Магнитное поле Земли и других небесных тел

Размещено на http://www.allbest.ru/

Магнитное поле Земли и других небесных тел

Борис Васильев



Рецензия

Многие модели земного магнетизма стремятся в первую очередь объяснить, почему главное магнитное поле Земли возле её полюсов близко к 1 Э. Такой подход к основной проблеме земного магнетизма в наши дни неприемлем. Космические полёты и развитие астрономических приборов показали замечательный неизвестный ранее факт: магнитные моменты всех планет Солнечной системы, некоторых спутников этих планет и ряда звёзд пропорциональны их моментам вращения. Таким образом, эта геофизическая задача переросла в частный случай более общей задачи магнетизма космических тел. Этот факт требует переосмысленного построения модели внутреннего строения Земли и переформулировки главной задачи земного магнетизма, поскольку необходимо объяснить, почему отношение магнитного момента Земли к её моменту вращения, так же как и других космических тел, близко к отношению мировых констант G1/2/c. Ранее эта проблема исследовалась в работах [1, 2].

Проведённые расчёты показывают, что в состоянии с минимальной энергией Земле энергетически выгодно иметь ядро с радиусом примерно равным половине радиуса Земли, состоящее из электрон-ионной плазмы. Полученные в результате расчётов радиальное распределение плотности, момент инерции и магнитный момент Земли удовлетворительно согласуются с данными измерений. Приведённые с этой статье вычисления опираются на результаты, ранее опубликованные в работе [3].

PACS 64.30 - Уравнение состояния вещества.

PACS 91.35 - Внутренне строение Земли и её свойства.

PACS 91.35.Cb - Модели внутренней структуры.



О магнитном поле Земли

Модели земного магнетизма.

Всё можно понять в окружающей природе. Непонятно только, почему есть звёзды на небе и откуда у Земли магнитное поле.

Реплика, приписываемая Л.Д. Ландау

Загадка магнитного поля Земли уже насколько веков волнует исследователей.

Один из первых европейских учёных современной формации У. Гилберт издал в 1600 году книгу «О магните, магнитных телах и большом магните - Земле» [4].

Принято считать, что самый важный экспериментальный факт, которому должна удовлетворять модель магнитного поля Земли, есть дипольный характер главного поля с величиной напряжённости вблизи полюсов примерно равной 1 Э.

Гилберт предполагал, что внутри Земли имеется область, заполненная намагниченным ферромагнетиком (если использовать современный термин). Более поздние исследования показали, что температура в центральной области Земли высока - выше температуры Кюри ферромагнетиков. Поэтому намагниченным ядро Земли быть не может.

Позже предлагалось много различных моделей магнитного поля Земли. В частности, несколько моделей, основанных на модели термоэлектричества. В 40-е годы прошлого века была разработана модель динамо [5], которая завоевала признание специалистов.

Следует заметить, что для работы такого механизма необходимо наличие некого затравочного поля, которое может быть усилено. В присутствии только космического поля (? 10?-7 Э), работоспособность этой модели вызывает большие сомнения.

Сомнения в работоспособности модели динамо в последующие десятилетия возникали у многих учёных, и по этой причине вплоть до последнего времени появляются всё новые модели этого явления.

Гипотеза Блэкетта

По другому к проблеме магнитных полей космических тел подошёл барон П.М.С. Блэкетт, Нобелевский лауреат и Президент лондонского королевского общества [6].

Он высказал предположение о том, что магнитное поле порождается не только движущимся электрическим зарядом, но и любой движущейся нейтральной массой. Позже стали предполагать, что это может быть следствием того, что электрические заряды электрона и протона не равны друг другу. Оценивали, что их разница должна быть очень мала - не уровне 10 -18e.

Однако такой ничтожной разницы было достаточно, чтобы у всех космических тел за счёт их вращения вокруг собственной оси возникло магнитное поле той величины, которую дают измерения.

Естественно, что при таком подходе должна существовать связь между магнитным моментом космического тела ? и его моментом вращения L. Блэкетт показал, что отношение этих величин (гиромагнитное отношение) зависит только от мировых констант:

звезда плазма магнитный планета

L?G?vc =?L?Gc, (1)

здесь G - гравитационная константа, c - скорость света.

Однако гипотеза Блэкетта была отвергнута, несмотря на её красоту и привлекательность. Причём отказался от неё сам Блэкетт. Высокоточные эксперименты, проведённые Блэкеттом, а также и другими экспериментаторами, показали, что магнитное поле искомой напряжённости электрически нейтральные массивные тела в лабораторных условиях не создают.

Данные измерений магнитных полей космических тел

Геофизики, занимавшиеся проблемой земного магнетизма, своей задачей первого плана видели построение такой теории, которая объясняла бы причину, почему главное магнитное поле Земли вблизи её полюсов примерно равно 1 Э.

Во второй половине ХХ века такая постановка задачи оказалась неприемлемой, потому что к этому времени эта геофизическая задача переросла в частный случай более общей задачи магнетизма космических тел.

Полёты космических аппаратов во второй половине ХХ века и общий прогресс астрономической техники обнаружили замечательный, неизвестный ранее факт: магнитные моменты всех космических тел Солнечной системы, а также целого ряда звёзд и пульсаров, пропорциональны моментам вращения этих космических тел (рис.), как это должно быть в соответствии с гипотезой Блэкетта.

Замечательно то, что эта зависимость сохраняет линейность в пределах около 20 порядков!

