Хеджирование портфеля

Азиатские опционы.

Для оценки азиатских опционов существует формула в аналитическом виде. Азиатские опционы с фиксированным страйком можно оценивать на основе модели Блэка. Также, в случае если модель Блэка неприменима, можно использовать методы Монте-Карло. В таком случае генерируется достаточно большое количество вариантов динамики цен базового актива за период до исполнения опциона. Далее для каждого сценария рассчитываются средние цены базового актива за указанный период. После этого можно рассчитать цену опциона как среднее значение дисконтированного выигрыша.

Барьерные опционы.

Для расчета стоимости барьерных опционов любой спецификации можно использовать методы Монте-Карло. Порядок расчета стоимости барьерных опционов методами Монте-Карло аналогичен порядку расчета стоимости азиатских опционов: цена опциона равняется среднему значению дисконтированного выигрыша. Значение выигрыша определяется в зависимости от динамики базового актива. Для расчета стоимости опционов должно быть сгенерировано достаточно большое количество сценариев.

Подводя итоги, в данной главе были рассмотрены основные характеристики ванильных, азиатских и барьерных опционов, а также методы их оценки. Все это будет применено на практике в следующем разделе.



3. Хеджирование портфеля по показателю CVaR

3.1 Снижение CVaR портфеля ванильными, азиатскими, барьерными опционами

В данном разделе анализируются возможности снижения показателя CVaR портфеля посредством приобретения опционов. Для сравнения будут использованы ванильные, азиатские и барьерные опционы.

Предположим, что в начальный момент в управлении имеется сумма 10000 руб. На эти средства приобретаются акции. Однако, задачей работы являются минимизация CVaR. Хеджирование предполагает одновременное занятие позиций на двух рынках: на спотовом (в данном случае рынке акций), а также на рынке производных финансовых инструментов (срочном рынке). В данной работе будут рассматриваться возможности хеджирования посредством опционов.

Таким образом, помимо акций, с целью снижения показателя Conditional Value at Risk приобретаются опционы. Поэтому необходимо распределить средства между акциями и опционами таким образом, чтобы CVaR полученного портфеля был минимальным.

Итак, предположим, что начальные условия следующие:

· Стоимость портфеля в первоначальный момент

V₀ = 10000

· Стоимость 1 акции в первоначальный момент

S₀ = 100

· Годовая доходность акций

м = 0,1

· Волатильность акций

у = 0,4

· Период хеджирования

T = 1 год

· Безрисковая ставка в годовом исчислении

r = 0,7

Предположим, что стоимость акций следует следующему закону:

В таком случае, используя имитационное моделирование, можно построить множество сценариев динамики акций. Стоимость портфеля при отсутствии хеджирования в момент времени t составит:

V_t = xS_t

x - количество акций в портфеле.

Очевидно, что в таком случае стоимость портфеля полностью определяется стоимостью акций. С помощью специального программного обеспечения было рассчитано 1000 возможных цен на заданный момент времени. Таким образом, было получено 1000 возможных стоимостей портфеля. Это позволяет нам рассчитать VaR, а также искомый показатель CVaR. Для этих целей был выбран 95-процентный доверительный интервал. Для заданных параметрах можно получить функцию распределения плотности вероятностей методом непараметрического сглаживания, которая представлена на следующем рисунке:



Рисунок 3.1. Распределение убытков портфеля

Как можно убедиться из графика, распределение далеко от стандартного нормального, имеется значительная асимметрия. VaR данного портфеля составляет 4776 руб., а CVaR, как и должно быть, - несколько больше: 5566. Подобные высокие значения связаны с тем, что заданная волатильность также находится на высоком уровне.

Очевидно, что необходимо предпринять меры, чтобы снизить показатели риска до более приемлемого уровня. Для начала, для того, чтобы захеджировать портфель, обратимся к наиболее популярным для этих целей классическим опционам пут, которые торгуются на биржевом рынке на стандартизированных условиях. Предположим, что есть возможность приобрести опционы пут, базовым активом которых является акция, портфель которых и хеджируется. Для удобства допустим, что горизонт хеджирования совпадает со сроком действия опциона.

В зависимости от того, какое значение примет цена акции в момент исполнения опциона, будет определен выигрыш по опциону. Стоимость опционов пут оценивается на основе модели Блэка-Шоулза-Мертона.

Также важным моментом является то, сколько средств инвестор готов потратить на покупку опционов. В зависимости от этого и будет приниматься решение о выборе портфеля опционов для хеджирования.

Стоит добавить и следующее ограничение: нельзя занимать короткие позиции по опционам, поскольку мы ставим противоположную задачу - с помощью опционов захеджироваться от возможного риска снижения стоимости портфеля.

