Точное решение проблемы N-тел для вращающейся многослойной структуры

Размещено на http://www.allbest.ru/

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ N-ТЕЛ ДЛЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ МНОГОСЛОЙНОЙ СТРУКТУРЫ

И.И. Смульский

Институт криосферы Земли Сибирского отделения Российской академии наук, 625000, г. Тюмень, а.я. 1230, ул. Малыгина, 86.



Аннотация

ньютоновский сила гравитационный тело

Рассматриваются точные решения задачи ньютоновского гравитационного взаимодействия N материальных точек, находящихся на N₂ концентрических окружностях. На каждой окружности осесимметрично расположено N₃ тел с одинаковыми массами. Вся структура как единое целое вращается вокруг оси симметрии. Такие структуры идентичны известным в литературе конфигурациям гомографической динамики или плоским центральным конфигурациям. Они представляют собой вложенные друг в друга воображаемые многоугольники, в вершинах которых находятся тела. Решения для них получены методами гамильтоновой механики при числе тел меньше 20. В работе определена сила воздействия всех тел вращающейся структуры на любое ее тело. Записаны дифференциальные уравнения их движения, которые сведены к линейным алгебраическим уравнениям для масс тел. Получены решения в разных видах. Для задания исходных параметры структуры и вычисления остальных ее характеристик разработана программа RtCrcSt2.for. Рассчитаны структуры с числом тел до 1 миллиона. Приведены изображения полученных структур и описаны их свойства. Рассмотрены проблемы устойчивости структур и обсуждаются вопросы их использования в задачах небесной и космической механики.

Ключевые слова: проблема N-тел, вращающаяся многослойная структура, точное решение, гомографические и плоские центральные конфигурации.



Памяти Е.А. Гребеникова посвящается

Введение

Существуют точные решения гравитационного ньютоновского взаимодействия N-материальных точек при определенной их конфигурации. Например, при осесимметричном расположении N-тел на окружности эта задача решена в полном объеме [1] - [2]. При этом в центре окружности может находиться центральное тело. В зависимости от начальной скорости периферийные тела могут двигаться по эллипсу, параболе или гиперболе. Кроме такой однослойной конфигурации в ряде работ [3] - [8] рассматриваются точные решения для конфигураций из нескольких слоев. Обычно их рассматривают как систему вложенных друг в друга воображаемых многоугольников, вращающихся с угловой скоростью как единое целое. В вершинах многоугольников расположены материальные точки, которые взаимодействуют между собой по закону тяготения Ньютона. В обобщающей работе [3] приведены примеры решения задач для вложенных друг в друга треугольников, ромбов, квадратов, пятиугольников и шестиугольников. При этом вершины соседних многоугольников могут лежать либо на одном радиусе, либо на радиусах, проходящих через середины сторон соседних многоугольников.

Эти задачи решены [3] для нескольких слоев таких многоугольников: для треугольников - до 4-х слоев, для квадратов - до 3-x, для пятиугольников и шестиугольников - до 2-х слоев. Наибольшее число взаимодействующих тел, находящихся в вершинах этих многоугольников, было 12. В рамках гамильтоновой динамики эта задача сводится к системам алгебраических уравнений, которые решаются методами компьютерной алгебры [3], [9]. В каждом случае задача требует особого рассмотрения, и необходимо затратить немало усилий для ее решения. Такие задачи взаимодействующих материальных точек рассматривают как задачи гомографической динамики [3] или проблемы плоской центральной конфигурации [8], [10] - [21]. В свою очередь гомографическая динамика является новым разделом космической динамики [3].

В настоящей работе рассматривается несколько иной подход к решению этих задач. Он является продолжением метода, использованного для решения осесимметричной задачи [1]- [2] и при рассмотрении многослойных кольцевых структур [22]. Движение тел исследуется на основе сил взаимодействия между ними. Вместо многоугольников, воображаемые стороны которых соединяют тела, в работе рассматриваются окружности, на которых тела находятся. В вышеупомянутых работах других авторов преимущественно исследуются теоретические вопросы гамильтоновой динамики, например, вопросы существования решений для центральных конфигураций определенного вида. Нахождение конкретных конфигураций является очень трудной проблемой [8]. В настоящей работе ставится задача получения всех точных решений, расчет структур и возможное их использование.



