Бухгалтерский учет межбанковских расчетов

Проведение межбанковских расчетов по срочным электронным платежным документам на валовой основе в пределах денежных средств на корреспондентских счетах банков

Иммунизация - метод управления портфелем облигаций, который обеспечивает заданный поток выплат по обязательствам инвестора. Если на рынке имеются облигации A (бескупонная со сроком погашения 1 год) и C (купонная со сроком погашения 3 года), а срок погашения портфеля 2 года, то доли облигаций xA и xC в портфеле удовлетворяют системе уравнений [1] где TC - дюрация облигации C. Первое уравнение означает, что портфель содержит облигации A и C. Однако, природа второго уравнения неясна. Если портфель из облигаций A и C имеет ценность облигации B, то запись А+C=B выражает равенство денежных потоков по срокам и риску, когда внутренние стоимости портфеля (A+C) и облигации B одинаковы. Если портфель ценнее облигации B, то прибыль равна (А+C)-B. Занять длинную позицию (cделать длинный ход, + ) - купить и владеть облигацией. Занять короткую позицию (сделать короткий ход, - ) - выпустить и продать ее. Портфель по длинной позиции +А+C=+B, по короткой позиции -А-C=-B. Длинная позиция по C равна портфелю из длинной позиции по B и короткой позиции по А: +C=+B-А. Запись -А=-B+C означает, что A продается по цене, равной доходу от продажи B и покупки C. Внутренняя стоимость портфеля облигаций A и C зависит от рыночной ставки процента r. Продифференцируем ее по r:, где учтено xC=1-xA. Внутренняя стоимость купонной облигации со сроком погашения n где Ct - выплаты по облигации в периоды t, N - ее номинальная стоимость. Производная внутренней стоимости облигации по рыночной ставке процента, где дюрация облигации. Подстановка дает. Для бескупонных облигаций TA=1 и TB=2. С учетом этого получаем. Если принять VA=VB=VC, то это уравнение примет требуемый вид. Портфель одногодичных и трехгодичных облигаций A и C будем называть эталонным, если его внутренняя стоимость V равна внутренним стоимостям этих облигаций VA=VC. Будущая стоимость эталонного портфеля. Номинальная стоимость облигаций A и C в эталонном портфеле и, где kC=C/NC - купонная ставка. При kC=r номинальная стоимость облигации C в эталонном портфеле равна внутренней стоимости портфеля. Дюрация облигации C в эталонном портфеле. По исходной и конечной внутренней стоимости портфеля V0 и V1 вычисляют его доходность. Составим эталонный портфель с будущей стоимостью N=100 при рыночной ставке процента r=0,1. Внутренняя стоимость портфеля V=82,645. Номинальная стоимость облигаций A и C в эталонном портфеле NA0=90,909 и NC0=82,645. Дюрация TC0=2,7355. Доли облигаций xA0=0,4238 и xC0=0,5762. Облигации A и C можно купить за xA0NA0=38,528 и xC0NC0=47,619. Портфель можно купить за 86,147. Доходность эталонного портфеля k=0,1608. На рынке ценных бумаг может не оказаться нужных одногодичных и трехгодичных облигаций, а портфель инвестора может сильно отличаться от эталонного портфеля. Предположим, что на рынке со ставкой процента r=0,1 есть одногодичные облигации A с номиналом NA=100 и с текущей ценой PA=NA/(1+r)=90,909 и трехгодичные облигации C с номиналом NC=100 и купонами C=10. Поскольку купонная ставка kC=r, то текущая цена PC=NC=100 и дюрация TC=TC0=2,7355. Доли облигаций в портфеле инвестора xA=0,4238 и xC=0,5762. Нужно купить MA=xAV/PA=0,3853 и MC=xCV/PC=0,4762 облигаций на сумму MANA+MCNC=86,147. Доходность портфеля инвестора k=0,1608. [1] Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. - М.: Инфра, 1997. Дарбин-Уотсон. Для выявления сериальной корреляции широко применяют критерий Дарбина-Уотсона. Первоначально он был предложен фон Нейманом. Нужно подобрать линейную модель по наблюдениям (yi,x1i,...,xki). Обычно ошибки ui предполагаются независимыми величинами с рапределением N(0,?u2), а все сериальные корреляции ?=0. С помощью критерия ДУ можно проверить гипотезу H0: ?=0 против H1: ??0 (или |?s|<1). Такая альтернатива появляется из предположения, что ошибки подчиняются условию, где ?i?N(0;?2), а независимы ui-1, ui-2,… и ?i-1, ?i-2,… Еще предполагается, что среднее и дисперсия ошибок ui постоянны и не зависят от i, откуда следует ui?N(0;?2/(1-?2)). Если нулевая гипотеза верна и ?s=0, это условие сводится к ui?N(0;?2), т.е. к обычным предположением для всех i=1,2,...,n. Для проверки H0 против H1 мы строим модель регрессии и находим остатки e1,e2,....,en. DW применяют только ждя проверки нижнего хвоста, т.е. против альтернативы ?>0. А для проверки альтернативы ?=0 используется статистика 4-DW. Критическое значение DW при уровне значимости б зависит от n. Нижнюю и верхнюю границы критического значения DW обозначают dL и dU. Бокс-Дженикс. Регулярность данных при сезонном сглаживании учитывается с позиции "взгляда назад". Применяя метод сглаживания, нужно использовать две сглаживающие постоянного ряда: одна - тенденция, прослеживающаяся в данном ряду, другая - для компонента сезонности. Сильный прогноз дает метод Бокса-Дженикса, который относится к модели авторегрессивного интегрированного скользящего среднего (АСС). При его использовании избегают многих ошибок, но он достаточно сложный и не поддерживается функциями, встроенными в Excel. Любой процесс прогнозирования опасен и полон ловушек. Чтобы прогноз был максимально приближен к будущей реальности, необходимы, прежде всего, правильно составленная базовая линия, правильно выбранный метод (в соответствии со значениями этой линии) и большое число переменных, с которыми вы работаете в процессе создания прогноза. Любой прогноз нужно рассматривать с определенной долей скептицизма и здравого смысла. Кривые спроса. Как известно, спрос q зависит от цены блага p и его полезности u:. Для трех сделок купли-продажи вектор спроса q=Xb - это произведение 3?3-матрицы факторов спроса X на вектор параметров спроса b. Обыкновенный товар. В первой сделке покупатель по цене p1=1 приобрел q1=2 единицы товара, полезность этой сделки u1=p1q1=2. Во второй сделке покупатель по цене p2=1 приобрел q1=1 единицу товара, а полезность u2=p2q2=2. В третьей сделке покупателю удалось по цене p3=1,5 приобрести q3=1 единицу товара, а полезность u3=p3q3+?u больше уплаченной денежной суммы на величину ?u>0. Факторы спроса даны в таблице 1. Таблица 1. Cпрос на обыкновенный товар. Параметры спроса b=X-1q зависят от величины ?u:,,. Чтобы получить кривую спроса примем для любой сделки u=pq:. Кривая спроса q(p) описывается выражением, где a0=-b0/b2=6?u-1; a1=-b1/b2=1-2?u; a2=-1/b2=2?u-1. На рис.1 приводятся зависимости a0, a1, a2 и v=a0-a1a2 от полезности товара ?u. Рис.1. Зависимость a0, a1, a2 и v от полезности ?u. Гиффиновский товар. В первой сделке покупатель по цене p1=1 приобрел q1=2 единицы товара, полезность этой сделки u1=p1q1=2. Во второй сделке покупатель по цене p2=1 приобрел q1=3 единицу того же товара, а полезность u2=p2q2=6. В третьей сделке покупатель согласился по цене p3=1,5 приобрести q3=3 единицу товара, полезность u3=p3q3-?u меньше уплаченной денежной суммы на величину ?u>0. Факторы спроса даны в таблице 2. Таблица 2. Cпрос на гиффиновский товар. Параметры спроса b=X-1q зависят от величины ?u:,,. Чтобы получить кривую спроса примем для любой сделки u=pq:. Кривая спроса, где a0=-b0/b2=2?u-3; a1=-b1/b2=2?u+3; a2=-1/b2=2?u-1. На рис.2 приводятся зависимости a0, a1, a2 и v=a0-a1a2 от полезности товара ?u. Рис.2. Зависимость a0, a1, a2 и v от полезности ?u. Конъюнктура