Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Факультет экономических наук

Образовательная программа «Экономика»

БАКАЛАВРСКАЯ ВЫПУСКНАЯ РАБОТА

«Арбитраж на рынке опционов на основе подразумеваемой волатильности»

«Arbitrage in the Options Market Based on Implied Volatility»

Выполнил

Студент группы № БЭК134

Лобеев Иван Александрович

Научный руководитель

Родина Виктория Алексеевна

Москва - 2017.



Оглавление

Введение

Глава 1. Теоретические основы

Теоретические основы оценки опционов

Подразумеваемая и настоящая волатильность

Арбитраж на основе подразумеваемой волатильности

Эмпирические исследования арбитражных возможностей

Глава 2. Методология

Методология построения арбитражного портфеля

Методика расчета настоящей волатильности

Определение безрисковой процентной ставки

Транзакционные издержки

Глава 3. Эмпирическое исследование.

Данные

Результаты эмпирического исследования

Заключение

Список литературы



Введение

Арбитраж в экономическом понимании данного термина означает наличие возможности купить некоторый актив по разным ценам на различных рынках. В классическом определении существует два его вида: пространственный и временной. В данном исследовании анализ касается так называемого эквивалентного арбитража, когда прибыль извлекается на основе разницы в теоретических и реальных ценах. В действительности проблема, изучаемая в рамках данной работы, охватывает более узкую тему. Звучит она следующим образом: «Возможно ли практическое получение гарантированной прибыли с использованием дельта-хеджирования опциона на основе подразумеваемой волатильности?». Исследование Ahmad и Wilmott (2005) предоставляют теоретические доказательства существования арбитража на основе волатильности, обобщая все ранее существовавшие накопленные знания по данному вопросу. Проблема в той или иной степени также решалась и в других статьях и научных изданиях: например, в работах Henrard (2003), Carr (1999), Carr&Verma (2005) Dupire (2005), Forde (2005), Sinclair (2008), Macmilan (2002) и в других. В настоящей работе такого рода выводы будут проверены на практике на основе данных по российскому рынку деривативов.Научная новизна исследования заключается в том, чтобы предложить решение вышесказанной проблемы в условиях российских реалий. Существует предположение от том, что грамотно выстроенное хеджирование опционной позиции может приносить положительную прибыль с минимальными рисками. Проверка данного факта на реальных данных крайне важна для современных инвесторов. С этой точки зрения изучаемая проблема представляется весьма актуальной.

Предметом исследования является арбитраж волатильности, объектом - рынок опционов, на котором планируется применить соответствующую стратегию. Исходя из всего вышесказанного можно сформировать главную цель настоящей работы: с использованием данных по российскому фондовому рынку, в том числе, рынку опционов, проверить, возможен ли арбитраж на основе подразумеваемой волатильности. Достижение поставленной цели будет происходить посредством последовательного решения следующих задач:

1. систематизация и обобщение существующих знаний в области оценки теоретической стоимости опциона и вычисления подразумеваемой волатильности, а также коэффициента дельта, основанного на ней;

2. систематизация и обобщение научных знаний в области арбитража на основе подразумеваемой волатильности на рынке опционов;

3. построение методологии арбитражной стратегии с помощью опциона и его дельта-хеджирования фьючерсами на основе подразумеваемой волатильности;

4. сбор и обработка рыночных данных (котировки опционов и фьючерсов, величина безрисковой ставки процента);

5. практическое применение методологии с использованием собранных и обработанных данных для проверки выдвигаемых гипотез исследования.

Решение поставленных задач будет происходить в соответствии со структурой работы, представленной ниже. Работа состоит из трех глав. Первая посвящена анализу и систематизации накопленных научных и состоит из трех разделов: описание и анализ теоретических основ оценки опционов, сравнение подразумеваемой и настоящей волатильностей и выявление их взаимосвязи, анализ моделей построения арбитражных портфелей на основе подразумеваемой волатильности и доказательство их существования, а также обзор существующих эмпирических исследований на тему арбитража на основе волатильности. Вторая посвящена разработке методологии на основе существующих моделей и состоит из четырех разделов раздела: построение арбитражного портфеля, где на основе рассмотренных моделей будет выбран метод конструировании позиций, оценка настоящей волатильность: определение существующих методик и обоснование выбора способа в рамках данного исследования, выбор безрисковой процентной ставки и подходы к ее определению, учет транзакционных издержек, корректировка портфеля и величины прибыли с поправкой на них. Третья глава представляет собой эмпирический анализ данных и результаты исследования.



Глава 1. Теоретические основы

Задача данной главы - обобщить и систематизировать опыт уже существующих исследований в области арбитража на рынке опционов на основе подразумеваемой волатильности и прояснить некоторые аспекты, которые необходимы для полноценных и наиболее точных расчетов в рамках данного исследования.

Структура данной главы построена таким образом, чтобы последовательно раскрыть знания, накопленные в данной области. В первую очередь будут рассмотрены модели ценообразования опционов и природа подразумеваемой волатильности. Следом идет рассмотрение моделей, которые доказывают существование возможности совершить арбитражную сделку с использованием хеджированных опционных позиций, и в конце рассматриваются аспекты прогнозирования волатильности базового актива и определения безрисковой ставки процента. В данной главе содержатся некоторые математические выражения. С целью исключения излишних пояснений о значении каждой из переменных, составим список с описанием этих переменных. Остальные переменные будут определяться по мере необходимости.

