Розподілення абсолютного максимуму в методиці обґрунтування ціни американського опціону
Формула Блека-Шоулса для американських опціонів колл (пут) з нульовою внутрішньою вартістю. Безарбітражна ціна опціону, на акції, за якими не сплачуються дивіденди, - дисконтоване математичне сподівання розподілення абсолютного максимуму (мінімуму) ціни.
| Рубрика | Банковское, биржевое дело и страхование |
| Вид | статья |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 31.08.2018 |
| Размер файла | 279,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Національний технічний університет України "КПІ"
Розподілення абсолютного максимуму в методиці обґрунтування ціни американського опціону
Євграфов Д.В., канд. техн. наук, с.н.с.
Анотації
Знайдено частковий аналог формули Блека-Шоулса для американських опціонів колл (пут) з нульовою внутрішньою вартістю. Показано, що безарбітражна ціна опціону, на акції за якими не сплачуються дивіденди, є дисконтованим математичним сподіванням розподілення абсолютного максимуму (мінімуму) ціни акції. Зроблено порівняльний аналіз результатів з тими, що отримали Блек і Шоулс для європейських опціонів при однакових цінах купівлі акції і виконання опціону.
Найден частичный аналог формулы Блэка-Шоулза для американских опционов колл (пут) с нулевой внутренней стоимостью. Показано, что безарбитражная цена опциона на акции по которым не выплачиваются дивиденды, является дисконтированным математическим ожиданием распределения абсолютного максимума (минимума) цены акции. Сделан сравнительный анализ результатов с теми, которые получили Блэк и Шоулз для европейских опционов при одинаковых ценах покупки акции и исполнения опциона.
The partial analogue of formula of Black-Scholes is found for American call options (put option) with a zero intrinsic value. It is show that fair price, on an action which dividends are not paid on, are the discounted expected values of distributing of absolute a maximum (minimum) of actions cost. The comparative analysis of results is done with those which got Black and Scholes for European options at the identical costs spot action and exercise price of option.
Ключові слова: американський опціон, безарбітражна ціна, акція, ціна виконання, математичне сподівання, марковський процес.
Вступ
Відшукування розумної ціни американського опціону, яке істотно зменшить кількість арбітражних операцій, до нині залишається актуальним завданням.
Після отримання Блеком і Шоулсом виразу для премії європейських опціонів [1] аналіз ціни для американського опціону носить порівняльний характер [2].
Це ускладнює точність розрахунків справжньої ціни опціону, яка невиправдано завищується з боку продавця і занижується з боку покупця та неминуче призводить до підвищення кількості арбітражних операцій.
Дивує невирішеність цього завдання, оскільки достатнє теоретичне обґрунтування його розв'язання знайдено у фундаментальних працях з використанням апарату марковських процесів. Однією з таких праць є, наприклад, робота [3].
Теоретичні дослідження марковських процесів, які належать радянській математичній школі, мають світове загальнотеоретичне значення. Ще в 30-х роках минулого століття Колмогоровим було запропоновано зворотне рівняння для умовної густини ймовірності процесу [3, с.116]:
(1)
- коефіцієнти зносу і дифузії; , - кінцевий час, яким можна описати у тому числі і ціноутворення опціонів.
Наприклад, відоме диференціальне рівняння Блека-Шоулса для недисконтованої ціни (премії) європейського опціону колл, яке має вигляд:
американський опціон ціна
(2)
де - ставка без ризику; - миттєве стандартне відхилення доходності акції; - ціна реалізації опціону; - ціна акції на при кінці дії опціону, для є частковим випадком зворотного рівняння Колмогорова (1) при
, (3)
- початкова ціна акції, . Такий самий результат для буде отримано внаслідок розв'язання рівняння Фоккера-Планка-Колмогорова з коефіцієнтами (3) [3, с.116]:
. (4)
Як бачимо, результати Блека і Шоулса не є оригінальними, незважаючи на світове визнання їхньої роботи в економічній математиці. Але головною заслугою цих вчених є доказ мартінгальності для послідовностей, пов'язаних з ціною базового активу і фактичне доведення головного висновку: ціна акції є марковським процесом.
Основний зміст дослідження
Постановка завдання. Метою дослідження є адаптація теорії марковських процесів для визначення ціни американського опціону.