потребительского рынка v>0 для обыкновенного товара и v<0 для гиффиновского товара. Кривую спроса p(q) описывает выражение. Для p>0 нужно иметь a1<q<a0/a2 или a0/a2<q<a1. Величина a1 - объем товара, покупаемого по любой цене (p?? при v>0), a2 - ценовая скидка. Кривые спроса q(p) на обыкновенный товар представлены на рис.3 для ?u=0, ?u=0,5 и ?u=1. Спрос на обыкновенный товар при ?u=0 не зависит от его цены, а при ?u>0 уменьшается с ценой p. Рис.3. Кривые спроса q(p) на обыкновенный товар. Кривые спроса q(p) на гиффиновский товар представлены на рис.4 для ?u=0, ?u=0,5 и ?u=1. Спрос на гиффиновский товар при ?u=0 не зависит от его цены, а при ?u>0 увеличивается с ценой p. Рис.4. Кривые спроса q(p) на гиффиновский товар. Эластичность спроса по цене. Для обыкновенного товара Ep<0, поскольку v>0, а для гиффиновского товара Ep>0, так как v<0. Эластичность спроса по объему. Cпрос эластичный при |Ep|>1 и неэластичный при |Ep|<1. Кривые предложения. Рынок обыкновенного товара имеет положительную конъюнктуру, а гиффиновского товара - отрицательную конъюнктуру. Закон предложения обыкновенного товара получим из закона спроса на гиффиновский товар, в котором знак конъюнктуры изменим на обратный. В итоге кривые спроса и предложения обыкновенного товара принимают вид и, где b1 - объем товара, предлагаемого по любой цене (p?? при vS>0), b2 - ценовая скидка, а vD>0 и vS>0. Если они пересекаются при цене p, то,. Если a=0 (a2=b2), то q1*=(vDb1+vSa1)/(vD+vS) и q2*=0. Кривые рис.4 получены при v=6 и v=9 для a1=-1, a2=1, b1=5, b2=1. Состояния рынка (q;p) являются равновесными в точках (2;1) и (2;2) пересечения D1с S1 (v=6) и D2 с S2 (v=9). Но точки (1,4;1,5) и (2,6;1,5) не являются равновесными, так как кривым D1,S2 и D1,S2 отвечают разные значения конъюнктур. Рис.4. Кривые спроса и предложения для v=6 и v=9. Условия равновесия выражаются в виде и. Уравнение для равновесного объема. Если a=0 (a2=b2), то q1*=(a1+b1)/2 и q2*=0. Кривые рис.5 получены при v=6 для a1=-1, a2=1 или 0, b1=5, b2=1 или 0. Из начального состояния 1 в точке (2;1) рынок переходит в точку (2,7;1,6) в процессе предложения 1-2 с ценовой скидкой (b1=5, b2=1). Процесс спроса 2-3 без ценовой скидки (a1=-1, a2=0) переводит рынок из состояния 2 в состояние 3 с точкой (2;2). Процесс предложения 3-4 без скидки (b1=5, b2=0) переводит рынок из состояния 3 в состояние 4 с (1,3;1,6). Наконец, процесс спроса со скидкой (a1=-1, a2=1) переводит рынок из состояния 4 в начальное состояние 3. Все точки цикла отвечают равновесным состояниям рынка обыкновенного товара. Рис.5. Экономический цикл спроса и предложения. Выручка R=pq и себестоимость C зависят от объема продаж q:. Они изображены на рис.6 (v=6, a1=-1, b1=5). При q<qmax=(a1+b1)/2 продажа прибыльна. Кривая прибыли P=R-C имеет вид холма с вершиной q*=0,85. Изменения прибыли с объемом продаж характеризуют предельные величины. Рис.6. Зависимость выручки себестоимости и прибыли от q. 8. Кредитный портфель. С ростом сроков предоставления кредита уменьшается вероятность своевременного и полного выполнения заемщиком кредитного соглашения. Но серьезные инвестиционные проекты требуют долгосрочное кредитование. Кредитный запрос характеризует размер займа Q, который хочет получить заемщик в момент времени T0. График возвращения ссудного капитала и процентов за кредит содержит платежи Vt, которые осуществит заемщик в моменты времени Тi, i=1,...,т. Обозначим r суточную ставку использования банком кредитных ресурсов. Тогда, при условии полного и своевременного выполнения заемщиком кредитного соглашения, приведенная к моменту времени Т0 прибыль банка, где ri - ставка процента для момента времени Тi: (i=1,...,m). Пусть кредитный запрос имеет характеристики таблицы 1. Таблица 1. Описание кредитного запроса (тыс.грн). Если суточная ставка составляет 0,1%, то приведенная прибыль банка: (тыс. грн). Заем Q и прибыль D - основные показатели кредитного запроса в момент времени T0. Пусть в момент времени Т0 есть множество кредитных запросов. Любой из п запросов множества уже прошел предшествующую экспертизу и может быть взят банком для выполнения. Из-за ограниченности кредитных ресурсов перед банком стоит вопрос, какие запросы включить в портфель? Кредитный портфель обеспечит банку наибольшую прибыль D от размещения имеющихся в момент времени Т0 ресурсов R (целочисленная задача МП с булевскими переменными): , j=1,...,n, где Dj и Qj - чистая прибыль и заем по j-му запросу. Логические переменные хj (j=1,...,п) отражают включение j-го запроса в портфель. На 1 сентября 2002 года есть 5 кредитных запросов из таблицы 2. Таблица 2. Основные показатели запросов (тыс. грн.). Если лимит ресурсов банка на 1 сентября 2002 года равен 1 млн. грн., то оптимальный портфель x1=(0,1,1,0,1) включает второй, третий и пятый запрос, а первый и четвертый за неимением ресурсов необходимо отклонить. Портфель обеспечит банку прибыль, приведенную к 1 сентября 2002 года, в 160,8 тыс. грн. Рассмотрим запрос Q с приведенным чистым доходом D. Существует вероятность р?[0;1] неплатежеспособности заемщика. Нужно рассмотреть ожидаемую прибыль mD и дисперсию прибыли ?D2: Вместо дисперсии можно использовать стандартное отклонение. Результаты расчета показателей риска пяти запросов даны в таблице 3. Таблица 3. Вычисление показателей риска кредитных запросов. Рассмотрим множество кредитных запросов и кредитный портфель x=(х1,...,хn). В условиях риска приведенная прибыль (прибыль портфеля) D является случайной величиной. Ее ожидаемое значение mD определяется ожидаемыми прибылями mDj кредитных запросов:. Для вычисления дисперсии нужны дисперсии и коэффициенты корреляции неплатежеспособности заемщиков:, где ?j - стандартное отклонение чистого дохода j-го кредитного запроса, ?ij -коэффициент корреляции i-го и j-го кредитного запроса (i,j=1,...п). Пусть коэффициенты корреляции указаны в таблице 4. Таблица 4. Оценки коэффициентов корреляции. Вычислим показатели риска кредитного портфеля х1=(0,1,1,0,1) по данным таблиц 3 и 4. Ожидаемый чистый доход и стандартное отклонение: (тыс. грн.). В условиях риска неплатежеспособности оптимальный кредитный портфель определяется ожидаемой прибылью и стандартным отклонением, исходя из особенностей отношения кредитора к риску. При несклонности к риску оптимальный портфель отвечает решению задачи квадратичного программирования с булевскими переменными:,, j=1,...,n. Целевая функция отражает требование максимизации приведенного чистого дохода портфеля, так и требование минимизации дисперсии дохода (уменьшить риск получения чистого дохода в размере меньше ожидаемого). Параметр k обеспечивает достижение компромисса указанных критериев. Он определяется уровнем несклонности к риску, который приемлем в кредитном учреждении. Можно воспользоваться рекомендациями таблицы 5. Таблица 5. Ориентировочные значения параметра k. Для расчетов используем данные таблиц 3 и 4, лимит кредитных ресурсов банка на 1 сентября 2002 года оставим без изменений - 1 млн. грн. Уровень несклонности к риску средний (k=0,05). Оптимальный портфель х2=(1,1,1,1,0). Статистические характеристики: m=133,44 тыс. грн., ?D=12,081 тыс. грн. В сравнении с портфелем х1 ожидаемая прибыль выросла (с 119,07 до 133,44 тыс. грн.) и риск не получить прибыль уменьшился (стандартное отклонение меньше с 18,430 до 12,081 тыс. грн.). Неуправляемые параметры: Т - длительность проекта (жизненный цикл), Іt - ресурсы для выполнения проекта