы.

На каждом из рис. 2.2, 2.4, 3.1, 3.2, 3.3 на интервале полета T, равным 360 сут. (~1 год) представлены компоненты вектора q(t) для определенного набора учитываемых сил на ССЗ:

рис. 2.2. - все силы (от поля притяжения Земли порядка [88], от Солнца и Луны);

рис. 3.1. - все силы за исключением силы влияния Солнца;

рис. 2.4. - все силы за исключением сил влияния Солнца и Луны, т.е. силы от поля притяжения Земли [88];

рис. 3.2. - только силы от поля притяжения Земли порядка [22];

рис. 3.3. -только сила от поля притяжения Земли с коэффициентом динамического сжатия (гармоника C₂₀)

Функция компонентов вектора q(t) внутри одного витка ССЗ представлены на рис. 3.4.

Из графиков на представленных рисунках можно сделать ряд следующих выводов.

Вековой уход расстояния R(t) от центра Земли и географической долготы (t) ССЗ в основном обусловлены силами поля притяжения Земли порядка [22]. Учет только лишь динамического сжатия Земли - неприемлем.

Вековой уход R лежит в пределах 100 км.

Уход долготы от начального значения за один год является большим, почти 90⁰.

Из-за действия Луны расстояние R с течением времени имеет небольшие, около 5 км, периодические колебания, близкие к периоду вращения Луны вокруг Земли.

Уход географической широты ССЗ в основном обусловлен влиянием сил притяжения Луны и Солнца и широта колеблется в пределах от -1⁰ до +1⁰.

Следует отметить, что вариация R параметра R при |R| 1000 км может приводить к малому изменения широты и/или долготы точек на линии уровня видимости [1], всего лишь в пределах около 0.2⁰. Такими изменениями при проектировании и, даже, реализации полетов группировки ССЗ вполне можно пренебрегать.

Кроме того, акцентируем внимание на то, что при проектировании дальнейшего полета группировки ССЗ, предназначенной для связи с регионами Земли, расположенными в диапазоне широт приблизительно от -50⁰ до +50⁰, допустимо пренебрегать вариациями широты ССЗ в пределах нескольких угл. градусов. Это обстоятельство следует из рассмотрения линий уровня видимости, приведенных в [1], и условия, что связь наземного пункта с ССЗ, обеспечивается до малых углов места , до 5-7⁰.

С учетом вышеизложенного следует сделать вывод: при проектировании новой системы ССЗ или планировании дальнейшего полета существующей системы ССЗ основным является учет ухода в течение времени полета географической долготы для каждого ССЗ.

Кроме этого, при проектировании системы ССЗ и ее эксплуатации следует иметь в виду следующий момент. Из-за того, что

ССЗ после установки на стационарную орбиту под действием поля притяжения Земли порядка [22] уходит по географической долготе его начального положения,

ССЗ по своему предназначению должен находится в окрестности указанного положения,

поле притяжения Земли порядка [22] обусловлено неоднородностью концентрации масс в теле Земли,

вытекает, что величина и характер ухода каждого ССЗ по географической долготе зависит существенным образом от значения начального положения на стационарной орбите. И, следовательно, каждая проектируемая группировка ССЗ должна исследоваться на поведение географических долгот составляющих ее спутников. Частота проведения операции изменения положения ССЗ (маневра) для удовлетворения ограничений на полет группировки также существенно зависит от предполагаемой установки их (по долготе) на стационарную орбиту.

4. Вариации положения спутника на опорной стационарной орбите

Ранее показано, что характер изменения положения ССЗ относительно Земли с течением времени t на любом интервале полета [0, T] существенно зависит от географической долготы ₀ спутника в начальный момент времени t = 0, ₀ = (0).

Расчет компонентов R, , вектора положения ССЗ (относительно Земли) как функций от времени на интервале T полета для набора значений ₀ является весьма трудоемким процессом. С целью построения этих функций для каждого фиксированного ₀ с заданным шагом t вычислялись значения R, , путем численного интегрирования системы дифференциальных уравнений движения ССЗ. При этом уравнения движения соответствовали точной модели действующих на ССЗ сил (см. раздел 2).

Указанные расчеты выполнены для полета ССЗ в течение года, T = 365 сут., с шагом t = 1 сут. для значений ₀ из множества M{-40⁰,

-30⁰,…,130⁰, 140⁰}. По результатам этих расчетов для каждого ₀M построены графики функций (t) = (t) -₀. Они представлены на рис. 4.1 - 4.18 и рис. 2.2 для ₀ = 0. На рис. 4.19, 4.20 изображены диапазоны изменений (из=за ₀) расстояния ССЗ от центра Земли и его географической широты в зависимости от времени полета t, 0 t 365 сут.:

R_min(max)(t) = min(max)R(₀, t),

₀M

_min(max)(t) = min(max) (₀, t).

₀M

Полученные графики функций позволяют сделать следующее заключение о характере отклонений ССЗ от начального положения на опорной стационарной орбите при его полете в течение одного года:

отклонения по географической широте не превосходят 0.8⁰,

расстояние от центра Земли отличается от радиуса опорной стационарной орбиты не более, чем на 40 км,

по географической долготе отклонения могут быть значительными и достигать величины 95⁰,

существуют два значения (₀₁, ₀₂) величины ₀, для которой отклонения по географической долготе близки к нулю, -20⁰ < ₀₁ < -10⁰, +70⁰ < ₀₂ <+ 80⁰.