Постановка задачи

Рассмотрим (см. рис. 1) многослойную осесимметричную структуру материальных точек, взаимодействующих по закону тяготения Ньютона. Она состоит из N₂ окружностей, на каждой из которых расположено N₃ тел. Совокупность тел, центры которых расположены на одной окружности, будем называть кольцом тел или слоем. Номера колец обозначим как j = 1, 2 … N₂, а номера тел на каждом кольце - l = 1, 2 … N₃. В плоскости x_oy_o, в которой тела располагаются, обозначим r_j,l и _j,l - полярные радиус и угол тела с массой m_j,l. С целью упрощения, в дальнейшем символом m_j,l будем также обозначать и само тело. Все тела на одном кольце имеют одинаковый радиус r_j,l = r_j, где r_j - радиус кольца, и массы их одинаковы, т.е. m_j,l = m_j. Угол первого тела на каждом кольце _j,1 определяет вид структуры. В дальнейшем он будет задаваться. А углы остальных периферийных тел определяются по формуле

_j,l = _j,1 + (l - 1)₀, (1)

где ₀ = 2/N₃ - угол между телами на кольце.

Итак, геометрия осесимметричной многослойной структуры определяется количеством колец N₂, количеством тел на каждом кольце N₃, радиусами колец r_j и углами положения первых тел _j,1. Масса каждого тела на кольце j равна m_j и при наличии центрального тела с массой m₀ масса всей системы будет

. (2)

Рис. 1. Геометрические характеристики осесимметричной многослойной структуры с параметрами: N₂ = 5; N₃ = 8; углы _j,1 первых тел на соседних кольцах чередуются; линиями возле тел показаны вектора скорости; радиусы изображений тел для наглядности пропорциональны их массам.

Вся система вращается с угловой скоростью . При задании параметров многослойной структуры: N₂, N₃, _j,1, m₀, неизвестными являются радиусы колец r_j и массы m_j тел.

Силы взаимодействия тел

Рассмотрим силы воздействия всех тел на первое тело на кольце j (см. рис. 1), масса которого равна m_j,1. С телом m_j,1 связываем траекторную систему координат (n,), где n - нормаль к траектории, а - касательная к ней. Сила F_j,1,i,l гравитационного воздействия тела m_i,l, находящегося на кольце i, на тело m_j,1 равна: F_j,1,i,l = Gm_j,1m_i,l/r_j,1,i,l², где G - гравитационная постоянная; r_j,1,i,l - расстояние тела m_i,l от тела m_j,1. Тогда проекции силы F_j,1,i,l на оси и запишутся так:

; (3)

, (4)

где n_j,1,i,l и _j,1,i,l - проекции расстояния r_j,1,i,l на оси координат n и , соответственно.

В треугольнике Om_i,lm_j,1 (рис. 1) угол между радиусами тел r_i и r_j будет

_j,1,i,l = _i,l - _j,1, (5)

а расстояние между ними согласно теореме косинусов запишется так:

r_j,1,i,l² = r_j ² + r_i ² - 2r_ir_jcos _j,1,i,l. (6)

Тогда проекции этого расстояния на оси n и , соответственно, будут:

n_j,1,i,l = -(r_i cos _j,1,i,l - r_j); _j,1,i,l = r_i sin _j,1,i,l. (7)

Кроме периферийных тел на тело m_j действует еще центральное тело с массой m₀, которое находится в т. О (см. рис. 1). Проекция этой силы на ось равна нулю, а выражение для проекции на ось n запишется аналогично формуле (3):

,

где согласно (7) при r_i =0 для центрального тела n_j = r_j.

После подстановки (6) и (7) в выражения (3) и (4) и после суммирования сил по всем телам системы получаем выражения для проекций сил воздействия на тело m_j,1 всех остальных тел:

; (8)

, (9)

где m_j - масса каждого тела m_j,1, а m_i - масса каждого тела m_i,l.

Чтобы исключить из рассмотрения силу воздействия тела m_j,1 на себя, в выражениях (8) и (9) воздействие остальных тел j-того кольца извлечено из общего выражения и записано последним слагаемым. Оно легко получается при замене i на j в предыдущем слагаемом. В пределах знака суммирования исключение j-того кольца обозначено как i j.

Будем рассматривать такие конфигурации вращающихся структур, для которых выражения для силы (8) и (9) будут давать одну и ту же величину для каждого тела j-го кольца. Это возможно только в том случае, если при прохождении оси n через любое тело кольца j геометрические положения воздействующих тел относительно него не изменится. Последнее условие будет выполняться при условии, что начальный угол тел на кольцах будет принимать значение _j,1 = 0 либо _j,1 = 0.5₀. На рис.1 представлен вид структуры, где значения начального угла _j,1 последовательно чередуются на соседних кольцах. Вышеуказанному условию удовлетворяют также структуры с произвольным порядком чередования начального угла _j,1.

Следует отметить, что вышеприведенные условия определяют использованный в работе термин «осесимметричный». Структура является осесимметричной, если ее геометрические и динамические характеристики не изменяются при повороте на угол равный ₀.

