Система свободного доступа Galactica для расчетов взаимодействий N-тел

В файле Sn2010Ap.dat данные для Солнечной системы и Апофиса приведены на дату 04.01.2010 г. с юлианским днем JD = 2445200.5. Массы те же, что и в файле sn49jplc.dat. Координаты и скорости Апофиса из тех же источников, что и в предыдущих файлах (см. [10]).

В файлах snKo2102.dat и snKo2110.dat приведены исходные данные и начальные условия двух моделей трехслойных кольцевых структур: второй и десятой, соответственно [2, 6]. Масса системы тел равна массе всей Солнечной системы. В первом файле представлена устойчивая структура с массой центрального тела, равной массе Солнца, а во втором - неустойчивая структура с массой центрального тела, равной половине массы Солнца.

Как уже отмечалось ранее, все параметры в файлах даны в безразмерном виде: массы отнесены к массе Mss системы тел в килограммах, размеры к характерному размеру Am системы в метрах, скорость умножена на коэффициент kv в сек/м. Для задач, связанных с Солнечной системой, безразмерное время выражено в сидерических столетиях, и принята барицентрическая экваториальная система координат на эпоху 2000.0 года. Для файла sn49f.dat - эпоха 1950.0 года. В конце файлов приведена информационная строка с датой создания начальных условий, количеством тел, Mss, Am, kv.

Кроме вышеперечисленных файлов папки InCndFls имеются еще три файла начальных условий axsymb30.dat, axsymb3c.dat и axsymb3t.dat, которые относятся к осесимметричному взаимодействию 30, 300 и 3000 тел, соответственно. Они находятся в папке Preprtn и могут использоваться для тестирования исполняемых модулей. Кроме того в этой папке приведены образцы входных файлов galacf26.dat для запуска на счет упомянутых трех файла начальных условий. Во входных файлах установлены параметры для хорошего представления результатов в графическом режиме счета.

11. Файлы исполняемых модулей

В папке RunFiles находятся исполняемые модули. В таблице 2 приведены имена основных исполняемых модулей для персонального компьютера и для суперкомпьютера с операционной системой типа Unix. В именах приняты некоторые обозначения. Символы glc означают Galactica. Цифра 3 означает 3-ой вариант, который был подготовлен для общего использования; последний номер варианта в индивидуальном использовании был 34a. Буква «b» с последующими символами означает количество тел.

Таблица 2. Имена основных исполняемых модулей программы Galactica

Исполняемые файлы без графики скомпилированы с помощью Fortran PowerStation v4.0. Исполняемые файлы с графикой, которые компилированы с помощью Compaq Visual Fortran Professional Edition v6.5.0 со стандартной графикой Фортрана, имеют в имени букву p.

Дополнительно к файлам, перечисленным в таблице, в папке RunFiles имеются исполняемые модули с графикой glc3cb30.exe и glc3b1с2.exe на 30 и 120 тел, соответственно. Эти модули скомпилированны Microsoft FORTRAN Compiler V.5.00 и работают на персональных компьютерах под управлением устаревшей системы DOS.

Модуль с именем glc3b30e на 30 тел для суперкомпьютера работает с расширенной длиной числа (34 десятичных знака). Он может считывать файл начальных условий с числами двойной длины, а в файлах результатов все числа будут четверной длины. Скорость счета этим модулем в 33 раза меньше, чем другими модулями. Имеет смысл использовать его при решении таких задач как сближение астероида с небесным телом или для расчета движения космического аппарата с участками взлета и посадки, т.е. при наличии в задаче сближения тел на малое расстояние. Все модули, кроме вышеупомянутого, работают с числами двойной длины.