Рис. Измеренные значения магнитных моментов космических тел в зависимости от их моментов вращения [7]. По ординате - логарифм магнитного момента (в Гс·см3), по абсциссе - логарифм момента вращения (в эрг·с). Сплошная линия иллюстрирует зависимость Блэкетта



Атомное вещество и плазма

Все окружающие нас земные вещества имеют атомную структуру. Это означает, что в конденсированном состоянии (не в газовом) плотность веществ определяется взаимодействием между электронными оболочками соседних атомов.

Теплоёмкость всех атомных тел положительна. Поэтому тепловая энергия этих тел стремится к минимуму (к нулю) при Т > 0.

В веществе с плотностью ? поле тяготения с ускорением g порождает силу ?g. В атомных веществах эта сила уравновешивается градиентом давления p, который возникает во взаимодействии атомных оболочек. Равновесное состояние вещества с атомной структурой в поле тяготения описывается уравнением Эйлера:

?g=p.?g=?p. (2)

Другим (не атомным) веществом является открытая в середине прошлого века плазма. В этом состоянии, в которое переходят все атомные вещества под действием очень высоких давлений или температуры, атомы ионизируются полностью или частично. В результате получаются электронный газ и голые ядра или ионы, образующие электрон-ядерную или электрон-ионную плазму. Свойства плазмы коренным образом отличаются от свойств атомного вещества, поскольку вместе с отсутствием электронных оболочек исчезает их взаимодействие, за счёт которого в атомных веществах под действием тяготения возникал градиент давления.

Равновесное состояние горячей плотной плазмы

Оказывается, что для горячей плотной плазмы, которая формирует внутренние области космических тел, минимумом энергии обладает состояние с конечной плотностью и температурой.

Классическая плазма и распределение Больцмана

Свободные электроны, будучи фермионами, в соответствии с распределением Ферми - Дирака, при низких температурах должны заполнять энергетические уровни, лежащие ниже энергии Ферми EF. При высоких температурах и высоких давлениях все вещества превращаются в электрон-ядерную плазму (eN-плазму). В высокотемпературной плазме борются две тенденции. При kT >> EF поправки на Ферми-статистику для плазмы становятся малыми. Но их роль увеличивается при повышении давления, ведущего к увеличению плотности электронного газа и соответствующему росту EF. При условии, когда квантовые отличия в поведении электронного газа малы, появляется возможность рассматривать электронный газ как идеальный, подчиняющийся статистике Больцмана. Критерий применимости классической статистики

TEFkTEFk (3)

для нерелятивистского электронного газа с плотностью частиц 1025 см-3выполняется при T >> 106 K.

При такой температуре плазма обладает энергией

E=32kTN,E=32kTN, (4)

и её уравнение состояния есть уравнение идеального газа

p=NkTV.p=NkTV. (5)

Но даже при столь высокой температуре плазму можно рассматривать как идеальный газ только в первом приближении. Для более точного описания её свойств необходимо принять во внимание специфику взаимодействия её частиц, учтя в первую очередь две главных характерных для неё поправки к закону идеального газа. Первая поправка - это поправка на Ферми-статистику, которой подчиняется электронный газ плазмы. В соответствии с принципом Паули электрон при заполнении энергетических уровней не может попасть на те, которые уже заняты другими электронами. Соответственно, эта поправка должна быть положительной, т.к. ведёт к увеличению энергии плазмы по сравнению с идеальным газом той же плотности при той же температуре.

Вторая поправка - это так называемая корреляционная поправка, которая учитывает корреляцию к расположению заряженных частиц за счёт электрического взаимодействия, что ведёт к уменьшению энергии плазмы по сравнению с идеальным газом той же плотности при той же температуре. Поэтому эта поправка должна быть отрицательной.

Энергия горячей плазмы с поправкой на Ферми-статистику

Энергия электронного газа в больцмановском случае (kT >> EF) может быть получена из выражения для полной энергии нерелятивистского газа Ферми-частиц [8]:

E=21/2Vm3/2e?23??0?3/2d?e(???e)/kT+1E=21/2Vme3/2?2?3?0??3/2d?e(???e)/kT+1 (6)

путём разложения её в ряд. (Здесь me, ?, ?e - масса, энергия и химический потенциал электронов).

В больцмановском случае ?e < 0 и |?e/kT| >> 1, поэтому подынтегральное выражение при e?e/kT1e?e/kT1 может быть разложено в ряд по степеням e?e/kT??/kTe?e/kT??/kT. Если ввести обозначение z = ?/kT и сохранить два первых члена разложения, получается

I?(kT)5/2??0z3/2dzez??e/kT+1??(kT)5/2??0z3/2(e?ekT?z?e2(?ekT?z)+..)dzI?(kT)5/2?0?z3/2dzez??e/kT+1??(kT)5/2?0?z3/2(e?ekT?z?e2(?ekT?z)+...)dz (7)

или

I(kT)5/2?e?ekT?(32+1)?125/2e2?ekT?(32+1)??3???v4e?e/kT(1?125/2e?e/kT).I(kT)5/2?e?ekT?(32+1)?125/2e2?ekT?(32+1)??3?4e?e/kT(1?125/2e?e/kT). (8)

Так что полная энергия горячего электронного газа

E?3V2(kT)5/22-v(me?2)3/2(e?e/kT?125/2e2?e/kT).E?3V2(kT)5/22(me??2)3/2?(e?e/kT?125/2e2?e/kT). (9)

С учётом определения химического потенциала идеального газа (частиц со спином 1/2) [8]

?e=kTlog[Ne2V(2? 2mekT)3/2]?e=kTlog[Ne2V(2? 2mekT)3/2] (10)

получим полную энергию горячего электронного газа с поправкой на Ферми-статистику:

Ee?32kTNe[1+?3/24(aBe2kT)3/2ne].Ee?32kTNe[1+?3/24(aBe2kT)3/2ne]. (11)

Здесь aB=2mee2aB=2mee2 - радиус Бора.