Для рассмотренных конфигураций нормаль n является осью симметрии (см. рис. 1). Поэтому углы отклонения _j,1,i,l воздействующих тел от оси n имеют, согласно (5), попарно одинаковые по величине и обратные по знаку значения. Следовательно, в выражениях (9) синусы в числителях также попарно одинаковы по величине и обратные по знаку. Так как косинусы этих углов в знаменателях одинаковы, то касательные силы равны нулю. При четном количестве тел N₃ еще одно тело будет находиться на оси n симметрично относительно центра O. Так как угол _j,1,i,l этого тела равен р, то сила его воздействия в (9) также равна нулю. Итак, проекции всех сил на касательную ось равны нулю, т.е. . Поэтому сила воздействия всех тел осесимметричной многослойной структуры на любое тело на кольце с номером j направлена по нормали n к траектории, т.е. к центру O, и определяется выражением (8).

Для кольца j разность углов (5), согласно (1) будет

_j,1,j,l = _j,l - _j,1 = 2(l - 1)/N₃. (10)

Тогда выражение в знаменателе последнего слагаемого формулы (8) запишется

2[1 - cos(2(l - 1)/N₃)] = 4sin²((l - 1)/N₃). (11)

После подстановки (11) в (8) направленная к центру O сила воздействия всех тел на любое тело на кольце j будет

, (12)

где

; (13)

r_i,,j = r_i/r_j - отношение радиусов колец i и j.

_j,1,j,l - определяется выражением (10).



Уравнения движения вращающейся структуры

При воздействии с силой (12) на тело m_j,1 с массой m_j (рис. 1) оно будет совершать ускоренное движение. В траекторной системе координат (n, ) сила воздействия (12) имеется только вдоль одной оси n, по которой направлено нормальное ускорение w_n = v²/, где v - тангенциальная скорость движения тела m_j,1, а - радиус кривизны его траектории. Поэтому дифференциальное уравнение его движения запишется так

. (14)

Мы рассматриваем вращающуюся структуру с угловой скоростью и с неизменными радиусами траектории. Поэтому для тела m_j,1 радиус кривизны траектории = r_j, а скорость v = r_j. После подстановки этих величин и силы (12) в уравнение (14) дифференциальное уравнение движения тела m_j,1 получаем в виде

, (15)

где j = 1, 2, N₂.

Итак, движение тел вращающейся структуры описывается N₂ уравнениями (15). Это алгебраическая система уравнений. Как отмечалось ранее, неизвестными являются радиусы колец r_j и массы тел m_j. При задании радиусов колец r_j массы тел m_j определяются уравнениями (15). При необходимости можно задать массы тел m_j, а из (15) определить радиусы колец r_j.

С целью создания одного алгоритма решения задачи для многослойной структуры с центральным телом и без него, введем исходную массу m_in центрального тела и всех тел первого кольца. Обозначим долю в ней массы центрального тела коэффициентом p_m0. Тогда масса центрального тела определится как m₀ = m_in•p_m0. Структура без центрального тела задается коэффициентом p_m0 = 0.

Анализ возможных применений результатов этой задачи показывает, что целесообразно задавать геометрию осесимметричной многослойной структуры, в том числе и радиусы колец r_j, а затем в результате решения уравнений (15) определять массы m_j. Поэтому перепишем уравнения (15) в другом виде. Выделим из второго слагаемого безразмерное ускорение тела m_j,1, обусловленное воздействием единицы массы тела m_i,1 на i-том кольце

, (16)

где r_i,,j = r_i/r_j - является безразмерным отношением радиусов.

Тогда безразмерное ускорение тела m_j,1, вызванное всеми телами на i-том кольце, будет

. (17)

Так как тела кольца каждому своему телу сообщают безразмерное ускорение f_n3, то обозначим

a_j,j = f_n3. (18)

Массы всех тел отнесем к исходной массе m_in, и безразмерные массы тел обозначим:

m_ud,j = m_j/m_in; m_ud,0 = m₀/m_in. (19)

Тогда с учетом (16) - (19) уравнения (15) запишутся в виде следующей системы линейных алгебраических уравнений:

; (20)

где

b_j = c_ir_ud,j³ - m_ud,0; r_ud,j = r_j / r₁ ; c_i = r₁³²/(m_inG). (21)

В системе линейных алгебраических уравнений (20) задаются параметры: N₂, N₃, _j,1,m_in, p_m0, , r_j, а неизвестными являются безразмерные массы m_ud,i периферийных тел. Масса центрального тела остается неизменной, т.е. m₀ = const. А безразмерные массы всех периферийных тел m_ud,j определяются в результате решения уравнений (20).

Решение уравнений

Решение линейной системы алгебраических уравнений (20) записывается в виде [23]:

, (22)

где D - определитель таблицы коэффициентов a_j,i

D = det[a_j,i]; (23)

D_i - определитель таблицы a_j,i, в которой i-ый столбец заменяется столбцом свободных членов b_i.

В случае двух колец детерминант , а детерминанты и Тогда согласно (22) решения уравнений (20) для масс одного тела на первом и втором слое запишется

; . (24)

Решениями (24) определяется вращающаяся структура из двух слоев. На каждом слое находится N₃ тел, где N₃ - любое целое число. А общее число тел в такой двухслойной структуре N = 2N₃ + 1.

