Валютный курс в первом периоде также определяется однозначно на уровне . Чтобы существовал валютный рынок и банкам было выгодно вкладываться в оба типа активов, должно выполняться условие , в нашем случае оно может быть выполнено только если , а именно в равновесии .

Чтобы найти равновесие решаем задачу банка при ограничении:

С учётом ограничения целевая функция может быть переписана в виде . Получаем зависимость только от , можем выписать условие первого порядка:

Ограничение достаточности ликвидности в первом периоде может быть записано следующим образом:

Таким образом, в равновесии . Поскольку определена однозначно в первом периоде, банку не выгодно хранить ликвидность сверх того, что понадобится для возврата депозитов в первом периоде, поэтому в равновесии Также равновесной будет ситуация, когда у некоторых надёжных банков будет излишняя ликвидность, а у других недостаточная, но совокупная доля окажется и в первом периоде банки путём операций на межбанковском рынке смогут обеспечить совокупный спрос на ликвидность. Однако в нашей модели мы рассматриваем идентичные надёжные банки, поэтому будем считать, что вкладчики распределены равномерно между банками и в первом периоде во все банки обратятся одинаковые доли нетерпеливых агентов, тогда в нулевом периоде банки будут выбирать одинаковые доли инвестирования в ликвидный актив на уровне

Мы получили, что в отсутствии неопределённости относительно в равновесии не будет рискованных банков.

Предельное равновесие

Теперь предположим, что , где . Пусть . Таким образом, в состоянии мира спрос на ликвидность со стороны вкладчиков будет расти на бесконечно малую величину, по сравнению с состоянием В отличие от равновесия в отсутствии неопределённости, в данном случае рискованная стратегия банка будет выгодной. И в состоянии мира вкладчики рискованных банков будут получать более высокую по полезность.

Рассмотрим задачу рискованного банка и выпишем условие первого порядка для:

Мы видим, что производная строго убывает по , так что максимум функции достигается при . Отсюда получаем,

Проверим выполнение ограничения (20). Так, в равновесии должно выполняться

Получаем, что при ограничение выполнено. Далее выпишем условие первого порядка для при условии , что :

При рассмотрении условий Куна-Таккера, мы получили, что имеет смысл рассмотрение одного углового решения , когда . В данном случае должно выполняться условие, что . Таким образом, рискованному банку будет не выгодно инвестировать в ликвидный актив, если его ожидаемая валовая доходность меньше, чем доходность актива в иностранной валюте.

Если же , равновесная доля вложения в ликвидный актив:

Подставляя , получаем:

Аналогичным образом решаем задачу надёжного банка. Получаем условия первого порядка:

Решаем данную систему, отбирая корни, при которых выполняются ограничения (13) и (14):

Получаем решение задачи надёжного банка :

Чтобы довести решение задачи до конца, нам необходимо подставить оптимальные параметры (32),(33) и (35),(36) и в функции полезности рискованного и надёжного банков, уравнения (15) и (8), соответственно, и найти равновесную долю и вектор цен иностранной валюты (,, при котором валютный рынок находится в равновесии в обоих состояниях мира.

Чтобы доказать существование финансовой хрупкости в предельном равновесии, покажем, что может принимать значения меньше единицы. То есть покажем, что даже при существовании неопределённости относительно доли нетерпеливых агентов, устремлённой к нулю, в равновесии будут возникать рискованные банки.

Таким образом, нам необходимо решить систему из семи уравнений (37)-(43):

Далее, чтобы показать наличие хрупкости банковской системы, представим графическое решение и осуществим калибровку модели.

Глава 3. Доказательство существования хрупкости банковской системы

3.1 Калибровка модели и поиск предельного равновесия

На основе статьи Allen и Gale, 2007 [2] выберем значения экзогенных параметров модели (. Стоит обратить внимание, что авторы в своей статье рассматривали рынок долгосрочного актива, а не валютный рынок, но для калибровки модели это не играет ключевой роли, поэтому значения форвардного курса и курса в нулевом периоде выбирались на основании данных по ценам актива . Далее мы построим графики зависимости полезностей надёжного и раскованного банка от доли надёжных банков в экономике .

Для построения графиков и нахождения решений системы будем использовать метод программирования в Python, полный код будет представлен в Приложениях.