	цена опциона call
	цена опциона put
	цена базового актива
	страйк
	безрисковая ставка процента
	начальный момент времени
	момент экспирации опциона
	настоящая волатильность
	подразумеваемая волатильность
	дивиденды
	прибыль/убыток



Теоретические основы оценки опционов

Начиная с начала прошлого столетия ученые выводили различные модели для оценки производных финансовых инструментов, в том числе опционов. Одной из первых работ в данной области послужило исследование Bachelier (1900), основанное на исследовании French. Первоначально расчеты основывались на очень большом количестве ограничивающих предпосылок, также содержали множество ненаблюдаемых переменных, что делало эти модели пригодными только в теоретических контекстах и исследованиях. Возможность арбитража на основе волатильности, зародилась именно из-за модели, разработанной Black & Scholes (1973) для оценки опционов, которые помогали инвесторам определить справедливую цену финансового инструмента и выявлять недооцененные и переоцененные активы, получать гарантированную прибыль, занимая соответствующие позиции.

Основным исследованием в области ценообразования опционов является работа Black & Scholes (1973), которая послужила основой для большинства последующих работ не только в данной тематике, но и в других областях. Авторы ставили себе цель получить наиболее точное выражение для вычисления цены опциона на основе наблюдаемых рыночных показателей. Следует отметить, что и до этого существовали нетривиальные модели оценки предполагаемой стоимости опциона, например, в работе Sprenkle (1961) как раз была сконструирована такого рода модель. В целом, конечные формулы были похожи на формулы, полученные BlackиScholes, однако, содержали несколько неизвестных ненаблюдаемых параметров, что существенно затрудняло практическое использование полученных результатов. Black и Scholes усовершенствовали данную модель. Однако их исследование основывалось на нескольких жестких предпосылках, которые важно понимать и учитывать при разработке методологии. Итак, предпосылки следующие:

· Процентная ставка известна и постоянна в краткосрочном периоде

· Цена на базовый актив подчиняется закону логнормального распределения

· Доходность базового актива постоянна в течение рассматриваемого промежутка времени

· По базовому активу (акции) не выплачивается никаких дивидендов

· Рассматриваются только европейские опционы

· Транзакционные издержки на операции на фондовом рынке равны 0

· Открытие депозита или взятие кредита возможно осуществить по ставке процента из пункта 1

Вычисляя цену опциона «call» посредством решения дифференциального уравнения, авторы приходят к следующим результатам:

Первая формула отражает цену опциона «call», вторая - цену опциона «put». Данные выражения эксплуатируются и авторами других работ, которые планируется рассмотреть в рамках данного исследования.

Одновременно с предыдущими авторами, свою работу в данной области представил не менее известный ученый Merton (1973). Он ставил перед собой задачу усовершенствовать модель Блэка-Шоулза, ослабляя предпосылки, данные предыдущими авторами. Он выделяет следующие предположения:

· На рынке отсутствуют транзакционные издержки, ограничений на количество транзакций не существует, ставка по кредиту равна ставке по депозиту

· Динамика цен акций подчиняется стохастическому Винеровскому процессу

Автор доказал, что оценочная модель Блэка-Шоулза выполняется и при более «слабых» предпосылках. Это послужило началом широкого использования модели для оценки как опционов, так и других, различных активов и показателей. Также он включил в модель возможные выплаты дивидендов по акциям. Как показано, в том числе и в работах, основывающихся на работе Мертона, формула модифицируется следующим образом.

Мертон в своем исследовании совершил попытку оценить американский опцион «put». Однако, полученные расчеты не несут в себе существенной практической пользы в виду сложности возможных расчетов. К тому же, другие исследователи, например, Hull (2005), не признает состоятельность такого рода модели для оценки американских опционов.

Популярной моделью оценки как европейских, так и американских опционов является биномиальная модель Кокса-Росса-Рубинштейна (Cox, Ross, Rubinstein (1979)). Следует отметить, что именно на ее основе были разработаны программы для оценки стоимости опционов, «греков» и подразумеваемой волатильности. Более подробно остановимся на рассмотрении данной модели. В ее основе лежит предположение о том, что цена базового актива может измениться к некоторому моменту времени в некотором направлении в соответствии с законом случайного блуждания. Таким образом, простейшей спецификацией является одноступенчатое биномиальное дерево в мире без риска. Вводится предположение о возможной будущей цене базового актива. Конструируется портфель из длинной позиции по некоторому количеству акций и короткой позиции по опциону «call». В случае падения цены актива, цена опциона становится равной нулю. Далее задача сводится к вычислению необходимого количества акций, чтобы в случае положительного и отрицательного шока цены базового актива стоимость портфеля была одинаковой. После этого полученное значение дисконтируется к настоящему моменту по безрисковой ставке и приравнивается к стоимости портфеля в настоящий момент. Поскольку цена базового актива в данный момент времени известна, то цена опциона может быть легко вычислена. В общем случае одноступенчатой модели стоимость европейского опциона можно вычислить согласно следующей формуле.

· - коэффициент, который будет отражать снижение стоимости базового актива в случае негативного сценария

· - коэффициент, отражающий повышение стоимости базового актива в случае позитивного сценария

· - прибыль, полученная от владения опционом в зависимости от сценария

Отметим, что в квадратных скобках указано выражение, отражающее риск - нейтральную оценку вероятности наступления того или иного сценария.

Изложенная выше очевидная идея экстраполируется на более сложные спецификации модели. Например, можно вводить большее количество ступеней в биномиальном дереве. В этом случае вероятности наступления события с каждой «ветви» будет получено путем перемножения вероятностей предыдущих событий.

Представленный выше метод также является подходящим для вычисления теоретической стоимости американских опционов. Способ вычисления цены опциона в каждом узле аналогичен способу вычисления для европейского опциона, за исключением того, что необходимо сравнивать прибыль в случае, если опцион будет исполнен досрочно в момент времени, соответствующий узлу, и, если исполнен досрочно не будет. Таким образом, продвигаясь к основанию биномиального дерева вычисляется стоимость «call» опциона.

