Шлях пізнання аналеми

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Шлях пізнання аналеми

Безперстова Людмила Сергіївна, вчитель-методист, вчитель фізики та математики ЗОШІ-ІІІ ступенів № 3 імені В.О. Нижниченка

Гулий Юрій Володимирович, вчитель-методист,

вчитель фізики та математики ЗОШ І-ІІІ ступенів № 2

Гулий Роман Юрійович, Старший вчитель,

вчитель фізики ЗОШ І-ІІІ ступенів № 6

Шут Андрій Вадимович, здобувач середньої освіти

ЗОШ І-ІІІ ступенів № 3 імені В.О. Нижниченка

Анотація

У статті досліджено причини нерівномірності справжнього сонячного часу. Запропоновано математичну модель орбітального руху Землі, яка дає розуміння тонкощів руху Землі по орбіті, утворення сонячної аналеми на небі, демонструє положення Землі на орбіті для різних дат року. Практичне використання моделі розширює можливості застосування різних умов до руху планет навколо Сонця (зміни ексцентриситету, кута нахилу осі, періоду обертання навколо Сонця), прогнозування форми сонячної аналеми та вигляду рівняння часу для інших планет. Така модель спрощує обчислення, сприяє швидкому отриманню значень величин, які зумовлюють аналему та задають положення Землі на її орбіті для будь-якого моменту часу.

Ключові слова: аналема, рівняння часу, еліптична орбіта Землі, ексцентриситет, лінія апсид, справжня аномалія Сонця, середня аномалія Сонця, моделювання.

Усі події та явища відбуваються в просторі та часі. Витоки часу знаходяться в космосі, навіть надточні атомні годинники доводиться співставляти з астрономічними явищами, так як життя людини визначається добовими і річними ритмами. Земля обертається навколо своєї осі та навколо Сонця. Перебуваючи на Землі, ми не можемо безпосередньо спостерігати ці рухи, проте ми бачимо їх наслідки у вигляді видимого руху Сонця по небесній сфері: 1) добову зміну висоти та азимуту Сонця із сходу на захід; 2) зміну сходу та заходу Сонця відносно точки сходу та точки заходу; 3) річний рух із заходу на схід, 4) зміну висоти Сонця над горизонтом опівдні протягом року. Якщо фіксувати положення Сонця через кілька днів, наприклад, опівдні, то отримані точки не будуть розміщені строго на вертикальній лінії, а буде помітно їх відхилення від напрямку північ-південь. Можна фіксувати положення Сонця на небі на фотопластинку через кілька днів протягом року в один і той же час. Така протяжність зйомки з кількома десятками експозицій на один кадр дасть зображення аналеми. яка є підтвердженням нерівномірного видимого руху Сонця. Це зображення, яке показує, як Сонце змінює своє положення на небі протягом року [1]. Сонячну аналему можна побачити опосередковано. Для спостереження за добовим рухом Сонця часто використовують гномон, довжина та напрямок тіні від якого мають безпосередній зв'язок з висотою та азимутом Сонця. Якщо протягом року майже кожного дня опівдні відмічати положення кінця тіні від вертикального гномона, то за рік отримаємо фігуру, що нагадує вісімку, схожу на аналему.

Чому положення Сонця на небі для однакового часу та точки спостереження за рік описує аналему? Чому сонячний годинник показує «неточно», може відставати або спішити на декілька хвилин? Причиною цих явищ є нерівномірний позірний рух Сонця по небу внаслідок нерівномірного руху Землі навколо Сонця та особливостей Ті руху. Математичною моделлю, що відображає фізичну реальність видимого руху Сонця, є рівняння часу. Це число, виражене в хвилинах, що дорівнює різниці між середнім сонячним часом і справжнім сонячним часом, яке є однаковим для спостерігача в будь-якій точці Землі в кожен конкретний момент часу. Поняття «рівняння часу» не використовують в буквальному сенсі цього слова. Воно означає «вирівнювання», «узгодження» між середнім та справжнім сонячним часом та описує невідповідність між ними. Це число, яке потрібно додати до середнього сонячного часу, щоб отримати справжній сонячний час у даний момент у даній точці земної кулі. З іншого боку ця величина еквівалентна відхиленню положення Сонця від небесного меридіану у горизонтальному напрямі для одного і того ж моменту часу протягом року. Рівняння часу Е на будь-який момент можна обчислити за формулою (1) [2]:

Е = ysin2L -- 2е sinM + 4 еу sin М cos 2 L -- 0.5у2 sin4L -- 1.25е2 sin2M, (1)

де y = tg2(Ј), є - нахил екліптики, L - середня довгота Сонця, е - ексцентриситет земної орбіти, М - середня аномалія Сонця. За допомогою графічного калькулятора Desmos та програми на мові Pascal отримали графічну залежність для рівняння часу від схилення Сонця (рис. 1).