Корреляционная поправка к энергии невырожденной плазмы

В очень горячей плазме частицы равномерно распределены по объёму. При понижении температуры внутри плазмы устанавливается некоторый порядок - заряженные частицы одного знака экранируют электрические поля частиц другого знака. Корреляция в расположении частиц плазмы ведёт к уменьшению её давления. Поэтому поправка на электростатическое взаимодействие между частицами должна быть отрицательной. Эту поправку можно оценить, используя метод, развитый Дебаем и Хюккелем для сильных электролитов [8]. Электростатический потенциал ядра с зарядом Ze внутри плазмы спадает в соответствии с законом Дебая:

?(r)=eZrexp(?rrD).?(r)=eZrexp(?rrD). (12)

Здесь

rD=(4?e2kT?anaZ2a)?1/2rD=(4?e2kT?anaZa2)?1/2 (13)

- радиус Дебая. На малых расстояниях по сравнению с радиусом Дебая (r/rD << 1) дебаевский потенциал может быть разложен в ряд

?(r)=Zer?ZerD+...?(r)=Zer?ZerD+... (14)

Следующие члены разложения обращаются в нуль при r > 0. Первый член этого разложения есть просто кулоновский потенциал рассматриваемой частицы. Второй член

E=?e3?kTV?????v(?aNaZ2a)3/2E=?e3?kTV(?aNaZa2)3/2 (15)

- это интересующий нас эффект влияния других частиц.

Таким образом, корреляционная энергия плазмы, состоящей из Ne электронов и (Ne/Z) ядер с зарядом Z в объёме V:

E„{„Ђ„‚„‚=?e3?nekT????vZ3/2NeEкорр=?e3?nekTZ3/2Ne (16)

Энергетически выгодное состояние горячей плазмы

Энергетически выгодная плотность горячей плазмы.

С учётом обеих главных поправок на неидеальность энергия горячей плазмы

E„Ѓ„|„x„}?32kTNe[1+?3/24(aBe2kT)3/2ne?2?1/23e3(ZkT)3/2n1/2e].Eплзм?32kTNe[1+?3/24(aBe2kT)3/2ne?2?1/23e3(ZkT)3/2ne1/2] (17)

Внутри звезды, находящейся в равновесном состоянии, выделяется энергия, которая затем, пройдя через толщу вещества, излучается с поверхности звезды. При нахождении устойчивого состояния звезды естественно полагать, что ему соответствует минимум энергии её вещества, но при этом излучение, конечно, неравновесно и может рассматриваться как некая внешняя среда, в которую погружено вещество звезды. Равновесному состоянию тела во внешней среде соответствует минимум величины [8, §20]

E - T0S + p0V. (18)

Здесь T0 и p0 - температура и давление среды. Учитывая, что излучение уходит в вакуум, где температура и давление излучения малы, двумя последними слагаемыми можно пренебречь и записать уравнение равновесия вещества как минимум его полной энергии:

dE„Ѓ„|„x„}dne=0,dEплзмdne=0, (19)

откуда из (17) получаем, что условию равновесия горячей плазмы соответствует плотность электронного газа

n„‚„r„ѓe?n=169?Z3a3B?3,821024Z3„ѓ„}?3.neрвс?n=169?Z3aB3?3,82 1024Z3см?3. (20)

Таким образом, равновесная плотность электронного газа горячей гелиевой плазмы должна быть близка к 3·1025 см?-3.

Оценка энергетически выгодной температуры плазмы горячей звезды

Оценим вклад высокотемпературного излучения в суммарную энергию равновесной системы. Теорема вириала [8, 9] утверждает, что полная энергия частиц, взаимодействующих по закону Кулона и формирующих устойчивую систему, должна быть равна их кинетической энергии, взятой со знаком «минус» (т.к. речь идёт об устойчивой системе, энергия которой должна быть отрицательной):

E„Ѓ„|„x„}=U+32kTNe=?32kTNe.Eплзм=U+32kTNe=?32kTNe. (21)

Здесь U ? -GM2/R0 - потенциальная энергия системы, M и R0 - масса и радиус звезды, G - гравитационная константа. Энергия системы составляется из энергии частиц плазмы и, т.к. имеются в виду высокие температуры, энергии излучения:

E„ѓ„„??32kTNe+?215(kTc)3VkT.Eст??32kTNe+?215(kTc)3VkT. (22)

В равновесном состоянии она должна быть минимальна



(?E„ѓ„„?T)N,V=0.(?Eст?T)N,V=0. (23)

Это условие при

Ne/V=nNe/V=n

позволяет оценить температуру, характеризующую минимум энергии звезды:

T?ZckaB?107ZK.T?ZckaB?107ZK. (24)

Полученная оценка может вызвать недоумение. В «земных» условиях минимум энергии любых веществ достигается при T > 0. Это связано с положительностью собственной теплоёмкости всех веществ. Особенность звезды как устойчивого термодинамического объекта состоит в том, что полная энергия её вещества отрицательна и пропорциональна его температуре (21). С ростом температуры она растёт по абсолютной величине (будучи отрицательной). Этот процесс, отражающий влияние тяготения на вещество звёзды, характеризуется отрицательной эффективной теплоёмкостью, хотя, конечно, собственная теплоёмкость звёздного вещества (без учёта тяготения, действующего между частицами вещества) остаётся положительной. При дальнейшем повышении температуры всё большую роль начинает играть излучение (с энергией ? T?4). Когда его роль станет доминирующей, звезда приобретёт положительную теплоёмкость. Минимуму энергии звезды соответствует точка между этими двумя ветвями.