В завершение подраздела есть необходимость отметить, что существуют случаи, когда американский опцион, можно оценивать, как европейский, и результат данной оценки может быть получен с высокой степенью точности. В доказательство приведу доводы Hull из его книги «Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты» (2005). Дело в том, что исполнять американский опцион call на покупку акции или любогодругого актива, по которому не выплачиваются дивиденды не представляется выгодным. Он объясняет это с помощью двух аргументов. Во-первых, наличие опциона на акцию страхует инвестора от возможного падения цены базового актива. Во-вторых, стоимость денег со временем уменьшается, а, значит, и цена исполнения через некоторое время будет ниже, чем сейчас, с учетом дисконт-фактора. Данное утверждение верно только для опциона call на бездивидендный актив, для опциона «put» это уже не является верным утверждением. Этот факт очень важен для построения методологии. Дело в том, что в работе планируется использовать методологию из статьи Ahmad & Wilmott (2005), которые при выводе доказательств положительной прибыли от стратегии арбитража на основе волатильности используют модель Блэка-Шоулза, предпосылкой к которой является анализ европейского опциона. Учитывая тот факт, что в качестве данных в настоящей работе рассматриваются опционы «call» на фьючерсы, то такого рода методология с некоторой погрешностью может оказаться жизнеспособной, и данное исследование призвано проверить арбитражную стратегию на практике.

Подразумеваемая и настоящая волатильность

Ключевым фактором возможности осуществления арбитража, описанного в данной работе, является волатильность. Возможность получения гарантированной доходности строится на разности двух видов волатильности - подразумеваемой и настоящей. Само понятие подразумеваемой волатильности появилось вместе с разработкой моделей теоретической оценки опционов. Сейчас под этим термином понимают такую волатильность, которая получается при подстановке цены опциона в формулу Блэка-Шоулза. На самом деле невозможно прямыми вычислениями извлечь подразумеваемую волатильность, поскольку она содержится в формуле внутри функции нормального распределения. Современные программы основываются на итерационных методах вычисления, что позволяет с высокой точностью получить значение подразумеваемой волатильности. На практике трейдеры зачастую используют подразумеваемую волатильность в качестве рыночного прогноза будущей волатильности базового актива, об этом говорится в книге Macmilan (2002) и работе Ahoniemi (2009). Безусловно, это весьма приблизительное вычисление, однако, разумное, поскольку посчитанная таким способом волатильность содержит в себе информацию о рыночных ценах опциона и базового актива. Подразумеваемая волатильность не является идеальным инструментом для вычисления ожиданий рынка относительно цены базового актива. Концепция волатильности была подвергнута критике в работе R. Ayache (2007), но тем не менее она будет использована в методологии, поскольку Ahmad & Wilmott (2005), Carr (2005), Hendrad (2003) используют ее в своих исследованиях по тематике, близкой к исследуемой в данной работе.

Поведение подразумеваемой волатильности можно рассматривать с точки зрения различных распределений. Например, Carr и Verma (2005), Cont, Fonseca, Durrleman (2002), Dipure (2005) расширили взгляд на использование подразумеваемой волатильности, предположив ее стохастической, и рассмотрели вопросы хеджирования с такого рода распределением волатильности. Именно на данной предпосылке основываются Ahmad, Wilmott (2005). Однако, в рамках данного исследования намного важнее рассмотреть, каким образом инвестор может прогнозировать настоящую волатильность. Подразумеваемая волатильность будет рассчитываться по формуле Блэка-Шоулза для каждого последующего дня на основе цены закрытия опциона в предыдущий день.

Необходимо различать подразумеваемую и настоящую, или как ее иногда называют, реализованную волатильность. Настоящая волатильность отражает колебания цены базового актива, которые реально имели место быть. Задача инвестора предсказать реализованную волатильность на период, в котором планируется применить арбитражную стратегию. Причем, для применения проверяемой в рамках данного исследования стратегии нет необходимости вычислять волатильность максимально точно. Достаточно использовать метод, позволяющий вычислить ее лишь приближенно, поскольку вывод об открытии соответствующих позиций делается на основе сравнения с подразумеваемой волатильностью и отслеживании изменений в разнице двух волатильностей. О методах оценки реализованной волатильности будет сказано подробнее в разделе методологии.



Арбитраж на основе подразумеваемой волатильности

Арбитраж на основе волатильности не является таковым с экономической точки зрения, то есть когда на различных рынках один и тот же актив имеет разную стоимость. В данной работе речь пойдет об эквивалентном арбитраже, то есть когда возникает разница в ожидаемых и реальных ценах. Арбитраж волатильности иногда еще называют торговлей волатильностью. Считается что инвестор «покупает» волатильность вместе с покупкой опциона «call» и хеджирует позицию таким образом, чтобы в результате портфель был дельта-нейтральным. Осуществление арбитража волатильностью заключается в следующем. Сначала инвестор выбирает некоторый базовый актив и вычисляет подразумеваемую волатильность на основе его цены и цены опциона. Причем, как сказано в книге Macmilan (2002), лучше рассчитывать подразумеваемую волатильность за довольно длинный промежуток времени, например, один год, если есть возможность. Потому что важно изменение данного параметра. Резкое изменение подразумеваемой волатильности может быть небезопасным сигналом, который может отражать не только изменение справедливой стоимости, но и наличие поступившей некоторым инвесторам инсайдерской информации. Выяснить, действительно ли на рынке появилась сильная асимметрия информации можно, заметив, что помимо скачка в значении подразумеваемой волатильности, резко также возросли объемы торгов. После того, как подразумеваемая волатильность была посчитана, рассчитывается прогнозная волатильность. Зачастую бывает достаточным рассчитать волатильность на основе ретроспективных данных. Однако, каждый трейдер может выбрать любую методику расчета. Об этом будет подробнее сказано в следующем подразделе. Далее инвестору необходимо сравнить величины полученных волатильностей. В случае, если подразумеваемая волатильность ниже настоящей, трейдер может совершать сделку по «покупке» волатильности, то есть конструировать портфель из «call» опциона, хеджированного базовым активом, либо другим опционом для сохранения дельта-нейтральности портфеля. Macmilan (2002) рассматривает в качестве такого рода портфелей стрэддл, спрэнгл и обратный спрэд. Однако многие исследователи анализируют прибыль от владения портфелем, состоящего из опциона «call» и базового актива.