В случае трех и более слоев решения уравнений (20) записываются в виде более громоздких выражений, которые сложно использовать для вычисления безразмерных масс m_ud,i. Задание большого числа исходных параметров также становится трудоемким. Кроме того, решениями линейной системы уравнений (20) могут быть отрицательные массы m_ud,i. Поэтому необходимо изменять исходные параметры вращающейся структуры, чтобы получить все массы положительными. При большом количестве N₂ колец и N₃ тел на них это приводит к большому объему вычислений. Для их выполнения были разработаны программы. Выяснилось, что для решения вышеупомянутых проблем проще воспользоваться численным решением алгебраической системы уравнений (15) или (20). Программы разрабатывались [24] на языке Fortran. В первом варианте решения проблемы в программе RtCrcStr.for система уравнений (15) решалась методом итераций. Во втором варианте решения проблемы в программе RtCrcSt2.for система уравнений (20) решалась методом Гаусса. Второй вариант является более простым для использования, поэтому далее рассматривается только он. Тем не менее, следует отметить, что при определенных соотношениях N₂ и N₃ решение уравнений легче получить с помощью программы RtCrcStr.for.

Исходные данные вращающейся структуры задаются в файле RtCrcSt2.dat. Вместо угловой скорости щ используется период вращающейся структуры P_rd = 2р/щ. Размеры и время в программе используется также в относительных единицах. Поэтому период P_rd задается в сидерических годах. Радиусы колец в файле данных RtCrcSt2.dat задаются с помощью параметра o_kr так:

r_j = jo_krr₁, (25)

где r₁ - радиус первого кольца. Значение параметра o_kr не может быть меньше 0.5.

Радиус первого кольца определяется из условия его существования при заданной массе центрального тела m₀ и первоначальной массе m₁ тела первого кольца [1] - [2]. Это условие существования следует из уравнений движения (15) при отбрасывании остальных колец

. (26)

Углы первых тел _j,1 можно задать в двух вариантах: 1) _j,1 = 0 и 2) _j,1 = 0 и _j,1 =0.5•₀ чередуются. Другое распределение радиусов r_j и углов _j,1 задается в дополнительных файлах, которые могут быть включены в файл данных RtCrcSt2.dat.

После работы исполняемого модуля программы RtCrcSt2.exe создается несколько файлов с результатами, в том числе и файл со всеми кинематическими параметрами структуры. Этот файл содержит исходные данные и начальные условия для программы Galactica [25]. В ней используется высокоточный метод численного интегрирования дифференциальных уравнений движения материальных точек, взаимодействующих по закону тяготения Ньютона. Система Galactica имеется в свободном доступе [26]- [27]. Она позволяет рассчитать динамику структур из взаимодействующих материальных точек и исследовать ее эволюцию.

Все полученные с помощью программы RtCrcSt2.exe структуры проверялись программой Galactica. Следует отметить, что интегрировались неупрощенные уравнения, а не уравнения (15) или (20). В программе Galactica имеется опция графического изображения взаимодействующих тел. Далее приведены изображения структур, полученных на экране компьютера после первого шага интегрирования дифференциальных уравнений их движения.

Описание программы RtCrcSt2.for и ее работы, а также текст программы приведены в работе [24]. Файлы исполняемых модулей находятся в свободном доступе по адресу: www.ikz.ru/~smulski/Data/RtCrcStr/.

Примеры вращающихся структур

Были рассчитаны многослойные вращающиеся структуры с числом колец 1, 2, 3, 4, 5, 15, 30, 100, 103, 1000. На кольцах задавалось число тел: 2, 5, 8, 10, 29, 30, 999. Общее число тел достигало одного миллиона. Рассматривались конфигурации с разными вариантами угла _j,1 первого тела на каждом кольце, а также с разным чередованием его на соседних кольцах. Были рассчитаны структуры, которые формируются при разных исходных массах. В качестве исходных масс задавались массы Солнца и Земли. Рассматривались структуры с центральным телом и без него.

На рис. 1 представлена структура с N₂ = 5 кольцами по N₃ = 8 тел на каждом кольце и периодом вращения P_rd =1 год. Номера колец отсчитываются от центра О, номера тел от оси x_о. Углы первых тел на кольцах _j,1 последовательно принимают значения 0; ₀/2; 0; ₀/2; 0. Исходная масса m_in = 1.98912·10³⁰ кг задана немного больше массы Солнца. Радиусы колец и массы одного из тел на них, отнесенные, соответственно, к радиусу первого кольца и массы тела на нем, равны r_ud,j = 0; 1; 2.005; 2.985; 4.082; 4.980 и m_ud1,j = m_j/m₁= 1.256; 1; 2.957; 2.250; 7.712; 2.973. Здесь кольцом с радиусом r_ud,0 = 0 обозначено центральное тело. При этом радиус первого кольца и масса тела на нем соответственно, равны r₁ = 1.481·10¹¹ м и m₁ = 1.568·10³⁰ кг. Масса всей этой структуры составляет m_SS = 2.138·10³² кг. То есть она в 108 раза превышает массу Солнца.