Также с тем, чтобы иметь возможность закрыть позиции по опционам в момент исполнения опционного контракта, вводится следующее ограничение: общее количество купленных опционов не должно превышать количество имеющихся в портфеле акций.

Таким образом, задача минимизации CVaR принимает следующий вид:

- количество спецификаций опционов, используемых для хеджирования.

- затраты на хеджирование портфеля.

- вектор размерностью n, элементами которого являются количества опционов на разных страйках.

- вектор размерностью n, элементами которого являются цены опционов на разных страйках.

- элемент вектора y, то есть количество опционов на конкретном страйке.

Предположим, что имеется возможность приобрести опционы на следующих страйках: 100, 110, 120, 130, 140 руб. Данные цены исполнения были выбраны следующим образом: рынок достаточно волатилен, поэтому должна иметься возможность продать акции по более выгодной цене. Однако, стоит отметить, что возможность продать акции по цене отличной от рыночной требует определенных затрат. Чем выше цена исполнения, тем выше затраты. В связи с вышесказанным при низком ограничении затрат на хеджирование скорее всего будут выбраны опционы на низких страйках, при росте возможностей хеджирования - на более высоких страйках.

Были получены следующие портфели в зависимости от затрат на хеджирование:

Таблица 3.1. CVaR портфеля с ванильными опционами в зависимости от затрат на хеджирования

Затраты, %	CVaR	K=100	K=110	K=120	K=130	K=140
0	5566	0	0	0	0	0
2	4851	16	0	0	0	0
4	4136	33	0	0	0	0
6	3421	49	0	0	0	0
8	2705	66	0	0	0	0
10	1990	82	0	0	0	0
12	1563	63	25	0	0	0
14	1347	18	68	0	0	0
16	1166	0	61	23	0	0
18	1008	0	20	62	0	0
20	870	0	0	61	19	0

Как и предполагалось, при росте возможностей хеджирования более оптимальным становился портфеля с опционами на более высоких страйках. Что касается CVaR, то его удалось существенно снизить за счет включения в портфель опционов. Первоначально он составлял 5586 руб., однако при инвестировании 20% первоначальных средств в опционы его удалось сократить до 870 руб. Это означает, что с 95-процентной вероятностью средние убытки по портфелю, превышающие VaR, составят 870 руб.

Также были рассчитаны доходность и стандартное отклонение портфеля - основные индикаторы привлекательности портфеля с точки зрения инвестора. Данные показатели проиллюстрированы в следующей таблице:

Таблица 3.2. Доходность и стандартное отклонение портфеля с ванильными опционами в зависимости от затрат на хеджирования

Затраты, %	Доходность	Стандартное отклонение
2	0,1083	0,4255
4	0,1039	0,4001
6	0,0995	0,3759
8	0,0951	0,3530
10	0,0907	0,3317
12	0,0875	0,3116
14	0,0853	0,2919
16	0,0834	0,2732
18	0,0817	0,2552
20	0,0801	0,2382

Данная таблица представляет данные о годовых доходностях и волатильности портфеля в зависимости от затрат на хеджирование. Очевидно, что хеджирование связано с определенными затратами, поэтому мы видим тенденцию к падению доходности по мере роста затрат на хеджирование.

Что касается волатильности, то ее удалось успешно понизить посредством добавления в портфель опционов пут. После хеджирования она упала до 23,8%. Однако подобный успех сопряжен с существенными затратами на хеджирование.

После рассмотрения ванильных опционов предлагается проанализировать возможности хеджирования портфеля азиатскими опционами. Данные опционы не торгуются на бирже, их можно приобрести только на внебиржевом рынке, поскольку они не являются стандартизированными производными финансовыми инструментами. Однако возможность инвестирования в подобные ценные бумаги несет определенный интерес, который будет продемонстрирован далее в работе.

Предположим, что на некотором внебиржевом рынке торгуется азиатский опцион пут с фиксированным страйком с основными характеристиками базового актива, описанными ранее. Кроме них, у азиатского опциона должны быть оговорены и другие характеристики, влияющие на его стоимость. К ним относятся особенности расчета средней цены.

Предположим также, что параметры усреднения следующие:

t₁ - начало периода расчета средней цены.

t₂ - конец периода расчета средней цены.

T₁ - начало периода расчета средней цены, в долях от срока действия опциона.

T₂ - конец периода расчета средней цены, в долях от срока действия опциона.

То есть в основе азиатского опциона лежит цена, рассчитанная как среднее арифметическое за период от до .

Пусть началом периода расчета средней цены будет T₁ = ѕ, а концом - T₂ = 1. То есть конец периода усреднения совпадает со сроком действия опциона. Данные параметры были выбраны, исходя из того, что азиатский опцион с подобной спецификацией может больше соответствовать задачам работы: минимизировать значение CVaR через 1 год.

