Свойства гравитационных сфер

Размещено на http://www.allbest.ru/

Свойства гравитационных сфер

Гужеля Ю.А.



Известные со времён Ньютона свойства гравитационных сфер: нулевое значение напряжённости гравитационного поля внутри сферы и обратно квадратичная зависимость напряжённости поля вне сферы, имеют строгое математическое обоснование, но они являются следствием принятых, гипотетических, свойств точечных масс. Речь идёт о следующих условных (гипотетических) свойствах точечных масс составляющих сферу:

Каждая материальная точка сферы создаёт напряжённость обратно пропорциональную квадрату расстояния от точки. Это означает, что если гравитационное поле изображать силовыми линиями, то силовые линии должны расходиться прямолинейно во все стороны от точки и продолжаться бесконечно далеко, не ослабляясь, не прерываясь и не отклоняясь от прямой линии.

Гравитационное поле отдельно взятой точки не деформируется (не изменяется) гравитационными полями других точек сферы.

Очевидно, что можно было предположить наличие у точечных масс других свойств. Например, можно было предположить, что силовые линии гравитационных полей точечных масс способны отклоняться от прямой линии и разворачиваться навстречу силовым линиям других точечных масс. Можно также было предположить, что напряжённость гравитационного поля точечной массы не подчиняется закону обратных квадратов. Но из этих альтернативных предположений невозможно вывести такие же простые (как у Ньютона) свойства гравитационных сфер и «закон всемирного тяготения». Ньютон поступил весьма осмотрительно и принял самый простой вариант начальных условий, избежав при этом многих трудностей.

Задачу об определении притягательной силы шара Ньютон решил поэтапно, доказав несколько теорем: 30, 31, 32, 33, 34, 35, см. Л 3, основными из которых являются теоремы под номерами 30 и 31. Обратимся к формулировкам этих теорем:

Теорема 30

Если к отдельным точкам сферической поверхности направлены равные центростремительные силы, убывающие в отношении квадратов расстояний до этих точек, то частица, помещённая внутри этой поверхности, от таких сил ни в какую сторону притяжения не испытывает.

Теорема 31

При тех же предположениях утверждаю, что частица, находящаяся вне сферической поверхности, притягивается к центру сферы с силою, обратно пропорциональною квадрату её расстояния до центра сферы.

Хочу обратить внимание на краткость изложения Ньютоном первой половины теорем 30 и 31, то есть на изложение условия: «Если к отдельным точкам сферической поверхности направлены равные центростремительные силы, убывающие в отношении квадратов расстояний до этих точек».

Несмотря на свою лаконичность, эти формулировки Ньютона полностью соответствует развёрнутым условиям 1 и 2, сформулированным выше.

Теоремы Ньютона: 30 и 31, помещены в книге 1 (в математическом разделе Начал) и поэтому к Условиям Ньютона (обратно квадратичной зависимости силы притяжения) никаких претензий предъявлять нельзя, ибо условия в математических исследованиях можно принимать любые. Но в книге 3 «О системе Мира» Ньютон применяет теоремы 30 и 31 для описания реальных физических процессов. И здесь, Ньютону, прежде чем пользоваться выводами теорем 30 и 31, необходимо было удостовериться в соответствии действительности условий, положенных в основание этих теорем.

Ньютон же поступил следующим образом. На основе анализа астрономических наблюдений тех лет, он сформулировал ряд однотипных явлений. Приведём здесь для примера формулировку явления № 1: «Спутники Юпитера описывают радиусами, проведёнными к его центру, площади пропорциональные временам; времена их обращений по отношению к неподвижным звёздам находятся в полукубическом отношении их расстояний до этого же центра» В других явлениях говорилось о движении спутников Сатурна, о движении главных планет вокруг Солнца, о движении Луны вокруг Земли. По сути, Ньютон озвучил 3-й закон Кеплера в различных вариациях. В достоверности этих явлений, как и в достоверности 3-го закона Кеплера сомнений нет, но не надо забывать, что астрономические наблюдения проведены с какими то погрешностями, следовательно, и законы, выведенные из этих наблюдений также не совсем точные.

Затем Ньютон сделал три Предложения - Теоремы.