Кільця «вісімки» неоднакові та асиметричні відносно вертикальної осі. Рисунок 1, в) містить 365 точок, серед яких позначені дні рівнодень та сонцестоянь. Для створення математичної моделі, що демонструє нерівномірну зміну рівняння часу протягом року, застосували емпіричну формулу (2):

Е = 9.87 sin(2B) - 7.53 cos(2B) - 1.5 sin(B), (2)

де величина В = 360 (d - 81) (вимірюється в градусах) залежить від кута нахилу площини екліптики до площини небесного екватора, d - номер дня з початку року (d = 1 1 січня, d = 2 2 січня і т.д.)

Рис. 1. Графічне зображення рівняння часу: а) по осі абсцис - рівняння часу, по осі ординат - схилення Сонця (desmos): б) графічне зображення рівняння часу із зазначенням точок рівнодень і сонцестоянь на юліанську дату (Pascal); в) графічне зображення рівняння часу із зазначенням місяців року на юліанську дату (Pascal)

У геоцентричній системі відліку аналема на небі - відображення нерівномірного руху Землі навколо Сонця. Щоб пояснити явище утворення аналеми та створити модель орбітального руху Землі навколо Сонця, ми відокремили фактори, що можуть впливати на видиме положення Сонця в один і той же час (наприклад, опівдні). Розглянули їх окремо один від одного, так як причини, що викликають аналему та неузгодженість середнього і справжнього часу, є незалежними: 1) вісь Землі нахилена до площини її орбіти; 2) Земля обертається навколо Сонця по еліпсу; 3) існує прецесія лінії апсид та осьова прецесія. Поєднання цих трьох факторів викликає саме таку аналему: у формі вісімки, дещо асиметричну. Розглянемо вплив кожної зазначеної вище причини окремо, застосувавши кілька математичних моделей, наочне представлення яких втілено за допомогою графічного калькулятора Desmos та програмування на мові Pascal. Такий підхід дозволяє отримати більш зрозумілі та прості моделі, що описують явище нерівномірного руху Землі навколо Сонця, та розібратися в сутності закономірностей, що відбуваються, виділити головне і другорядне, більш чи менш впливове і створити цілісне ґрунтовне пояснення аналеми.

Модель 1. Орбіта Землі - коло, кут між площиною екліптики та площиною екватора становить 23.5°. При спостереженні екватора Землі з космосу для однакового моменту часу (опівдні) за рік дуга екліптики буде змінювати своє розташування відносно екватора, тобто буде «коливатися» між колами тропіків (рис. 2).

Рис. 2. Візуалізація «коливання» площини екліптики та положення Сонця відносно точки, яка розміщена в площині небесного екватора при спостереженні з космосу (скріншоти з анімаційної моделі в графічному калькуляторі Desmos)

Сонце проходитиме опівдні точно через меридіан лише чотири рази на рік: у дні сонцестоянь та рівнодень. В інші дні, з березня по червень та з вересня по грудень, Сонце відставатиме, тобто перетинатиме небесний меридіан пізніше. З червня по вересень та з грудня по березень Сонце спішитиме, тобто перетинатиме небесний меридіан раніше, ніж опівдні. Рівняння часу для випадку колової орбіти Землі та нахилу осі обертання зображено на рис. 3, 4, 5.

Рис. 3. Графічне зображення рівняння часу для різних значень схилення Сонця за умови колової орбіти Землі та наявності кута нахилу осі обертання Землі до площини екватора

Модель 2. В геліоцентричній системі відліку орбіта Землі - еліпс, вісь Землі перпендикулярна до площини орбіти. Змоделюємо одночасний рух Землі по еліптичній та коловій орбіті з однаковим періодом обертання навколо Сонця, яке знаходиться в одному з фокусів еліпса. Діаметр кола дорівнює великій півосі еліпса. За таких умов Сонце перетинало б небесний меридіан точно опівдні тільки два рази на рік, а сонячний годинник показував би «неточно»: півроку - відставав, півроку - спішив. Пояснює ці тонкощі створена анімаційна модель одночасного руху Землі по колу та по еліпсу за допомогою графічного калькулятора Desmos. Положення Землі на коловій орбіті визначає середня аномалія М, а на еліптичній - справжня аномалія v (рис. 6), Для отримання анімаційної моделі положень Землі на орбіті використано рівняння центру Кеплера.

Рис. 4. Графічне зображення рівняння часу для різних дат року за умови колової орбіти Землі та наявності кута нахилу осі обертання Землі до площини екватора

Рис. 7. Вирівнювання справжньої аномалії до середньої. Лінії синього кольору характеризують рух по колу, червоного - рух по еліпсу. Довжина відрізка ТМ визначає міру вирівнювання нерівномірного руху до рівномірного

Рис. 8. Зміна справжньої аномалії при зміні ексцентриситету. На рисунку зліва ексцентриситет еліпса дорівнює 0.4, на рисунку справа - 0.0167

Графічне представлення рівняння часу в залежності від дня року за умови еліптичної орбіти Землі та перпендикулярності осі обертання Землі до площини екватора представлене на рис. 9.

Рис. 9. Графічне зображення рівняння часу для різних дат року за умови еліптичної орбіти Землі та перпендикулярності осі обертання Землі до площини екватора

За допомогою створеної математичної моделі для рівняння часу з'ясували, що еліптичність орбіти Землі створює суттєвий внесок в рівняння часу (рис. 10), який ілюструється еліпсом на графіку.