12. Создание файла начальных условий

После ознакомления с предшествующими разделами исследователь может приступить к постановке своей задачи. В каждой задаче могут возникнуть различные проблемы, для решения которых потребуются свои подзадачи. Ряд таких проблем решен нами в тех задачах, которые опубликованы в работах [3-5, 7-10, 12-21, 24-25]. Когда все проблемы решены и определилась конфигурация системы тел и начальное движение, можно приступать к созданию файла исходных данных и начальных условий. Применительно к задаче осесимметричного взаимодействия N-тел [2] в файле InCnPrpr.mcd дан образец алгоритма для подготовки файла начальных условий. Этот образец выполнен в среде программирования MathCad (см. Приложение 1). Его можно реализовать на любом языке программирования или в среде других математических пакетов. Далее по пунктам этого образца прокомментируем основные действия. В этой задаче задается такая конфигурация взаимодействующих тел: вокруг центрального тела осесимметрично расположены периферийные тела. Они имеют такие скорости, чтобы совершать движение по эллиптическим орбитам с эксцентриситетом e.

В п. 12.1 Приложения 1 дано количество Nb взаимодействующих тел и длины индексов i и i1. Так как индекс начинается с нуля, то его наибольшее значение N меньше Nb на единицу.

В п. 12.2 определены основные константы: гравитационная постоянная G, астрономическая единица AU, сидерический год в днях P_sd и в секундах P_sdsc.

В п. 12.3 представлены массы Земли mEr, Солнца M_S, Солнечной системы M_Ss, плотности тел Roba, большая полуось орбиты (a) движения периферийных тел, ее эксцентриситет (e) и наклон плоскости орбит к плоскости координат xy, которая принята как плоскость экватора Земли.

В п. 12.4 для всех взаимодействующих тел рассчитываются массы в килограммах и радиусы в метрах.

Затем в п. 12.5 по алгоритму работ [1, 4, 5] определяются координаты и скорости периферийных тел в плоскости орбиты. Здесь используются обозначения, введенные нами в книге «Теория взаимодействия» [4-5]: параметр траектории ₁, параметр взаимодействия ₁, а также параметры перицентрия: R_p - радиус и v_p - скорость.

Этот алгоритм рассчитан на взаимодействие любого числа тел. Поэтому необходимо убедиться, что телам не будет тесно на орбите. С этой целью выполняется проверка: расстояние между телами do, отнесенное к сумме их радиусов, не превышает 50. В случае превышения в п. 12.1 с помощью коэффициента k_a увеличивается большая полуось a.

Задача осесимметричного взаимодействия тел нами точно решена [2, 4, 5]. Периферийные тела в данном случае движутся по эллипсам. В п. 12.6 вычисляются эти орбиты и строятся на графиках в координатах ynb(xnb). Индексом i2=1,3.. N в MathCad можно задавать построение графиков не для всех тел. В данном случае орбиты строятся для каждого третьего тела. Эти графики подтверждают, что запланированная конфигурация взаимодействующих тел действительно осесимметрична, и тела движутся по эллиптической орбите с необходимым эксцентриситетом e.

В п. 12.7 плоскость орбит поворачивается на угол относительно оси x. В этом случае дифференциальные уравнения (6) «работают» по всем трем осям: x, y и z, несмотря на то, что первоначальная постановка задачи - плоская. Благодаря этому повороту к рассмотренным в [7, 8] двум десяткам критериям достоверности задачи добавляется еще один. Если при интегрировании уравнений (6) результаты будут давать орбиты, которые отклоняются от первоначальной плоскости, то эти отклонения составят погрешности метода интегрирования.

В п. 12.8 происходит переход к безразмерным переменным. Здесь - ms_N+1 - сумма масс всех тел системы, Am - масштабный фактор длины в метрах, а k_t и k_v в соответствующих единицах СИ - масштабные коэффициенты времени и скорости. Они описаны в параграфе 2.

В этом примере масштабный фактор Am рассчитывается из условия, чтобы единица безразмерного времени была равна сидерическому столетию 100P_sd. Так как Am определяется с некоторой погрешностью при извлечении кубического корня, то далее используется процедура уточнения величины Am.