Передбачається отримання нових результатів у фінансовій математиці, які побудовані на дослідженнях, відомих у фізиці і радіотехніці.
Методологія. Для обґрунтування премії американського опціону досліджуються імовірнісні характеристики максимального і мінімального значення марковського процесу ціни акції протягом дії опціону .
Для цього аналогічно методу відбиття зі зміною знаку, що використовується у фізиці і радіотехніці [4, с.239; 5], розроблений метод рішення диференційного рівняння (4) з певними граничними умовами.
Результати досліджень. Задача полягає в тому, щоб добре досліджений апарат марковських процесів залучити для обґрунтування премії американського опціону колл - і пут - , які пов'язані з дисконтованими за тривалістю дії опціону математичними сподіваннями :
(5)
У нашому випадку доводиться стикатися не з ціною акції наприкінці опціону , як це відомо для аналогічних (5) цін європейського опціону, а з поточною ціною акції , яка змінюється в часі і має певні статистичні характеристики в межах цінового коридору. Розглянемо ціну акції у часовому інтервалі дії опціону. Відомо, що роз'вязання рівняння (1) без граничних умов можна знайти густину імовірності для будь-якого поточного часу . Вона відповідає логонормальному закону розподілення:
. (6)
Рішення (6) є ймовірнісною ретроспективою ціни акції на момент часу . Будемо у подальшому вважати у (6) , а .
Тоді ймовірність того, що за час процес не перевищить деякий поріг встановлює ймовірнісні характеристики недисконтованої премії американського опціону колл (див. рис.1 а):
, (7)
а подібна ймовірність для процесу, який не буде нижчим за - ймовірнісні характеристики недисконтованої премії американського опціону пут (див. рис.1, б):
. (8)
Із (7) та (8) слідують розподілення недисконтованих премій опціонів колл і пут:
(9)
для яких розподілення абсолютного максимуму та мінімуму дорівнюють [4, с.312]:
(10)
де - розв'язання рівняння (4) з граничною і початковою умовами [3, с.124]:
. (11)
У працях [3-5] показано, як виконати умови (11) методом відбиття зі зміною знаку. Цей метод застосовується, коли співвідношення не залежатиме від . Але в нашому випадку отримати розв'язок простіше, оскільки будь яка функція
, (12)
для якої співвідношення не залежить від , відповідає вимогам (11) і є розв'язанням рівняння (4); - деяка довільна функція, що диференціюється.
Підстановка (6) до (12) дає можливість знайти невідому функцію . Для цього достатньо, щоб виконувалося рівняння
,
яке легко зводиться до квадратного:
,
де , з дискримінантом і рішеннями: і . Перший розв'язок є тривіальним, тому . Підстановка останнього до (12), з урахуванням (6), дає можливість отримати необхідний для (10) вираз:
(13)
Інтегрування в (10) дозволяє отримати розподілення абсолютного максимуму і мінімуму:
(14)
- інтеграл ймовірності нормованої гаусовської величини, а задача обґрунтування премій зводиться до відшукування математичних сподівань розподілень (9), до яких входять (14):
(15)
Вираз (15) для недисконтованої премії опціонів колл і пут можна отримати, на жаль, лише коли . В іншому випадку під час інтегрування у (15) не виконуються вимоги виразу (14), за якими - для і - для .
З урахуванням цього і (5), остаточний вираз для ціни американського опціону колл з нульовою внутрішньою вартістю має вигляд:
, (16)
а для ціни американського опціону пут з нульовою внутрішньою вартістю -
. (17)
Незважаючи на те, що вирази (16) і (17) дають смогу розраховувати премії американських опціонів лише з нульовою внутрішньою вартістю (), отримані результати мають практичну цінність. Розрахунки можна використовувати, коли спостерігається перепродаж або перекупівля акцій. При цьому ціна акції певний час коливається на мінімальному або максимальному рівні і ще не має певного зворотного тренду. Саме у такий час для привабливості контракту внутрішню вартість опціону роблять нульовою, вкладаючи ціну лише у часовий (зовнішний) потенціал опціону.
На рис.2 подано залежності премій для американського опціону колл (суцільна лінія), розраховану за виразом (16), при , і європейського опціону колл (пунктирна лінія), розраховану для тих самих , відповідно до формули Блека - Шоулса, при :
.