Оценка корректности принятых допущений

При разложении в ряд полной энергии Ферми-газа предполагалось, что выполняется условие применимости статистики Больцмана (3). Подстановка полученных значений равновесной плотности nn (20) и равновесной температуры TT (24) показывает, что отношение

EF(n)kT?3,1Z?1.EF(n)kT?3,1Z?1. (25)

Здесь ? ? 1/137 - постоянная тонкой структуры.

Условие, использованное нами при разложении в ряд электрического потенциала на ядре (14), при соответствующих подстановках сводится к виду

rrD?(n1/3rD)?1??1/21.rrD?(n1/3rD)?1??1/21. (26)

Таким образом, полученные значения равновесных значений плазмы согласуются с допущениями, использовавшимися при их выводе.

Внутреннее строение звезды

Тот факт, что горячая плотная плазма в минимуме энергии имеет постоянную температуру и плотность, означает, что для такой плазмы энергетически выгодно состояние без градиента давления:

p=(nT)=0.p=(nT)=0. (27)

В присутствии гравитации это возможно, если сила тяжести, действующая на частицы плазмы, будет скомпенсирована электрической силой, возникающей за счёт поляризации плазмы P?P?:

?g+4?P divP =0.?g+4?P divP =0. (28)

Для наглядного представление сил, действующих в поляризованной среде, используя уравнения электродинамики, можно представить в терминах эффективного связанного заряда с плотностью:

?„Џ„†„†=?divP ?эфф=?divP (29)

при этом эффективная напряжённость поля, «создаваемая» этим эффективным зарядом:

Eэфф=?4?P .Eэфф=?4?P . (30)

Используя эти эффективные параметры, уравнение равновесия для плотной горячей плазмы можем переписать в виде:

?g+?„Џ„†„†E„Џ„†„†=0.?g+?эффEэфф=0. (31)

Следует подчеркнуть, что эффективные величины ?эфф и Eэфф введены для наглядности записи равновесия сил. Реально электронейтральность в электрически поляризованной плазме ядра сохраняется.

Равновесие плазмы в ядре звезды

Условие равновесия (28) для плазмы с энергетически выгодной постоянной плотностью n n достигается при

P =G??v? r,P =G? r, (32)

здесь плотность массы ? =AZmPn ,? =AZmPn , A и Z - массовое число и зарядовое число атомных ядер, из которых сформирована плазма, mP - масса протона.

В этом случае плазма приобретает эффективный заряд с плотностью



?„Џ„†„†=G??v? ,?эфф=G? , (33)

а электрическое поле, действующее на плазменную ячейку

E„Џ„†„†=gG??v.Eэфф=gG. (34)

Основные параметры ядра звезды

Зная одновременно плотность плазмы n n и температуру T T , которые соответствуют минимуму энергии вещества ядра звезды, можно оценить массу ядра M M и его радиус R R . Согласно теореме вириала потенциальная энергия частиц, совершающих финитное движение, должна быть равна их удвоенной кинетической энергии (с обратным знаком поскольку потенциальная энергия связанных частиц отрицательна):

GM2 R =2 32kT N .GM 2R =2 32kT N . (35)

Здесь N =4?3R3 n N =4?3R 3n - полное число частиц в плазменном ядре звезды.

Используя полученные определения (20) и (24), получаем радиус электрически поляризованного ядра звезды

R ?(MChmp)1/3aBA,R ?(MChmp)1/3aBA, (36)

здесь MCh=mp(cGm2P)3/2MCh=mp(cGmP2)3/2 - масса Чандрасекара.

При этом масса ядра звезды

M ?MCh(A/Z)2.M ?MCh(A/Z)2. (37)



Вычисления полной массы звезды показывают, что она превышает массу ядра в два раза [11], [12]:

M„x„r?2M Mзв?2M (38)

Магнитные моменты звёзд

Тонкая сферическая оболочка радиуса r, несущая на себе электрический заряд q, при вращении вокруг своей оси с частотой ? приобретает магнитный момент

? =r23cq?.?>=r23cq?. (39)

Вращение шара, внутри которого распределён электрический заряд ?(r), индуцирует у него появление магнитного момента

? =?3c?R0r2?(r)4?r2dr.?>=?3c?0Rr2?(r)4?r2dr. (40)

Поэтому положительно заряженное ядро звезды создаст магнитный момент

? +=G??vM R2 5c?.?>+=GM R 25c?. (41)

На поверхности ядра звезды распределится отрицательный заряд, равный по величине положительному объёмному. Поляризацию вещества звезда, находящегося над ядром - звёздной атмосферы - мы здесь не принимаем во внимание. Отрицательный поверхностный заряд создаст магнитный момент



? ?=?G ? vM R2 3c?.?>?=?GM R 23c?. (42)

Так что суммарный магнитный момент ядра получается равным

? ?=?2G??vM R2 15c?.?>?=?2GM R 215c?. (43)

В это же время механический момент вращения шара с массой M и радиусом R

L=25M R2 ?.L=25M R 2?. (44)

Таким образом, для космических тел, в плазме которых сила собственного тяготения вызывает электрическую поляризацию, в соответствии с уравнением (33), гиромагнитное отношение будет зависеть только от мировых констант:

??L??G??v3c.??L??G3c. (45)

Это соотношение было впервые получено Блэкеттом [6], показавшим, что гиромагнитные отношения для Земли, Солнца и звезды 78 Vir, действительно, близки G??v/cG/c.