В п. 12.9 в соответствии с формулами (4)-(5) переменные приводятся к центру масс системы. Здесь, например, Xc_N+1 и Vxc_N+1 - координата и скорость центра масс. В рассматриваемой задаче изначально центр масс находится в начале координат. Поэтому эти величины близки к нулю. Тем не менее, эту процедуру необходимо выполнять и значения параметров центра масс нужно проверять. Это является одним из методов контроля алгоритма расчета начальных условий. В данном случае видно, что значения этих параметров не выше 410^-19. Поэтому, получения результатов расчетов по программе Galactica с меньшей погрешностью необходимо начальные условия подготавливать с большей точностью. Например, подготавливать их с большей длиной числа, чем в среде MathCad.

В п. 12.10 рассчитаны проекции Mx_N+1, My_N+1 и Mz_N+1 моментов количества движения всей системы тел и его модуль M0. Для данной задачи общий момент количества движения всей системы может быть рассчитан также по формуле:

M00 = (Nb - 1)m₁Rpvp. (16)

Далее проводится проверка. Сумма безразмерных масс системы должна быть равна единице. Определяется относительная погрешность момента M0 от его значения M00, рассчитанного по формуле (16), а также относительная погрешность масштабных факторов Am, k_t и k_v. Эти проверки позволяют выявить погрешность алгоритма, а также величину вычислительной погрешности. Как видно, невязка масштабных факторов равна нулю. Этот результат достигнут уточнением величины Am в п. 12.8.

В п. 12.11 проводится расчет числа Mu, которое используется во входном файле galacf26.dat для задания начальных условий для распределенного в области вещества. В данной задаче параметр Mu не используется. Однако для правильного изображения тел в графическом режиме нужно его согласовать с числом тел Nb. В таблице приведены примеры согласованных параметров при разных числах тел Nb:

В п. 12.12 осуществляется запись исходных данных и начальных условий в файл с расширением “.prn”, например, axsymb30b.prn. Этот файл состоит из 15 столбцов. Две первые строки содержат общие данные, состоящие из 24 параметров. Поэтому шесть нулей в конце второй строки нужно удалить и переименовать файл с расширением “.dat”, например, axsymb30b.dat.

После первых двух строк идет столько строк по 15 величин, сколько тел. В конце записана информационная строка, первое число которой является дата: год, месяц, число создания файла начальных условий.

На последующих двух графиках представлены координаты и скорости системы тел. Они являются проверкой искомой конфигурации задачи, запланированной при ее постановке. Как видно из графиков, координаты и скорости тел представляют собой осесимметричные картины, т.е. соответствуют задаче осесимметричного взаимодействия тел.

Рассмотренной программой InCnPrpr.mcd были созданы файлы: axsymb30.dat, axsymb3c.dat и axsymb3t.dat на 30, 300 и 3000 тел, соответственно. С помощью этих файлов можно проверять работу соответствующих исполняемых модулей, определять полные погрешности решения задачи, подбирать шаг интегрирования для обеспечения необходимой точности решения задачи.

В конце настоящего образца программы изложены еще два вопроса, которые бывают необходимы при задании начальных условий. В п. 12.13 рассмотрен алгоритм расчета количества шагов Ltk и скорректированной величины шага по времени dTc для точного решения задачи от одной даты с юлианским днем JD1 до другой с юлианским днем JD2. Потребность в этом расчете возникает при решении задач взаимодействия тел в Солнечной системе.

Если при расчете с помощью программы Galactica безразмерное время используется в сидерических столетиях, то разница времени Tjd в юлианских днях преобразуется в число T в сидерических днях. При заданном шаге dT вычисляется расчетное число шагов Ltkr, которое округляется до близкого значения Ltk. Затем определяется скорректированный шаг dTc.

Расчет здесь выполнен для двух вариантов: 1) в режиме продолжения счета при ключе Kl3, равном 1 или 3, и 2) в режиме первоначального счета при Kl3 = 2 или 4. В последнем случае, как уже отмечалось ранее, счет на первом шаге выполняется с 0.001dT.

В конце выполнена проверка рассчитанных величин Ltk и dTc.

В п. 12.14 приведен алгоритм считывания файла начальных условий или файла результатов типа garez28.dat. В этом возникает необходимость при задании начальных условий на основании файла результатов аналогичной задачи. Кроме того, этот алгоритм может быть использован для анализа результатов.