Далее рассмотрим три структуры с N₂ = 15 колец и N₃ = 30 тел на каждом кольце, которые отличаются чередованием угла _j,1 первых тел на кольцах. На рис. 2 показана вращающаяся структура при углах первых тел на всех кольцах _j,1 = 0. Линиями у периферийных тел представлены их вектора скорости.

Как видно из рис. 2, эта структура имеет радиально-лучевое строение. В гомографической динамике [3] ее назвали бы конфигурацией из 15-и вложенных друг в друга концентрических равносторонних 30-угольников. Из второго столбца на рис. 2 видно, что наименьшие массы имеют тела первого кольца. Если масса m₀ центрального тела равна массе Солнца, то масса m₁ в 2.27 раза меньше m₀. С первого кольца по десятое массы тел почти монотонно увеличиваются, затем они уменьшаются. В этой структуре наибольшая масса тела m₁₀ = 12.3·m₁.

В структуре на рис. 2 и в двух последующих радиусы колец, согласно (25), увеличиваются прибавлением радиуса первого кольца r₁. В структуре, представленной на рис. 1, радиусы колец изменяются по другому закону. Это обусловлено тем, что в этом случае при пропорциональном увеличении радиусов колец решение уравнений (20) приводит к отрицательным массам. Cледует отметить, что эта структура получена с помощью программы RtCrcStr.for.



Рис. 2. Вид на экране компьютера осесимметричной многослойной вращающейся структуры при интегрировании дифференциальных уравнений движения программой Galactica за время одного шага: N₂ = 15; N₃ = 30; углы _j,1 = 0; P_rd =1 год; масса центрального тела равняется массе Солнца. Дополнительно на рис. 2 вертикальными столбцами приведены радиусы колец и массы одного тела на них, отнесенные, соответственно, к радиусу первого кольца r₁ = 1.49383710¹¹ м и массе m₁ = 8.68496610²⁹ кг тела на нем. Общая масса всей структуры m_SS = 3.21848910³³ кг.

На рис. 3 представлена многослойная вращающаяся структура с последовательным чередованием углов _j,1 первых тел на соседних кольцах. В гомографической динамике [3] ее назвали бы конфигурацией из 15 вложенных друг в друга равносторонних 30-и угольников, повернутых друг относительно друга на угол р/15. По сравнению со структурой, показанной на рис. 2, общая масса этой структуры возросла в 1.236 раза. Масса тел на кольцах в этом случае также растет, начиная от центра. Однако после 10 кольца монотонность изменения масс тел нарушается, и тела с наибольшей массой находятся на последнем кольце.

Рис. 3. Осесимметричная многослойная структура при N₂ = 15; N₃ = 30; углы _j,1 = 0 и _j,1 = 0.5₀ чередуются; P_rd =1 год; r₁ = 1.49383710¹¹ м; m₁ = 9.17205810²⁹ кг и m_SS = 3.97730210³³ кг. Остальные обозначения см. рис. 2.

В структуре, представленной на рис. 4, угол _j,1 = ₀/2 повторяется через три слоя. В этом случае общая масса системы также увеличилась по сравнению с радиально-лучевым строением (см. рис. 2), однако она меньше чем в предыдущей структуре на рис. 3. Масса тел на кольцах также увеличивается при удалении от центра. При этом на кольцах с углом _j,1 = ₀/2 массы тел преимущественно больше, чем в соседних кольцах. И наибольшая масса тел находится на таком кольце с номером 12. В трех рассмотренных примерах структур это наибольшая масса тел. Она в 20 раз превышает массу тел на первом кольце.



Рис. 4. Осесимметричная многослойная структура при N₂ = 15; N₃ = 30; углы _j,1 = 0 и _j,1 = 0.5₀ чередуются через три слоя; P_rd =1 год; r₁ = 1.49383710¹¹ м, m₁ = 8.88905110²⁹ кг и m_SS = 3.57016410³³ кг. Остальные обозначения см. рис. 2.