Результаты минимизации представлены в следующей таблице:



Таблица 3.3. CVaR портфеля с азиатскими опционами в зависимости от затрат на хеджирования

Затраты, %	CVaR	K=100	K=110	K=120	K=130	K=140
0	5566	0	0	0	0	0
2	4731	21	0	0	0	0
4	3917	43	0	0	0	0
6	3238	64	0	0	0	0
8	2854	66	13	0	0	0
10	2601	25	54	0	0	0
12	2399	0	66	13	0	0
14	2231	0	29	49	0	0
16	2080	0	0	76	2	0
18	1959	0	0	36	40	0
20	1846	0	0	0	74	0

Данная таблица показывает, оптимальный набор опционов на разных страйках. Как и в портфеле с ванильными опционами, чем выше допустимые затраты на хеджирование, тем больше количество опционов с более высокими ценами исполнения. Таким образом, инвестируя большие средства в опционы, получилось ощутимо снизить CVaR. Первоначально CvaR портфеля, состоящего исключительно из акций, равнялся 5566 руб. После хеджирования путем покупки азиатских опционов пут удалось снизить CVaR портфеля до 1846 руб. В данном случае, как это видно из таблицы, можно говорить о существенном снижении CVaR. Однако подобное снижение возможно только за счет значительных затрат на опционы. Поэтому надо взглянуть на другие показатели, которые могут внести какую-то ясность в этом отношение. Поэтому предлагается обратиться к широко используемым стандартным характеристикам портфеля, таким как доходность и стандартное отклонение.

Значения доходности полученного портфеля и стандартного отклонения можно получить из следующей таблицы:



Таблица 3.4. Доходность и стандартное отклонение портфеля с азиатскими опционами в зависимости от затрат на хеджирования

Затраты, %	Доходность	Стандартное отклонение
2	0,1119	0,4229
4	0,1111	0,3956
6	0,1103	0,3700
8	0,1095	0,3471
10	0,1087	0,3265
12	0,1079	0,3070
14	0,1071	0,2888
16	0,1063	0,2711
18	0,1054	0,2551
20	0,1046	0,2395

По мере роста доли опционов в портфеле доходность начала сокращаться. Доходность портфеля составила 10,46% при самом больщом ограничении и 11,19% при самом маленьком ограничении. Доходность портфеля с азиатскими опционами превышает доходность портфеля с ванильными опционами. Это может быть связано с относительной дешевизной азиатских опционов.

Рассматривая стандартное отклонение полученного портфеля, с помощью представленной таблицы можно убедиться, что оно постепенно сокращалось по мере добавления в портфель опционов. Это говорит в пользу хеджирования азиатскими опционами. Если сравнивать волатильность портфеля с азиатскими опционами и волатильность портфеля с ванильными опционами, то можно увидеть, что они не сильно различаются.

Наконец, после рассмотрения портфелей с ванильными и азиатскими опционами стоит обратиться к возможностям, которые предоставляют барьерные опционы. Как уже отмечалось, барьерные опционы относятся к классу экзотических опционов. Среди них существует множество разновидностей и спецификаций, что и делает биржевую торговлю данными опционами невозможной. Далее будет дана спецификация барьерных опционов, которые и будут использоваться при хеджировании.

Что касается основных характеристик базового актива и хеджирования, они неизменны. Эти характеристики остаются такими же, как и в случаях ванильных и азиатских опционов. Поэтому остается внести ясность остальных характеристик барьерных опционов, которые и отличают барьерные опционы от прочих.

Предположим, что имеется возможность приобрести барьерный опцион типа down-and-in, то есть опцион, который начинает действовать при падении цены ниже оговоренного в контракте уровня. Данный тип актуален для задач данного исследования. При сильном падении цены опцион даст возможность продать базовый актив по более приемлемой цене. Поскольку рынок достаточно волатильный, с тенденцией к росту, значение барьера примем равным 120. В противном случае при более низком значении барьера опцион может не иметь никакой ценности.

Также хотелось бы сделать данный опцион чуть более «экзотическим». Пусть период, в течении которого цена сопоставляется с барьером, не равняется всему сроку действия опциона. Пусть данный параметр будет принят равным началу периода расчета средней цены азиатского опциона. То есть опцион начинает действовать, только если цена опустится ниже 120 в период с t₁ по t_2.

С практической точки зрения, данная модификация затрудняет манипулирование ценами при приближении срока исполнения и бывает полезной на тонких рынках, на которых ликвидность находится на достаточно низком уровне, создавая таким образом возможности для манипулирования.