В первой строке задано количество тел Nbg и длины индексов ig и ig2. В отличие от оператора READPRN используется оператор READ. Он позволяет считывать неупорядоченный файл. После считывания нужные величины могут быть изображены, как показано на графике.

13. Порядок решения задачи

После того, как исследователь определился с конфигурацией системы взаимодействующих тел, их массами, размерами и начальными условиями: координатами и скоростями тел, необходимо приступить к созданию файла начальных условий. Чтобы перейти к безразмерным переменным нужно кроме массы системы M_Ss выбрать еще один масштабный фактор: расстояние Am или единицу безразмерного времени. В последнем случае величина Am определится через это время.

В соответствии с п. 12 подготовить файл начальных условий, например, с именем initial.dat. При подготовке этого файла необходимо стремиться ввести в алгоритм все возможные проверки (в п. 12 ряд таких проверок приведен), чтобы обеспечить полное соответствие параметров файла задуманной конфигурации задачи. Нужно обязательно, как показано в п. 12, вывести конфигурацию положений тел и их скоростей в графическом виде. При большом количестве тел - это самый надежный способ проверки. Затем подготовить числовые величины входного файла galacf26.dat. В п. 4 описаны параметры этого файла и указано основное их функциональное значение. Для первых запусков задачи использовать только самые необходимые функции. В дальнейшем, по мере необходимости можно по одной добавлять остальные функции.

Из папки RunFiles выбрать необходимый исполняемый модуль. Например, если в системе взаимодействующих тел их количество k2 = 29, то необходимо выбрать модуль на 30 тел. Модулем на большее количество тел можно также решать задачу. Однако он будет использовать больше оперативной памяти компьютера, а в ряде случаев это может сказаться на скорости решения задачи.

Если исследователь впервые решает задачу с помощью программы Galactica, то ему следует из папок InCndFls, Preprtn и InpFiles выбрать образцы входного файла и файла начальных условий и опробовать работу выбранного исполняемого модуля в разных режимах работы.

После этого исследователь может запустить на счет свою задачу: вначале на 1 шаг, затем на несколько шагов. Могут возникнуть ошибки считывания входного файла или файла начальных условий. В этом случае необходимо независимым от программы Galactica образом считать эти файлы, например, программой InCnPrpr.mcd с помощью оператора READ и вывести значения всех величин. Как правило, ошибки считывания входного файла легко можно обнаружить сравнением с таким же файлом, который успешно считывается.

При большом времени счета необходимо на небольших интервалах времени определить время счета одного шага и рассчитать время решения всей задачи. По формулам из п. 5 и п. 6, рассчитать количество выдаваемых файлов результатов: 1, 2, 3 … garez28.dat и 1t, 2t, 3t … traekt.prn. Убедиться, что их объем не превышает выделенного для решения задачи объема.

После запуска на счет исполняемого модуля по выдаваемым данным на экран дисплея или в файл выходного потока (см. рис. 1) можно следить за ходом решения задачи. Для постановщика задачи любой из 20 выдаваемых параметров из п. 8 может свидетельствовать о ее особенностях. Поведение этих параметров может предсказать наличие ошибки в постановке задачи или, наоборот, подтвердить правильную ее постановку, и даже помочь предвидеть конечный результат.

Для анализа результатов необходимо представить их в графическом виде. Необходимо анализировать изменение координат отдельных тел во времени, определять их траектории. Если траектории циклические, то необходимо определять элементы орбит тел и анализировать эволюцию элементов во времени.

В вышеупомянутых наших работах разработан ряд методов и программ для анализа результатов расчетов. В последующем мы планируем доработать эти программы для общего пользования и приложить их к системе Galactica.

Благодарности

В работе над системой Galactica на разных этапах мне помогали: Л. И. Смульский, Я. И. Смульский и О. И. Кротов. Вычисления с ее помощью выполнялись на суперкомпьютерах Сибирского суперкомпьютерного центра СО РАН, г. Новосибирск.