Большинство гомографических задач представлено вложенными друг в друга правильными многоугольниками [3]. Однако имеются и неправильные многоугольники, например, вложенные друг в друга ромбы [3], [28]. Такая многослойная ромбическая структура (см рис. 20 [3]) может быть создана в виде ряда колец. На рис. 5а она показана в виде N₂ = 4 колец с N₃ = 2 телами на каждом кольце. Радиусы колец и массы одного тела на них, отнесенные к радиусу первого кольца и массе тела на нем, равны, соответственно, r_ud,j = 0; 1; 1.697; 1.703; 2.40 и m_ud1,j = 1161; 1; 193.47; 490.54; 23.76. В отличие от предыдущих структур на первом кольце (см. рис. 5а) угол первого тела _1,1 = 0.5₀ = ???. Поэтому оно находится на оси ординат. Эта структура из двух вложенных ромбов идентична структуре в работе [3] на рис. 20.

В четырехслойной кольцевой структуре, представленной на рис. 5а безразмерные радиусы второго и третьего колец, как показано выше, r_ud,3 = 1.697 и r_ud,4 = 1.703, т. е. почти равны. Однако углы первых тел на них сдвинуты на угол 0.5•₀. Отсюда следует, что можно создавать осесимметричные вращающиеся кольцевые структуры, на отдельных кольцах которых может находиться 2N₃ тел. Для этого необходимо, чтобы радиусы двух соседних колец были одинаковы, а углы первых тел на них - разные. В качестве примера на рис. 5б представлена трехслойная структура, у которой радиусы второго и третьего слоя равны. Безразмерные радиусы и массы в этом случае, соответственно r_ud,j = 0; 1; 1.375; 1.375 и m_ud1,j = 21844; 1; 175.8; 193.8. Отсюда видно, что при равных радиусах второго и третьего колец массы тел на них отличаются. Эта структура идентична гомографической конфигурации состоящей из правильного шестиугольника, который содержит внутри себя концентрический равносторонний треугольник (см. рис. 26 [3]).

Рис. 5. а - осесимметричная четырехслойная структура при N₂ = 4; N₃ = 2; углы _j,1 = 0.5₀ и _j,1 = 0 чередуются; P_rd =2 года; r₁ = 1.49165110¹¹ м, m₁ = 1.69585410²⁷ кг и m_SS = 4.37315110³⁰ кг. б - осесимметричная трехслойная структура при N₂ = 3; N₃ = 3; углы _j,1 = 0; 0.5₀ и 0; P_rd = 1.5 года; r₁ = 1.49199010¹¹ м, m₁ = 9.01855410²⁶ кг и m_SS = 2.97188310³⁰ кг. Остальные обозначения см. рис. 2.

В примере, представленном на рис. 5б, наблюдается некоторая особенность. Математически эта структура задается тремя кольцами, т. е. N₂ = 3, а физически существуют два кольца или два слоя. Однако во втором слое тела имеют два вида масс. Итак, представленные примеры показывают, что широкий набор конфигураций гомографической динамики [3] или плоских центральных конфигураций [8] может быть выражен осесимметричными многослойными вращающимися структурами.

Как уже отмечалось, были получены структуры с числом колец N₂ = 103 и числом тел N₃ = 29; с N₂ = 1000 и N₃ = 999. В первой структуре общее число тел было N = 2988, а во второй - N = 999001. Кроме того, рассчитывались структуры с исходной массой m_in равной массе Земли. Число колец в этих структурах было N₂ = 6; 15 и 103. Созданные файлы исходных данных и начальных условий для программы Galactica совпали с файлами при исходной массе m_in немного большей массе Солнца. Это означает, что представленные результаты на рис. 1 - 5 с массой Солнца, являются такими же в случае структур с массой Земли.

Вопросы устойчивости структур и их использования

Несмотря на то, что параметры структуры получены благодаря точному решению задачи, результаты решения выражаются числами с конечным числом разрядов. Поэтому реальные параметры структуры отличаются от идеальных. Эти отличия являются первой причиной, из-за которой при численном интегрировании уравнений структура начинает видоизменяться. Второй причиной является точность метода интегрирования. Если структура устойчивая, то с течением времени счета тела в ней приобретают устойчивые небольшие колебания, как правило, азимутальные. В случае неустойчивой структуры она разрушается.

В вышеупомянутых работах по гомографической динамике, особенно в работе [3], вопросы устойчивости вращающихся структур рассматриваются аналитическими методами в рамках гамильтоновой динамики. Как отмечено в [3], существует более ста определений понятия устойчивости, а в космической динамике можно встретить до тридцати таких определений. К сожалению, эти методы не могут дать прямого ответа на то, как поведет себя конкретная структура. Поэтому необходимо выполнять численное интегрирование дифференциальных уравнений движения тел структуры, чтобы установить динамику структуры и ее эволюцию. При этом точность интегрирования должна быть такой, чтобы погрешность решения задачи не оказывала влияние на поведение структуры. Этому требованию удовлетворяет программа Galactica.

С позиций силового взаимодействия все многослойные вращающиеся структуры являются неустойчивыми. Однако время существования структуры может изменяться в широких пределах. На рис. 6 представлена уже рассмотренная на рис. 1 структура после 1.6 оборота. Изменения в структуре начались из-за разрушения первого, т. е. внутреннего, кольца. Его восемь тел попарно объединились. Дальнейшее их движение приводит к разрушению всей структуры.