в t-ом временном промежутке, Vt - стоимость текущих затрат по реализации проекта в t-ом промежутке. Если Rt - оценка текущих результатов проекта в t-ом промежутке, то прибыль от проекта, приведенная к началу жизненного цикла:, где r - ставка процента. Управляемые переменные: xt=1, если проект начат в t-ом промежутке, 0 в противоположном случае; N0 - чистый доход от проекта:, где Т0 - длительность горизонта планирование (Т0>Т). Таблица 1. Показатели инвестиционного проекта, млн. грн. Если ставка r=0,2, то приведенная прибыль от проекта (млн. грн.):. Если проект начат сразу (х1=1) или в третьем году (х1=0, x2=0, x3=1), то или. Инвестиционный j-проект характеризуют показатели: Тj -жизненный цикл, Ijt - инвестиционные затраты в t-ом временном промежутке, Vjt и Rjt -затраты и результаты в t-ом промежутке, Nj - чистый доход:. Неизвестными являются переменные xjt=1, если j-ый проект будет начат в t-ом промежутке, xjt=0 в противоположном случае. Значение t для переменной xjt изменяется от 1 до T0-Tj+1. План нужно сформировать с учетом лимитов Kt в t-промежутке (t=1,...,T0, Т0>maxTj). Задача в детерминированном случае:, ?=1,...,T0, , , t=1,...,T0-Tj+1, j=1,...,n. Это целочисленная задача ЛП с логическими переменными. Ценные бумаги. Курсы ценных бумаг играют важную роль на рынке капитала. В ранних исследованиях принималось, что основной стохастический процесс - случайное блуждание и броуновское движение. Блуждание имеет свойство мартингала с последовательностью случайных величин, независимых и имеющих одинаковые распределения. Стандартное броуновское движение B(t) имеет нормальное распределение со средним значением 0 и дисперсией t. Стохастическое поведение курса ценных бумаг не должно всегда иметь нормальное распределение: имеются распределения с бесконечной дисперсией, которые удовлетворяют свойству мартингала. Сильная гипотеза мартингала была проверена наблюдениями за поведением инсайдеров. Они действительно имели особую информацию и получали на этом прибыль. Свойство мартингала для броуновского движения - основой эффективного рынка. Курс ценных бумаг движется в обе стороны на Дx с равной вероятностью. Эти движения происходят за Дt единиц времени, во времена Дt, 2Дt, ... Пусть Y1, Y2, ... - последовательность независимых случайных величин с вероятностями P(Yi=Дx)=P(Yi=-Дx)=1/2 для i=1,2,… В момент времени t число движений равно [t/Дt] ( [w] - наибольшее целое число, меньше или равное w), а положение частицы (полное богатство) X(t)=Y1+Y2+…+Y[t/Дt]. Для получения броуновского движения как предельно случайного процесса устремим Дx и Дt к нулю, чтобы X(t)?B(t). Поскольку M[X2(t)]~(Дx)2t/Дt должно быть положительным и конечным, то Дx имеет порядок (Дt)1/2. Пусть Дx=(Дt)1/2 и Дt=1/n. Тогда Yi=(n)-1/2 c вероятностью 1/2, а X(t) имеет распределение, где Z равны 1 с вероятностью 1/2. По центральной предельной теореме X(n)(t) сходится к нормальному распределению с нулевым средним и дисперсией t при n??. Все распределения X(n)(t) асимптотически идентичны распределению броуновского движения В(t). Аксиомы броуновского движения: (1) случайная величина B(t+Дt)-B(t) не зависит от сигма алгебры, генерированной случайными величинами до времени t; изменение положения в течение (t,t+Дt) не зависит от того, что случилось до времени t, (2) распределение случайной величины B(t+Дt)-B(t) стационарно и не зависит от t, (3) limP(|B(t+Дt)-B(t)|>д)/Дt=0 для д>0 при Дt?0 (непрерывность). Путь B(t) должен быть непрерывной функцией t. Если B(0)=0, то есть такие числа м и у, что B(t) нормально распределено со средним значением мt и дисперсией у2t для каждого t. При м=0 и у=1 B называется стандартным броуновским движением. Вычислим вероятность p того, что частица достигнет точки S прежде, чем достигает нуля, если в начальный момент времени она находится в точке X(0)=w. Процесс достигнет S-w прежде, чем он достигает -w, если X(0)=0. Первое время прохождения Ф при а=-w и b=S-w есть первое время достижения а или b. Рассмотрим случай м=0. Поскольку X(0)=0, то M[X(T)]=aP(X(T)=a)+bP(X(T)=b)=a(1-p)+bp=0. Решение дает p=-a/(b-a)=w/S. Теперь нужно проверить, что M[X(T)]=0. Агент имеет портфель ликвидных активов и остатки в кассе. Доход портфеля составляет r в день, постоянные издержки г сопровождают перевод денег с одного счета на другой. Если решено сделать перевод, то он производится без задержки. Флуктуация наличного баланса определяется симметричным случайным блужданием; в течение известного интервала времени кассовые остатки растут или уменьшаются на m долларов с вероятностью p или 1-p. Агент минимизирует долговременные средние издержки управления кассовыми остатками. Кассовые остатки могут колебаться между 0 и h. Если достигнута верхняя граница h, то сумма h-z наличных денег передается в портфель ликвидных активов. Если достигнута нижняя граница 0, то z долларов передается из портфеля в кассу. Установившееся распределение денежных запасов треугольное со средним значением (h+z)/3, отождествляемым с долговременным спросом на наличные остатки. Оптимальные значения, а спрос на деньги, где у2=4m2p(l-p) - дисперсия ежедневных потоков наличности. Агент имеет резерв остатков, который увеличивается доходом от сбыта и уменьшается эксплуатационными расходами. Уровень остатков X(t) при этих стохастических сложениях и вычитаниях определяется броуновским движением: X={X(t),t>0} с начальным состоянием x>0, дрейфом м и дисперсией у2, так что M[X(t)]=x+мt и D[X(t)]=у2t. Уровень кассовых остатков управляется перемещением ликвидных активов в портфель или из портфеля. Перемещения происходят мгновенно с издержками k за доллар, переданный в кассовые остатки, и с за доллар, переданный в портфель. Деньги в форме кассовых остатков не зарабатывают ничего, в то время как доход от доллара в портфеле ликвидных активов равен h в единицу времени. Таким образом, h - это издержки доллара кассовых остатков. Пусть Y(t) - сумма, переданная из портфеля в кассовые остатки, а Z(t) - сумма, переданная из кассы в портфель ликвидных активов за время t. Цель - минимизация дисконтированных затрат при ограничении на остатки W(t)=X(t)+Y(t)-Z(t)>0 для всех t>0. Если б - учетная ставка, нужно найти пару (Y,Z), которая минимизирует. Интегрирование показывает, что нужно минимизировать выражение, где использовано обозначение с неубывающими интегрируемыми функциями g(t). Оптимальная политика определяется парой средств управления (Y,Z), для которой 0<W(t)<S при t>0, где S положительное решение уравнения. Менеджер должен переводить кассовые остатки в ценные бумаги так, чтобы W(t)<S, и он должен продавать минимальное число ценных бумаг, чтобы W(t)>0. Регулируемый процесс W следует броуновскому движению с двумя отражающими барьерами в 0 и S. Портфель содержит реальное обязательство, акции и номинальное обязательство в пропорциях w1, w2 и w3. Эти величины могут мгновенно и без потерь изменяться. Доходы описываются диффузионными процессами. Два источника неопределенности связаны с инфляцией и с фондовым рынком. Инвесторы выбирают w1, w2 и w3, чтобы максимизировать полезность. Инфляцию описывает случайное дифференциально-разностное уравнение, где P - уровень цен, р - ожидаемый темп инфляции (коэффициент дрейфа), а у - дисперсия процесса в единицу времени (коэффициент диффузии). Случайная компонента dB является стандартным броуновским движением. Анализ этого уравнения выглядит безнадежным, поскольку (B(t+Дt)-B(t))/Дt имеет