Литература

1. Smulsky J. J. Galactica Software for Solving Gravitational Interaction Problems // Applied Physics Research, 2012, Vol. 4, No. 2, pp. 110-123. http://dx.doi.org/10.5539/apr.v4n2p110.

http://www.ccsenet.org/journal/index.php/apr/article/view/16773 .

2. Смульский И.И. Осесимметричная задача гравитационного взаимодействия N-тел// Математическое моделирование. - 2003, т. 15, № 5, с. 27-36. http://www.smul1.newmail.ru/Russian1/IntSunSyst/Osvnb4.doc.

3. Смульский И. И. Многослойные кольцевые структуры// Письма в ЭЧАЯ. 2011. Т. 8, No. 5(168). C. 737-743. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/MnsKoStr4c.pdf.

4. Смульский И.И. Теория взаимодействия. - Новосибирск: Из-во Новосиб. ун-та, НИЦ ОИГГМ СО РАН, 1999 г. - 294 с. http://www.ikz.ru/~smulski/TVfulA5_2.pdf.

5. Smulsky J.J. The Theory of Interaction. - Ekaterinburg, Russia: Publishing house "Cultural Information Bank", 2004. - 304 p. (In English http://www.ikz.ru/~smulski/TVEnA5_2.pdf)

6. Смульский И.И. Динамика (Конспект лекций по теоретической механике для строительных специальностей). Вторая редакция. - Тюмень: ТюмГАСА. - 2004 г. 88 с. 200 экз. http://www.ikz.ru/~smulski/Dinmk3A5.pdf.

7. Мельников В.П., Смульский И.И. Астрономическая теория ледниковых периодов: Новые приближения. Решенные и нерешенные проблемы. - Новосибирск: Академическое изд-во «Гео», 2009. - 98 с. Книга на двух языках. С обратной стороны: Melnikov V.P., Smulsky J.J. Astronomical theory of ice ages: New approximations. Solutions and challenges. - Novosibirsk: Academic Publishing House “GEO”, 2009. - 84 p. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/AsThAnR.pdf.

8. Гребеников Е.А., Смульский И.И. Эволюция орбиты Марса на интервале времени в сто миллионов лет / Сообщения по прикладной математике. Российская Академия Наук: ВЦ им. А.А. Дородницына. М.: ВЦ РАН А.А. Дородницына. - 2007. 63 с. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/EvMa100m4t2.pdf.

9. Smulsky J.J., Smulsky Ya.J. Evolution of Apophis Orbit for 1000 Years and New Space Targets // "Protecting the Earth Against Collisions with Asteroids and Comet Nuclei" - Proceedings of the International Conference "Asteroid-Comet Hazard-2009", Eds.: A. Finkelstein, W. Huebner, V. Shor. - Saint-Petersburg: "Nauka". - 2010. -Pp. 390-395. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/EvlAp3Ec.pdf.

10. Смульский И.И., Смульский Я.И. Эволюция движения астероидов Апофис и 1950 DA за 1000 лет и возможное их использование / Институт криосферы Земли СО РАН. - Тюмень, 2011. - 36 с. - ил. : 10. Библиогр.: 27 назв. - Рус. - Деп. 13.в ВИНИТИ 25.01.11 г. № 21-В2011. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/EvAp1950c.pdf.

11. Standish E.M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE405/LE405 // Interoffice Memorandum: JPL IOM 312. F - 98-048. August 26. 1998. ftp://ssd.jpl.nasa.gov/pub/eph/planets/ioms/de405.iom.pdf.

12. Мельников В. П., Смульский И.И., Смульский Я.И. Составная модель вращения Земли и возможный механизм взаимодействия континентов // Геология и Геофизика, 2008, №11, с. 1129-1138. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/RGGRu190.pdf.

13. Смульский И.И. Составная модель вращения Солнца и смещение перигелия Меркурия / Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики. Материалы VI Всероссийской научной конференции, посвященной 130-летию Томского государственного университета и 40-летию НИИ Прикладной Математики и Механики Томского государственного университета. Томск, 30 сентября - 2 октября 2008 г. - 2008 г. - С. 433-434. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/ModSun51c.pdf.