Рис. 6. Начало разрушения осесимметричной структуры при N₂ = 5; N₃ = 8; углы _j,1 = 0 и _j,1 = 0.5₀ чередуются; P_rd =1 год; структура совершила 1.6 оборота, а в начальном состоянии она показана на рис. 1.

С помощью программы Galactica были выполнены исследования динамики осесимметричных структур в работах [22], [29] - [33]. Эти исследования показали, что существует широкий спектр поведения осесимметричных структур. Наибольший интерес представляет время существование структуры. Это время тем больше, чем меньше безразмерная скорость вращения системы. Если осесимметричная структура входит в состав других тел, то время ее существования также может существенно увеличиваться. В этом случае тела структуры совершают колебания вдоль орбиты. Это нарушает их тенденцию к сближению, что может приводить к неограниченному времени существование структуры [29].

Представляет интерес изучения динамических свойств структур с помощью программы Galactica. Эти исследования могут привести к использованию рассматриваемых структур в различных задачах небесной и космической динамики. Например, однослойные осесимметричные структуры были использованы для составных моделей вращения Земли [29] и Солнца [30] - [31]. При этом были получены качественные представления об эволюции Земной оси. Кроме того, колебания периферийных тел в этой модели навели на мысль о возможном колебании континентов в широтном направлении [29]. Составная модель вращения Солнца позволила получить избыток вращения перигелия Меркурия, которого недоставало при описании динамики Солнечной системы с помощью закона тяготения Ньютона.

Представляет интерес использования рассматриваемых структур для моделирования процессов образования планетезималей, колец планет, планетарных систем и дисковых галактик. Полученные результаты применимы для объектов микромира. Если в осесимметричной структуре равномерно развернуть в пространстве орбиты тел, то такая структура превратиться в сферообразную. Представляет интерес ее создания и исследования ее динамики. Возможно, полученные представления помогут понять природу шаровых звездных скоплений и происходящих в них процессов.



Заключение

Получено точное решение проблемы N-тел для вращающейся осесимметричной многослойной структуры, расположенной на плоскости. Осевая симметрия структуры заключается в том, что ее геометрические и динамические характеристики не изменяются при повороте на угол равный ₀. Определены параметры конкретных структур с разным количестве слоев и тел в слоях с общим количеством тел до одного миллиона. Полученные параметры проверены численным интегрированием дифференциальных уравнения движения тел, входящих в структуру. Изучение динамических свойств вращающихся структур с помощью программы Galactica позволит в дальнейшем использовать их в различных моделях небесной и космической динамики. Вращающиеся многослойные структуры включают все известные плоские центральные конфигурации гомографической динамики.



Литература

1. Смульский И.И. Теория взаимодействия. - Новосибирск: Из-во Новосиб. ун-та, НИЦ ОИГГМ СО РАН, 1999 г. - 294 с. http://www.ikz.ru/~smulski/TVfulA5_2.pdf.

2. Смульский И.И. Осесимметричная задача гравитационного взаимодействия N-тел// Математическое моделирование, 2003, т. 15, № 5, с. 27-36. http://www.smul1.newmail.ru/Russian1/IntSunSyst/Osvnb4.doc.

3. Гребеников Е.А. Математические проблемы гомографической динамики. М.: МАКС Пресс, 2010. - 256 с.

4. Диарова Д.М., Земцова Н.И., Ихсанов Е.В. Существование центральных конфигураций в одной модели для ньютоновой проблемы восьми тел. / Труды ИСА РАН «Динамика линейных и нелинейных систем», т. 25(1). - 2006, с.6471.

5. Гуцу В.Д., Диарова Д.М., Земцова Н.И. Исследование устойчивости стационарных решений ромбоподобной ограниченной задачи десяти тел. / В сб. Теоретические и прикладные задачи нелинейного анализа. М.: ВЦ РАН. - 2007. С. 99-109.

6. Гребеников Е.А., Диарова Д.М., Земцова Н.И. Существование устойчивых ромбоподобных центральных конфигураций в смысле Уинтнера для ньютоновой модели девяти тел. / В сб. Теоретические и прикладные задачи нелинейного анализа. М.: ВЦ РАН. - 2006. С.65-76.

7. Силушик А. Konieczne i wystarczajace warunki istnienia homograficznych rozwianzan w specjalnym zagadnieniu 7-u i 10-u cial. / Proceeding of the international workshop. Brest: Изд-во БрГУ. - 2003. С. 206-210.

8. Yu X., Zhang S. Central configurations formed by two twisted regular polygons // J. Math. Anal. Appl. 425, pp. 372-380. (2015)

9. Гребеников Е.А., КозакСковородкина Д., Якубяк М. Методы компьютерной алгебры в проблеме многих тел. - М.: Изво РУДН, 2002. - 212с.