нулевое среднее и дисперсию 1/Дt, и не имеет вероятностного предела. Пока у B(t) нет производной, дифференциал dB(t) не имеет смысла. Задача в интегральной форме. Теперь пути B имеют неограниченные вариации, и нужно выяснять, что означает понятие стохастического интеграла по броуновскому движению. Если в течение короткого периода времени изменение цены имеет нормальное распределение со средним значением рdt и дисперсией у2dt, то и. Логарифмирование дает. Следовательно, распределение P(t) логнормально со средним и дисперсией M[l]=(р-у2/2)t и D[l]=у2t. Гены эволюционной теории передаются генерацией, мутацией и естественным отбором. Природа отбирает организмы, которые больше всего подходят окружающей среде. Она безжалостно применяет закон больших чисел: после многих испытаний достигаются оптимальные комбинации организмов. Экономические понятия, которые соответствуют биологическим организмам, генам, мутациям и естественному отбору, - фирмы, имитации, новшества и прибыль. Новшества могут последовать как из неумелых имитаций, так и мысленных усилий. Тонкая комбинация случая и интеллекта определяет, процветает ли фирма. Время играет по существу одинаковую роль в эволюции Дарвина и эволюции фирм, но первая происходит в биологических системах в течение миллионов лет, а вторая - в течение жизни человека. Недопустимые организмы устранены природой. Рациональный человек менее пассивен к угрозе существования. Фирмы преднамеренно решают, какие процедуры более подходят для получения прибыли. Эти процедуры применяются и, если они ошибочные, быстро устраняют. Фирмы, продолжающие ошибаться, прекращают существование. Как приложение эволюционной логики в экономике рассмотрим игрока. Вначале игрок имеет один доллар. Если его первая игра успешна, он получает два доллара; если неудачна - он исчезает. Вероятность успеха равна p и агент вкладывает доллар в независимые предприятия. Предприятие имеет вероятность p успеха. Используя процессы ветвления, можно показать, что вероятность неудачи - наименьший неотрицательный корень уравнения g(s)=s с производящей функцией g(s)=1-p+ps2. Решение уравнения (s-1)[s-(1-p)/p]=0 дает вероятность неудачи (1-p)/p для p>1/2 и единицу для p<1/2. Если есть n агентов с вероятностью pi>1/2, вероятность прекращения группы [(1-pi)/pi]ni. Как следствие, группы с pi<1/2 станут уменьшаться, но большая группа с pi=1/2+е может выжить относительно индивида с pi вблизи единицы. Разработана эволюционную модель, в которой вывод о воздействии цены на отношение факторов был получен без понятия максимизации прибыли. Следствие максимизации - конкурентоспособная промышленность достигает равновесия. В равновесии выживают эффективные предприятия. В эволюционной парадигме соревнование и максимизация рассматриваются как тенденции. Эволюционное приближение позволяет моделировать явления несбалансированности. Модель включает два механизма: поиск и отбор. Мотив прибыли стимулирует предприятия привлекать новые технологии производства. Отбор функционирует через мотив прибыли, более выгодные предприятия производят больше продукции. 4.2. Линейные уравнения. Системы линейных алгебраических уравнений имеют вид, где A - m?n-матрица коэффициентов aij, x и c - n?1-векторы, y и b - m?1-векторы. Решением системы Ax=b называется набор чисел k1, k2,…,kn, подстановка которых в вектор x превращает каждое уравнение системы в тождество. Противоречивое уравнение 0x=b с b?0 не имеет решений (при b=0 уравнение тривиальное: оно имеет бесконечное число решений). Если хотя бы одно уравнение противоречиво, то систему называют несовместной. Однородная система уравнений Ax=0 всегда совместна: существует вектор x, который ортогонален всем столбцам матрицы A, столбцы матрицы A линейно зависимы. Если yTA=0, то при y?0 строки матрицы A линейно зависимые. Решение x(y) однородного уравнения Ax=0 (yTA=0) называют тривиальным при x=0 (y=0) и нетривиальным при x?0 (y?0). Соотношение Ax=b с m?n-матрицей A?Rm+n, заданным вектором b?Rm и неизвестным вектором x выражает систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами и задачу обратного отображения - нахождение вектора x?Rn, который переводится матрицей A в вектор b?Rm. Если рассматривать вектор Ax как взвешенную с весами x сумму столбцов матрицы A, то можно записать а xj удобнее считать скалярами, чем компонентами вектора. В этой форме можно искать xj как коэффициенты линейной комбинации векторов A*j. Аналогично, yTA можно рассматривать как взвешенную сумму строк матрицы A. Если A?Rm?n и 0 - нулевой вектор из Rm, то множество решений уравнения Ax=0 является подпространством в Rn, называемым аннулируемым пространством N(A). Область значений R(A) матрицы A образована векторами y=Ax, если x?Rn. Cумма размерностей N(A) и R(A) равна n. Область R(A) называют также образом пространства Rn при действии A и «пространством столбцов» для A, поскольку совпадает с множеством линейных комбинаций столбцов матрицы A. Матрица A имеет ранг r, когда аннулируемое пространство N(A) имеет размерность n-r. Если A?Rm?n, то уравнение Ax=b имеет решение в том случае, когда m?(n+1)-матрица B={A,b} имеет ранг, равный r(A). Если x(1) - частное решение уравнения Ax=b и x(2)?N(A), то общее решение x=x(1)+x(2). Существование нетривиального решения при m?n зависит от того, являются ли столбцы матрицы A линейно независимыми. Множество X решений системы Ax=0 с m?n-матрицей А ранга r образует линейное подпространство размерности n-r. Если r=n-1, решения лежат на прямой, проходящей через начало координат. Решение из подпространства размерностью 1 единственно. Если A состоит из одной строки, она имеет ранг r(A)=1, а пространство решений имеет размерность n-1. Линейное пространство размерности n-1 в пространстве размерности n - это гиперплоскость, а уравнение aTx=0 описывает гиперплоскость, проходящую через начало координат. Однородное уравнение Ax=0 при A?Rn?n имеет нетривиальное решение x, если матрица A вырождена. Неоднородное уравнение Ax=b имеет единственное решение, если матрица A?Rn?n невырождена. В этом случае, где j=1,2,…,n. Сумма совпадает с разложением определителя |A| по j-му столбцу, если элементы заменены на b1,b2,…,bn (правило Крамера). Для решения можно использовать разбиение n?n-матрицы A на блоки. Выразим вектор x2 из второго уравнения и подставим в первое уравнение. В результате приходим к системе n1 уравнений B11x1=с1,. Если ранг r(A)<n, то система имеет решение при условии совместности r(A|b)=r(A) (теорема Кронекера-Капелли). Система совместна, если компоненты b имеют ту же самую линейную зависимость, что и строки матрицы A. Условие совместности при n1=r и n2=n-r дает. Значит, если уравнения совместны, то можно найти решение в том смысле, что любое значение x2 однозначно определяет значение x1. Поскольку x2 может быть произвольным, существует бесконечное множество решений, каждое из которых отвечает одной точке в (n-r)-мерном пространстве решений. Решение системы n уравнений Ax=b с невырожденной n?n-матрицей А записывается в виде x=A-1b. Обратная матрица A-1 устойчива, если при малых изменениях элементов матрицы A малы изменения элементов обратной матрицы. Матрица A называется плохо обусловленной, если обратная матрица неустойчива. Решения уравнений с плохо обусловленной матрицей A сильно изменяются даже при малых изменениях ее элементов. Для характеристики обусловленности n?n-матрицы A используют число K(A)=||A||?