В настоящее время магнитные поля, массы, радиусы и скорости вращения измерены для всех планет Солнечной системы и некоторых звёзд [7]. Как видно из рис. 3, построенного на основании этих данных, их гиромагнитные отношения удовлетворительно согласуются с соотношением Блэкетта.

Сделав несколько допущений, те же параметры можно определить для пульсаров. Измерения показывают, что по порядку величины все пульсары имеют одну и ту же массу [10], что согласуется с условием равновесия холодной релятивистской материи [11]. Исходя из этого, массу и радиус пульсаров можно считать известными. В соответствии с общепринятой точкой зрения, скорость их вращения равна характерной частоте их излучения. Сделанные допущения позволяют определить гиромагнитные отношения тех трёх пульсаров, для которых измерены магнитные поля на их полюсах [13]. Как видно из рис. 3, гиромагнитные отношения указанных пульсаров удовлетворительно согласуются с равенством Блэкетта.

Следует заметить, что построение теории земного магнитного поля невозможно без более общего подхода:

1. Сначала необходимо построить теорию внутреннего строения Земли, понять, в каком состояния и в каких количественных соотношениях находятся вещества, её составляющие.

2. Только после этого можно строить модель механизма, возбуждающего магнитное поле в земных недрах.

Соотношение между средней плотностью Земли (??5,5„s/„ѓ„}3??5,5г/см3) и плотностью вещества вблизи её поверхности (?0 ? 3,2 г/см3), а также прямые сейсмические измерения говорят о наличии у Земли ядра с высокой плотностью.

Доминирующая в настоящее время модель Земли предполагает наличие у неё жидкого проводящего (металлического) ядра, расположенного глубже примерно половины её радиуса. Этот взгляд на строение Земли восходит ещё к Г. Лейбницу, который высказал его, наблюдая за работой плавильной домны в XVII веке. В домне тяжёлый расплавленный металл опускался вниз, а лёгкие шлаки всплывали.

Кажется, что ядро может образоваться из тяжёлых металлов также за счёт силы тяжести. Тяжёлые расплавленные металлы под действием силы тяжести опустятся к центру Земли, более лёгкие граниты и базальты всплывут на поверхность.

Такое представление ошибочно. Это конечно не так. Вблизи центра космического тела тяготение слабо. В центре Земли оно просто равно нулю.

Так что высокоплотное ядро Земли должно образоваться под действием другого механизма.

Таким механизмом является превращение любого твёрдого вещества в плазму. Плазменное состояние, в которое переходят все вещества при очень высоких давлениях и температурах, было открыто сравнительно недавно - в середине ХХ века. В настоящее время считается установленным, что центральные области звёзд состоят из электрон-ядерной плазмы. Она образуется в результате действия сверхвысоких давлений и температур. Под этим воздействием атомы звёздного вещества полностью теряют все электронные оболочки, и внутризвёздная плазма состоит из электронов и голых ядер.

Давления и температуры, которые существуют внутри планет, меньше звёздных на несколько порядков. Их воздействия не достаточно для того, чтобы оторвать от атомов все электроны. Они отрывают от каждого атома только несколько электронов с внешних оболочек. В результате в центральной области планеты должна образоваться электрон-ионная плазма.

Не существует простого метода определить, сколько атомных оболочек будет разрушено в результате этого воздействия, и каков будет объём плазменного ядра. Эту задачу можно решить минимизируя полную энергию планеты.

Эта задача является главной для этой статьи и будет решена ниже.

Теория Земли, построенная методом минимизации полной энергии

Познакомился я там с несколькими профессорами. Один из них всё время ходил за мной по пятам и разъяснял, что... внутри земного шара имеется другой шар, значительно больше наружного.

Я. Гашек. Похождения бравого солдата Швейка. Глава IV. Швейка выгоняют из сумасшедшего дома



Плазменное ядро Земли

В середине ХХ века была открыто плазменное состояние вещества. В это состояние переходят все вещества при столь высоких давлениях и температурах, которые достаточны, чтобы полностью или частично ионизовать атомы вещества. При полной ионизации образуется электрон ядерная плазма, при частичной - электрон-ионная. Состояние электрон-ядерной плазмы характерно для вещества внутри звёзд. Учитывая, что давление в ядре Земли достаточно велико, чтобы «сломать» внешние электронные оболочки атомарных веществ, то ядро Земли должно состоять из электрон-ионной плазмы. В связи с тем, что плазма, в отличие от жидкого металла, является электрически поляризуемой средой, действие тяготения на плазму должно приводить к её электрической поляризации [15, 2]. Вращение электрически поляризованного ядра (вместе со всей планетой) индуцирует её магнитный момент. Таким в общих чертах качественно должен быть механизм возникновения земного магнитного поля.

Для получения количественных оценок сначала необходимо найти размер и состояние плазменного ядра Земли. Это можно сделать, используя метод минимизации полной энергии планеты.

Уравнение состояния вещества

Во-первых, для создания теории Земли необходимо найти радиальную зависимость её плотности ?(r). Для этого нужно записать уравнение для сил, приложенных к земному веществу, и уравнение его состояния, т.е. зависимость плотности вещества от приложенного к нему давления. При малых давлениях зависимость плотности вещества ?(r) от давления описывается законом Гука:

?=?01?p/B,?=?01?p/B, (46)

т.е. при малых давлениях уравнение состояния имеет вид:

p=B(1??/?0).p=B(1??/?0). (47)

Здесь ?0 - плотность вещества в отсутствии внешнего давления, BB - модуль всестороннего сжатия вещества.