Перейдем к рассмотрению работ, в которых анализируются модели, позволяющие заключить, что арбитраж на основе подразумеваемой волатильности возможен. Henrard (2003) строит модель, описывающую распределение прибылей и убытков от дельта-хеджированной позиции и оценивает риски при различном уровне волатильности, на основе которой производится хеджирование. Важно отметить, что данное исследование является общим случаем анализа Ahmad & Wilmott (2005). Henrard использует в качестве хеджирующего коэффициента дельту, посчитанную на основе волатильности в общем случае.

Построение модели происходит согласно предпосылкам Black и Scholes. То есть, движение цены базового актива описывается стохастической моделью Винеровского процесса. Результатом построения модели является выявление формулы для вычисления общей прибыли от хеджированной позиции.

· - стоимость опциона при подстановке выбранной для хеджирования волатильности

· - волатильность, на основе которой производится хеджирование



· - определяется в соответствии с формулой из модели Блэка-Шоулза

Можно заметить, что в данной модели учитываются дивиденды по акциям. В рамках настоящей работы рассматривать такой случай не обязательно. Однако, в теории, полезно знать, как влияют дивиденды на распределение прибылей и убытков. Финальным результатом работы Henrard (2003) является определение границ общей прибыли (убытков) от дельта-хеджированной позиции. Он показал, что границы определяются в соответствии со следующими формулами.

Правая часть нижней формулы получается из условия максимизации произведения квадрата цены акции и коэффициента гамма из формулы выше. Рассмотренная модель позволяет получить выражение для прибыли в случае хеджирования на основании произвольной волатильности. Полученные выводы эксплуатируются в более поздних работах Carr (2005) и Ahmad&Wilmott (2005).

Некоторые результаты в данной области также представил Carr (2005) в работе «FAQs in Option Pricing Theory». Он разобрал многие вопросы, относительное ценообразования опционов. Среди этих вопросов возникла тема выбора волатильности для осуществления дельта-хеджирования. В исследовании был поставлен конкретный вопрос, какую волатильность следует выбрать - подразумеваемую или историческую. В отличие от Henrard, который предполагал самостоятельное финансирование изменений портфеля, Carr конструирует функцию изменений в заимствованиях.

· - величина заимствований

· -число акций

Первое слагаемое символизирует изменение долларовой стоимости позиции по акции, второе - приращение совокупного капитала, третье - дивидендную доходность, четвертое - процент к выплате по заимствованиям. Здесь число акций можно интерпретировать как коэффициент дельта, основанный на произвольной волатильности. Carr решает дифференциальное уравнение и получает итоговую прибыль, выражение для которое практически идентично прибыли, полученной Henrard. Коэффициент гамма был определен как скорость изменения дельта-коэффициента. Таким образом, в финальном выражении прибыли Carr определил дельту как вторую производную стоимости опциона на основе произвольной волатильности по стоимости базового актива. После некоторых предположений, упрощений и подстановки подразумеваемой волатильности в качестве основы для хеджирования, формула для прибылей и убытков стала выглядеть следующим образом.

Разность квадратов волатильностей нельзя вынести за знак интеграла поскольку автор предположил некоторый закон изменения настоящей волатильности с течением времени.

На двух вышеизложенный работах основывается работа Ahmad и Wilmott (2005). Авторы усовершенствовали конечные результаты и сделали более легким для восприятия анализ. К тому же они сделали акцент именно на хеджировании на основе подразумеваемой волатильности и доказали, что прибыль от такого рода позиции положительна. Остановимся более подробно на данной работе. Предпосылки в рамках анализа аналогичны предположениям Блэка и Шоулза. Модель изменения цены акции - стандартный Винеровский процесс.

Волатильность, указанная в формуле, характеризует настоящую волатильность. Авторы утверждают, что стоимость опциона распределена по такому же закону, что и цена базового актива. Этот факт играет определяющую роль в проблеме снижения риска: случайную составляющую изменений можно компенсировать и избавиться от нее.

Коэффициент дельта определяется в соответствии с моделью Блэка-Шоулза.

Далее проводится анализ прибылей и убытков для позиции, хеджированной на основе настоящей волатильности и подразумеваемой. Необходимо рассмотреть оба случая для понимания откуда появляется в теории гарантированная прибыль при хеджировании с помощью подразумеваемой волатильности. Опишем составляющие портфеля в настоящий момент и спустя малый промежуток времени. Для удобства восприятия представим его в виде таблицы.

Таблица 1. Стоимости компонент арбитражного портфеля сегодня и через малый промежуток времени (Ahmad&Wilmott (2005, стр. 66)).

Составляющая портфеля	Стоимость в момент времени	Стоимость через малый промежуток времени
Опцион «Call»
Акция
Денежные средства



Заметим, что в данной таблице представлены хеджирующие коэффициенты дельта с индексом «i», что означает использование подразумеваемую волатильность. В случае эксплуатации настоящей волатильности там должен стоять индекс «a». Прибыль за короткий промежуток времени составит разность суммы стоимостей компонент портфеля на следующий день и сегодня.

Используя лемму Ито и подставляя значение волатильности в формулу Блэка-Шоулза авторы получаю прибыль за короткий промежуток времени, выраженную в наблюдаемых параметрах.

Следует отметить, что в случае такого рода хеджирования, прибыль зависит от случайной составляющей, что означает высокий риск занятой позиции. Чтобы извлечь положительную прибыль, в данном случае, инвестор должен обладать способностью с высокой точностью предсказывать будущую волатильность. Как показано в работе Ahmad и Wilmott, динамика прибыли и убытка имеет очень большое отклонение, что может стать причиной потери всех денежных средств до того, как могла бы быть извлечена положительная прибыль.