||A-1|| (произведение норм матриц). Число K(A)=(лmax/лmin)1/2 определяется наибольшим лmax и наименьшим лmin собственным значением матрицы ATA (правило Уилкоксона). В разложимой матрице A21=0 и переменные x1 зависят от x2, но переменные x2 не зависят от x1. Если A11 и A22 неразложимы, а A12=0 и A21=0, то A называют вполне разложимой. Вполне разложимой матрице отвечают независимые совокупности переменных. Понятие приводимости появляется в связи с неотрицательными матрицами, так как положительные матрицы неприводимы. Неприводимость означает обоюдную зависимость переменных x1?x2. В методе Гаусса учитываются свойства определителя матрицы. Сложение одного уравнения системы с другим уравнением, может быть умноженным на число, не меняет ее решения. Если через ai,n+1 обозначить компоненты bi вектора b и ввести обозначение aij(0)=aij, то формулы прямой подстановки метода Гаусса akj(k)=akj(k-1)/akk(k-1) и aij(k)=aij(k-1)-aik(k-1)akj(k) для k=1,2,…,n, где i=k+1,…,n и j=k+1,…,n+1. После прямой подстановки уравнения примут виду x1+a12(1)x2+a13(1)x3+…+a1n(1)xn= a1,n+1(1), x2+a23(2)x3+…+a2n(2)xn= a2,n+1(2), x3+…+a3n(3)xn=a3,n+1(3), xn= an,n+1(n). Для определения неизвестных нужно выполнить обратную подстановку, i=n-1,n-2,…,1, где верхние индексы опущены. В методе Жордана используется деление p-строки на опорный элемент apq, сложение p-строки с i-строкой, умноженной на -apq. Неоднородную систему уравнений Ax=b часто записывают в виде таблицы:. Преобразования Гаусса включают умножение строки таблицы на любое число, замену i-строки p-строкой, возможно умноженной на число, и вычеркивание строк тривиальных уравнений. Целью является получение разрешенной системы уравнений. Неизвестная называется разрешенной, если одно уравнение системы содержит ее с 1, а в остальные уравнения она не входит. Если каждое уравнение содержит свою разрешенную неизвестную, то система называется разрешенной. Неизвестные, которые не входят в разрешенный набор, называются свободными. Разрешенная система уравнений совместна. Ранг r системы не больше числа неизвестных n. Совместная система m уравнений ранга r содержит m-r зависимых уравнений. При r=n система определенная, а при r<n она неопределенная. Линейно независимые столбцы Aj матрицы А с j=1,2,…,r при r?m называют базисом системы. Если из матрицы A выбросить все строки, кроме строк i1,i2,…,ik, и все столбцы, кроме столбцов j1,j2,…,jk, то определитель полученной матрицы называют минором порядка k. Миноры, для которых i1=j1,i2=j2,..,ik=jk, называются главными. Ранг матрицы - порядок старшего ненулевого главного минора. Выбор главного минора определяет базис системы. Выделение m базисных столбцов в А приводит к квадратной матрице B. Система уравнений BхB=b имеет единственное решение, а вектор хВ размера m есть усечение базисного решения х, в котором отсутствуют нулевые компоненты для небазисных столбцов матрицы А. Матрица требований. В закрытой экономике выделяют секторы: предприятия (Enterprises) E, финансовые институты (Financial Institutes) F, правительство (Gowernment) G и домохозяйства (Households) H. Финансовые особенности секторов видны на рис.1 (указаны суммы статей, отнесенные к валюте баланса сектора), CA - текущие активы (Current Assets), FA - реальные активы (Fixed Assets), CL - текущие долги (Current Liabilities), NW - собственный капитал (Net Worth). В E-балансе. В F-балансе. В G-балансе. В H-балансе. Агенты E и G являются заемщиками: они не могут финансироваться из собственных сбережений. Первичными кредиторами являются домохозяйства H. Деньги первичных кредиторов, передаемые финансовыми посредниками F, образуют промежуточную задолженность. Рис.1. Балансы предприятий E, финансовых институтов F, правительства G и домохозяйств H. Финансовые потоки между секторами вызывают изменения сумм на счетах баланса. Если объединить отчеты о ресурсах и использовании средств, то получается матрица требований, характеризующая изменения балансов в секторах за отчетный период. Для закрытой экономики она дана в таблице 1. Указаны активы (Assets) A и инвестиции (Investments) I, ресурсами являются долги (Liabilities) L и сбережения (Savings) S. Таблица 1. Матрица требований в закрытой экономике. Распределение потоков показано на рис.2. Инвестиции IE в активы предприятий превысили сбережения SE, разность покрывается финансовыми обязательствами LE=IE-SE+AE. Долги LF превысили сбережения финансовых институтов SF , а активы AF=LF+SF-IF. Правительство не делало инвестиций (IG=0) и было расточительным (SG<0), что увеличило задолженность LG=AG-SG>AG. Сбережения SH=AH+IH-LH имели домохозяйства H. Финансовые институты F являются кредиторами, но сбережения невелики. Рис.1. Доли изменений активов A, инвестиций I, обязательств L сбережений S в четырех секторах закрытой экономики. Правительство не имеет сбережений («антисбережения»), и дефицит бюджета покрывается долгами. Изменения обязательств равны изменениям финансовых активов A=L, сбережений - изменению инвестиций I=S. Имеется 6 балансовых уравнений и 16 финансовых потоков. В левых частях указаны использования (Uses) U из активов и инвестиций, а в правых - ресурсы (Resources) R из обязательств и сбережений. Для описания изменений за отчетный период удобно использовать графы. Каждому уравнению баланса сектора или операции отвечает вершина графа, а потоку - дуга. Дуги использования направлены из вершины сектора в вершину операции, а дуги источников - из вершины операции в вершину сектора. Есть 6 вершин E, F, G, H, AL, IS и 16 дуг, а направленный граф показан на рис.3. За опорную вершину графа взяты сбережения IS. Выбор независимых потоков определяет опорное дерево графа, ветви SE, SF, SG, SH, LF изображены сплошными линиями. Пунктирные линии называют хордами, они представляют зависимые потоки системы. Рис.3. Граф финансовых потоков в закрытой системе. Баланс предприятий отображает вершина графа E, финансовых институтов - F, правительства - G, домохозяйств - H, активов и обязательств - L, инвестиций и сбережений - S. Для примера используем оценки финансовых потоков I. Они даны в таблице 2 вместе c запасами V и адмиттансами G. Таблица 2. Финансовые потоки I в закрытой экономике, запасы V и адмиттансы G ветвей и хорд направленного графа. Сама финансовая матрица имеет вид: Легко убедиться, что она симметрична и вырождена, а ранг матрицы на 1 меньше ее порядка. Финансовые потоки выражаются через поток одной ветви, который может принимать любые значения, если только не наложены дополнительные (институциональные) ограничения. Матрицу F и потоки Ib можно всегда представить в блочном виде, а потоки IbA - выразить через IbD, или наоборот, в зависимости от того, какая из матриц A или D не вырождена. Если A не вырождена, то. Линейно зависимые потоки находятся в блоке IbD. Для нашего примера выделим IbA=[SH,SE,SF]T и IbD=[LF,SG]T. Поток A-ветвей и хорд выражается линейной комбинацией задолженности LF и сбережения SG. Коэффициенты б и в даны в таблице 4 (индекс U относится к использованию, а R - к источникам). Таблица 4. Чувствительности л и у финансовых потоков к задолженности финансового сектора LF и сбережению правительства SG. Строго говоря, задолженность и сбережения взаимосвязаны: LF=-гSG при г?19. Пренебрежение связью выражает институциональное ограничение, действующее вне экономических рамок и, следовательно, линейной теории финансовых потоков. При независимом изменении LF и SG, чувствительности б и в из таблицы 4 могут указывать возможные причины нарушений баланса секторов и операций по использованию и ресурсам. В частности, отметим различную роль секторов E, H в достижении финансового равновесия, с одной стороны, и F, G - с другой. Можно сказать, что эти две пары секторов «играют» в антагонистическую игру: правительственные сбережения SG в отчетном периоде увеличивают использование инвестиции I. Матрицы 2?2. Длина вектора b?R2 с компонентами b1, b2 равна. Угол ? между векторами b?R2 и c?R2 определяется выражением. При bTc=0 вектор b ортогонален вектору c (?