Сначала покажем, что в равновесии все эндогенные переменные принимают значения, которые согласуются со всеми предпосылками модели. На рисунке 1 представлен фрагмент программного кода с расчётом равновесных параметров модели.

Рисунок 1. Программный код модуля расчёта равновесия в модели при заданном Источник: расчёты автора.

Поскольку решение относительно равновесной доли надёжных банков, мы будем искать графически, решение представленное выше было построено для фиксированной доли и не обеспечивает выполнение условия равенства полезностей надёжного и рискованного банка (43). Мы получили, что все эндогенные переменные принимают свои возможные значения из области определения и логически сопоставимы друг с другом. Также, стоит отметить, что результаты соотносятся с выводами, представленными Allen и Gale (2007)[2] в их модели с долгосрочным активом при её калибровке.

Попробуем найти графическое решение относительно для данных параметров. Код представлен в приложении 1.

График 1

Источник: расчёты автора.

Как видно из графика 1 в равновесии при заданных значениях экзогенных параметров будут возникать рискованные банки, то есть в предельном случае, когда доля нетерпеливых агентов в состоянии мира возрастает даже на бесконечно малую величину, по сравнению с состоянием мира , рискованные банки смогут обеспечить такую же ожидаемую полезность своим вкладчикам, как и надёжные.

Покажем далее, что можно подобрать параметры (таким образом, что возникнет два равновесия, в одном из которых будут существовать рискованные банки. Так, при определённых параметрах мы получаем, что при неопределённости относительно доли нетерпеливых агентов, стремящейся к нулю, в модели будет существовать фундаментальное равновесие, в котором отсутствуют рискованные банки, но оно будет неустойчивым, поскольку при тех же параметрах возникает также и плохое равновесие, когда банкам будет выгодно выбирать рискованную стратегию. Данный факт был ранее доказан многими авторами [6] [2] [5] и обсуждался в первой главе.

График 2

Источник: расчёты автора.

На графике 2 мы видим, что будет существовать плохое равновесие, когда существуют рискованные банки () и хорошее равновесие, когда все банки надежные (

Поскольку нас интересуют условия, при которых в равновесии будут отсутствовать рискованные банки и условия, при которых хорошее равновесие будет устойчивым, дадим небольшое теоретическое обоснование существования данного равновесия.

Можно доказать, что система приходит в хорошее равновесие только тогда, когда выполняется условие и в данном случае, рискованные банки будут отсутствовать, доказательство данного факта, но для случая цен долгосрочного актива можно найти в статье [1]. Из решений задачи рискованного банка это угловое решение, когда и . При этом, поскольку при наступлении состояния мира доля нетерпеливых агентов, хотя и бесконечно мало, но все же отличается от доли в состоянии мира , чтобы выполнялось условие достаточности ликвидности, надёжный банк будет выбирать и, соответственно, . Далее при рассмотрении условий равновесия на валютном рынке, мы получаем и при условии что , равенства выполнены при любом и остаётся определить однозначно из условия равенства ожидаемых полезностей вкладчиков рискованного и надёжного банка. Ранее при рассмотрении случая при отсутствии неопределённости было доказано, что это возможно при . Таким образом, при рассмотрении предельного случая, когда и отличаются на бесконечно малую величину, может существовать хорошее равновесие, в котором отсутствуют рискованные банки (как в случае отсутствия неопределённости), но при некоторых параметрах будет существовать и плохое равновесие, когда рискованные банки существуют. Далее мы посмотрим, возможно ли подобрать параметры таким образом, чтобы в пределе существовало устойчивое хорошее равновесие, при котором не существует рискованных банков.

Далее продемонстрируем, что с помощью изменения экзогенных параметров модели мы можем изменять равновесную долю надёжных банков в плохом равновесии, при которой валютный рынок в обоих состояниях мира находится в равновесии.

3.2 Влияние изменения экзогенных факторов в предельном равновесии

Осуществим поиск по сетке, одновременно изменяя следующие экзогенные параметры модели: в области их определения от нуля до одного. Результаты построения симуляций при различных параметрах представлены в приложении 2. На графике 3 мы видим, что при изменении параметров, разные линии уровня сдвигаются и пересечение функций полезности происходит при разных уровнях , которое обеспечивает равновесие на валютном рынке. Таким образом, изменения оказывают влияние на равновесную долю надёжных банков.