Для примера приведём здесь Предложение II. Теорему II:

«Силы, которыми главные планеты постоянно отклоняются от прямолинейного движения и удерживаются на своих орбитах, направлены к Солнцу и обратно пропорциональны квадратам расстояний до центра его».

Первая часть предложения следует на основании явления V из предложения II книги I, последняя часть - на основании явления из предложения IV той же книги.

Попробуем разобраться в доказательстве этой теоремы, для чего рассмотрим основания, к которым отсылает нас Ньютон.

Предложение II книги I, состоит в следующем:

«Если тело движется по какой-либо плоской кривой так, что радиусом, проведенным к неподвижной точке или к точке, движущейся равномерно и прямолинейно, описываются площади, пропорциональные времени, то это тело находится под действием центростремительной силы, направленной к сказанной точке»

Предложение IV книги I, формулируется следующим образом:

При движении тел, описывающих равномерно различные круги, центростремительные силы направлены к центрам этих кругов и пропорциональны квадратам описываемых в одинаковое время дуг, разделенным³⁷ на радиусы кругов.

Следует прямо сказать, что основания и доказательства обратно пропорциональной зависимости центростремительных сил удерживающих планеты от расстояния до Солнца не состоятельны. Ибо, явления, на которые ссылается Ньютон, позволяют вычислить только центростремительные ускорения планет, а не силу их притяжения. То же самое относится и к предложениям-теоремам, рассмотренным Ньютоном в книге I «О движении тел».

Ньютон, без всяких обоснований, сделал подмену ускорений силами и это самое слабое место Небесной механики Ньютона. Далее, сделав в книге III, в разделе «Правила умозаключений» вполне логичный вывод о том, что все тела тяготеют к друг другу, Ньютон, по-видимому, посчитал возможным применить формулу обратных квадратов и для сил притяжения точечных масс.

Следует подчеркнуть, что закон всемирного тяготения (формула обратных квадратов для определения силы притяжения планет) до сих пор не имеет опытного обоснования. Обратно квадратичная зависимость силы тяготения от расстояния для пробных тел также не имеет надёжного опытного обоснования. Так что, к Ньютону и к его методу есть серьёзные вопросы.

Но сейчас мы рассмотрим малозначительную, на первый взгляд, тему. Рассмотрим свойства гравитационных полей точечных масс и выясним: действительно ли гравитационное поле отдельно взятой точки не деформируется (не изменяется) гравитационными полями других точек сферы? Ньютон в такие подробности не вдавался, но это не праздный вопрос, ибо от этого зависит выполнимость закона обратных квадратов для сил.

Ответ на этот вопрос мы получим из рассмотрения сил действующих на отдельно взятую материальную точку, находящуюся в самых разных местах: в центре сферы, вблизи внутренней поверхности сферы, вблизи внешней поверхности сферы, в оболочке сферы. Найдём также силы, действующие на точечную массу сферы со стороны всей сферы и со стороны отдельных участков сферы, с различных направлений. После чего, останется только сделать вывод: сможет ли гравитационное поле отдельно взятой точечной массы противостоять «натиску» гравитационных полей множества других точечных масс, или нет?

Определим напряженность гравитационного поля в центре сферы, в направлении оси Х, со стороны полусферы, см. рис. 1.

Где, a - радиус сферы;

- толщина сферы; принимаем =1, при условии, что: а>>1

dL - ширина сферической полоски;

dS - площадь сферической полоски;

- угол (в радианах);

d- приращение угла;

- гравитационная постоянная;

Обозначим:

dV - приращение объёма.

- плотность материала;

dE - напряженность в центре сферы, со стороны полоски dS, в направлении оси Х

Из рисунка видно, что:

; y;



dS = ; dS =;

dV == = ;

Используя формулу обратных квадратов, можно записать:

dE =; dE =;

Интегрируя, получим:

E=;

= = = ;

E полусферы = ; (1)

Где, Е полусферы - напряженность в центре сферы, со стороны полусферы, в направлении оси Х.

Напряжённость гравитационного поля противоположной полусферы, в противоположном направлении также будет равна: ; Это очевидно из соображений симметрии.