=?/2 радиан=90?). 2?2-матрица A состоит из двух строк {a11,a12}, {a21,a22} или двух столбцов {a11,a21}, {a12,a22}. Направленный граф 2?2-матрицы A (a=a11, b=a12, c=a21, d=a22) содержит n=2 вершины и m=4 дуги: Граф имеет две петли с передачами a и d, петлю обратной связи с передачей bc. Сумма передач петель равна следу матрицы tr(A)=a+d. Фактор графа включает все вершины и непересекающиеся петли, полностью покрывающие эти вершины (изолированных вершин нет). Декремент фактора ? меньше числа вершин n на число петель фактора. Произведение передач дуг каждого фактора дает вклад в определитель графа ?=ad-bc, а знак вклада определяется декрементом фактора (плюс при четном ? и минус при нечетном ?). След и определитель 2?2-матрицы A r(A)=a11+a22 и |A|=a11a22-a12a21. При транспонировании матрицы ее след и определитель не изменяются. Миноры элементов aij 2?2-матрицы A. Матрицы миноров, алгебраических дополнений и присоединенная матрица. Матрицы A и A+ коммутируют. При |A|?0 существует обратная матрица A-1=A+/|A|. Матрицы A и A-1 коммутируют AA-1=A-1A=1. При s11?0 элементы 2?2-матрицы L из разложения S=LLT даются в виде. Элементы 2?2-матриц Q,R и Z,U из разложений A=QR и A=ZU имеют вид. Ортогональная матрица Q (|Q|=1) описывает вращение на угол ?, инволютивная матрица Z (|Z|=-1) - вращение на угол ?. с отражением. Элементы 2?2-матриц L,U из разложения A=LU имеют вид. Характеристический многочлен и матрица G(?) для 2?2-матрицы Собственные значения 2?2-матрицы. действительные при (c1/2)2?c2 и комплексные при (c1/2)2<c2. Матрица правых собственных векторов и матрица собственных значений удовлетворяют матричному уравнению AX=X?. Матрица правых собственных векторов YT=X-1 удовлетворяет уравнению YTA=?Y или ATY=Y?. Сопутствующие матрицы Pk - это внешние произведения столбца x(k) матрицы X на строку y(k) матрицы YT. Унитарная матрица. 1. Сложение ?-матриц. 2. Умножение ?-матриц. 3. Обращение регулярной ?-матрицы B(?)=??1-A. 4. Обращение элементарной ?-матрицы P(?). Определитель не будет зависеть от ?, если a=b=d=f=0, и будет равен eh. Обратная матрица P-1(?)=R(?). Решение R1=P1-1, R0=-R1P0R1, проверка P0Q0=0. 5. Деление матрицы С(?) многочленов степени l=3 на регулярную матрицу B(?) степени m=1: 6. Деление матрицы С(?) многочленов степени l=4 на регулярную матрицу B(?) степени m=2: P0=C0B0-1, P1=(C1-P0B1)B0-1, P2=(C2-P0B2-P1B1)B0-1, R0=C3-P1B2-P2B1, R1=C4-P2B2, Q0=B0-1C0, Q1=B0-1(C1-B1Q0), Q2=B0-1(C2-B1Q1-B2Q0), S0=C3-B1Q2-B2Q1, S1=C4-B2Q2. Пример 7. Элементарные преобреобразования ?-матрицы С(?) Матрица C(?) степени l=2, а матрицы P(?) и Q(?) степени m=1: Матрица степени l+2m=4: Пример: Показать, что матрицы C(?) и B эквивалентны. Для матрицы ранг r(A)=1, а n=2 и ?=n-r=1. Поскольку |??1-A|=?2, матрица A имеет собственное значение ?=0 кратностью 2 (m>?). Матрицы имеют одинаковые собственные значения, но они не являются подобными. Присоединенные матрицы G(?k) для матрицы. Матрицы 3?3. Длина вектора b?R3 с компонентами b1, b2, b3 равна. Угол ? между векторами b?R2 и c?R2 определяется выражением. При bTc=0 вектор b ортогонален вектору c. 3?3-матрица A состоит из трех строк и трех столбцов: Направленный граф 3?3-матрицы A содержит n=3 вершины, m=9 дуг и 6 факторов {a11,a22,a33} (декремент ?=0), {a12,a21,a33}, {a13,a31,a22}, {a23,a32,a11} (?=1) и {a12,a23,a31}, {a13,a32,a21} (?=2): Определитель графа ?=a11a22a33-a12a21a33-a13a31a22-a23a32a11+a12a23a31+a21a13a32. След и определитель 3?-матрицы A tr(A)=a11+a22+a33 и |A|=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a31a22a13-a21a12a33-a32a23a11. При транспонировании матрицы ее след и определитель не изменяются. Миноры элементов aij 3?3-матрицы A: Матрицы миноров, алгебраических дополнений и присоединенная матрица. При |A|?0 существует обратная матрица. Алгоритм LLT-разложения Чолески для симметричной 3?3-матрицы S: Ортогональная 3?3-матрица Q с |Q|=-1 описывает поворот на угол ? вокруг оси 3, поворот на угол ? вокруг оси 2 и еще поворот на угол ? вокруг новой оси 3: Для QR-разложения 3?3-матрицы A необходимо вычислить углы Эйлера: Элементы 3?3-матрицы R вычисляются по формулам: Ортогональная 3?3-матрица Z с |Z|=-1 содержит элементы: Для ZU-разложения 3?3-матрицы A необходимо вычислить углы Эйлера: Элементы 3?3-матрицы U вычисляются по формулам: Алгоритмы LU-разложения для 3?3-матрицы A: или. Характеристический многочлен и матрица G(?) для 3?3-матрицы A. Корни ?1,?2,?3 уравнения c(?)=0 являются собственными значениями матрицы A. Кубическое уравнение c(?)=0 подстановкой ?=x-c1/3 приводится к виду. Решения уравнения зависят от знака Q=(p/3)3+(q/2)2. При Q<0 имеем p<0 и, а корни характеристического многочлена являются действительными числами. При Q?0 имеем p>0 и, а два корня комплексно сопряженных и один корень действительный: и. Избыточной к 2?2-матрице A={a11, a12, a21, a22} является 3?3-матрица A0:, где u1=a11+a12, u2=a21+a22, v1=a11+a21, v2=a12+a22, w=u1+u1=v1+v2. Избыточную 3?3-матрицу A0 можно представить в блочном виде, с 2?2-матрицей A, 2?1-векторами избытков u, v, и действительным числом w: и. Для избыточной 3?3-матрица A0: c1=-tr(A0), c2=3|A|, c3=|A0|=0, и. Число собственных значений n(A)=2, n(A0)=3. Рангом матрицы называется число ненулевых собственных значений: r(A)=r(A0)=2. Матрица невырожденная при r=n (|A|?0) и вырожденная при r<n (|A0|=0), а дефект матрицы d(A0)=n(A0)-r(A0) равен числу нулевых собственных значений. Столбцы матрицы A0 линейно зависимые (определитель Грамма |A0TA0|=0). Если матрица C=A+B является суммой квадратных матриц A и B, то. где ?(0)=|A| и ?(n)=|B|, а определитель ?(k) получается замещением k столбцов определителя |A| столбцами определителя |B|. Пример: C=A+iB,., Re|C|=-61-16-18+20=-75,, Im|C|=-22+15+63+22=78. Если C=AB - произведение двух прямоугольных матриц A?Rm?n и B?Rn?m, то при m?n. При m?n определитель матрицы C равен сумме произведений всех возможных миноров порядка m в A на соответствующие миноры матрицы B того же самого порядка (Бине-Коши). Пример:, и |C|=2. Пример:. Две матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены (являются подобными?). Введем в рассмотрение. Присоединенная матрица GA(?)=(??1-A)+=?(??1,A). Вычислим GA(?) и GB(?):. Подстановка A2 и A или B2 и B дает или. Наибольшие общие делители элементов этих матриц равны (?-4) и 1. Поэтому и. Найдем собственные векторы. Имеем и, откуда получаем два линейно независимых правых собственных вектора для ?=4 и один правый собственный вектор для ?=2:. Отметим, что A - простая матрица. Имеем, Поскольку CB(4) дает лишь один собственный вектор, то матрица B дефектная. Наибольшие общие делители и инвариантные многочлены с1=-?2+?-2, c2=-?2(?-1), с3=0. Миноры m11=1-?2, cкрытые корни ?1=?2=1 m12=?2(1-?), cкрытые корни ?1=?2=0, ?3=1 m13=-(1-?2)(1+?), cкрытые корни ?1=?2=1, ?3=-1. Матрица миноров. Матрица алгебраических дополнений. Присоединенная матрица. Наибольшие общие делители d1(?)