Результаты хеджирования барьерными опционами представлены в виде следующей таблицы:



Таблица 3.5. CVaR портфеля с барьерными опционами в зависимости от затрат на хеджирования

Затраты, %	CVaR	K=100	K=110	K=120	K=130	K=140
0	5566	0	0	0	0	0
2	4690	20	0	0	0	0
4	3814	39	0	0	0	0
6	2938	59	0	0	0	0
8	2062	79	0	0	0	0
10	1439	72	18	0	0	0
12	1200	24	64	0	0	0
14	993	0	66	20	0	0
16	820	0	23	61	0	0
18	667	0	0	65	17	0
20	562	0	0	25	55	0

Данная таблица резюмирует итоги хеджирования барьерными опционами: CVaR портфеля значительно сокращается после добавления в него все большего количества барьерных опционов. Изначально CVaR портфеля, включающего в себя только акции, составлял 5566 руб. Однако посредством покупки барьерных опционов получилось снизить CVaR до 562 руб.

Как и в предыдущих случаях, более низкий CVaR ассоциирован с более высокими расходами на хеджирование. При снижении ограничения на покупку опционов происходит сдвиг выбора в пользу опционов с более высокой ценой исполнения. Это объясняется тем, что выигрыш по данным опционам может быть существенно выше выигрыша по опционам на более низких страйках.

Что касается таких характеристик портфеля, как доходность и стандартное отклонение, то их можно увидеть в следующей таблице:



Таблица 3.6. Доходность и стандартное отклонение портфеля с барьерными опционами в зависимости от затрат на хеджирования

Затраты, %	Доходность	Стандартное отклонение
2	0,1119	0,4221
4	0,1111	0,3939
6	0,1103	0,3673
8	0,1095	0,3429
10	0,1087	0,3209
12	0,1079	0,3004
14	0,1071	0,2810
16	0,1063	0,2626
18	0,1055	0,2451
20	0,1049	0,2284

Данная таблица дает представление о важнейших характеристиках портфеля, которые интересуют любого инвестора. Доходность портфеля с ограничением в 2% несколько выше по сравнению сравнению с доходностью портфеля с более высокими ограничениями. Доходность портфеля с барьерными опционами оказалась выше доходности портфеля с ванильными опционами. Данный факт может быть объяснен тем, что стоимость барьерных опционов несколько ниже стоимости ванильных опционов. Соответственно, для заданного ограничения можно приобрести большее количество опционов. Если сравнивать доходность портфелей с барьерными и азиатскими опционами, то можно убедиться, что она не сильно различается. Это связано с тем, что параметры барьерных и азиатских опционов оказались достаточно схожими.

Стоит сказать также и об изменениях волатильности портфеля при добавлении в него все большего количества опционов. В данном случае волатильность удалось снизить. Как и следовало ожидать, она постепенно снижается по мере роста возможностей хеджирования. По сравнению с другими опционами барьерный опцион снижает волатильность портфеля наиболее успешно.

Подводя итоги, можно сделать вывод, что все разновидности опционов, рассмотренные в работе, успешно справились с поставленной задачей уменьшить CVaR портфеля. Однако остается открытым вопрос о сравнительной эффективности хеджирования различными видами опционов. Данный вопрос предлагается рассмотреть далее в работе.

Для начала стоит взглянуть на следующий график. Он показывает CVaR портфелей с ванильными, азиатскими, барьерными опционами в зависимости от затрат на хеджирование.

Рисунок 3.2. CVaR портфелей с ванильными, азиатскими и барьерными опционами в зависимости от затрат на хеджирования

Как видно из графика, лучше всего снизил CVaR барьерный опцион. Немного хуже показал себя ванильный опцион. CVaR портфеля с азиатскими опционами выше остальных практически на всем отрезке.

Для того, чтобы получить количественную оценку эффективности хеджирования, предлагается использовать показатель эффективности хеджирования (Hedging Efficiency Ratio, HER). Данный показатель рассчитывается следующим образом:



- CVaR портфеля, состоящего исключительно из акций.

- CVaR портфеля, состоящего из акций и опционов, на которые было потрачено с руб.

Данный показатель отражает, насколько сократился CVaR по отношению к исходному уровню. То есть более высокие значения показателя должны свидетельствовать о более эффективном снижении CVaR портфеля.