Примечательно то, что полученное выражение не зависит от радиуса сферы.

Определим напряжённость в близи внутренней поверхности сферы (в точке m), со стороны всей сферы, в направлении оси Х, см. рис. 2.



Где, а - радиус сферы;

- толщина сферы; =1, при условии, что а >> 1;

dL - ширина сферической полоски;

dS - площадь сферической полоски;

- угол, измеряемый в радианах;

- угол, измеряемый в радианах; =/2; d=2d;

m -точка вблизи внутренней поверхности сферы;

dV - приращение объёма;

r - расстояние от dS до точки m.

Из рисунка видно, что:

dL=; dL=;

y=; y=;

dS=; dS=;

dV=; dm=; r=;

Используя закон обратных квадратов, можно записать:

dE=; dE=;



dE=;

E=;

Е внут. пов. сферы =; (2)

То есть, напряжённость в точке (m) , в направлении оси Х, создаваемая всей внутренней поверхностью сферы (за исключением небольшого, прилегающего к точке m, противоположного участка сферы) вдвое больше, чем напряженность в центре сферы.

Если мы рассмотрим пробное тело единичного объёма (в точке m) то напряжённость собственного гравитационного поля такого тела, на единичном расстоянии от его центра, будет равно произведению гравитационной постоянной на плотность:

И отношение напряжённостей внутренней поверхности сферы и пробного тела будет равно:

; (3)

Физический смысл полученного выражения можно сформулировать следующим образом: напряжённость гравитационного поля тонкой сферы, вблизи её внутренней поверхности, превышает напряжённость гравитационного поля пробной массы единичного объёма, на единичном расстоянии от центра этой массы, в 2 раз.

Ещё от Ньютона, мы знаем, что при условии выполнения обратно квадратичной зависимости для гравитационных полей точечных масс, напряжённости противоположных частей сферы в любой точке внутри сферы равны и противоположно направлены. Следовательно, напряжённость в точке m, со стороны ближайшей к точке m поверхности сферы, также должна быть равна: , но направлена противоположно.

Таким образом, в центре сферы напряжённости противоположных половин сферы равны: , а вблизи внутренней поверхности напряжённости противоположных частей сферы равны: , то есть вдвое больше.

Ньютон не вдавался в такие подробности и не рассчитывал величины напряжённостей, создаваемых противоположными частями сферы. Теперь оказывается, что напряжённости противоположных частей сферы изменяются, и, значит, равенство напряжённостей противоположных частей становится не совсем очевидным. Поэтому, чтобы избежать ошибки, найдём независимым способом величину напряжённости в точке m, со стороны ближайшей внутренней поверхности сферы.

Определение напряжённости вблизи внутренней поверхности сферы (в точке m) со стороны ближайшего участка сферы, в направлении (-Х), см. рис. 3.

Где: dy - ширина кольца;

dS - площадь кольца;

r - расстояние от точки m до кольца;

ц - угол между нормалью и радиус-вектором, проведенным из точки m к кольцу, измеряемый в радианах;

dц - приращение угла ц;

l - расстояние от точки m до поверхности сферы



При условии, что это расстояние много меньше радиуса сферы (l <<a), ближайший к точке m участок сферы можно представить как бесконечную плоскость.

Из точки касания перпендикуляра l c плоскостью проведём концентрические окружности, см. Рис. 3:

Из геометрических соображений, см. рис. 3, можно записать:

dS=; dy=; y=;

dS=; dS=;

dV=; dm=;

Из закона обратных квадратов, можно записать:

dE=;

Подставляя в эту формулу, полученное ранее, выражение для dm и интегрируя по всей плоскости (при этом, значение угла ц изменяется от 0 до ) получим:

Е= = =;

Е =; (4)

То есть, вблизи внутренней поверхности сферы напряжённость, со стороны ближайшего участка сферы, равна и противоположно направлена напряжённости, со стороны всей сферы.

Другими словами, силы, действующие на точечную массу m, лежащую на внутренней поверхности сферы, уравновешиваются; также как уравновешиваются силы, действующие на точечную массу m, находящуюся в центре сферы (последнее очевидно также и из соображений симметрии).