В наиболее детальном рассмотрении нуждается рассмотрение прибыли в случае хеджирования на основе подразумеваемой волатильности. Приращение стоимости портфеля в данном случае задается следующим соотношением.

Согласно тем же самым подстановкам и вычислениям, что и в прошлом примере, конечный результат следующий.

Сравнивая со случаем, где позиция хеджируется на основе настоящей волатильности, можно заметить, что из финального выражения исчезла случайная составляющая. Этот факт означает более «гладкое» распределение прибыли. Однако. Следует заметить, что результат зависит от пути, по которому следует цена базового актива, а также от того, насколько «глубоко» «в деньгах» находится опционная позиция. Последнее следует из наличия коэффициента гамма в формуле. Дело в том, что данный коэффициент отражает скорость изменения дельты, когда цена базового актива колеблется вокруг страйка, то имеет смысл часто менять хеджирующий коэффициент. Стратегия получения положительной прибыли в данном случае намного проще. Необходимо покупать описанную выше позицию в случае, если волатильность выше подразумеваемой (рыночной) и продавать в противоположном случае. Общая прибыль к моменту экспирации составляет.

Авторы описывают важный практический вывод для выбора необходимой ценной бумаги и соответствующего опциона. Наибольшая прибыль может получиться, когда есть существенная разница между настоящей волатильностью и подразумеваемой. Таким образом, если инвестор имеет основания полагать, что будущая волатильность базового актива превысит подразумеваемую, то он может занять позицию, описанную в данной работе.

Подведем итог, какие преимущества и недостатки существуют у дельта-хеджирования с использованием подразумеваемой волатильности. Во-первых, колебания прибыли невелики, что снижает риск позиции. Во-вторых, точное знание, когда покупать такую позицию: достаточно чтобы подразумеваемая волатильность была ниже настоящей. В-третьих, однозначно и точно определяется дельта: с помощью подстановки подразумеваемой волатильности, которая вычисляется однозначно. В теории существует лишь один недостаток упомянутого способа хеджирования: неопределенность будущей прибыли, только уверенность в том, что она положительна. В дополнение ко всему вышесказанному авторы приводят выражения для вычисления ожидаемой прибыли и ее дисперсии исходя из максимизации прибыли.

Важной ступенью анализа Ahmad и Wilmott является конструирование оптимального портфеля из имеющихся доступных опционов. Рассматриваются опционы с разными сроками экспирации и разными страйками. Значение имеет только коэффициент гамма в данном случае. Общая прибыль от владения портфелем из проанализированных выше позиций вычисляется следующим образом.

· - количество опционов в позиции

Общий вывод из исследования следующий: можно гарантированно получить положительную прибыль используя дельта-хеджирование на основе подразумеваемой волатильности. В данной работе именно этот факт и будет проверен на практике.

Выведенный результат также подтверждается в работах Ayache (2006) и Sinclair (2008), последний обобщил в своей книге все предыдущие работы, касающиеся хеджирования с помощью подразумеваемой волатильности.

Арбитраж волатильности проверялся в работе Yu&Pan (2017). Авторы проверяли подход Black&Scholes к хеджированию опционной позиции на предмет прибыльности такой стратегии, а также изобретали свою стратегию хеджирования. Также был проведен анализ хеджирования опционной позиции фьючерсом. Результат был получен следующий: на китайском фондовом рынке арбитраж волатильности выполнялся, прибыль по итогу рассматриваемого периода оказывалась положительной, причем в случае с хеджированием фьючерсами, риск был немного меньше, чем в случае с обыкновенными акциями.

Теоретические основы арбитража волатильности с использованием формулы Блэка-Шоулза рассматривалось в работе Jena&Tankov (2017). Авторы рассматривали возможности максимизации арбитражной прибыли и включили в финальные выводы транзакционные издержки. Однако, они не говорили об арбитраже на основе дельта-хеджирования на основе подразумеваемой волатильности. Исследование Ernst (2016) содержало в себе анализ арбитражных возможностей для европейских опционов, но на основе биномиальной модели Кокса-Росса-Рубинштейна. В рамках данной работы необходимо вернуться к методологии Ahmad&Wilmott (2005) и проверить возможность арбитража при рассмотрении дельта-хеджирования с помощью подразумеваемой волатильности.

Эмпирические исследования арбитражных возможностей

Арбитраж волатильности проверялся в работе Yu&Pan (2017). Авторы проверяли подход Black&Scholes к хеджированию опционной позиции на предмет прибыльности такой стратегии, а также изобретали свою стратегию хеджирования. Также был проведен анализ хеджирования опционной позиции фьючерсом. Результат был получен следующий: на китайском фондовом рынке арбитраж волатильности выполнялся, прибыль по итогу рассматриваемого периода оказывалась положительной, причем в случае с хеджированием фьючерсами, риск был немного меньше, чем в случае с обыкновенными акциями.

Вопрос арбитражных возможностей затрагивался в работе Corredor&Santamaria (2004). Однако, ключевой задачей их работы являлось прогнозирование реализованной и подразумеваемой волатильности. В качестве дополнительного результата было выявлено, что Испанский рынок деривативов является эффективным и арбитражные возможности на основе волатильности на нем невозможны.

Еще одним эмпирическим исследованием является работа Smith, Gronewoller&Rose (1998), которые исследовали рынок опционов и фьючерсов Новой Зеландии на предмет недооценки и переоценки вышеупомянутых деривативов. В результате чего авторы выявили наличие арбитражных возможностей при отсутствии транзакционных издержек. Однако их методология не связана с арбитражем на основе волатильности. Рынок опционов Великобритании был исследован в работе Gemmill (1992). В ней было выявлено наличие арбитража на основе волатильности, однако, в данном исследовании рассматривались опционы на акции в течение 1987 года.