Установка ССЗ на опорную стационарную орбиту в точку ₀₁ или в точку ₀₂ обеспечивает практически нулевой сдвиг положения спутника в течение его полета.

Все изложенные результаты позволяют анализировать любые возможные группировки ССЗ, выбираемые путем приближенного решения задачи 0 в рамках квазимодели движения ССЗ по методологии изложенной в работе [1].

Представленный графический материал можно рассматривать как "инструмент" для анализа группировок ССЗ, каждый из которых выставляется на опорную стационарную орбиту.

В результате анализа уточняется начальное положение каждого спутника группировки, естественно, без нарушения ограничений задачи 0. Как правило, задача 0 решается неоднозначно. Из допустимых выбирается то решение, для которого как можно позже нарушаются ограничения задачи 0. Другими словами, максимизируется интервал времени между начальной выставкой ССЗ на опорную стационарную орбиту и моментом времени, когда необходимо проводить маневр изменения его положения относительно Земли в следствие нарушения ограничений задачи 0.

5. Анализ и синтез группировок ССЗ для обеспечения связи с Южной Америкой, Австралией и Океанией

Общезначимые результаты

Выбрана оптимальная по набору сил, действующих на спутник Земли, так называемая точная модель движения ССЗ, которая практически совпадает с его реальным движением.

Численными методами в рамках точной модели движения исследованы вариации положения ССЗ относительно Земли из-за сил действующих на спутник.

Показано, что величина и характер ухода ССЗ по географической долготе существенно зависит от начального значения этой долготы.

Выполнены трудоемкие расчеты компонентов вектора положения ССЗ относительно Земли (расстояние спутника от центра Земли, его географические широта и долгота) как функций от времени полета на интервале 1 год для набора начальных значений географических долгот спутника на опорной стационарной орбите. Расчеты выполнены для начальных значений географической долготы из интервала [40⁰ з.д., 140⁰ в.д.] с шагом 10⁰. Построены соответствующие графики.

Показано, что ССЗ в течение одного года полета отклоняется от начального положения на опорной стационарной орбите (географическая долгота из диапазона [40⁰ в.д., 140 з.д.]) по географической широте, расстоянию от центра Земли, и географической долготе не более, чем на 0.8⁰, 40 км и 95⁰, соответственно.

Установлено, что существуют два значения географической долготы начального положения ССЗ на опорной стационарной орбите, для которых в течение одного года полета спутника отклонение (по долготе) практически равно нулю. Одно значение такой географической долготы находится в диапазоне от 20⁰ з.д. до 10⁰ з.д., другое - в диапазоне от 70⁰в.д. до 80⁰ в.д..

Разработан и представлен простой "инструмент", позволяющий практически без вычислений выполнить баллистический анализ любой группировки ССЗ с начальным положением ее спутников на опорной стационарной орбите в диапазоне географических долгот от 40⁰ з.д. до 140⁰ в.д.

Частные результаты

Путем применения разработанного и упомянутого выше "инструмента" выполнен баллистический анализ для двух возможных, представляющих практический интерес, группировок (А и Б) из двух ССЗ для обеспечения связи с Южной Америкой, Австралией и, по возможности, Океанией. Группировка А обеспечивает возможность расположения пункта связи со стороны России (ПСР) в одной точке на карте. Для группировки Б ПСР могут быть в разных пунктах территории России.

В результате баллистического анализа в качестве оптимальной из группировок А выбрана группировка, для которой в начальный момент времени западный ССЗ находится на опорной стационарной орбите в точке с географической долготой = 15⁰ з.д., а восточный - на той же орбите в точке с = 115⁰ в.д. В качестве группировки Б выбрана группировка с начальным расположением ССЗ на опорной стационарной орбите в точках с географическими долготами = 15⁰ з.д. и = 140⁰ в.д. Показано, что для западных ССЗ в обеих группировках в течение длительного времени (несколько лет) не требуется проводить маневр восстановления их начального положения, а для восточных спутников такой маневр необходим: в группировке А - по крайней мере - через 6.5 месяца, в группировке Б - через 7.5 месяца при условии обеспечения связи не только с Австралией, но и с Новой Зеландией. Объединенный ПСР для группировки А может быть расположен в районе нижней Волги или в районах Северного Кавказа, прилегающих к Каспийскому морю. Для группировки Б существуют обширные районы России, в которых можно расположить ПСР для западного ССЗ и ПСР для восточного ССЗ (см. рис. 5.4).

Баллистический анализ полета ССЗ показал, что спутник после его установки на опорную стационарную орбиту с течением времени дрейфует относительно своего начального положения, причем, как правило, с существенным изменением географической долготы. Величина дрейфа зависит от начального местоположения ССЗ на опорной стационарной орбите. В связи с этим представляет практический интерес проблема поиска такой орбиты в окрестности стационарной орбиты, для которой указанный дрейф по величине был бы минимален на заданном интервале времени полета. Например, параметром такой оптимизации можно рассматривать расстояние ССЗ от центра Земли в момент его выставки на орбиту.

Литература

1. Бондаренко А.В., Галактионов В.А, Заславский Г.С., Чернов А.В. Методология баллистического выбора местоположения спутников на стационарных орбитах для обеспечения связи с регионами Земли. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН N 52, 2000.

2. Аким Э.Л., Бажинов И.К., Заславский Г.С. и др. Навигационное обеспечение полета орбитального комплекса "Салют-6"-"Союз"-"Прогресс". М.: Наука, 1985.

3. Космонавтика. Энциклопедия. (Гл. редактор В.П. Глушко). М.: Советская Энциклопедия. 1985.

Рисунки