Найдём теперь напряжённость вблизи внешней поверхности сферы.

Определение напряжённости вблизи внешней поверхности сферы (в точке m) в направлении оси Х, рис. 4.

В этом случае, напряжённость в точке m складывается из двух величин. Из напряжённости, создаваемой ближайшим к точке участком внешней поверхности, и из напряжённости, создаваемой всей внутренней поверхностью сферы.

Напряжённость, создаваемая внешней поверхностью сферы, определяется так же, как определялась напряжённость, создаваемая ближайшей внутренней поверхностью (см. рис. 3). Она равна: ;

Напряжённость, создаваемая всей внутренней поверхностью сферы, нами уже найдена ранее (см. рис. 2). Она также равна: ;

Обе эти напряжённости действуют в одном направлении: к центру сферы. Поэтому суммарная напряжённость в точке m (на рис. 4) будет равна:

. (5) Этот последний вывод также согласуется с теорией Ньютона. Действительно, по Ньютону, напряженность на внешней поверхности сферы равна произведению гравитационной постоянной на массу сферы делённому на радиус сферы в квадрате. Масса сферы радиусом «а» и с толщиной стенки равной единице будет равна произведению: ; Если это выражение разделить на и умножить на , то мы получим выражение (5)

Вспомним, что суммарная напряжённость в точке m, расположенной вблизи внутренней поверхности (см. рис. 2) равна нулю.

Поэтому, если мы точку m поместим непосредственно в стенку сферы (см. рис.5), то в этом случае напряжённость в точке будет равна полусумме напряжённостей у внутренней и внешней поверхностей сферы. То есть, равна и направлена к центру сферы.

Рассмотрим стенку сферы, в окрестности точки m, в увеличенном масштабе, см. рис. 6

На рисунке мы видим стенку сферы в разрезе, стенка закрашена светло серым цветом; в этой стенке выделен единичный объём, представляющий собой куб с ребром равным единице, закрашен тёмно-серым цветом. Этот единичный объём можно считать точечной массой при условии, что радиус сферы на несколько порядков больше единицы. Пунктиром показана сфера единичного радиуса, центр которой совпадает с центром единичного объёма. На поверхности этой сферы единичного радиуса и сравнивались, ранее, напряжённости гравитационных полей единичного объёма и всей сферы.

Тонкую сферу можно представить и в другом виде, более удобном для дальнейших исследований. Сферу можно представить состоящей из шаровых масс, расположенных в один слой. Диаметр этих шаров примем равным единице. См. рис. 7.

Точка m представляет собой один из шаров. Поверхность единичного радиуса показана пунктиром. Для сферы состоящей из шаров (точечных масс) соотношение напряжённостей гравитационных полей сферы и точечной массы на единичном расстоянии от центра массы также будет равно .

Но для сферы, состоящей из шаров, появляется возможность сравнить напряжённости отдельного шара и сферы на поверхности шара.

Напряжённость на поверхности шара будет равна:



; (6)

Подставляя значение диаметра шара, d=1, получим:

; (7)

Напряжённость создаваемая сферой на поверхности шара будет такой же, как и на единичном удалении от центра шара.

; (8)

Где, К - отношение объёма шара к единичному объёму; К=

Подставляя значение К в (8), получим:

; (9)

Разделив почленно (9) на (7), получим:

; (10)

То есть даже и на поверхности шара напряжённость шара меньше напряжённости сферы, состоящей из таких шаров.

Рассмотренный шар представляет собой малый (точечный) элемент сферы и выбран он произвольно, следовательно, в аналогичной ситуации оказываются все остальные шары, составляющие сферу. Все вместе они подавляют гравитационное поле каждого отдельного взятого шара, даже на его поверхности.

Напряжённость гравитационного поля сферы, в точке m, направлена к центру сферы. Напряжённости же отдельных частиц сферы (по предварительному условию) направлены во все стороны. И что же будет дальше?

Вполне естественно предположить, что под воздействием более сильного гравитационного поля сферы, силовые линии гравитационных полей частиц сферы (материальных точек) направленные наружу сферы развернутся навстречу более мощному гравитационному излучению, то есть, развернутся внутрь сферы.