При высоких давлениях модуль всестороннего сжатия сам начинает зависеть от плотности. Эту зависимость можно представить в виде политропы:

B=??1+1/k,B=??1+1/k, (48)

где ? - постоянная, k - политропный индекс, описывающий сжимаемость вещества (k = 0 описывает несжимаемое вещество). Таким образом, уравнение состояния может быть записано в виде:

p=??1+1/k(1??0/?).p=??1+1/k(1??0/?). (49)

При малых давлениях это уравнение превращается в закон Гука, а при больших давлениях трансформируется в стандартное политропное равенство:

p=??1+1/k.p=??1+1/k. (50)

Ядро и мантия

Можно рассматривать Землю (или любую другую планету достаточно большой массы) как сферическое тело, разделённое на две области - внутреннее ядро и внешнюю мантию. Будем предполагать, что мантия Земли состоит из твёрдой породы типа базальта. Поскольку это непроводящая твёрдая среда, её политропический индекс k = 1. Будем считать, что под действием сверхвысоких давлений ядро планеты превращается в электрон-ионную плазму. Модуль всестороннего сжатия его в этом случае будет определяться электронным газом, имеющим политропический индекс k = 3/2. Плазма является электрически поляризуемым веществом. В поле тяжести в плазме возникает гравитационно-индуцированная электрическая поляризация [2]. С появлением этой поляризации связан рост электрической энергии плазмы, что энергетически невыгодно. Однако если рассматривать полную энергию гравитирующего тела, то его электрическая поляризация становится энергетически выгодной за счёт того, что с её возникновением уменьшаются гравитационная и внутренняя энергия тела [15, 2].

Если допустить, что внутри планеты имеется электрически поляризованное ядро, то для решения задачи необходимо найти величину поляризации и радиус этого ядра Rn, при которых полная энергия планеты минимальна.

Если минимальной энергии планеты соответствует конфигурация с Rn = 0, то это будет означать, что разделение планеты на электрически поляризованное ядро и неполяризованную мантию энергетически невыгодно.

При оценке механических напряжений будем предполагать, что мантия химически однородна по составу и её вещество при отсутствии внешнего давления имеет плотность ?0 и модуль всестороннего сжатия B0.

Согласно расчётам [15] интенсивность электрической поляризации плазмы пропорциональна силе тяготения:

P=(4?G1/2)?1g,P=(4?G1/2)?1g, (51)

здесь g - ускорение свободного падения.

Поэтому внутри ядра действие тяготения полностью компенсируется электрической силой [15]:

?ng+?„Џ„†„†E„Џ„†„†=0.?ng+?эффEэфф=0. (52)

Здесь ?n - плотность вещества внутри ядра и

?„Џ„†„†=?divP?эфф=?divP (53)

есть плотность связанного заряда, Eэфф = -4?P - напряжённость электрического поля, связанного с поляризацией вещества.

Таким образом, поляризация плазменного ядра P при наличии дивергенции может быть описана в терминах связанного заряда. Из уравнения равновесия (52) видно, что гравитационно-индуцированная поляризация внутри ядра ведёт к образованию у космического тела плазменного ядра с постоянной массовой плотностью и с постоянной плотностью связанного положительного электрического заряда. При этом электронейтральность ядра выполняется за счёт того, что на поверхности ядра образуется отрицательный поверхностный заряд, величина которого равна суммарному положительному объёмному заряду внутри ядра.

Такое решение оказывается возможным потому, что поведение напряжённости электрического поля и поля тяготения подобны друг другу:

divE„Џ„†„†=4??„Џ„†„†divg=?4?G?n.divEэфф=4??эффdivg=?4?G?n.

Легко видеть, что скачок поляризации на поверхности ядра сопровождается скачком давления или, говоря в терминах связанного заряда, поверхностный слой отрицательного заряда стремится сжать положительно заряженное ядро. Таким образом, сила тяжести внутри ядра полностью скомпенсирована электрической силой. Вещество ядра при этом испытывает давление всей массы мантии

pm(Rn)=?m?2mR2n(1??0?m(Rn)),pm(Rn)=?m?m2Rn2(1??0?m(Rn))(54)

(здесь Rn - радиус поверхности ядра), а также давление поверхностного заряда [1]:

pe=2?9G?2nR2n.pe=2?9G?n2Rn2. (55)

Это дополнительное давление имеет значительную величину и само вполне достаточно для того, чтобы превратить вещество ядра в плазму.

Поскольку сжимаемость плазмы определяется модулем всестороннего сжатия электронного газа (ионы можно считать невзаимодействующими друг с другом), то политропический индекс должен быть равным 3/2 как у металлов. В этом случае давление внутри ядра и его плотность постоянны

cpn=?n?5/3n1??0?n==?m?2m(Rn)1??0?m(Rn)+2?9G?2nR2n.cpn=?n?n5/31??0?n==?m?m2(Rn)1??0?m(Rn)+2?9G?n2Rn2. (56)

В результате плотность вещества в ядре выше, чем та, которая существовала бы в этом объёме при отсутствии поляризации.

Уравнение состояния для вещества мантии можно записать в виде:

dpdr=?G?(r)M(r)r2,dpdr=?G?(r)M(r)r2, (57)

где M(r)M(r) - масса вещества планеты, находящаяся внутри сферы радиуса rr:

M(r)=4??r0?(r)r2dr.M(r)=4??0r?(r)r2dr. (58)

Таким образом, для вещества мантии с учётом равенства (57) имеем

?2m1??0?m=Am?Rr?m(?nR3n3+?rRn?mx2dx)dxx2,?m21??0?m=Am?rR?m(?nRn33+?Rnr?mx2dx)dxx2, (59)

здесь Am = 4?GR02?02 / B = 4?GR02 / ?m и R0 - радиус, который имела бы планета, если бы она была сформирована из вещества, не сжатого давлением (в отсутствие тяготения).