В следующей таблице представлены рассчитанные значения показателя CVaR в зависимости от расходов на покупку ванильных, азиатских и барьерных опционов:

Таблица 3.7. Эффективность хеджирования портфелей с ванильными, азиатскими и барьерными опционами в зависимости от затрат на хеджирования

Затраты, %	Эффективность хеджирования
	Ванильный	Азиатский	Барьерный
0	0,0000	0,0000	0,0000
2	0,1285	0,1501	0,1574
4	0,2570	0,2962	0,3148
6	0,3855	0,4182	0,4721
8	0,5139	0,4873	0,6295
10	0,6424	0,5328	0,7414
12	0,7192	0,5690	0,7844
14	0,7579	0,5992	0,8215
16	0,7905	0,6264	0,8526
18	0,8190	0,6480	0,8801
20	0,8438	0,6684	0,8990

Как видно из таблицы, наиболее высокое значение HER у барьерного опциона. Хеджирование барьерными опционами на всех уровнях ограничений оказалось наиболее эффективным. Получилось снизить CVaR практически на 90%. Что касается остальных опционов, то и портфели с ними в качестве составляющих также показали тенденцию к росту HER по мере роста затрат. Так, например, в случае портфеля с ванильными опционами с ограничением с=20% удалось добиться снижения CVaR на 84%. HER портфеля с азиатскими опционами несколько ниже, он состаляет 67%. Данное значение также говорит о существенном снижении CVaR портфеля.

Помимо покаателя HER для анализа представляет интерес коэффициент Шарпа, который показывает, насколько привлекательным является портфель для инвестора в рамках концепции риск-доходность. Коэффициент Шарпа рассчитывается как отношение премии за риск по портфелю к его стандартному отклонению.

- коэффициент Шарпа (Sharpe Ratio).

- доходность портфеля.

- волатильность портфеля.

- премия за риск по портфелю.

Чем больше значение коэффициента Шарпа, тем более привлекательным является портфель для инвестор. То есть избыточная доходность должна компенсировать более рискованные вложения.

Следующая таблица представляет собой рассчитанные значения коэффициента Шарпа для различных ограничений на покупку опционов.

Таблица 3.8. Коэффициенты Шарпа портфелей с ванильными, азиатскими и барьерными опционами в зависимости от затрат на хеджирования

Затраты, %	Коэффициент Шарпа
	Ванильный	Азиатский	Барьерный
0	0,0750	0,0750	0,0750
2	0,0900	0,0990	0,0992
4	0,0847	0,1038	0,1043
6	0,0785	0,1088	0,1096
8	0,0711	0,1137	0,1151
10	0,0624	0,1184	0,1205
12	0,0563	0,1233	0,1261
14	0,0525	0,1283	0,1319
16	0,0490	0,1337	0,1381
18	0,0457	0,1390	0,1450
20	0,0425	0,1446	0,1528

Как это было видно из формулы, коэффициент Шарпа зависит от двух составляющих: доходность портфеля и волатильность портфеля. Безрисковая ставка постоянна для любого портфеля. В случае ванильных опционов коэффициент Шарпа оказался ниже по сравнению с азиатскими и барьерными опционами. Это объясняется тем, что доходность портфеля с ванильными опционами была несколько ниже доходности портфелей с азиатскими или барьерными опционами. По мере роста возможностей хеджирования значение коэффициента Шарпа портфеля с ванильными опционами падало, поскольку сильно падала и доходность подобного портфеля. Однако, при небольших затратах на хеджирование удалось даже несколько повысить значение коэффициента Шарпа по сравнению с исходным уровнем.

Коэффициент Шарпа портфеля с азиатскими опционами не сильно отличается от коэффициента Шарпа портфеля с барьерными опционами. По мере добавления в портфель азиатских или барьерных опционов коэффициент Шарпа постепенно увеличивался за счет снижения волатильности портфелей.

Таким образом, как можно убедиться в этом с помощью представленных таблиц и проведенного анализа, в целях снижения CVaR портфеля можно пользоваться опционами. Все разновидности опционов, описанные в этом разделе, позволяют существенно снизить CVaR портфеля. Экзотические опционы справились с поставленной задачей лучше ванильных опционов. Наиболее эффективно снижали CVaR портфеля барьерные опционы.



3.2 Снижение CVaR портфеля на примере акций российского эмитента

В отличие от предыдущего параграфа, в котором расчеты производились на основе некоторых условных инструментов, в данном разделе приводятся расчеты по инструментам срочной секции Московской биржи.

Предположим, что в управлении имеются средства в размере 1000000 руб. На эти средства в начальный момент времени приобретаются обыкновенные акции Сбербанка, которые являются относительно ликвидными. Управляющий портфелем должен распределить сумму 1000000 между акциями и опционами таким образом, чтобы снизить CVaR полученного портфеля. Постановка задачи аналогична постановки задачи в предыдущем разделе.

Проанализировав ряд годовых доходностей за последние 10 лет, рассчитанных методом скользящей средней, примем годовую доходность равной 20%. Волатильность доходности составила 60%.