Но не будем спешить с окончательными выводами, ибо есть и другие, более вероятные, направления разворота силовых линий гравитационных полей точечных масс.

Рассмотрим распределение сил (напряжённостей), действующих на единичную массу со стороны различных участков сферы, видимых по углом к нормали.



На рисунке 8 «а» изображена сфера, состоящая из точечных шарообразных масс m, единичного диаметра, расположенных в один слой, как показано на рис. 7. В направлении ц от нормали конусом с раствором dц в оболочке сферы вырезан эллипс, большая ось которого равна dL, а малая ось равна dц. Площадь эллипса (S) будет равна:

S =; (11)

Где, L - расстояние от точки m до вырезанного участка сферы; - угол, выраженный в радианах.

Напряжённость гравитационного поля в точке m , с направления , со стороны вырезанного участка сферы определится из выражения:

; (12)

Где, К - коэффициент, равный отношению объёма шара единичного диаметра к единичному объёму (т.е. равный объёму шара единичного диаметра); К =;

Подставляя значения (12) в (13), получим:

; (13)

Примем величину =0,1 и по формуле (13) рассчитаем напряженность с различных направлений в точке m. Результаты запишем в таблицу 1:



Таблица 1

(град)	0	22,5	45	67,5	87
	0,0041 1	0,0044 1,07	0,0058 1,41	0,0107 2,61	0,0784 19,1

В нижней строчке записаны относительные значения выражения: ; по этим относительным значениям напряжённости построен график, см. рис 8 «б»

Из таблицы и графика видно, что распределение напряжённостей сферы с различных направлений весьма неравномерное. Набольшее притяжение создают ближайшие к точке m участки сферы.

Определим напряжённость создаваемую точкой m в направлении , на поверхности этой точечной сферы

Из рисунка видно, что напряжённость в направлении ц создаёт масса, заключённая в конусе, закрашенном светло серым цветом. В этом конусе выделен тёмно-серым цветом малый объём dv, находящийся на расстоянии x от поверхности шаровой точечной массы m.

Величина объёма dv и массы dm, заключённой в этом объёме, определится из очевидных соотношений:



; (14)

; (15)

Где, - малый угол, выраженный в радианах

Напряжённость , создаваемая массой , определится из выражения:

; (16)

Подставляя значение dm, получим:

= ; (17)

Интегрируя левую и правую часть выражения, и вынося постоянные за знак

интеграла, получим:

; ; (18)

Подставляя, ранее принятое, значение = 0,1, получим:

=0,00785

Очевидно, что в любом направлении , напряжённость создаваемая шаром одинакова.

То есть, в любом направлении, в конусе с углом =0,1, напряжённость гравитационного поля точечной массы на её поверхности равна 0,00785.

Сравним это значение с величинами напряжённостей со стороны сферы, указанных в таблице 1.

Из таблицы видно, что напряжённость со стороны ближайших участков сферы (например, при ) превышает напряжённость точечной массы в этом направлении. Нетрудно подсчитать, что превышение начинается при >58,5. А, при , напряжённость со стороны сферы превышает напряжённость точечной массы уже в 10 раз.

К чему приведёт это подавляющее превышение напряжённости со стороны ближайших участков сферы?

Очевидно, это приведёт к повороту силовых линий других направлений шаровой точечной массы m в направлении ближайших участков сферы. Но точечная масса m выбрана произвольно и ничем не отличается от других точечных масс, составляющих сферу; следовательно, силовые линии гравитационных полей всех точечных масс развернутся в направлении ближайших участков сферы. Этот разворот ещё более усилит напряжённость со стороны ближайших участков сферы и заставит разворачиваться силовые линии всех точечных масс до тех пор, пока они не совпадут с касательными, проведёнными к сфере, как показано на Рис. 10.



Внутри такой сферы не только результирующая величина гравитационных сил равна нулю, но гравитационное поле вообще отсутствует.

Однако следует подчеркнуть, что такая картина распределения силовых линий сферы, получена при условии, что гравитационная сфера настолько удалена от больших гравитирующих масс, что напряжённостью их гравитационных полей можно пренебречь, в сравнении с напряжённостью гравитационного поля самой сферы.