При сжатии полная масса планеты естественно сохраняется:

?n4?R3n3+4??RRn?mr2dr=4?3?0R30.?n4?Rn33+4??RnR?mr2dr=4?3?0R03. (60)

Решая совместно уравнения (56), (59) и (60), мы можем найти ?n, ?m и относительный радиус R?/?R0 как функции Rn.

Энергия планеты

Таким образом, принципиальным является вопрос: является ли существование электрически поляризованного ядра энергетически выгодным?

Гравитационная энергия сферического тела согласно определению [8] есть:

?g=?G?R0M(r)rdm(r).?g=?G?0RM(r)rdm(r). (61)

Эта энергия может быть вычислена при известном распределении плотности вещества внутри планеты ?(r).

С другой стороны, существует термодинамическое равенство, описывающее химический потенциал среды

d?=m??dp,d?=m??dp, (62)

здесь m? - масса иона.

Учитывая (49), получаем

?=?m?((k+1)?1/k??1/k?k2?1?k).?=?m?((k+1)?1/k??1/k?k2?1?k). (63)

и плотность энергии в ядре

?in=??m??p=?n(32?5/3n+3?2/3n?92?n).?in=??m??p=?n(32?n5/3+3?n2/3?92?n). (64)

Выполнив аналогичные вычисления для мантии, получаем

?im=?m(?2m(r)?20+?m(r)?0??m(r)?0ln?m(r)?0?2).?im=?m(?m2(r)?02+?m(r)?0??m(r)?0ln?m(r)?0?2). (65)

Электрическая энергия существует только внутри ядра и её плотность

E2(r)8?=2?9G?2nr2.E2(r)8?=2?9G?n2r2. (66)

Чтобы вычислить полную энергию планеты (пренебрегая её тепловой энергией), необходимо проинтегрировать равенства (64), (65) и (66) по объёму планеты и просуммировать с (61).

Для того чтобы провести эти вычисление, необходимо определить величину констант, входящих в эти равенства.

Плотность вещества внутри планеты Земля

Масса Земли M и её радиус R известны. Следовательно, нам известна средняя плотность Земли ??5,5„s/„ѓ„}3??5,5г/см3. Основываясь на геофизических данных, будем полагать, что плотность и модуль всестороннего сжатия на поверхности мантии ?0 ? 3,2 г/см3 и B ? 1,3·1012 дин/см2. Эти величины характерны для базальтов [17].

Учитывая приведённые выше равенства, мы можем вычислить R0 и параметр ?m. Поскольку мы знаем величины ?0 и ??, можно найти отношение

RR0=(?0?)1/3=0,835.RR0=(?0?)1/3=0,835. (67)

Далее из всех возможных решений выберем то, которое удовлетворяет этому условию. Фактически эта процедура сводится к выбору параметра m?, т.е. определению массы иона, которая приходится на один свободный электрон в плазме ядра. Зависимость полной энергии (отнесённой к GM/R0) от величины параметра m? показана на рис.

Рис. Зависимость полной энергии планеты (в единицах GM2/R0) от размера поляризованного ядра, состоящего из плазмы с различной массой иона, приходящейся на свободный электрон

Зависимость внешнего радиуса планеты (отнесённого к R0) от радиуса ядра Rnдля различных величин m? показана на рис.



Рис. а) Зависимость внешнего радиуса планеты (в единицах R0) от размера ядра Rn/R; б) та же зависимость с большим увеличением

Из рисунка видно, что планете энергетически выгодно иметь плазменное ядро с относительным радиусом Rn?/?R ? 0,63.

Согласно рис. с учётом отношения (67), такое энергетически выгодное состояние реализуется при условии, что усреднённая масса иона в плазме ядра, отнесённая к одному электрону



m? ? 22mp , (68)

здесь mp - масса протона.

Окончательно, используя энергетически выгодные величины m? ? 22mp и Rn/R ? 0,63, можем построить распределение вещества внутри Земли (рис.).

Рис. Радиальная зависимость давления и плотности вещества внутри Земли. Сплошная линия - вычисленная зависимость плотности вещества при m? ? 22mp и Rn/R ? 0,63. Штрих-пунктирная линия - распределение давления внутри Земли (отнесённого к модулю всестороннего сжатия B ? 1,3·1012 дин/см2) вычисленное при m? ? 22mp и Rn/R ? 0,63. Штриховая линия - плотность Земли, полученная из сейсмических измерений

Таким образом, вычисления показывают, что для Земли энергетически выгодно иметь плазменное электрон-ионное электрически поляризованное ядро. Радиус этого ядра должен быть примерно равен 4·103 км и плотность вещества 10 г/см3. На поверхности ядра плотность вещества должна скачком уменьшаться примерно в два раза и далее, уменьшаться почти линейно с ростом расстояния от центра.

Измеренная зависимость плотности вещества, показанная на рис. 6, получена из сейсмических измерений.

Несмотря на различия, теоретическая и измеренная зависимости плотности вещества внутри Земли совпадают в главном - обе они указывают на наличие скачка плотности примерно вдвое, которое имеет место примерно на половине радиуса Земли.

Момент инерции и магнитный момент планеты Земля

Зная размеры ядра и мантии и распределение вещества внутри них, можно вычислить момент инерции Земли.