Для простоты анализа предположим, что период хеджирования совпадает со сроком действия опционов. Для хеджирования предлагается использовать опционы пут с датой экспирации 14.09.2016. Это серия опционов на акции Сбербанка с самой дальней экспирацией, торгуемая на Московской бирже. Данные опционы можно приобрести на 5 страйках. Заявки с доски опционов и доступные страйки можно посмотреть в приложении.

В качестве безрисковой ставки в данной работе предлагается использовать доходность по государственным облигациям ГКО-ОФЗ. По этим облигациям имеются данные лишь на некоторые временные горизонты, поэтому необходимо восполнить недостающие данные путем построения кривой бескупонной доходности.

Кривая бескупонной доходности является одним из наиболее распространенных методов моделирования временной структуры процентных ставок. Можно сказать, что кривая бескупонной доходности для государственных облигаций - ориентир для инвесторов и аналитиков, позволяющий оценить возможности инвестирования в различные ценные бумаги.

Помимо прочих возможностей применения, кривая бескупонной доходности по государственным ценным бумагам, также известная как G-кривая, позволяет конструировать и оценивать производные финансовые инструменты на основе рассчитанных ставок для различных сроков.

Для того чтобы построить кривую бескупонной доходности, часто используют модель Нельсона-Сигеля. Данная модель позволяет на основании имеющихся данных о доходностях получить доходности на остальных временных горизонтах. Модель можно сформулировать следующим образом (Nelson, Siegel, 1987):

- непрерывно начисляемая процентная ставка, выраженная в процентных пунктах.

- параметры модели Нельсона-Сигеля.

- временной интервал, в годах.

Стоит отметить, что существуют различные модификации данной модели. За весь период после публикации работы Нельсона и Сигеля было предложено немало видоизменений, Московская Биржа использует следующий алгоритм расчета кривой. К разработанной Нельсоном и Сигелем модели прибавляется корректировка.



- параметры добавочной части модели.

Первая часть уравнения (первая строка) является репликацией модели Нельсона-Сигеля, вторая часть является корректировкой модели. Данная корректировка позволяет более точно описать кривую бескупонной доходности на ее начальном интервале. Величина данной корректировки является относительно небольшой, но она позволяет улучшить модель.

После расчета доходностей в непрерывном исчислении можно получить годовую доходность:

- функция кривой бескупонной доходности, в процентах.

На сайте Московской Биржи публикуются параметры, необходимые для расчета кривой бескупонной доходности. Они оцениваются на основе данных по ГКО-ОФЗ.

База облигаций ГКО-ОФЗ пересматривается 4 раза в год на основании итогов торгов на Московской бирже. В базу не входят облигации со сроком до погашения менее 3 месяцев или облигации, выплаты по которым неизвестны.

Все облигации делятся на два типа по сроку до погашения:

· Краткосрочные

Срок до погашения составляет от 3 месяцев до 2 лет.

· Долгосрочные

Облигации со сроком до погашения свыше 2 лет.

По каждой группе рассчитывается коэффициент ликвидности. Из каждой группы выбираются облигации с наиболее коэффициентом ликвидности. Облигации, коэффициент ликвидности которых находится на низком уровне, в базе не присутствуют. Таким образом, в базу расчета попадают наиболее ликвидные облигации.

В результате анализа данных по государственным облигациям специалистами Московской биржи были подобраны коэффициенты, позволяющие описать G-кривую.

Таблица 3.9. Параметры кривой бескупонной доходности

847,3	63,03	33,09	1,39	49,04	-43,9	29,04

На основе этих параметров была построена кривая бескупонной доходности на двадцатипятилетний срок.

Рисунок 3.3. Кривая бескупонной доходности

Как видно из графика, форма кривой бескупонной доходности, описывающей российский рынок, является вогнутой практически на всем интервале. Это означает, что при более длительных сроках процентная ставка падает.

Как правило, наблюдается обратная ситуация: при росте срока до погашения растет и доходность. Это свойство присуще нормальным рынкам. Однако, в кризисных ситуациях, в условиях экономической нестабильности, форма кривой бескупонной доходности может претерпевать изменения и выглядеть так, как это показано на предыдущем рисунке.

Таким образом, мы получили безрисковую ставку для оценки опционов. Она составляет 9,7%.