График 3

Источник: расчёты автора

На графике 3 мы видим, что с ростом и количество надёжных банков в равновесии уменьшается. Хотя на графике 3 проиллюстрированы только несколько числовых примеров, достоверность результатов была проверена: были построены графики зависимостей функций полезности банков от доли для различных значений и , принимающих значения из отрезка от нуля до одного с шагом 0.05. Код построения симуляций представлен в приложении 2. Это соответствует ожидаемым результатам, поскольку с ростом доли нетерпеливых вкладчиков надёжные банки вынуждены увеличивать долю активов, вкладываемую в ликвидность. Тем самым надёжные банки теряют возможность получения доходности и ликвидационная стоимость их активов падает, соответственно, ожидаемая полезность вкладчиков снижается и поэтому надёжных банков в равновесии становится меньше. С ростом вероятности наступления состояния мира из-за того, что надёжные банки ограничены условием достаточности ликвидности в состоянии мира они вынуждены терять доходность за счёт удержания избыточной ликвидности. Посмотрим, что будет происходить при достаточно малых .

График 4

Источник: расчёты автора.

Мы видим, что при достаточно малых значениях рискованные банки не смогут принести своим вкладчикам такую же ожидаемую полезность, как надёжные. Утверждение верно для всех значений , результаты проверены путём проведения симуляций в Python. Когда вероятность наступления мира очень мала, значит вероятность того, что полезность вкладчиков рискованных банков окажется выше полезности вкладчиков надёжных, также становится очень мала. Как видно по графику 4, вкладчики надёжного банка всегда будут получать большую полезность.

Что касается доли нетерпеливых вкладчиков, стратегия рискованного банка также становится непривлекательной при малых значениях . Надёжные банки, обеспечивая себе достаточный запас ликвидности, должны хранить лишь малую долю своих активов в национальной валюте, чтобы обеспечить нетерпеливых вкладчиков ликвидностью, а значит и ликвидационная стоимость активов банка во втором периоде будет выше и при этом не будет риска того, что банк потерпит банкротство во втором периоде.

Таким образом, мы доказали, что при определённых параметрах может существовать устойчивое равновесие, в котором не будет рискованных банков.

3.3 Монетарная политика

Далее покажем, какими способами можно осуществлять воздействие на в целях уменьшить количество рискованных банков в равновесии и снизить хрупкость финансовой системы.

Стоит отметить, что рассматриваются различные инструменты монетарной политики, направленные именно на минимизацию системного риска банковского сектора. То есть объектом анализа является макропруденциальная политика, а не монетарная, в узком смысле этого слова.

В данной главе необходимо определить инструменты макропруденциальной политики, которые будут оказывать влияние на экзогенные параметры модели, такие как доля нетерпеливых вкладчиков и вероятность наступления состояния мира, когда доля вкладчиков увеличивается.

Основываясь на ранее рассмотренных результатах исследования [8], определим основные монетарные инструменты, которые станут предметами анализа в данном исследовании. Будем рассматривать следующие инструменты: государственное страхование вкладов, введение внешнего регулятора, дающего возможность банкам приостановить трансформацию долгосрочных активов в краткосрочные в периоды, когда желающих вернуть вклады будет слишком много, введение "кредитора последней инстанции". Будем рассматривать данные меры макропруденциальной политики в своём анализе.

Введение рынка страхования вкладов окажет воздействие на вероятность роста доли нетерпеливых вкладчиков, то есть на экзогенный параметр в рассматриваемой модели. Так, экономические агенты будут знать, что их вклады застрахованы и, рост в спросе на ликвидность будет вызван реальной потребностью, а не солнечными пятнами. Аналогичное влияние будет оказывать политика введения ограничений на долю возвращаемых вкладов. Паники не будет возникать, поскольку экономические агенты будут уверены в том, что банк не потерпит банкротство в первом периоде, поскольку он ограничен в количестве выдаваемых кредитов. Соответственно наступление плохого состояния мира, в данном случае, может быть вызвано только реальной потребностью в ликвидности, а не паникой или иными событиями, которые не относятся к реальной экономике. Введение кредитора последней инстанции также оказывает влияние на вероятность повышения спроса на ликвидность, поскольку создаёт у агентов чувство застрахованности их вкладов и уверенности в том, что они смогут получить свои депозиты и банк не разорится.