Обзор существующих теоретических моделей нельзя считать полным без рассмотрения релевантных исследований на данную тему на российском рынке. Martynov&Rozanova (2011) представили работу на тему арбитражных возможностей на основе торговли волатильностью. Вывод в исследовании был сделан следующий: арбитраж на рынке деривативов возникает благодаря разнице настоящей цены опциона и теоретической, поскольку цена на опцион коррелирована с ценой базового актива. Однако, само понятие «торговля волатильностью» имеет гораздо более широкий спектр значений, чем настоящее тематика настоящей работы. Авторы рассматривали арбитраж с использованием улыбки волатильности. Такого рода информации достаточно присутствует на форумах и такие стратегии зачастую уже успешно применяются трейдерами в рамках российского рынка ценных бумаг. Целью же данной работы является проверить арбитражные возможности конкретной стратегии, которая будет описана в методологии. И с данного рода исследованиями она никак не пересекается. В этом заключается, как было сказано во введении, научная новизна данного исследования.



Глава 2. Методология

Данная глава представляет собой методологию исследования.
В рамках данной работы выдвигается следующие гипотезы:

1. арбитраж на основе подразумеваемой волатильности
с использованием позиции из опциона «call», хеджированногофьючерсом с помощью коэффициента дельта, возможен и связан с положительной прибылью.

2. Наличие транзакционных издержек позволяет извлекать арбитражную прибыль из вышеупомянутой позиции.

Целью данной главы является построение методологии арбитражной стратегии с помощью опциона, фьючерсного контракта и дельта-хеджирования на основе подразумеваемой волатильности.

Методология построения арбитражного портфеля

Подраздел содержит описание четких теоретических предпосылок к построению арбитражной позиции, а также демонстрирует содержание портфеля по данной позиции. Модель будет построена поэтапно в соответствии с изложенными ниже шагами.

Описание поведения цены базового актива

В этом вопросе мы последуем выводам работы Black, Scholes и предположим, что цена базового актива изменяется в соответствии с Винеровским стохастическим процессом.

Важный момент заключается в том, что распределение цены опциона такое же как у базового актива. Данный факт является важной предпосылкой в возможности сведения риска к минимуму за счет нивелирования случайной составляющей процесса, то есть зависимость остается только от реального дрейфа. Об этом, кстати, не раз говорилось в работе Ahmad&Wilmott (2005).

Вычисление подразумеваемой волатильности

Подразумеваемая волатильность вычисляется стандартно, по формуле Блэка-Шоулза, с помощью программы DerivaGem, для европейских опционов. Волатильность будет выражена в процентах от цены базового актива в годовом выражении.

Закон вычисления коэффициента дельта

Следует отметить, что рассматриваемые в настоящем исследовании опционы являются американскими, однако, как было сказано в главе 1, их ценообразование можно анализировать с точки зрения европейских опционов, поскольку «call» опцион на бездивидендный базовый актив не имеет смысла исполнять раньше срока экспирации. В связи с этим фактом дельта вычисляется по формуле:

Как видно, дельта вычисляется в соответствии с законом кумулятивного нормального распределения. Значение переменной в скобках было определено в первом подразделе главы 1. Учитывая, что дельта-хеджирование происходит на основе подразумеваемой волатильности, то она подставляется в формулу выше.



Конструирование портфеля

Составим таблицу, характеризующую портфель, его стоимость сегодня и на следующий день.

Таблица 2. Построение арбитражного портфеля.

Компонент портфеля	Стоимость сегодня	Стоимость завтра
Опцион
Фьючерс (базовый актив)
Денежные средства

Отметим различие между аналогичным портфелем в работе Ahmad&Wilmott. Здесь отсутствуют начисленные дивиденды по акциям. Прибыль за один день можно посчитать, если вычесть из стоимости портфеля завтра сегодняшнюю стоимость портфеля, причем учитывать надо как опционы и фьючерсы, так и денежные средства, поскольку их количество меняется в процессе корректировки позиции.

Корректировка портфеля

Согласно результатам работ, рассмотренных в главе 1, существует необходимость корректировать компоненты портфеля в соответствии с рассчитанной дельтой. Данный показатель постоянно меняется в зависимости от изменений цены базового актива и от того, насколько глубоко «в деньгах» находится опцион. Таким образом, существует необходимость покупки дополнительных фьючерсов или их продажи для поддержания целевого коэффициента дельта. Незадолго до конца торгового дня прибыль или убыток, полученные от владения сконструированным выше портфелем, фиксируется и происходит ребалансирование дельты.

Рассмотрим, каким образом изменятся стоимости компонент портфеля впоследствии корректировки. Опционную позицию предполагается не менять, таким образом ее стоимость сохраняется. Стоимость фьючерсов теперь задается следующим выражением:

· - новый коэффициент дельта, рассчитанный на подразумеваемой волатильности второго дня

Такого рода изменения в стоимости акций происходят за счет денежных средств. Последние, в свою очередь меняются на величину разницы дельт и задаются следующим соотношением.

· - цена фьючерса в конце второго дня

Следует отметить, что в мире без транзакционных издержек стоимость портфеля при корректировке дельты не измениться. Это очевидно, поскольку дополнительные фьючерсы покупаются за счет денежных средств.

Условие приобретения портфеля

Существуют два условия приобретения портфеля. Во-первых, необходимо, чтобы настоящая волатильность превышала подразумеваемую. Во-вторых, разница между данными волатильностями в момент приобретения должна быть как можно больше, то есть, у инвестора должна существовать уверенность, что в дальнейшем будет происходить конвергенция волатильностей. Об этом говорится в работе Sinclair (2008).