Результаты хеджирования представлены в следующей таблице:

Таблица 3.10. CVaR портфеля с опционами на акции Сбербанка в зависимости от затрат на хеджирование

Затраты, %	CVaR	K=100	K=110	K=120	K=130	K=140
0	505077	0	0	0	0	0
2	192159	0	69	11	0	0
4	136635	0	0	55	23	0
6	101956	0	0	0	77	0
8	114706	0	0	0	62	13
10	127456	0	0	0	47	26
12	140207	0	0	0	33	39

Хеджированием посредством опционов пут удалось значительно снизить CVaR портфеля:

Таблица 3.11. Эффективность хеджирования портфеля опционами на акции Сбербанка в зависимости от затрат на хеджирование

Затраты, %	2	4	6	8	10	12
HER	62%	73%	80%	77%	75%	72%

Эффективность хеджирования растет до определенного уровня, после которого она начинает падать. Это связано с высокой стоимостью опционов, которая отражается в более низких доходностях.

Вследствие высокой волатильности акций CVaR исходного портфеля достаточно высок. Однако, уже после добавления опционов стоимостью 2% от первоначальных средств удается снизить CVaR до 192159 руб. Показатель продолжает снижаться до отметки 101956 руб. Далее в виду заданных ограничений и параметров CVaR начинает возрастать по мере добавления в портфель опционов. Из-за необходимости соблюдения ограничения на затраты на покупку опционов выбор смещается в пользу более дорогих опционов. Рост количества опционов на высоких страйках по мере роста возможностей хеджирования отчасти объясняется именно этим фактором.

Также были рассчитаны доходности, стандартные отклонения портфелей:

Таблица 3.12. Коэффициент Шарпа портфеля с опционами на акции Сбербанка в зависимости от затрат на хеджирование

Затраты, %	Доходность	Стандартное отклонение	Коэффициент Шарпа
2	0,0903	0,2964	-0,0225
4	0,0939	0,2696	-0,0115
6	0,0930	0,2483	-0,0160
8	0,0729	0,2409	-0,0999
10	0,0528	0,2336	-0,1891
12	0,0327	0,2262	-0,2841

В следствие высокой стоимости опционов доходность существенно сокращается по мере роста затрат на хеджирование. Она не превышает безрисковую доходность, что отражается в отрицательных значениях коэффициента Шарпа. Однако, стандартное отклонение удалось существенно снизить за счет использования опционов.

Подводя итоги данного раздела, стоит сказать, что опционы предоставляют широкие возможности, в том числе и для хеджирования. Как выяснилось, риск обесценения акций Сбербанка можно значительно снизить посредством использования опционов. Однако, относительно невысокая ликвидность и большие бид-аск спреды на срочном рынке приводят к высокой стоимости приобретаемых опционов, что в свою очередь, снижает возможности для хеджирования. Также, как было показано в первом параграфе данной главы, «экзотичность» инструментов также может повысить эффективность хеджирования. Таким образом, для роста возможностей хеджирования и его активного использования участниками рынка необходим ликвидный рынок с богатым выбором производных финансовых инструментов.



Заключение

В данной работе были продемонстрированы возможности снижения риска обесценения портфеля посредством использования опционов. В условиях нестабильных финансовых рынков это особенно актуально. В качестве меры риска использовался такой показатель, как CVaR. Выбор в пользу использования именно этого показателя был сделан на основе анализа его достоинств и недостатков, а также анализа достоинств и недостатков возможных альтернатив.

В первой главе были рассмотрены возможности использования инструментов срочного рынка Московской биржи. Были даны основные характеристики и особенности инструментов, торгующихся на Московской бирже. Также в первой главе было приведена статистическая информация о развитии рынка деривативов во всем мире, из которой следует, что рынок производных финансовых инструментов является стремительно развивающимся рынком и возможно предположить, что подобное развитие последует и дальше. На Московской бирже торгуется достаточно большое количество производных финансовых инструментов. Однако необходимы меры по повышению ликвидности инструментов, что привлечет новых участников торгов. На сегодняшний день Московская биржа уступает ведущим западным биржам по объемам торгов, в том числе и на срочном рынке.

Также в первой главе были рассмотрены основные меры риска и способы их оценки. Выбор показателя, характеризующего риск портфеля, является важной задачей, поскольку принятие тех или иных решений инвесторами делается на основании значений выбранного показателя. Было приведено обоснование использования показателя CVaR как меры риска портфеля.

Вторая глава была посвящена описанию опционов. Вкратце было описано то, как зарождалась биржевая торговля опционами и то, что сегодняшний рынок опционов предлагает гораздо более широкий спектр инструментов по сравнению с моментом создания рынка опционов. В данной главе были даны характеристики и способы оценки ванильных, азиатских и барьерных опционов. Было показано, что для оценки опционов могут использоваться аналитические формулы (к примеру формула Блэка-Шоулза-Мертона). Но иногда спецификация опционов не позволяет пользоваться стандартными формулами. В таких случаях используются методы имитационного моделирования, которые позволяют оценить даже самые экзотические опционы.