Модель 3. На значення рівняння часу, форму аналеми впливає кут між лінією апсид та лінією сонцестоянь. Еліпс орбіти Землі повертається в своїй площині з періодом приблизно 1 12000 років. Сумарна дія прецесії земної осі та прецесії лінії апсид змушує повертатися точку перигелію земної орбіти в те ж саме положення приблизно через 22000 років. Зараз точка перигелію віддалена від точки зимового сонцестояння приблизно на 13°. Такі зміни впливають, але незначно, на величину рівняння часу та форму сонячної аналеми [3].

Моделювання за допомогою графічного калькулятора дає змогу створити візуалізацію вигляду рівняння часу, а, отже, і форми аналеми в залежності від кута між лінією апсид та лінією сонцестоянь (рис. 11).

Порівнюючи вплив кожного чинника, що розглянуті в моделях 1 - 3, на величину рівняння часу, виникла необхідність наочного представлення моделі орбіти Землі з нанесенням на неї особливо цікавих дат - точок рівнодень, сонцестоянь, перигелію, афелію тощо (рис. 1 2).

Рис. 10. Вплив еліптичності орбіти Землі на рівняння часу

Рис. 11. Зміна вигляду графіка рівняння часу в залежності від розміщення точок перигелію і сонцестоянь із врахуванням нахилу земної осі та еліптичності орбіти Землі

Рис. 12. Положення Землі на еліптичній орбіті. Для наочності, рисунок створено без дотримання масштабу, тобто не витриманий ексцентриситет, проте витриманий порядок розміщення положень Землі на її орбіті

Запропоновані моделі дають можливість глибокого і цілісного розуміння явища аналеми (рис. 13). Наочний можливий вигляд фігури аналеми при різних умовах для орбіти Землі представлений в таблиці 1.

Рис. 13. Структурно-логічна схема, що пояснює аналему

Таблиця 1

Форма аналеми при різних параметрах орбіти Землі

З'ясували, як сукупність трьох незалежних факторів, таких як нахил осі обертання Землі до площини екліптики, еліптичність орбіти та положення лінії сонцестоянь відносно лінії апсид, спричиняють нерівномірність справжнього часу (рис. 15), наочним підтвердженням чого є можливість отримати аналему на небі чи аналему від кінця тіні від вертикального гномона на землі.

Рис. 14. Модель аналеми, отримана за допомогою графічного калькулятора desmos. Рисунок містить 183 точки, які позначають положення Сонця не небі

Одним із результатів дослідження є моделювання аналеми, яку можна сумістити із справжньою фотографією аналеми, підібравши масштаби фото і рисунка (рис. 14).

Рис. 15. Графік рівняння часу від дня року

Створені моделі є інструментом для пояснення нерівномірності руху Землі та моделі її еліптичної орбіти (рис. 16) із зазначенням положення Землі на орбіті для дат, позначених на рис. 15.

Рис. 16. Модель еліптичної орбіти Землі. Масштаб не збережено, ексцентриситет вибрано 0.1, щоб точки, які показують положення Землі на певну дату, можна було розрізнити та зберегти їх взаємне розміщення.

Реальний ексцентриситет орбіти Землі становить 0.0167. Для кращого сприйняття рис. 16 доцільно розглядати разом з рис. 15, дати на рисунках узгоджені

Висновок

Щоб пояснити явище утворення аналеми на небі, ми відокремили фактори, що можуть впливати на положення Сонця в один і той же час, і розглянули їх окремо один від одного, так як причини, що викликають явище, є незалежними. Усунули, відкинули певні впливи, щоб залишити один із них, вивчити його детальніше, розібратися в сутності закономірностей, що відбуваються. Такий підхід дозволяє отримати певні більш зрозумілі та прості моделі, що описують складні явища. Тобто розглядали кожну із запропонованих моделей спочатку окремо. Узагальнення, виділення головного, більш впливового та приділення меншої уваги другорядному розширило можливості для створення моделі еліптичної орбіти нерівномірного руху Землі, розуміння причин утворення аналеми. Одним із результатів моделювання нерівномірності руху Землі є практичне застосування створених моделей для передбачення вікових змін, що відбуваються з орбітами планет, що матимуть місце в майбутньому чи були в минулому, їх вплив на зміну клімату та пір року.

Знаково, що вісімка аналеми є не лише символом нескінченності, але й нескінченністю її пізнання.

Список використаних джерел

[1] Vaibhav, Vajpai. (2023) Analemma: The Sun's JoumeyIn The Sky. Young Scientists Journal / Powered by Young Scientists Journal. Вилучено із https://ysjournal.com/astrophysics/analemma-the-suns-journey-in-the-sky/.

[2] Meeus, Jean H. (1988). Astronomical Formulae for Calculators. Published by Atlantic Books, Limited.

[3] Holbrow, Charles H. Char. (2013). Build Your Own Analemma. Colgate University & MIT. (physics.pop-ph).

[4] Aslaksen, Helmer & TEO, Shin. (2001). The Analemma for Latitudinally-Challenged People.

Размещено на Allbest.ru