Методика расчета настоящей волатильности

Важной частью анализа является прогнозирование волатильности, поскольку именно на основе сравнения настоящей и подразумеваемой волатильности базового актива инвестор делает вывод от том, следует ли ему покупать позицию или нет. Существует целое множество моделей оценки волатильности, от самых простых до сложных. Ниже будет приведен краткий обзор таких моделей.

Первым делом рассмотрим самую простую модель оценки волатильности на основе ретроспективных данных. Рассмотрена она была, например, в книге Hull (2005). Анализ происходит на основе собранных данных о ценах базового актива за некоторый промежуток времени. После чего происходит вычисление стандартного отклонения по формуле, известной из курса математической статистики. В Excelрассматриваются данные о ценах за некоторый промежуток времени и вычисляется значение волатильности показателя. Важным моментом является адекватный выбор промежутка времени, за который следует анализировать данные: слишком длинный интервал времени может содержать в себе информацию о тенденциях, которые наблюдались в прошлом и не наблюдаются в настоящем, слишком короткий - предоставлять расчеты с низкой точностью. Обычно, волатильность для каждого дня рассчитывают на основе количества предыдущих дней, соответствующему рассматриваемому периоду. J. Hull (2005) выделяет несколько другую методологию расчета волатильности. Он предлагает использовать для расчета стандартного отклонения одну из двух формул:

· - число дней, по которым рассчитывается волатильность

· - среднее значение величин

С помощью данных формул рассчитывается дневная волатильность цены актива. Чтобы получить значение годовой волатильности, необходимо умножить полученное значение на квадратный корень из числа торговых дней. Обычно в качестве данного значения берется число 252. Преимуществами вышеизложенного метода является простота прогнозирования, которая дает возможность даже неопытным трейдерам получить значение волатильности показателя, и возможность выбора любого промежутка времени, в том числе, и короткого, что полностью соответствует анализу, приведенному в данной работе.

Следует также кратко упомянуть о других моделях прогнозирования волатильности. Одной из них является модель экспоненциально взвешенного скользящего среднего, которая также была упомянута в книге Hull (2005). Основное ее отличие от предыдущей состоит в том, что она учитывает веса изменения цен в каждый день. Чем дальше находится день от текущей даты, тем меньший вес имеет изменение цены актива в этот день.

Еще одна модель оценки волатильности - GARCH. В работах Cumby (1996) и Engle (1996) исследуется данная модель. Она является более обобщенным и усовершенствованным вариантом предыдущей модели. В ней используется долгосрочная дисперсия, которая, в свою очередь лучше отражает некоторое среднее значение волатильности для выбранного показателя. Дело в том, что на практике значение дисперсии тяготеет возвращаться к своему историческому среднему значению. Об этом говорится в учебном пособии Hall (2005). Однако, на практике такого рода модели используются крайне редко.

В опционной торговле обычно применяются методики, основанные на описанной в начале раздела модели close-to-close. В 1980-х годах была разработана модель Parkinson (1982). Она учитывала самую высокую и самую низкую цены в течение торгового дня, но игнорирует цену закрытия. Формула расчета следующая:



Годовая волатильность получается также при умножении на корень из числа 252. Следующая модель оценки исторической волатильности включает в себя цены открытия и закрытия и представляет собой усовершенствованную предыдущую формулу. Данная модель носит название Garman-Klass (1980). Формула расчета следующая.

· - наибольшая цена актива в день i

· - наименьшая цена актива в день i

· - цена открытия актива

Модель Rodgers & Satchell (1994) - еще один способ рассчитать историческую волатильность. В отличие от предыдущей, она учитывает не только соотношения отдельно цен открытия и закрытия, максимальную и минимальную цену, но и соотношение максимальной и минимальной цен с ценами открытия и закрытия для текущего дня. Также модель лучше подходит под описание Винеровского стохастического процесса изменения цены базового актива, ввиду того, что учитывает скачки в ценах. Формула модели следующая:

Последняя модель, которая будет рассмотрена в рамках данной работы является наиболее полно скорректированный на различные источники дополнительных колебаний цен. Например, на изменение цен внутри торгового дня или в «ночное» время. Также данная модель устойчива к скачкам в цене базового актива. Формула для расчета включает в себя несколько составляющих: волатильность от открытия торгов до закрытия, волатильность от закрытия торгов до их открытия на следующий день и волатильность, посчитанная в соответствии с моделью Rodgers-Satchell. Модель разработана Yang, Zhang (2000). Формула расчета следующая:

· - квадрат волатильности за ночь

· - квадрат внутридневной волатильности

Модели вычисления настоящей волатильности были рассмотрены в порядке эволюции методов оценки. Необходимо выбрать модель, наилучшим образом соответствующую особенностям данной работы. Bennett & Gil (2012) делают вывод, что при работе с длинными временными интервалами наилучшим образом подходит простейшая модель close-to-close, последняя же модель учитывает большое количество факторов, которые со временем перестают иметь значение, например, вряд ли сильное влияние на текущую волатильность может оказывать колебание цен базового актива внутри одного дня год назад. Учитывая специфику данной работы, что анализ происходит на коротком промежутке времени, предполагается использовать модель Yang-Zhang. В случае, когда подразумеваемая волатильность близка по значению к настоящей, необходимо наиболее точно вычислять ее, чтобы не совершить ошибку и не занять противоположную позицию по портфелю. Чтобы рассчитать настоящую волатильность необходимо взять данные по ценам фьючерса за месяц до начала рассматриваемого периода, причем, не только по ценам закрытия, а, судя по выбранной методологии, по всем четырем ежедневным показателям цен. Такой подход призван вызывать наименьшие погрешности при расчетах.

Определение безрисковой процентной ставки

В заключительном разделе главы рассмотрим, каким образом следует определять безрисковую ставку процента. Она необходима для того, чтобы учесть дисконт-фактор.В условиях российских реалий в качестве безрисковых ставок на практике обычно используют:

· Ставки ЦБ РФ по ГКО-ОФЗ и прочим государственным ценным бумагамВ настоящее время не существует ставок ГКО-ОФЗ, однако, Центральный Банк РФ предоставляет информацию о бескупонной доходности, которая рассчитывается по специальной методологии.