14. Smulsky J. J. Gravitation, Field and Rotation of Mercury Perihelion// Proceedings of the Natural Philosophy Alliance. 15th Annual Conference 7-11 April 2008 at the University of New Mexiko, Albuquuerque, USA. Vol. 5, No. 2. Published by Space Time Analyses, Ltd. Arlington, MA, USA.- 2009. - Pp. 254-260. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/08Smulsky2c.pdf http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/ModSun04.pdf (перевод).

15. Smulsky J.J. New Components of the Mercury's Perihelion Precession // Natural Science. Vol. 3, No.4, 268-274 (2011). doi:10.4236/ns.2011.34034. http://www.scirp.org/journal/ns или http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/NCmMePNSc.pdf.

16. Smulsky J.J. Computer calculation of components of the Mercury's perihelion precession. In: "Computer Algebra Systems in Teaching and Research. Differential Equations, Dynamical Systems and Celestial Mechanics", L. Gadomski, M. Jakubiak, A.N. Prokopenya (Eds.). - Siedlce, Wydawnictwo Collegium Mazovia, 2011. - Pp. 217-223. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/ComCMePr2c.pdf.

17. Смульский И.И. Численное моделирование эволюции спутника вращающегося тела / В сб. Теоретические и прикладные задачи нелинейного анализа. Российская Академия Наук: ВЦ им. А.А. Дородницына. М.: ВЦ РАН А.А. Дородницына. - 2008. С. 100-118. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/ModSun07c.pdf.

18. Смульский И.И., Смульский Я.И. Движение Апофиса за 1000 лет и возможное его изменение / Современная баллистика и смежные вопросы механики: Сборник материалов научной конференции. - Томск: Томский государственный университет, 2010 г. - С. 315-316. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/DvizhAp3.pdf.

19. Смульский И.И., Смульский Я.И. Превращение астероидов в спутники - реальное направление в противоастероидной защите Земли // Труды Конгресса-2010 "Фундаментальные проблемы естествознания и техники". Часть II (М - У). Серия "Проблемы исследования Вселенной". Выпуск 34-2. Санкт-Петербург, 2010. - С. 263 - 272. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/PrAsSp04c.pdf.

20. Смульский И.И. Движение астероида 1950 DA за 1000 лет и возможное превращение астероида в спутник // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: сборник материалов конференции, посвященной 50 - летию полета Ю.А. Гагарина и 90 - летию со дня рождения основателя и первого директора нии пммтгу А. Д. Колмакова, 12 - 14 апреля 2011 г. Томск: Томский государственный университет. - 2011. - с. 400-401. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/Dv1950DA.pdf.

21. Смульский И.И., Кротов О.И. Расчет движения Апофиса за 100 лет по двум программам:Galactica и Horisons// Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: сборник материалов конференции, посвященной 50 - летию полета Ю.А. Гагарина и 90 - летию со дня рождения основателя и первого директора НИИ ПММТГУ А. Д. Колмакова, 12 - 14 апреля 2011 г. Томск: Томский Государственный университет. - 2011. - с. 402-403. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/ClApGlH20.pdf.

22. JPL Small-Body Database. Jet Propulsion Laboratory. California Institute of Technology.

99942 Apophis (2004 MN4). http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi?sstr=Apophis;orb=1.

23. Bowell E. The Asteroid Orbital Elements Database. Lowell Observatory.

ftp://ftp.lowell.edu/pub/elgb/.

24. Смульский И.И. Конструирование кольцевых структур / Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики. Материалы VI Всероссийской научной конференции, посвященной 130-летию Томского государственного университета и 40-летию НИИ Прикладной Математики и Механики Томского государственного университета. Томск, 30 сентября - 2 октября 2008 г. - 2008 г. - С. 431-432. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/CnsKoStr2.pdf.

25. Смульский И.И. Оптимизация пассивной орбиты с помощью гравиманевра // Космические Исследования, 2008, том 46, № 5, с. 484-492. http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/KOS0484.pdf.

Приложение 1

Образец программы в среде MathCad для создания файла начальных условий

Приложение 2. Моды дисплея в стандартной графике Фортрана

Размещено на Allbest.ru