Таким образом, мы можем различными способами воздействовать на вероятность наступления состояния мира, когда спрос на ликвидность повышен. Однако все эти способы могут сделать систему менее эффективной, потому что они не только воздействуют на уверенность экономических агентов в том, что все банки надёжны, но и повышают стимулы банков выбирать рискованную стратегию. Соответственно, если брать во внимание то, что при проведении данных политик, меняется не только поведение вкладчиков, но и поведение банков, можно будет заметить, что привлекательность рискованной стратегии может, наоборот, возрасти. Таким образом, в литературе до сих пор не найден консенсус между теориями, которые доказывают стабилизирующие и расшатывающие свойства макропруденциальной политики.

Что касается воздействия на другой рассматриваемый экзогенный фактор в модели, долю нетерпеливых вкладчиков, тут необходимы иные меры политики, которые должны быть направлены на рост доверия к банкам и рост инвестирования со стороны населения. Иными словами, необходимо создание уверенности в надёжности системы, где люди должны не бояться делать долгосрочные вклады. Для этого необходимо стимулировать население осуществлять инвестиции, а не хранить ликвидность или делать только краткосрочные вложения.

Так, путём управления долей нетерпеливых вкладчиков можно добиться большего и меньшего эффекта от проведения макропруденциальных мер, направленных на изменение . При снижении можно добиться повышения надёжности банков (мы показали ранее, что доля надёжных банков падает по ), но посмотрим, в каком случае монетарная политика окажется более эффективной. Для этого проиллюстрируем эффект от одинакового снижения при различных значениях .

График 5

Источник: расчёты автора.

Как видно на графике 5, эффект от проведения макропруденциальной политики, направленной на снижение будет выше при меньших значениях . Путём проведения симуляций в Python, было численно проверено, что обратный эффект также будет верен: эффект от снижения будет выше при малых значениях , но данный факт не позволит нам сделать никаких новых качественных выводов относительно эффективности мер макропруденциальной политики, так что он не был проиллюстрирован в работе.

Таким образом, мы получили, что даже в предельном равновесии, когда доля нетерпеливых агентов в состоянии мира увеличивается на бесконечно малую величину, рискованная стратегия банков может быть выгодной. Хотя при некоторых значениях параметров и существует хорошее равновесие, которое соответствует равновесию в отсутствии неопределённости, оно будет единственным и устойчивым только при малых значениях и . Поскольку, в таком случае, ситуация приближается к случаю, когда с очень большой вероятностью наступает состоянии мира , из-за чего выгодность рискованной стратегии снижается, или к случаю, когда в экономике очень мало нетерпеливых агентов, в результате чего ограничения, которые накладываются на надёжные банки становятся менее ощутимыми в терминах потери доходности. Получается, мы можем приблизить предельное равновесие к равновесию в отсутствии неопределённости, когда существуют только надёжные банки. Также мы проанализировали эффективность мер стабилизирующей политики для случая, когда рискованные банки в равновесии все же будут существовать. То есть в случае, когда мы не имеем возможности обеспечения таких малых значений параметров и , что рискованная стратегия в-- равновесии становится невыгодной.

Таким образом, нам удалось показать, что путём проведения макропруденциальных мер, можно добиться повышения совокупной надёжности банков, а значит и снижения хрупкости финансовой системы. Также мы показали, что возможно добиться устранения хрупкости системы, когда в равновесии будут существовать только надёжные банки и равновесие будет уникальным. Для этого необходимо создавать стимулы к долгосрочным инвестициям, чтобы меньшее количество экономических агентов предъявляли спрос на ликвидность в первом периоде и банки имели бы возможность осуществлять долгосрочные инвестиции и при этом оставаться надёжными, обеспечивая достаточное количество ликвидности для погашения обязательств перед вкладчиками. Также для снижения хрупкости необходимо проводить меры, направленные на повышение уверенности людей в надёжности банков, чтобы вероятность наступления состояния мира, когда спрос на ликвидность по каким-то причинам растёт, уменьшалась.