Для гравитационных сфер, созданных руками человека, такие условия могут быть обеспечены только где-нибудь на периферии Солнечной системы. Так что, на практике, создать и использовать свойства гравитационной сферы, изображённой на рис. 10, весьма сложно. Однако не исключено, что имеются природные полые небесные тела (планеты и их спутники), с распределением гравитационного поля, близким к распределению изображённому на рис. 10. Способность силовых линий гравитационных полей точечных масс разворачиваться в направлении наибольшей напряжённости делает вероятным образование полых небесных тел.

Предположим, что силовые линии точечных масс, составляющих сферу, однажды развернувшись навстречу друг другу, в дальнейшем распространяются прямолинейно. В этом случае, напряжённость создаваемая такой сферой будет уменьшаться пропорционально квадрату расстояния от центра сферы.

Но очевидно, что это слабое предположение. Ибо, если уж силовые линии поля гравитационного поля способны разворачиваться внутри точечной массы, то вряд ли они смогут распространяться прямолинейно на удалении от поверхности сферы. Из рисунка 10 видно, что силовые линии, не самых близких, материальных точек пересекаются под углом и следует ожидать, что они, взаимодействуя, несколько развернутся навстречу друг другу, уменьшив угол пересечения. Так что, по-видимому, силовые линии сферы при удалении от поверхности будут искривляться. И, значит, напряжённость гравитационного поля сферы будет убывать быстрее, чем по закону обратных квадратов.

Таким образом, предположение о независимости действия сил отдельных точечных масс и математический анализ взаимодействия точечных масс, составляющих сферу, приводит нас к выводу, отвергающему первоначальное предположение. Следовательно, первоначальное предположение о независимости действия сил содержит в себе скрытое противоречие и его нельзя считать очевидным и правильным.

Формула обратных квадратов для силы притяжения сферы, получена Ньютоном геометрическим методом из предположения наличия аналогичных свойств у точечных масс. По умолчанию, Ньютон в своих выводах также использует принцип независимости действия сил точечных масс, составляющих сферу.

Используя те же начальные условия и применив аппарат дифференциального и интегрального исчисления, нами получены аналогичные результаты. Однако вопрос о соответствии начальных условий действительности остаётся открытым.

Анализ, проведённый выше, показывает очевидную слабость принципа независимости действия сил.

Гравитационные поля материальных точек, образующих сферу, зависимы друг от друга, также как зависимы поля электрических зарядов проводящей сферы. В гравитационной сфере, при отсутствии внешних гравитационных полей, поля точечных масс разворачиваются навстречу друг другу, при этом напряжённость поля каждой материальной точки равномерно распределена в плоскости касательной к сфере в данной точке. В электрически заряженной сфере поля зарядов вытесняют друг друга из внутренней полости сферы, вследствие чего распределение напряжённости на поверхности сферы имеет радиальную направленность, см. Л 2, рис. 2.

Опытным путём подтвердить структуру гравитационного поля удалённой сферы сложно, но зато структура (распределение силовых линий) электростатического поля заряженной сферы хорошо известна и она явно указывает на взаимное влияние электрических зарядов сферы, см. Л 2.

Таким образом, условия, из которых выведена формула обратных квадратов, не очевидны, противоречивы и не имеют опытного обоснования. Следовательно, формула обратных квадратов для силы взаимодействия материальных тел не может считаться физическим законом, несмотря на наличие строгой математической связи между условиями и выводом. Эта гипотетическая формула требует экспериментальной проверки.



Используемая литература

гравитационный центростремительный сила планета

1. Гужеля Ю.А. «Математические упражнения в натуральной философии» http://new-idea.kulichki.net/pubfiles/ раздел Физика, публикация от 02.04.2008.

2. Гужеля Ю.А. «Неявное свойство заряженных сфер» http://new-idea.kulichki.net/pubfiles/ раздел Физика, публикация от 01.07.2009.

3. Исаак Ньютон «Математические начала натуральной философии». Перевод с латинского и комментарии А.Н. Крылова, предисловие Л.С. Полака. Москва «Наука» 1989.

Размещено на Allbest.ru

...