Як бачимо, цінність опціонів колл залежно від тривалості дії контрактів зростає, причому американського опціону постійно, а європейського - лише до .
На рис.3 суцільною лінією подано залежність премії американського опціону пут, розраховану за виразом (17) при , від тривалості дії контракту. Для порівняння пунктирною лінією подано аналогічну залежність для премії європейського опціону пут, розраховану для тих самих при відповідно до рішення рівняння (2), в якому :
.
Як бачимо, цінність опціонів пут залежно від тривалості дії контрактів спочатку зростає, досягає максимумів, а потім повільно згасає. Це зрозуміло, оскільки зовнішній потенціал опціону побудований на сподіванні його покупця отримати прибуток через деякий час, триває певний час. Згодом такі сподівання згасають через хибність тривалих прогнозів щодо падіння ціни акції, оскільки остання має тенденцію зростання завдяки ненульовій ставкці .
Висновки
Наукова новизна отриманих результатів полягає в отриманні ціни американських опціонів за допомогою апарату марковських процесів. Порівняння премій американського і європейського опціонів ще раз доводить більшу цінність американських опціонів над європейськими для контрактів будь якої тривалості.
Аналіз ціни американського опціону колл (рис.2) доводить його постійно зростаючу цінність, при якій дострокове виконання невигідне покупцю: краще продати опціон за ціною завжди набагато більшої зовнішньої вартості. Це підтверджує висновки роботи [2, с.239].
Можливість дострокового виконання американського опціону пут дає більший виграш для (рис.3). У подальших дослідженнях буде корисним знаходження тривалості контракту - , яка забезпечує максимальну прибутковість американського опціону пут над подібним європейським.
Література
1. The pricing of options and corporate liabilities / F. Black, M. Scholes // J. Political Economy. - 1973. - Vol.81. - P.637-657.
2. Буренин А.Н. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производние / А.Н. Буренин. - М.: Научно-техническое общество им. Вавилова, 2005. - 534 с.
3. Тихонов В.И. Марковские процессы / В. И Тихонов, М.А. Миронов. - М.: Сов. радио, 1977. - 488 с.
4. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики: [учебн. пособие для ун-тов] / Тихонов А.Н., Самарский А.А. - [Изд.4-е, испр.] - М.: Наука. - 1972 г. - 735 с.
5. Евграфов Д.В. Метод отражения с переменой знака в задачах анализа качества обнаружения сигналов / Д.В. Евграфов // Радиоэлектроника. - 2010. - № 6. - С.58-64. (Изв. высш. учеб. заведений).
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Стратегії хеджування ф'ючерсами. Оперативний аналіз процесу хеджування і динаміки цінового та базисного ризиків. Поняття опціону, його відмінність від ф'ючерсної чи форвардної угоди. Порівняльна характеристика біржових та позабіржових опціонів.
контрольная работа [65,6 K], добавлен 10.08.2009Види опціонних угод, їх специфічні типи. Схема відносин між продавцем та покупцем опціону. Узагальнена схема надання банківських гарантій. Основні способи виставлення гарантій у світовій практиці. Ризики гарантійних операцій банку та шляхи їх зниження.
контрольная работа [26,9 K], добавлен 10.08.2009Дослідження механізму укладання опціонного контракту. Огляд стратегій проведення опціонних угод. Основні різновиди валютних опціонів. Розрахунок прибутку опціону. Оформлення аукціонної операції і передача товару покупцю. Хеджування відсоткового ризику.
курсовая работа [86,7 K], добавлен 10.05.2014Дослідження розвитку економічної думки щодо розвитку ціни та ціноутворення. Сучасні проблеми ціноутворення в комерційних банках. Встановлення принципів ефективного ціноутворення в банках. Методи поліпшення механізму ціноутворення в банківських установах.
статья [52,5 K], добавлен 13.11.2017Суть та поняття валютного опціону як договору на право покупки чи продажу активів по обговореній ціні. Організація торгівлі опціонними контрактами на позабіржовому ринку. Особливості маржових внесків та гарантійних фондів, процедура хеджування опціонами.
лекция [18,5 K], добавлен 10.08.2011Рынок производных финансовых инструментов – опционов, как механизм страхования от наступления неблагоприятных событий; сущность, виды; участники контракта, их права и обязанности. Простые и сложные опционные стратегии, спецификации контрактов пут и колл.