Заключение

Анализ существующих источников позволил разобраться в причинах существования банковской хрупкости и основных принципах построения общей модели финансовой системы. Авторы уделяли большое внимание объяснению ключевых предпосылок и их значению в терминах банковской хрупкости. Проведённый анализ показал, что существует два класса теорий: одни авторы доказывают необходимость регулирования финансовой системы для устранения её хрупкости и предотвращения кризисов, а другие, говоря о кризисах, как о систематических явлениях в рамках делового цикла, приводят доказательства разрушительных последствий введения в систему внешних регуляторов. На основе теоретической работы Diamond, Douglas W. [8] удалось определить основные инструменты макропруденциальной политики для анализа: государственное страхование вкладов, ограничение на долю выданных досрочно депозитов, введение кредитора последней инстанции.

На основе модели, представленной Allen и Gale [2] построена модель финансового сектора с представлением в ней иного фактора риска банковской системы, который связан с неопределённостью относительно обменного курса. Показано, что в предельном равновесии рискованная стратегия банка может приносить своим вкладчикам такую же полезность, как стратегия надёжного банка. Путём изменения экзогенных параметров модели можно добиться возникновения хорошего равновесия, которое будет устойчивым и единственным.

Оценка эффективности монетарных инструментов показала, что через воздействие на долю нетерпеливых агентов и вероятность повышения спроса на ликвидность, можно добиться устранения хрупкости банковской системы, когда в равновесии не будет рискованных банков. Причём при меньшей доле нетерпеливых вкладчиков макропруденциальные меры становятся более эффективными в повышении стабильности финансовой системы.

Хотя проведённый анализ свидетельствует о необходимости осуществления регулирования путём воздействия на ожидания экономических агентов для снижения хрупкости банковской системы, важный эффект от проведения подобной политики остаётся неучтённым: чувствуя себя защищёнными от наступления банкротства, банки получат возможность формировать более рискованные портфели при тех же ожидаемых потерях, поскольку часть риска перейдёт на "страховщика" или "кредитора последней инстанции", тогда эффект от проведения макропруденциальной политики может стать обратным. Для анализа данного эффекта в предельном равновесии необходимо трансформировать функцию полезности банка и представить в модели рынок страхования. Это одно из перспективных направлений будущих исследований по данной теме.

Список литературы:

1. Челеховский А.Н."Хрупкость банковской системы и монетарная политика" // Горизонты экономики. 2016. № 1 (27). С. 73-89.

2. Allen F., Gale D. "Understanding Financial Crises "/ Chapter 5 "Financial Fragility". New York: Oxford University Press Inc., , 2007. С. 126-152.

3. Allen, F. and Gale D. “Financial Fragility, Liquidity, and Asset Prices,” Journal of the European Economic Association 2, 2004. С. 1015-1048.

4. Allen, F., Gale D., ”From cash-in-the-market pricing to financial fragility”. Journal of the European Economic Association 3, 2005. С. 535-546.

5. Allen F., Babus A.,Carletti E. " “Financial Crises: Theory and Evidence”, Annual Review of Financial Economics, 2009, 1, C. 97-116

6. Azariadis, C. “Self-Fulfilling Prophecies,” Journal of Economic Theory 25,1981. C. 380-396.

7. Cass, D. and K. Shell “Do Sunspots Matter?” Journal of Political Economy 91, 1983. С. 193-227.

8. Diamond, Douglas W., and Philip H. Dybvig, "Bank Runs, Deposit Insurance, and Liquidity", Journal of Political Economy 91, 1983. С. 401-419.

9. Gorton G.,“Banking Panics and Business Cycles,” Oxford Economic Papers 40, 1988. С. 751-781.

10. Ion Lapteacru. "Market power and risk of Central and Eastern European banks: Does more powerful mean safer?" Economic Modelling 63, 2017. С. 46-59.

11. Alan M. Taylor "Credit, Financial Stability, and the Macroeconomy," Annual Review of Economics, vol 7(1), 2015. С 309-339.

Приложение 1.

Программный код модуля расчёта предельного равновесия

Приложение 2

Программный код модуля построения симуляций для различных значений экзогенных параметров

Приложение 3

Программный код модуля построения графиков для различных значений параметров

Размещено на Allbest.ru