=1, d2(?)=1, d3(?)=0. Инвариантные многочлены i1(?)=d1(?)=1, i2(?)=d2(?)/d1(?)=1, i3(?)=d3(?)/d2(?)=0, с1=-2?7, c2=3?6-?4+2?2, с3=-2?7+2?3. Матрица миноров. Наибольшие общие делители d1(?)=?, d2(?)=?2, d3(?)=?6(?-1). Инвариантные многочлены i1(?)=d1(?)=?, i2(?)=d2(?)/d1(?)=?, i3(?)=d3(?)/d2(?)=?4(?-1). Матрица миноров. Наибольшие общие делители d1(?)=1, d2(?)=(?-4), d3(?)=(?-2)(?-4)2, Инвариантные многочлены i1(?)=d1(?)=1, i2(?)=(?-4), i3(?)=(?-2)(?-4) Поскольку i1(?)=(?-2)0(?-4)0, i2(?)=(?-2)0(?-4)1, i3(?)=(?-2)1(?-4)1, то элементарные делители e1(?)=(?-2), e2(?)=(?-4), e3(?)= (?-4)1, Жорданова матрица, Матрица миноров. Наибольшие общие делители d1(?)=1, d2(?)=1, d3(?)=(?-2)(?-4)2, Инвариантные многочлены i1(?)=d1(?)=1, i2(?)=1, i3(?)=(?-2)(?-4)2. Поскольку i1(?)=(?-2)0(?-4)0, i2(?)=(?-2)0(?-4)0, i3(?)=(?-2)1(?-4)2, то элементарные делители e1(?)=(?-2), e2(?)=(?-4)2, Жорданова матрица. Известны инвариантные многочлены характеристической 10?10-матрицы F(?)=??1-A i1(?)=…=i7(?)=1, i8(?)=?+1, i9(?)=?3+1, i10(?)=(?3+1)2. Найти первую, вторую нормальную и жорданову формы матрицы A. Первой нормальной формой является L=diag{L8,L6,L10}. Если обозначить ?1=-1 и, то i1(?)=…=i7(?)=1, i8(?)=(?-?1), i9(?)=(?-?1)(?-?2)(?-?3), i10(?)=(?-?1)2(?-?2)2(?-?3)2, а поэтому имеется семь элементарных делителей, четыре из которых линейные. Получаем вторую нормальную форму L=diag{L1,L2,L3,L4,L5,L6,L7}, где L1=L2=-1, L4=?2, L6=?3,. Жорданова форма J=diag{J1,J2,J3,J4,J5,J6,J7}, где J1=J2=-1, J4=?2, J6=?3,. Для 3?3-матрицы ?1=-1 (m1=2) и ?2=-2 (m2=1),. Эти результаты можно проверить подстановкой ?1 и ?2 в выражение для G(?). Примеры 4x4. Матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены c(?)=(?-a)4 и собственное значение ?1=a кратности m1=4, но их минимальные многочлены ?(?) различны. Матрица FA(?)=??1-A при ?1=a просто вырождена, а поэтому ее минимальный многочлен совпадает с характеристическим: ?(?)=(?-a)4. Дефекты матриц FB(a) и FC(a) равны двум, значит присоединенные к ним матрицы GB(a) и GC(a) должны иметь общий делитель (?-a), но он не обязательно наибольший. Для матрицы GB(?) наибольший общий делитель d(?)=(?-a) и поэтому ?(?)=(?-a)3. Для GB(?) наибольший общий делитель d(?)=(?-a)2 и поэтому ?(?)=(?-a)2. Матрица FD(a) полностью вырождена, а поэтому наибольший общий делитель d(?)=(?-a)3 и ?(?)=(?-a). Матрица бухгалтерских проводок P, векторы дебетов и кредитов счетов d и c, активы и пассивы баланса a и b: Счета C, AR и FA активные, счета B, O и P пассивные, а счета AP и Y временные. С помощью алгоритма Фаддеева вычислим коэффициенты характеристического многочлена c(?) и присоединенной функции G(?): где G1=1. Поскольку c1=c3=c5=c6=c7=c8=0, c2=-3.765 и c4=-121.5, характеристическое уравнение имеет вид ?8+с2?6+с4?4=0. Восемь корней уравнения. Подстановка c2 и c4 дает два действительных и два мнимых корня ?1=3.607, ?2=-3.607 и ?3=3.056i, ?4=-3.056i. Порядок матрицы n(P)=8, ранг матрицы r(P)=4, дефект матрицы d(P)=4, tr(P)=0 и |P|=0. Присоединенные матрицы G(?1) и G(?2) содержат действительные числа: Матрица G(?2) отличается от матрицы G(?1) знаками некоторых элементов: Присоединенные матрицы G(?3) и G(?4) содержат комплексные числа: Матрица G(?4) отличается от матрицы G(?3) знаками мнимых частей: Для вырожденного уровня ?5 (m5=4) ненулевой след имеет матрица третьей производной G???(?5): Матрица правых собственных векторов X содержит по одному столбцу из матриц G(?1), G(?2), G(?3), G(?4) и столбцы (3), (5), (4) и (6) из матрицы G???(?5), причем они нормировались на следы соответствующих матриц, а столбец (3) из матрицы G???(?5) еще и умножался на 2. Матрица X содержит комплексные числа: Эта матрица невырожденная, а матрица правых собственных векторов YT=X-1. Для обращения представим матрицу X в блочной форме. Для удобства вычислений переставим некоторые столбцы в матрице X: Определитель блочной матрицы при |A|?0:. Если 4?4-матрица A невырождена, то для обращения X применима формула. С помощью этой формулы получаем YT (после перестановки столбцов): Матрица YTPX имеет квазидиагональную структуру: Матрица бухгалтерских проводок P не является простой матрицей. 4.1. Матричная алгебра. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел из поля K, называемых элементами матрицы aij (1?i?m, 1?j?n). Любой m?n-матрице A (m - число строк, n - число столбцов)с элементами aij отвечает транспонированная n?m-матрица AT с элементами aji: строки матрицы A становятся столбцами в матрице AT, а столбцы - строками в AT. Сложение m?n-матриц A и B с элементами aij и bij приводит к m?n-матрице C=A+B с элементами cij=aij+bij. Умножение матрицы A на число ??K ведет к матрице C=?A с элементами cij=?aij. Эти две операции превращают множество m?n-матриц из поля K в линейное пространство над полем K. Умножение m?l-матрицы A на l?n-матрицу B дает m?n-матрицу с элементами. Эта операция определена только для соответствующих друг другу матриц: число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй матрицы. Множество всех действительных m?n-матриц обозначается Rm?n. Обозначим столбцы матрицы A?Rm?n через A*1,A*2,…,A*n и ее строки - через A1*,A2*,…,Am*. Рангом по строкам матрицы A называют наибольшее число линейно независимых векторов порядка n среди Ai*, i=1,2,…,m, рангом по столбцам - наибольшее число линейно независимых векторов порядка m среди A*j, j=1,2,…,n. Ранг по строкам матрицы равен рангу по ее столбцам. Роль нулевого элемента при сложении играет m?n-матрица 0 из Rm?n, все ее элементы которой равны 0. Роль единичного элемента при умножении играет матрица 1: для A?Rm?n и A?1=A она должна быть n?n-матрицей, для 1?A=A - m?m-матрицей. Умножение матриц является бинарной операцией из Rm?l?Rl?n в Rm?n. Если существует матрица AB и столбцами A являются A1,A2,…,An, а строками B являются B1T,B2T,…,BnT, то. Вообще говоря, BA?AB. Если BA=AB, то говорят, что A и B коммутируют. Если матрицы A и B коммутируют, они являются квадратными матрицами одного порядка n. Скалярная матрица кратна единичной матрице 1: матрица A - скалярная, если существует такое число ??K, что A=??1 (1 - единичная матрица в Rn?n). Элементы aij матрицы A с i=j образуют ее главную диагональ. Ненулевые элементы диагональной матрицы D находятся на главной диагонали. След n?n-матрицы A - это сумма ее диагональных элементов. Существует n! произведений элементов a1,j1,a2,j2,…,an,jn с перестановками j1,j2,…,jn натуральных чисел 1,2,…,n, и в каждом произведении есть элемент из строки и из столбца. Функция определителя матрицы A имеет вид, где p пробегает все n! перестановок чисел 1,2,…,n, а t(p) - число транспозиций. Выделяя члены aij для j=1,2,…,n, получим разложение по i-ой строке, где коэффициент Aij при aij называют алгебраическим дополнением элемента aij. Минор Mij порядка n-1- это определитель матрицы, получаемой из n?n-матрицы A выбрасыванием i-ой строки и j-го столбца. Пять важных свойств определителя: (1) |AT|=|A|, (2) если матрица B получена из A перестановкой двух строк (или столбцов), то |B|=-|A|, (3) если матрица A имеет одинаковые две строки (или столбца), то |A|=0, (4) Aij=(-1)i+jMij, (5) если s?r, то и. Ранг матрицы равен порядку ее наибольшего ненулевого минора. Ранг матрицы по минорам равен ее рангам по строкам и по столбцам. Дефект матрицы A равен разности n(A)-r(A) порядка n(A) и ранга r(A). Присоединенная матрица A+ - это транспонированная матрица