В третьей главе представлены результаты моделирования хеджирования портфеля по показателю CVaR посредством опционов. В первой части параграфа на примере заданных параметров портфеля сравниваются возможности хеджирования ванильными, азиатскими и барьерными опционами. Было показано, что использование более «экзотических» опционов позволяет хеджировать портфель более эффективно.

Также в третьей главе были показаны возможности хеджирования портфеля, состоящего из акций Сбербанка, опционами, торгующимися на срочном рынке Московской биржи. Хотя ликвидность опционов на акции Сбербанка несколько выше ликвидности опционов на акции других компаний, на доске опционов выбор спецификаций контракта был невелик. Для покупки были доступны опционы на 5 страйках. Стоимость опционов существенно выше теоретической цены, особенно на высоких страйках. С помощью методов Монте-Карло был рассчитан CVaR портфеля из акций, а также портфелей, включающих и опционы. Было показано, что CVaR портфеля удалось существенно снизить. Однако это улучшение CVaR портфеля сопряжено со значительными издержками: доходность портфеля с опционами существенно падала по мере роста доли опционов в структуре портфеля. Это привело к значительному падению коэффициента Шарпа. Таким образом, выбор относительно того стоит ли хеджировать портфель зависит от того, насколько нетерпимо относятся инвесторы к риску и какую цену они готовы заплатить за снижение риска.

Стоит отметить, что в последние годы на фоне финансовой нестабильности в виду желания инвесторов застраховаться от рисков снижения стоимости портфелей рынки производных финансовых инструментов развиваются и привлекают все новых участников. В связи с этим необходимы новые алгоритмы, которые позволят защититься от рисков обесценения портфелей более эффективно. Также более эффективному хеджированию будет способствовать внедрение новых производных финансовых инструментов, которые могут более четко соответствовать запросам инвесторов и портфельных управляющих. За последние годы было проведено немало исследований, но поиски возможностей улучшения способов хеджирования портфелей продолжаются.



Список использованной литературы

1. Acerbi C., Tachse D. On the Coherence of the Expected Shortfall // Journal of Banking and Finance -2002. - Vol. 26 (7). - P. 1487-1503.

2. Artzner P., Delbaen F. Coherent Measures of Risk // Mathematical Finance, - 1999. - Vol. 9 (3). - P. 223-228.

3. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // Journal of Political Economyю - 1973. - Vol. 81. - P. 637-659.

4. Capinski M. Hedging Conditional Value at Risk with options // European Journal of Operational Research - 2015. - Vol. 242. - P. 688-691

5. Coleman T., Alexander S., Li Y. Derivative portfolio hedging based on CVaR // New Risk Measures in Investment and Regulation. - 2003. - P. 339-363

6. Coleman T., Zhu L., Li Y. Min-max robust and CVaR robust mean-variance portfolios // The Journal of Risk. - 2009. - Vol. 11/Number 3. - P. 55-85

7. Godin F. Minimizing CVaR in global dynamic hedging with transaction costs // Quantitative Finance. - 2016. - Vol. 16 №3. - P. 461-475

8. Li, J., Xu, M. Risk minimizing portfolio optimization and hedging with conditional value-at-risk // Review of Futures Markets. - 2008. - Vol. 16. - P. 471-506

9. Melnikov A., Smirnov I. Dynamic hedging of conditional value-at-risk // Insurance: Mathematics and Economics. - 2012. - Vol.51. - P. 182-190

10. Nelson C., Siegel A. Parsimonious modeling of yield curves // The Journal of Business„ђ - 1987. - Vol. 60, No. 4. - P. 473-489

11. Rockafellar, R., Uryasev, S. Optimization of conditional value-at - risk // The Journal of Risk. - 2000. - Vol. 2 №3. - P. 21-41.

12. Song-Ping Zhu, Nhat-Tan Le, Wenting Chen, Xiaoping Lu Pricing Parisian down-and-in options // Applied Mathematics Letters. - 2015. - Vol. 43. - P. 19-24

13. Тюкавкин Н.М. Российский рынок деривативов // Вестник СамГУ. - 2014. - №8 (119). - С. 150-155

14. Хеджирование внешнеэкономической деятельности экзотическими опционами пут: сравнительный анализ сценариев // Регион: экономика и социология. - 2007. - №2. - С. 71-79.

15. Hull J.C. Options, Futures and other Derivatives. - ninth edition. - Pearson, 2015. - P. 892.

16. McMillan L.G. McMillan on Options. - second edition. - John Wiley & Sons, 2004. - P. 68.

17. Venezia I. Asian Options // Handbook of Quantitative Finance and Risk Management. - Springer, 2010. - P. 583-586

Размещено на Allbest.ru

...