курсовая работа [798,1 K], добавлен 01.05.2011Характеристика ПАТ "Райффайзен Банк Аваль". Принципи вартісного управління комерційною організацією. Стратегічне управління вартістю ПАТ "Райффайзен Банк Аваль". Приклад проведення оцінки банку. Пропозиції щодо стратегічного управління вартістю банку.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 11.12.2010Поняття, характеристика, види та типи опціонів. Основні переваги та недоліки опціонів. Строкові операції з купівлі-продажу валюти. Форвардні операції та їх специфіка. Операції "своп", їх види та особливості. Валютна спекуляція на фінансовому ринку.
презентация [267,0 K], добавлен 08.04.2012Описание биржевых сделок с ограниченным, по сравнению с обычными фьючерсными операциями, риском. Обзор основных видов и сущности опционов. Изучение таких финансовых инструментов как опционы "пут" и "колл". Время покупки опционов. Коэффициент хеджирования.
курсовая работа [41,5 K], добавлен 02.03.2014Группировка коммерческих банков по величине собственного капитала. Определение связи между величиной собственного капитала банка и балансовой прибылью. Вычисление структуры, динамики и абсолютного прироста численности населения по Тюменской области.
контрольная работа [34,2 K], добавлен 29.03.2015Поняття, характеристика кредитного портфеля банку. Фактори зовнішнього та внутрішнього впливу на вартість кредитного портфеля банку. Особливості управління вартістю кредитного портфеля в умовах кризи. Оцінка вартості кредитного портфеля ПАТ КБ "Хрещатик".
дипломная работа [3,9 M], добавлен 12.08.2010Вивчення особливостей роботи фондової біржі, як місця, де знаходять один одного продавець і покупець цінних паперів, де ціни на ці папери визначаються попитом і пропозицією на них. Чистий зведений дохід, внутрішня норма доходності, індекс рентабельності.
курсовая работа [172,9 K], добавлен 14.06.2011Розгляд і характеристика економічної сутності кредиту, змістового наповнення кредитних відносин та ролі кредитного забезпечення через призму їх значення у суспільному відтворенні. Визначення суб’єктів та ціни кредитного фінансування аграрної галузі.
статья [231,6 K], добавлен 22.02.2018Вивчення історії розвитку страхових компаній України в період незалежності. Дослідження організаційно-правових засад створення страхових компаній. Особливості формування їх доходів, видатків і фінансових результатів. Розрахунок ціни страхової послуги.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 28.10.2012Необхідність та завдання технічного аналізу фондового ринку для вдалої торгівлі, визначення основних термінів. Аналіз ціни паперів і обсягу торгів як основа технічного аналізу, використання лінійних та стовпчикових графіків. Фактори прийняття рішень.
статья [447,7 K], добавлен 31.12.2009Особливості підвищення економічної ефективності кредитної діяльності банку. Класифікація кредитів, принципи і умови кредитування. Аналіз кредитного ризику та порядок формування резерву під його покриття. Ціна банківського кредиту та фактори впливу на неї.
дипломная работа [288,4 K], добавлен 10.07.2012Закономерности и правила ведения операций на бирже. Разновидности и назначение опционов. Модели оценки стоимости опционов: биноминальная, Блека-Шоулза и хеджирование рыночного профиля, их применение. Значение и роль опционов в инвестиционном процессе.
курсовая работа [48,5 K], добавлен 04.07.2009Розмір та структура банківських ресурсів та балансового капіталу. Резерви та капіталізовані дивіденди. Власний капітал в пасивах балансу. Структура статей активів та пасивів. Балансова вартість позалістингових цінних паперів у торговому портфелі банку.
курсовая работа [2,3 M], добавлен 07.07.2011Виды опционов. Цена на акции. Покупка и покупка опциона колл. Хеджирование. Биноминальная модель ценообразования опциона. Принцип страхования. Спекулятивные операции. Одновременная покупка и продажа фьючерсных контрактов с различными сроками поставки.
практическая работа [14,9 K], добавлен 27.01.2009Использование хеджирования для исключения риска неблагоприятного изменения цен на рынке акций, валют, процентных ставок. "Спрэд" - комбинация позиций по нескольким контрактам. Стратегия "бабочка" как одновременная продажа и покупка опционов "колл".
контрольная работа [487,2 K], добавлен 16.06.2011