алгебраических дополнений для матрицы A. Матрицы A и A+ коммутируют:. Матрица A вырожденная при |A|=0 и r(A)<n(A), матрица A невырожденная при |A|?0 и r(A)=n(A). Обратная матрица A-1=A+/|A| и. Если существует A-1, то (A-1)T=(AT)-1, а если для B существует B-1, то (АВ)-1=В-1А-1. Определитель произведения квадратных матриц |AB|=|A||B| равен произведению определителей этих матриц. Квадратом матрицы A?Rn?n называется произведение AA?A2. Для инволютивной матрицы A-1=A и AA=1, для идемпотентной матрицы AA=A. Из ассоциативности произведения следует, что Ap=AA…A (p раз) является однозначно определенной матрицей. Нулевая степень матрицы A0=1. Матрицу A называют нильпотентной степени m, если Am-1?0 и Am=0 (m>1). Нильпотентная матрица вырождена. Cтолбцы матрицы A линейно независимы при |ATA|>0 и зависимы при |ATA|=0 (определитель Грамма). Матрицу A при AT=A называют симметричной. Симметричная матрица S имеет разложение Чолески S=LLT с нижней треугольной матрицей L. Если xTSx>0 для всех ненулевых векторов x?Rn, то матрица S?Rn?n называется положительно определенной. Если же xTSx?0 для всех x?Rn и xTSx=0 для какого-то x?0, то матрица S неотрицательно определенная. Положительно определенная матрица невырожденная, так как для вырожденной матрицы S есть вектор x?0, для которого Sx=0 и xTSx=0. Матрица A называется ортогональной при AT=A-1, а ее определитель |A|=?1. Ортогональная матрица Q с |Q|=1 описывает вращение, а матрица Z с |Z|=-1 - вращение с отражением. Квадратную матрицу представляют разложения A=QR или A=ZU и A=LU c верхними треугольными матрицами R и U. Обратная матрица L-1(U-1) для нижней (верхней) треугольной матрицы L(U) также треугольная. Квадратная матрица A может быть представлена блоками, где A11 и A22 - квадратные матрицы. Определитель блочной матрицы при |A11|?0:. Формула Фробениуса для обратной матрицы при |A11|?0:. Если A?Rn?n имеет разбиение вида, то |A|=|A11|?|A22|. Если A?Rn?n, u,v?Rn и w?R, то и, где u=A? и v=AT?. Столбец n?1-матрицы называют вектором (упорядоченной «энкой» чисел), а 1?n-матрица - транспонированным вектором. Пространство действительных n?1-матриц совпадает с Rn. Элементы Rn можно рассматривать как 1?n-матрицы, но удобнее транспонировать вектор. Внутреннее произведение векторов x и y из Rn можно записать как xTy. Если x?Rm и y?Rn, то внешнее произведение xyT будет m?n-матрицей. Матрицу А размером m?n можно составить из m вектор-строк Ai* и из n вектор-столбцов A*j. Эти представления связаны с понятием двойственности: m?n-матрица А преобразует вектор x?Rn в вектор Ax?Rm и транспонированный вектор yT?Rm в вектор yTA?Rn. Отображения x?Ax и yT?yTA двойственные. Среди квадратных матриц с действительными элементами находятся такие, которые в арифметических действиях ведут себя так же, как комплексные числа. Поставим в соответствие каждому комплексному числу a+bi матрицу порядка 2. Сумме, разности, произведению двух комплексных чисел будет соответствовать сумма, разность, произведение соответствующих матриц. Эта мысль выражается так: совокупность всех матриц указанного вида изоморфна совокупности всех комплексных чисел. Определитель матрицы a2+b2 равен норме (квадрату модуля) комплексного числа a+bi. Аналогичная картина имеет место и для кватернионов. Если кватерниону a+bi+cj+dk ставить в соответствие матрицу, то соответствие тоже окажется изоморфным. Определитель матрицы a2+b2+c2+d2 равен норме (квадрату модуля) кватерниона. Матричные уравнения. Существование решений системы уравнений Ax=b зависит от ранга матриц r(A)?min(m,n), размерности векторных пространств строк и столбцов. Достаточное условие существования единственного решения r(A)=n (матрица A должна быть невырожденной). Но это условие не является необходимым. Если r(A)<n, а уравнения в системе переставить так, чтобы r уравнений были линейно независимы, то систему можно записать в блочной форме и, где A11-1 - обратная матрица. Решение x1(x2) зависит от x2: имеется множество решений соответственно положениям точки x2 в (n-r)-мерном пространстве. Чтобы три прямые, пересекались в точке или были параллельны, необходимо и достаточно иметь или, т.е. чтобы левые части уравнений были линейно зависимы. Однородное уравнение Ax=0 (A?Rn?n) имеет нетривиальное решение, если матрица A вырождена. Неоднородное уравнение Ax=b имеет решение, если матрица A?Rn?n обратимая. В этом случае или, где j=1,2,…,n. Сумма совпадает с разложением определителя |A| по j-му столбцу, если элементы столбца заменить на b1,b2,…,bn (правило Крамера). Для решения можно использовать разбиение n?n-матрицы A на блоки:. Выразим вектор x2 из второго уравнения и подставим в первое уравнение:,. В результате приходим к системе n1 уравнений B11x1=с1, и. Если ранг матрицы r(A)<n, то система имеет решение при условии совместности r(A|b)=r(A) (теорема Кронекера-Капелли). Система совместна, если компоненты вектора b имеют ту же самую линейную зависимость, что и строки матрицы A. Условие совместности при n1=r и n2=n-r дает. Если уравнения совместны, можно найти решение в том смысле, что любое значение x2 однозначно определяет значение x1. Поскольку x2 может быть произвольным, существует бесконечное множество решений, каждое из которых отвечает одной точке в (n-r)-мерном пространстве решений. В приводимой матрице A21=0 и переменные x1 зависят от x2, но переменные x2 не зависят от x1:. Если блоки A11 и A22 неприводимы, а A12=0 и A21=0, то матрица A называется приводимой. Ей отвечают независимые совокупности переменных. Понятие приводимости появляется в связи с неотрицательными матрицами, так как положительные матрицы неприводимы. Неприводимость означает обоюдную зависимость переменных x1?x2. Решение системы n уравнений Ax=b с невырожденной n?n-матрицей А записывается в виде x=A-1b. Обратная матрица A-1 устойчива, если при малых изменениях элементов матрицы A малы изменения элементов обратной матрицы. Матрица A плохо обусловленная, если обратная матрица неустойчива. Решения уравнений с плохо обусловленной матрицей A сильно изменяются даже при малых изменениях ее элементов. Для характеристики обусловленности n?n-матрицы A используют K(A)=||A||?||A-1|| (произведение норм матриц). Число K(A)=(лmax/лmin)1/2 определяется наибольшим лmax и наименьшим лmin собственным значением матрицы ATA (Уилкоксон). Рассмотрим систему двух линейных уравнений a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1, a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2. Если матрица имеет ранг r=1, то a21/a11=a22/a12=...=a2n/a1n (гиперплоскости параллельны). Если ранг матрицы A равен 2, то система уравнений определяет (n-2)-мерную плоскость. Если ранг расширенной матрицы равен 2 (a21/a11=a22/a12=...=a2n/a1n?b2/b1), то система уравнений несовместная (гиперплоскости не пересекаются). Если ранг расширенной матрицы B равен 1 (a21/a11=a22/a11=...=a2n/a1n=b2/b1), то система сводится к одному уравнению (гиперплоскости совпадают). Матричный метод анализа работ. Введем вектор длительности работ t размерностью m и n?m-матрицы инцидентности D и C. Элемент dkj=1, если k-ое событие является начальным для j-ой работы, и 0 в противном случае. Элемент clj=1, если l-ое событие является конечным для j-ой работы, и 0 в противном случае. В таблице 7 дана матрица смежности B=DCT для сетевого графика рис.1. Число выходящих дуг указано в дополнительном столбце, входящих дуг - в дополнительной строке. Основное свойство матрицы B: ее ненулевые элемен...