10. Albouy, A.: The Symmetric Central Configurations of Four Equal Masses. American Mathematical Society, Providence (1996)

11. Albouy, A., Fu, Y., Sun, S.Z.: Symmetry of planar four-body convex central configurations. Proc. R. Soc. A 464, 1355-1365 (2008)

12. Bang, D., Elmabsout, B.: Configurations polygonales en йquilibre relatif C. R. Acad. Sci. Paris, t. 329, Sйrie II b, pp. 243-248 (2001)

13. Diacu, F.: The masses in a symmetric centered solution of the n-body problem. Proc. AMS 109, 1079-1085 (1990)

14. Hampton, M., Moeckel, R.: Finiteness of relative equilibria of the four-body problem. Invent. Math. 163(2), 289-312 (2006)

15. Llibre, J.: On the number of central configurations in the N-body problem. Celest. Mech. Dyn. Astron. 50, 89-96 (1991)

16. Llibre, J., Mello, L.F.: New central configurations for the planar 5-body problem. Celest. Mech. Dyn. Astron. 100, 141-149 (2008)

17. Moeckel, R.: On central configurations. Math. Z. 205, 499-517 (1990)

18. Perko, L.M., Walter, E.L.: Regular polygon solutions of N-body problem. Proc. AMS. 94, 301-309 (1985)

19. Saari, D.G.: On the role and properties of N body central configurations. Celest. Mech. 21, 9-20 (1980)

20. Shi, J., Xie, Z.: Classification of four-body central configurations with three equal masses. J. Math. Anal. Appl.

363, 512-524 (2010)

21. Xia, Z.: Central configurations with many small masses. J. Differ. Equ. 91, 168-179 (1991)

22. Смульский И.И. Многослойные кольцевые структуры// Письма в ЭЧАЯ, 2011, т. 8, No. 5(168), с. 737-743. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/MnsKoStr4c.pdf.

23. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Из-во «Наука», Главн. ред. физ.-мат. лит.-ры, 1968 г. - 720 с.

24. Смульский И.И. Осесимметричные многослойные вращающиеся структуры / Институт криосферы Земли СО РАН. - Тюмень, 2013. - 27 с. - Илл.: 7.- Библиогр.: 16 назв. - Рус. Деп . в ВИНИТИ 28.10.2013, № 303-В2013. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/OsMVStr.pdf.

25. Smulsky J.J. Galactica Software for Solving Gravitational Interaction Problems // Applied Physics Research, 2012, Vol. 4, No. 2, pp. 110-123. http://dx.doi.org/10.5539/apr.v4n2p110.

26. Smulsky J.J. The System of Free Access Galactica to Compute Interactions of N-Bodies. I.J.Modern Education and Computer Science. - 2012, 11, pp. 1-20. http://www.mecs-press.org/ doi:10.5815/ijmecs.2012.11.01.

27. Смульский И.И. Система Galactica. Институт криосферы Земли СО РАН. - Тюмень, 2012. http://www.ikz.ru/~smulski/GalactcW/.

28. Diarova D., Zemtsova N.I. The Instability of the Rhombus-Like Central Сonfigurations in Newton 9-body Problem/ Computer Algebra in Scientific Computing (CASC 2006), LNCS 4194, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, Chisinau, September 11-15. - 2006, рp. 141-148.

29. Мельников В.П., Смульский И.И., Смульский Я.И. Составная модель вращения Земли и возможный механизм взаимодействия континентов // Геология и Геофизика, 2008, №11, с. 1129-113. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/RGGRu190.pdf.

30. Смульский И.И. Численное моделирование эволюции спутника вращающегося тела / В сб. Теоретические и прикладные задачи нелинейного анализа. Российская Академия Наук: ВЦ им. А.А. Дородницына. М.: ВЦ РАН А.А. Дородницына. - 2008. С. 100-117. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/ModSun07c.pdf.

31. Smulsky J.J. New Components of the Mercury's Perihelion Precession // Natural Science, 2011, Vol. 3, No.4, pp. 268-274. doi:10.4236/ns.2011.34034. http://www.scirp.org/journal/ns.

32. Смульский И.И. Осесимметричное кулоновское взаимодействие и неустойчивость орбит / Институт криосферы Земли СО РАН. - Тюмень, 2013. - 30 с. - Илл.: 12.- Библиогр.: 22 назв. - Рус. Деп. в ВИНИТИ 28.10.2013, № 304-В2013. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/KulInt2.pdf.

33. Smulsky, J. J. (2014). Axisymmetric Coulomb Interaction and Research of Its Stability by System Galactica. Open Access Library Journal, 1, e773. doi: http://dx.doi.org/10.4236/oalib.1100773. p. 1 - 23.

Размещено на Allbest.ru

...