· Ставка рефинансирования ЦБ РФ

· Государственные облигации развитых стран (США, ЕС)

· Ставки MIBID, MIBOR или MIACR по межбанковским кредитам

· Ставка по депозиту Сбербанка

В случае использования в качестве безрисковой ставки государственных облигаций развитых стран, необходимо сделать поправку на премию за риск для выбранной страны. Как показано в книге Brealey&Mayers (2008) «Принципы корпоративных финансов», премия за риск рассчитывается исходя из кредитного рейтинга страны, который составляется авторитетными специализированными рейтинговыми агентствами, такими как S&P или Moody's. В соответствии с кредитным рейтингом страны к безрисковой ставке США добавляется определенное значение. Однако, в рамках данной работы имеет смысл брать непосредственно безрисковую ставку, присутствующую на Российском рынке.

В рамках данной работы предполагается взять в качестве безрисковой ставки процента ставку ЦБ РФ «overnight». В связи с тем, что корректировка портфеля происходит каждый день, существует необходимость проводить операции с банковским счетом ежедневно.

Транзакционные издержки

Учитывая тот факт, что дельту портфеля придется корректировать в зависимости от цены базового актива, безрисковой ставки и подразумеваемой волатильности, которые будут меняться часто, необходимо учитывать транзакционные издержки от заключения сделки. Московская биржа предоставляет информацию о нескольких видах транзакционных издержек. В рамках данной работы существует необходимость учитывать 2 вида издержек: на совершение сделки и на закрытие позиции. Первые связаны с необходимой коррекцией коэффициента дельта, вторые - с закрытием позиции по причине, либо наступления срока экспирации, либо необходимости закрыть позицию ввиду неоптимального соотношения настоящей и подразумеваемой волатильностей. Таким образом, стоимость позиции, которая рассчитывается как сумма трех компонент: денежных средств, опционов и фьючерсов, должна быть скорректирована на величину издержек за совершаемую транзакцию. Таким образом, финальное уравнение однодневной прибыли выглядит следующим образом.

После вычисления ежедневной скорректированной прибыли необходимо найти накопленную прибыль для каждого дня как сумму скорректированных прибылей или убытков всех предыдущих дней. Такого рода динамика даст наиболее точные ответы на выдвинутые гипотезы.



Глава 3. Эмпирическое исследование

В данной главе решаются следующие задачи:

· сбор и обработка современных и релевантных данных по котировкам опционов и фьючерсов, а также по величинам безрисковой ставки процента;

· анализ, собранных данных в соответствии с построенной методологией

Данные

В качестве рассматриваемого периода был взят короткий промежуток времени - 1 месяц, что является достаточным для выявления эффективности стратегии арбитражной торговли опционами с использованием дельта-хеджирования базовым активом на основе подразумеваемой волатильности. Данные были взяты по маржируемым американским опционам call на фьючерсные контракты на наиболее известные акции и товары. Объяснить это можно низкой ликвидностью российского рынка опционов и, соответственно, необходимостью выбирать контракты на самые «ходовые акции».

Были взяты данные по котировкам фьючерсов за рассматриваемый период с интервалом в один день, причем, в соответствии с методологией вычисления настоящей волатильности необходимы данные как по ценам закрытия, так и по ценам открытия, максимальным и минимальным ценам в течение дня. Несмотря на то, чтоне всегда есть необходимость менять дельту портфеля каждый день, ежедневные данные необходимы для вычисления подразумеваемой волатильности, величина которой является сигналом к изменению структуры портфеля. Также, были найдены данные о цене исполнения. Выбор страйка зависит в данном случае только от наличия непрерывного временного ряда данных по ценам опционов. Центральный страйк наилучшим образом подходит для решения такого рода проблемы. Необходимо уточнить, что по котировкам фьючерсов были взяты данные за некоторое время до начала рассматриваемого периода с целью вычисления прогнозируемой волатильности по выбранной методологии.Все выше перечисленные показатели были взяты с сайта Московской Биржи [http://moex.com].Также были найдены данные по ставке ЦБ РФ кредита «overnight» (Сайт ЦБ РФ, http://www.cbr.ru).

Таблица 3. Фрагмент массива данных.

Дата	Безрисковая ставка процента	Цена	Страйк	Цена базового актива	Подразумеваемая волатильность годовая (%)	Настоящая волатильность годовая (%)
19.12.2016	8,6	381	16000	15902	20	31
20.12.2016	8,6	340	16000	15888	21	30
21.12.2016	8,6	290	16000	15700	24	30

Стоит отметить, что в процессе расчетов была использована специальная программа DerivaGemDerivaGem - Version 2.00 для вычисления подразумеваемой волатильности и соответствующего коэффициента дельта. Она позволяет вычислять не только теоретические цены стандартных европейских опционов на основе аналитической модели Блэка-Шоулза, но и оценивать цену американских опционов с помощью методологии биномиальной модели. Общий массив данных состоит всего из котировок четырех опционов «call», у которых базовым активом является фьючерс на акции ПАО «Газпром», нефть марки Brent, и акции ПАО «Сбербанк». Данные по опционам были взяты за период времени в 1 месяц: для фьючерсов на акции «Газпрома» с 15.03.2016 по 12.04.2016, для фьючерсов на нефть марки Brent c 26.12.2016 по 25.01.2017. Также были взяты данные по двум опционам «call» на фьючерс на акцию ПАО «Сбербанк» за периоды с 15.08.2016 по 14.09.2016, с 13.09.2016 по 12.10.2016 и с 01.06.2016 по 01.07.2017. По некоторым опционам конец рассматриваемого периода был близок к сроку экспирации, по другим - отстоял от него на некоторое время.

...