Для сферического тела с известным распределением плотности по радиусу ?(r) имеем:

I=8?3?r0?(r)r4drI=8?3?0r?(r)r4dr (69)

В нашем случае для Земли мы получаем:

IMR2=0,339.IMR2=0,339. (70)

Это находится в хорошем согласии с измеренной величиной относительного момента инерции Земли равной 0,331.

Очевидно, что наиболее важным и ярким результатом построенной модели Земли является понимание механизма возникновения её магнитного поля. Этот механизм весьма прост. В результате вращение электрически поляризованного ядра (вместе со всей планетой) с частотой ? у него возникает магнитный момент [2]:

?=8?45cG1/2??nR5n?=8?45cG1/2??nRn5 (71)



Подставляя соответствующие значения параметров, получаем магнитный момент ? ? 4·1025 Гс/см3, что примерно в два раза меньше наблюдаемого магнитного момента Земли ? ? 8,05·1025 Гс/см3.

Такое согласие можно считать хорошим в связи с тем, что при построении теории было использовано довольно грубое упрощающее предположение о том, что вся Земля однородна по составу и модуль всестороннего сжатия её вещества не зависит от температуры. Можно предполагать, что учёт этих зависимостей позволить уточнить полученные результаты. Однако, более важным представляется определить вклад механизма динамо в общую величину земного магнитного поля.



Заключение

Представленную выше теорию можно рассматривать как развитие модели Блэкетта, который предполагал, что причиной возникновения магнитного поля космических тел является распределение некоторого электрического заряда ? внутри массивных космических тел.

Однако измерения не подтвердили возможность возникновения такого нескомпенсированного заряда.

По-видимому, в то время тот факт, что интерьер космических тел сформирован плазмой, ещё не было установлен. Потому что, если признать, что внутренние объёмы крупных космических тел состоят из плазмы, то дальнейшие шаги построения модели их магнетизма кажутся довольно простыми. Поскольку плазма является электрически поляризуемой средой, естественно ожидать, что в гравитационном поле в ней возникнет поляризация P. В силу сферической симметрии космических тел электрическая поляризация плазмы внутри этих тел должна иметь дивергенцию divP, которую согласно уравнениям Максвелла можно сопоставить с эффективной плотностью связанного заряда:

?„Џ„†„†=?divP?эфф=?divP (72)

При этом космическое тело, хотя и останется электрически нейтральным, приобретёт за счёт своего вращения магнитный момент.

Далее необходимо найти величину электрической поляризации, индуцируемой тяготением в космическом теле.

Следует заметить, что описанный выше механизм не отменяет модели динамо. Как было замечено в разделе (1) для работы динамо нужно затравочное поле, которое динамо может усилить. Космическое поле (? 10?-7 Э) вряд ли является подходящим на эту роль. Однако поле, возникающее за счёт вращения электрически поляризованного тела, вполне может служить затравочным, которое динамо может менять по величине и переориентировать. В пользу такого предположения говорит существование нескольких космических тел, магнитные моменты которых имеют различные ориентации относительно их моментов вращения. Работой динамо видимо можно объяснить и данные земного палеомагнетизма.

В заключение следует подчеркнуть, что развитая в этой работе теория Земли не использует свободных подгоночных параметров. Для того чтобы определить основные характеристики внутреннего строения Земли, мы использовали значения массы и радиуса Земли, которые известно однозначно, и значения плотности и модуля всестороннего сжатия вещества мантии, выбор которых также был сделан на основе справочных данных.



Литература

1. Vasiliev B.V. Can the existence of the magnetic moments of cosmic bodies be explained by internal spontaneous electric polarization? Nuovo Cimento B, 110, 1996. - pp. 381...389.

2. Vasiliev B.V. Why spontaneous electric polarization can arise inside cosmic bodies? Nuovo Cimento B, 112, 1997. - pp. 1361...1372.

3. Vasiliev B.V. The theory of Earth constructed by the method of full energy minimization, Il Nuovo Cimento B, v. 114B, N3, 1999. - pp. 291...300.

4. Гильберт У. О магните, магнитных телах и большом магните - Земле. М.: АН СССР, 1956.

5. Яновский Б.М. Земной магнетизм. Л.: Изд. ЛГУ, 1978.

6. Blackett P.M.S. Nature, 159, 658. 1947.

7. Sirag S.-P. Nature, 275, 535. 1979.

8. Ландау Л.Д. и Лифшиц E.M. Статистическая физика, т. V. М.: Наука, 1976.

9. Vasiliev B.V. and Luboshits V.L. Physics - Uspekhi, 37, 345. 1994.

10. Thorsett S.E. and Chakrabarty D. E-preprint: astro - ph/9803260, 1998.

11. Vasiliev B.V. Physics of Stars and Measurement Data, Part I. Universal Journal of Physics and Application, 2(5), 2014. - pp. 257...262.

12. Vasiliev B.V. Physics of Stars and Measurement Data, Part II. Universal Journal of Physics and Application, 2(6), 2014. - pp. 284...301.

13. Beskin V.S., Gurevich A.V., Istomin Ya.N. Physics of the Pulsar Magnetosphere (Cambridge University Press, 1993.

14. Romanyuk I.I. at al. Magnetic Fields of Chemically Peculiar and Related Stars. Proceedings of the International Conference (Nizhnij Arkhyz. Special Astrophysical Observatory of Russian Academy of Sciences. September 24...27, 1999, eds:Glagolevskij Yu.V. and Romanyuk I.I., Moscow, 2000. - pp. 18...50.

Размещено на Allbest.ru

...